THỰC TẠI VÀ HOANG ĐƯỜNG 38/a
Thứ Hai, tháng 1 26, 2015CHƯƠNG V: KỲ HOA
“Chúng ta ngưỡng mộ Hy Lạp cổ đại như là cái nôi của nền khoa học phương Tây. Ở đó, lần đầu tiên hình học Ơclit được xây dựng. Đó là sự kỳ diệu của trí tuệ, là hệ thống logic mà những kết quả của nó suy ra cái này từ cái kia một cách chính xác, đến nỗi không ai có thể nghi ngờ điều gì”.
A. Anhxtanh
“Hình học có hai bảo vật, một là Định lý Pitago, bảo vật kia là Định lý tích trung bằng tích ngoại. Ta có thể so sánh cái thứ nhất với một lượng vàng và có thể gọi cái thứ hai là viên ngọc quí”.
J. Keple
Định lý Pitago phát biểu rằng: “Đối với một tam giác vuông thì tổng bình phương hai cạnh góc vuông bằng bình phương của cạnh huyền”.
Định lý này tuy gắn liền với tên tuổi nhà toán học Pitago nhưng đã được người Babylon cổ và người Trung Hoa cổ sử dụng hơn 1000 năm trước đó. Chúng ta còn cho rằng người Việt cổ thời Hùng Vương cũng đã biết nó từ lâu.
Để chứng minh định lý này, chúng ta hãy xem hình 1 với những ký hiệu các cạnh dưới đây:
Hình1: Minh họa chứng minh Định lý Pitago
Có thể tính diện tích hình vuông lớn bằng hai cách là:
Với S1 và S2 đều là diện tích hình vuông lớn nên:
Do đó: 
Trong Vũ Trụ số, chúng ta thấy rằng biểu thức trên không phải bao giờ cũng đúng đối với số tự nhiên, nhưng ở đây, trong Vũ Trụ hình học, thì biểu thức đúng với tất cả mọi tam giác vuông được xác định chắc chắn bằng thước kẻ và compa.
Có thể rằng người châu Á cổ đại đã đụng chạm đến số vô tỷ nhưng chưa đủ năng lực trí tuệ để nhận thức nên đã “tránh xa” và không “dám” nhắc tới nó. Do đó mà mãi đến thế kỷ V TCN, nó mới chính thức được phát hiện bởi nhà toán học Hy Lạp tên là Hippasus. Trước sự phát hiện này, các đồ đệ của trường phái Pitago đã vô cùng sửng sốt và khiếp đảm, bởi vì nó đe dọa một sự phá hoại ghê gớm đến quan niệm về một thế giới được xây dựng trên nền tảng của những con số nguyên cùng với những mối quan hệ tỷ lệ nào đó giữa chúng. Họ đã không thể nào “nuốt trôi” được sự hiện diện của số vô tỷ nên đã giấu nhẹm sự phát hiện ra nó, hoàn toàn giữ bí mật và cho rằng đó chỉ là một thứ hỏng hóc của Vũ Trụ.
Sự phát hiện ra số vô tỷ dẫn đến sự khám phá ra tính vô ước (tính không có ước số chung, tính không so sánh được với nhau giữa các đoạn thẳng). Vào khoảng năm 300, nhà triết học kiêm sử học Iamblichus đã mô tả sự phản ứng dữ dội trong trường phái Pitago đối với khám phá này: “Họ bảo rằng người đầu tiên hé mở về tính thông ước và tính vô ước cho những ai không xứng đáng để sẻ chia lý thuyết ấy, người đó sẽ bị ghét bỏ đến nỗi không chỉ bị trục xuất khỏi hội đoàn mà thậm chí nấm mồ của hắn ta cũng bị dựng lên như thể kẻ đó đã bị tách khỏi cuộc sống giữa loài người”.
Điều kỳ diệu nhất là không làm sao viết ra một số vô tỷ cho chính xác và minh bạch được thì trong khi đó có thể biểu thị số vô tỷ đó dưới dạng đoạn thẳng hình học một cách hoàn toàn xác đáng và trực quan “không chê vào đâu được”. Đường chéo của một hình vuông bao giờ cũng hàm chứa số vô tỷ là 
, song phải cho rằng nó hoàn toàn hữu hạn và xác định, vì nếu không, sẽ không dựng được nó bằng thước kẻ và compa, thậm chí là bằng bất cứ phương tiện nào. Tuy nhiên điều kỳ dị đó sẽ bị “lu mờ” đi nếu chúng ta đã “thấm nhuần” sự biểu hiện nước đôi của Tự nhiên Tồn tại: sự hàm chứa tính vô hạn trong cái hữu hạn và sự hàm chứa tính hữu hạn trong cái vô hạn.
, song phải cho rằng nó hoàn toàn hữu hạn và xác định, vì nếu không, sẽ không dựng được nó bằng thước kẻ và compa, thậm chí là bằng bất cứ phương tiện nào. Tuy nhiên điều kỳ dị đó sẽ bị “lu mờ” đi nếu chúng ta đã “thấm nhuần” sự biểu hiện nước đôi của Tự nhiên Tồn tại: sự hàm chứa tính vô hạn trong cái hữu hạn và sự hàm chứa tính hữu hạn trong cái vô hạn.
Ở buổi bình minh của tư duy nhận thức, đi liền với cảm giác về tính rời rạc là cảm giác về tính khác biệt hình dạng cũng như kích cỡ to, nhỏ so với nhau của vạn vật - hiện tượng. Đòi hỏi khách quan của cuộc sống đã yêu cầu nhận thức phải định lượng, định hình, định vị toàn bộ các sự vật - hiện tượng mà nó quan sát được. Nguyên nhân ra đời của số học và hình học có nguồn gốc như vậy. Có thể nói số học và hình học là hai góc độ quan sát và nhận thức khác nhau về cùng một thực tại khách quan. Từ hai góc độ quan sát và nhận thức đó, con người đã xây dựng được hai thực tại ảo là Vũ Trụ số học và Vũ Trụ hình học. Hai Vũ Trụ đó cũng chính là hai hình ảnh khiếm khuyết và méo mó của Thực tại khách quan, do không thể loại bỏ được cơ sở của tư duy nhận thức là hệ thống các khái niệm và qui ước đầy tính chủ quan, bị động, phiến diện và siêu hình. Do không thể cùng một lúc quan sát được Thực tại khách quan và cũng do còn thiếu thốn những quan sát hồi ức trong buổi đầu nhận thức của con người mà hai Vũ Trụ ảo đó tồn tại một cách độc lập tương đối so với nhau là một tất yếu.
Trong khi Vũ Trụ số chủ yếu quan tâm tới số lượng và sự chuyển hóa giữa các số lượng của vạn vật - hiện tượng thì Vũ Trụ hình lại chủ yếu quan tâm tới hình dạng, phương vị và sự chuyển hóa giữa các hình dạng - phương vị của vạn vật - hiện tượng. Quá trình khảo sát và nghiên cứu đó đã ngày một tích lũy được nhiều kinh nghiệm cũng như tri thức làm cho đối tượng của quan sát hồi ức ngày càng được mở rộng và phong phú, làm điểm tựa kích thích, tạo khả năng cho nhận thức phát triển không ngừng. Sự nâng cao của nhận thức đã dẫn đến động thái hoàn toàn tự nhiên: đào sâu và mở rộng nhận thức về Vũ Trụ hình và ngược lại, bằng cách xâm nhập Vũ Trụ số và Vũ Trụ hình. Nhận thức không thể không làm điều đó nếu muốn tìm hiểu triệt để Thực tại ảo và thông qua đó là Thực tại Khách quan, và có thể làm được điều đó vì Vũ Trụ số và Vũ Trụ hình, dù là hai hình ảnh có những nét đặc thù do góc độ quan sát khác nhau mang lại thì thực ra đều là sự mô tả về một Thực tại có bản chất duy nhất, làm cho những qui luật, những nguyên lý chung nhất, có tính nền tảng của hai Vũ Trụ ảo đó, khi “bị lột bỏ bộ cánh ngụy trang là đặc thù” đi, sẽ trở nên đồng nhất.
Có thể tạm nói rằng Vũ Trụ hình học, khi chưa được “thổi hồn” Vũ Trụ số vào, thì chỉ là một Vũ Trụ đơn thuần của cảm giác lý tính, hay nói cách khác, là một Vũ Trụ ảo câm nín. Khi được “lồng” Vũ Trụ số vào, Vũ Trụ hình trở nên bừng sáng, lung linh và ngân lên hết cung bậc huyền ảo của nó. Nhờ có Vũ Trụ hình - số học mà nhận thức của con người đã có những hiểu biết lớn lao và ngày càng sắc sảo hơn về bản chất đích thực của Không gian, thứ duy nhất làm nên Vũ Trụ Khách quan.
Khi đã được trang bị “kỹ thuật số”, thì Vũ Trụ hình cũng thể hiện tương tự như Vũ Trụ số, theo cách đặc trưng của nó, nghĩa là nó cũng bao gồm Thế giới (hình) tự nhiên, nguyên, hữu tỷ, vô tỷ, thực… và nguyên nhân xuất hiện ra các thế giới ấy, sự chuyển hóa giữa các thế giới ấy thông qua các phép toán cũng tương tự như có tính minh họa trực quan và minh tường hơn Vũ Trụ số. Có những biểu hiện của Thực tại khách quan mà dù có muốn thì Vũ Trụ số cũng khó lòng lột tả được, trong khi Vũ Trụ hình lại làm được điều đó một cách dễ dàng.
Bây giờ chúng ta đi xem xét một vài vấn đề sơ đẳng của Vũ Trụ hình.
Chúng ta biết rằng không một Vũ Trụ nào có thể được xây dựng nên từ Hư Vô tuyệt đối và Vũ Trụ nào cũng thể hiện đồng thời hai mặt tương phản của nó là cái nền tảng chìm khuất và cái hiện hữu nổi trội. Nền tảng của Vũ Trụ hình học là Không Gian. Không Gian có cấu tạo như một khối mạng từ vô vàn điểm Không Gian. Điểm KG là đơn vị nhỏ nhất tuyệt đối của Vũ Trụ hình học và lấp đầy Vũ Trụ ấy. Trong cái Vũ Trụ hình học vừa ảo vừa siêu hình thì do “tác động” từ bên ngoài (và “ông chủ” của những tác động ấy chính là con người tư duy, nhận thức!), mà các điểm (tương đối), đường, mặt, khối xuất hiện, tạo nên bộ phận hiện hữu trên cái nền tảng Không Gian của nó. Chúng ta nói rằng, dù có mô tả tốt đến mấy bản chất Không gian của Vũ Trụ khách quan thì Vũ Trụ hình học vẫn là một cơ thể siêu hình ghê gớm và vẫn không bao giờ “đủ sức” mô phỏng được “linh hồn” của Không Gian vì nó vẫn còn thiếu một biểu hiện cơ bản của Thực Tại Khách Quan là Thời Gian.
Giả sử rằng trong Vũ Trụ hình học, chúng ta thấy một đường thẳng a (xem hình 2). Đường thẳng a chính là tập hợp của vô vàn điểm KG dã được làm cho hiện hữu và được sắp xếp theo một phương xác định nào đó.
Sau khi quan sát thấy thế thì rồi sớm muộn gì chúng ta cũng phải hồn nhiên tự hỏi: có bao nhiêu điểm KG làm nên đường thẳng a? Hỏi nhưng không bao giờ trả lời được vì hai đầu nút của a đã vượt ra ngoài tầm quan sát của chúng ta và có vẻ như mỗi đầu nút đi về hai phía ngược nhau và ở đâu đó tại “hai đầu nỗi nhớ” của sự vô tận.
Thực ra, vì điểm KG tuyệt đối là vô cùng nhỏ so với năng lực cảm nhận của con người nên nó luôn ở ngoài tầm quan sát của chúng ta và chìm khuất - rất “sâu” đến có vẻ như vô tận. Chúng ta thấy được đường thẳng a vì nó là tập hợp của những thực thể tạm gọi là “điểm KG tương đối”. Điểm KG tương đối là tập hợp một số lượng nào đó những điểm KG tuyệt đối, và chúng ta từ nay gọi nó một cách gọn lại là “điểm”.
Hình 2: Đôi điều về Vũ Trụ hình học
Dù chúng ta không thể đếm hết được điểm của đường thẳng a thì vẫn có thể đếm được n điểm trong một khoảng nào đó của a. Khoảng đó được gọi là “đoạn thẳng”. Giả sử chúng ta có đoạn thẳng OA (gồm n điểm) của đường thẳng a hiện hữu ở hình 2. Rõ ràng, đơn vị nhỏ nhất làm nên đoạn thẳng ấy là “bề dày” của điểm. Có thể nói, bề dày của điểm trên a (hay OA) cũng chính là khoảng cách hoặc đoạn thẳng nhỏ nhất tự nhiên (không theo qui ước) của a (hay OA). Vậy thì khoảng cách giữa điểm O và A là bao nhiêu? Nếu qui ước tính luôn cả bản thân hai điểm ấy thì nó là:
Nếu chúng ta chọn thứ nguyên nào đó cho 
thì còn được gọi là “đơn vị đo khoảng cách (hay độ dài) tự nhiên” của đường thẳng a. Vậy 
cũng là độ dài của đoạn thẳng 
. Tuy nhiên trong thực tế, để tạo điều kiện thuận lợi cho việc nghiên cứu, khảo sát và tính toán, người ta thường chọn một đoạn thẳng nhất định nào đó làm đơn vị độ dài và gọi là “đơn vị đo độ dài theo qui ước”. Chẳng hạn trên hình 2, chúng ta đã chọn đơn vị độ dài của đường thẳng a là 
và như vậy, độ dài của đoạn thẳng OA là bằng 7 đơn vị.
thì còn được gọi là “đơn vị đo khoảng cách (hay độ dài) tự nhiên” của đường thẳng a. Vậy cũng là độ dài của đoạn thẳng . Tuy nhiên trong thực tế, để tạo điều kiện thuận lợi cho việc nghiên cứu, khảo sát và tính toán, người ta thường chọn một đoạn thẳng nhất định nào đó làm đơn vị độ dài và gọi là “đơn vị đo độ dài theo qui ước”. Chẳng hạn trên hình 2, chúng ta đã chọn đơn vị độ dài của đường thẳng a là và như vậy, độ dài của đoạn thẳng OA là bằng 7 đơn vị.
Hiển nhiên là khi đã có được đơn vị độ dài rồi thì chúng ta có thể xác lập được mọi đoạn thẳng có độ dài ngắn khác nhau để xây dựng nên một dãy các đoạn thẳng có độ dài tương đương với dãy số đếm tự nhiên trong Vũ trụ số.
Vì Vũ trụ hình học có tính vô tận nên cũng có vô vàn các đường thẳng cùng phương với đường thẳng a để xây dựng được vô vàn dãy các đoạn thẳng tự nhiên. Vô vàn những đường thẳng đồng phương với a còn được gọi là những đường thẳng song song với nó và với nhau. (Thực ra, khái niệm “đồng phương” là rất “bấp bênh”. Ở đây, chúng ta tạm hiểu: các đường thẳng đồng phương là các đường thẳng song song với nhau; mặt phẳng đồng phương chỉ chứa các đường thẳng song song và nếu 2 tập hợp đường thẳng của 2 mặt phẳng đồng phương cũng song song với nhau thì 2 mặt phẳng đó đồng phương với nhau). Vô vàn những đường thẳng đồng phương sẽ tạo lập được vô vàn những mặt phẳng đồng phương và từ đó mà cũng hình thành nên một không gian đồng phương. Trong không gian đồng phương, tất cả các đoạn thẳng đều đồng phương và chỉ có các đoạn thẳng đồng phương mới thuộc về nó. Trong không gian đó, nếu các phép toán được thực hiện tự do thì chúng ta sẽ có đủ các lực lượng đoạn thẳng: tự nhiên, nguyên, hữu tỷ, vô tỷ và phức hợp. Có thể nói không gian đồng phương là “hình ảnh trực quan” của Vũ trụ số và tương đương với Vũ trụ số về mặt lực lượng.
Trong không gian đồng phương, khi đã xuất hiện những đoạn thẳng nguyên thì coi như bản thân nó cũng phân thành hai chiều tương phản âm - dương. Lúc này, các đoạn thẳng được gọi là các “véc tơ” và những véc tơ cùng chiều được gọi là “những véc tơ cùng phương chiều” hay “những véc tơ đồng hướng”. Chúng ta cho rằng không gian đồng phương chỉ có hai chiều tương phản âm - dương.
Tính đầy đủ của Vũ trụ hình học đòi hỏi nếu đường thẳng a hiện hữu được thì những đường thẳng không đồng phương với a cũng có thể hiện hữu; chẳng hạn trên mặt phẳng hình 2 là đường thẳng b không đồng phương với đường thẳng a và cắt đường thẳng a tại điểm B.
Tương tự như đường thẳng a, đường thẳng b cũng có vô vàn những đường thẳng song song với nó và chúng cũng lập nên một không gian đồng phương. Không gian đồng phương chứa đường thẳng b rõ ràng là không trùng với không gian đồng phương chứa đường thẳng a. Không gian đồng phương chứa đường thẳng b cũng là “hình ảnh trực quan” của Vũ trụ số và có lực lượng tương đương với Vũ trụ số.
Có thể suy ra rằng có vô số không gian đồng phương (tương đương với Vũ trụ số về lực lượng), cùng tồn tại trong Vũ trụ hình học, chồng chất lên nhau nhưng không trùng nhau về phương chiều vì có vô số không gian đồng phương nên Vũ trụ hình học cũng có vô số hướng (phương và chiều) và cũng tương đương với vô số Vũ trụ số (có nội tại như nhau nhưng khác nhau về phương). Vô hình dung, Vũ trụ hình học bao hàm Vũ trụ số và là sự mở rộng của Vũ trụ số.
Tính đầy đủ của Tự Nhiên Tồn Tại đã làm cho trong Vũ trụ hình học không những chỉ hiện hữu đường thẳng (để mà có các mặt phẳng và những hình khối tuyến tính) mà còn có những đường cong, đường sóng, nói chung là những đường luôn thay đổi phương chiều (để mà có các mặt không phẳng và những hình khối phi tuyến tính). Về mặt nào đó, có thể cho rằng Vũ trụ hình học có vô số loại không gian được tạo dựng nên từ hai lực lượng tương phản thẳng và tròn, mà về đại thể có thể coi Vũ trụ hình học gồm hai bộ phận tuyến tính và phi tuyến tính vừa tương đối độc lập nhau, vừa quan hệ chặt chẽ với nhau và là tiền đề tồn tại của nhau. Như vậy, Vũ trụ hình học là một Vũ trụ đa tạp nhưng thống nhất, các không gian khác nhau của nó, bằng các phép quay, tịnh tiến, chiếu… nào đấy đều có thể được chuyển hóa thành nhau; và các nguyên lý cơ bản nhất của Vũ trụ hình học luôn đúng trong mọi không gian của nó…
Chúng ta tạm dừng những phát biểu to tát nhưng “vô minh” ở đây để quay lại với “ông bạn nhỏ” của mình là đoạn thẳng OA.
Trên hình 2, chúng ta thấy ngay độ dài của OA là:
Nếu chúng ta “bẻ gãy” đoạn OA tại B và quay đoạn BA quanh B cho nó trùng với đường thẳng b (lúc này, vì BA nằm trên đường thẳng b nên nó không thuộc đường thẳng a nữa mà thuộc đường thẳng b, và chúng ta gọi tên mới là BD). Vậy thì khoảng cách OA lúc này, hay đúng hơn là OD là bao nhiêu? Nếu không còn hiện hữu một “con đường” nào khác nữa đi từ O đến D, thì chúng ta có quyền nói rằng khoảng cách từ O đến D lúc này là:
Tuy nhiên, vì thấy được mối lợi to lớn nếu tạo được tuyến đường “chim bay” OD trên đường thẳng d nên người ta đã làm hiện hữu đoạn thẳng OD. Về mặt trực quan thì chúng ta thấy rằng đoạn thẳng OD ngắn hơn đoạn thẳng gãy khúc OBD. Vậy thì nó bằng bao nhiêu?
Từ D, chúng ta “dóng” một đường vuông góc với OA và cắt OA tại F (“rất may”, OF là một đoạn thẳng tự nhiên và bằng 6). Theo định lý Pitago thì:
Suy ra:
và rõ ràng là một đoạn thẳng vô tỷ.
Nhưng không sao, vì cũng theo định lý Pitago thì:
Đến đây thì không thể “không sao” được nữa vì 
là một đoạn thẳng cũng vô tỷ. Một đoạn thẳng vô tỷ lại hiện hữu chắc nịch như một đoạn thẳng tự nhiên là điều cần phải suy ngẫm và giải thích minh bạch.
là một đoạn thẳng cũng vô tỷ. Một đoạn thẳng vô tỷ lại hiện hữu chắc nịch như một đoạn thẳng tự nhiên là điều cần phải suy ngẫm và giải thích minh bạch.
Suy ngẫm, suy ngẫm và cứ thế suy ngẫm đã làm cho chúng ta “té ngửa” thấy điều này: sự vô tỷ không tồn tại trong Thực tại khách quan mà chỉ trong tâm trí con người, nghĩa là trong thực tại ảo. Tuy nhiên, thực tại ảo là của con người, mà con người là một bộ phận của Tự Nhiên Tồn Tại, cho nên sự vô tỷ cũng là thuộc Thực tại khách quan. Có thể nói, nguồn gốc của sự vô tỷ là tính tư duy tự do một cách cực đoan của con người và cũng nhờ tính tư duy tự do một cách cực đoan đó mà sự vô tỷ cũng luôn có thể bị triệt tiêu. Ví dụ như 
sẽ cho ra số vô tỷ, nhưng nếu chúng ta chọn lại đơn vị sao cho 2 bằng 4 thì = 2 (với 2 được tính theo đơn vị mới) lại là một số tự nhiên. Trong trường hợp đoạn thẳng vô tỷ DF hay OD cũng vậy, chúng chỉ vô tỷ so với đơn vị độ dài đã qui ước và đối với nhiều phương khác với phương của hai đường thẳng chứa chúng hoặc theo sự lựa chọn độ dài qui ước không phù hợp với chúng chứ thực ra chúng vẫn là những đoạn thẳng tự nhiên và luôn luôn được xác định. Chẳng hạn đối với đoạn thẳng OD, khi phải nhận đơn vị độ dài của đường thẳng a cho mình thì so với độ dài ấy, nó bằng 
và được cho là độ dài vô tỷ. Tuy nhiên, nếu OD được chọn là đơn vị đo độ dài của đường thẳng d hoặc bằng 49 đơn vị độ dài của đường thẳng d thì:
sẽ cho ra số vô tỷ, nhưng nếu chúng ta chọn lại đơn vị sao cho 2 bằng 4 thì = 2 (với 2 được tính theo đơn vị mới) lại là một số tự nhiên. Trong trường hợp đoạn thẳng vô tỷ DF hay OD cũng vậy, chúng chỉ vô tỷ so với đơn vị độ dài đã qui ước và đối với nhiều phương khác với phương của hai đường thẳng chứa chúng hoặc theo sự lựa chọn độ dài qui ước không phù hợp với chúng chứ thực ra chúng vẫn là những đoạn thẳng tự nhiên và luôn luôn được xác định. Chẳng hạn đối với đoạn thẳng OD, khi phải nhận đơn vị độ dài của đường thẳng a cho mình thì so với độ dài ấy, nó bằng và được cho là độ dài vô tỷ. Tuy nhiên, nếu OD được chọn là đơn vị đo độ dài của đường thẳng d hoặc bằng 49 đơn vị độ dài của đường thẳng d thì:
Đó là những khoảng cách (hay độ dài) tự nhiên của đường thẳng d.
Trong nhiều trường hợp ngẫu nhiên thì không cần phải qui ước lại đơn vị độ dài trong phương mới, OD vẫn là một đoạn thẳng tự nhiên. Chẳng hạn, nếu chúng ta xoay tiếp BD đến trùng với đường thẳng c, vuông góc với a tại B, và ở vị trí mới này chúng ta gọi BD là BC, thì không cần qui ước lại đơn vị độ dài (nghĩa là đơn vị độ dài của đường thẳng c cũng là đơn vị độ dài của đường thẳng a), OC vẫn là đoạn thẳng có độ dài tự nhiên. Lúc đó, chúng ta có được một bộ ba đoạn thẳng Pitago là 4, 3, 5 vì chính xác là:
42 + 32 = 52
Bây giờ, chúng ta đưa ra bài toán:
Hiển nhiên, chúng ta sẽ được một đoạn thẳng trên đường thẳng a có độ dài bằng:
4 x 3 = 12
Điều hiển nhiên ở trên thực ra là không hiển nhiên vì nó đã phạm vào một “nan đề” cũ của chúng ta là độ dài nhân với độ dài không bao giờ bằng độ dài mà phải bằng độ dài bình phương. Độ dài bình phương là một thứ nguyên khác với thứ nguyên độ dài đơn thuần, cho nên bài toán trên, trong trường hợp này là không giải được. Muốn thực hiện được bài toán thì chỉ một trong hai thừa số nhân 3 hoặc 4 biểu thị độ dài, số còn lại phải là một số đếm (hoặc số lần mà độ dài được “nhân lên”).
Tình hình sẽ khó khăn hơn nữa nếu đoạn thẳng BA không còn thuộc về đường thẳng a nữa mà quay sang thuộc về đường thẳng b và biến thành BD. Bài toán đưa ra ở trên, lúc này trở nên tổng quát hơn:
Bài toán mới này làm cho đã “nan đề” lại càng chồng chất thêm “nan đề”.
Phải nói rằng tinh thần của toán học, như lịch sử của nó đã chứng minh, là vô cùng bất khuất và cực kỳ bền bỉ trên con đường đi chinh phục những bí ẩn và thách đố đối với nó. Ở đây, để giải quyết cái “ách tắc” ghê gớm của bài toán, toán học đã sáng tạo ra một phương tiện tính toán tuyệt vời, đó là: “Lượng giác”. Nhờ có lượng giác mà một trong hai thừa số có bản chất độ dài nói trên bị triệt tiêu thứ nguyên, hoặc nếu không triệt tiêu thì cũng chỉ ra rõ ràng kết quả là có lý, và do đó mà bài toán được giải quyết dễ dàng.
Theo lượng giác, trong một tam giác vuông, nếu gọi một trong hai góc không vuông là anfa (
), cạnh vuông kề với nó là cạnh kề, cạnh vuông đối diện với nó là cạnh đối và cạnh còn lại là cạnh huyền, thì được qui ước:
), cạnh vuông kề với nó là cạnh kề, cạnh vuông đối diện với nó là cạnh đối và cạnh còn lại là cạnh huyền, thì được qui ước:
Trong tam giác vuông FDB (ký hiệu: 
FDB), điều trên được thể hiện cụ thể như sau:
FDB), điều trên được thể hiện cụ thể như sau:
Toán học quan niệm rằng, khi BA nằm “chệch” phương khỏi đường thẳng a thì đối với đường thẳng a, nó đã bị loại trừ khỏi danh sách các đoạn thẳng thuộc a và hơn nữa là bị loại trừ khỏi không gian đồng phương chứa a. Lúc này BA đã thuộc về đường thẳng b, biến thành đoạn thẳng BD và dù giá trị thực về độ dài của nó vẫn là 3 thì theo góc độ quan sát của a, giá trị đó đã bị “co rút” lại, chỉ còn bằng hình chiếu vuông góc của BD xuống a, đó là đoạn 
. Như vậy, ở trạng thái không gian của hình 2 và theo sự nhìn nhận của a thì:
. Như vậy, ở trạng thái không gian của hình 2 và theo sự nhìn nhận của a thì:
Đó là một đoạn thẳng của a, được hình thành do đoạn 
bị “kích hoạt” lên BF lần (BF lúc này phải đóng vai trò như một con số đơn thuần)
bị “kích hoạt” lên BF lần (BF lúc này phải đóng vai trò như một con số đơn thuần)
Vì 
nên toán học đưa ra khái niệm “tích vô hướng của các véctơ” và biểu diễn:
(vì không qui ước chiều nên đây là một đoạn thẳng!)
Biểu thức đó có thể làm cho a mãn nguyện, chứ đối với chúng ta, những kẻ đứng ở bên ngoài Vũ trụ hình học quan sát với một quan điểm “trung dung” hơn, thì lại chả có gì gọi là mãn nguyện. Vì rằng lực lượng ở hai vế của biểu thức đã không bằng nhau khi 
. Lực lượng từ vế trái chuyển hóa sang vế phải, đã bị “bốc hơi” đi đâu. (Thậm chí là “bốc hơi” hoàn toàn khi 
!).
. Lực lượng từ vế trái chuyển hóa sang vế phải, đã bị “bốc hơi” đi đâu. (Thậm chí là “bốc hơi” hoàn toàn khi !).
Nguyên lý bảo toàn không gian mách bảo rằng lượng bị hao hụt đó không thể hóa thành Hư Vô được, nó phải tồn tại và chỉ có thể đang lẩn khuất đâu đó mà thôi.
Vậy thì nó lẩn khuất ở đâu? Lại chăm chú quan sát, lại suy ngẫm quẩn quanh! Bậc tiền bối nói: đường đi khó không phải vì ngăn sông cách núi mà vì lòng người ngại núi e sông. Ngay từ đầu chúng ta đã biết chắc rằng con đường mà chúng ta chọn cho cuộc hành trình của mình là vô cùng trắc trở bởi vì nó… vô lối. Không một kẻ tỉnh táo nào, dù có mường tượng ra được, lại chấp nhận đi trên con đường phải luôn đối đầu với những thử thách ghê gớm mà nếu có đánh đổi cả một đời, chấp nhận mọi đày ải thì cũng chưa chắc đến được nơi cần đến. Chính sự đam mê cực kỳ mãnh liệt trước những biến ảo kỳ bí của những cái hiển nhiên tầm thường (như số 1 chẳng hạn) đã làm cho chúng ta chọn con đường ấy, và vì luôn ở trạng thái cuồng si tột độ (rất gần, gần đến bao nhiêu cũng được đối với điên loạn, nhưng chưa điên loạn!) nên chúng ta đi mà chẳng thấy nhọc nhằn gì, thậm chí còn coi những cuộc vượt núi băng sông, luồn rừng lách rú chỉ là những trò… “đá cá lăn dưa” đầy thi vị. Nếu đã ngại núi e sông thì giờ này chúng ta làm sao có mặt ở đây một cách cô độc hơn cả… “đơn thương độc mã”?
Nói nghêu ngao thế chứ lần này việc “đá cá lăn dưa” có vẻ khó khăn đây! Phải nói, Toán học là cực kỳ ngoan cường trên bước đường chinh phục của nó. Hơn nữa, Toán học là thực sự tài giỏi. Nó tài giỏi ở chỗ, nhiều khi để vượt qua những thách đố hóc búa, nó tạm thời cũng giở trò “đá cá lăn dưa”, nhưng sau đó vẫn quay về được với những xác đáng, đích thực. Dù sao thì đến nay, toán học vẫn chưa đi trọn con đường phải đi của nó cho nên theo thiển ý của chúng ta, vẫn còn những kết quả xác đáng, đích thực mà nó đưa ra, chưa đạt mức đầy đủ. Chúng ta noi gương cái tinh thần bất khuất vô song của toán học; khâm phục cái trí tuệ tuyệt vời của nó, yêu quí cái tâm hồn thi sĩ của nó, nhưng đồng thời, cũng vâng lời Đềcác: hoài nghi tất cả một khi chưa chắc chắn được về sự rõ ràng và sáng sủa. Thế thì khi đã suy ngẫm nhiều rồi mà chưa giải quyết được vấn đề gì, cứ thế mà… suy ngẫm tiếp tục thôi!
Chúng ta lại suy ngẫm triền miên trong khi mắt trừng trừng quan sát hình 2.
Vẫn chẳng nghĩ ra được điều gì hay ho, vẫn mù tịt. Sự bế tắc trong suy tư thường làm cho tâm thần mệt mỏi rất nhanh. Chúng ta đã bắt đầu uể oải, mắt đã hoa lên. Những minh họa trên hình 2 vốn dĩ bất động, bỗng cựa quậy, nhấp nhổm như một đám người bị phù thủng làm cho cứng đờ đột nhiên bừng tỉnh. Rồi như được tăng cường sinh khí, hình 2 trở nên ồn ào, náo nhiệt khác thường: các đường, các đoạn, các giao điểm đua nhau hiện lên, đua nhau biến mất, cái này hóa thành cái kia, cái kia hóa thành cái nọ, đan xen nhau, chồng chéo nhau ngổn ngang mà cũng đầy ý tứ. Thật kỳ dị! Không còn nghi ngờ gì nữa, sự hoang tưởng của chúng ta đã bước vào trạng thái thăng hoa cao độ.
Nhưng hoang tưởng ra như thế phỏng có ích lợi gì cho việc giải quyết cái mắc mứu toán học mà chúng ta đang quan tâm và nỗ lực giải quyết? Thật là phí phạm trí não! Nghĩ vậy, chúng ta bèn lấy tay dụi mắt, vò đầu, bẻ cổ răng rắc và nhanh chóng hoàn hồn trở lại.
Tuy nhiên, dù đã “hạ hỏa”, chúng ta vẫn không thể nào “tống cổ” được cái quang cảnh quá ư sôi sục, xô bồ xô bộn vừa qua ra khỏi tâm khảm. Nó đã gây ra một ấn tượng quá mạnh, làm chúng ta mất hết những ý nghĩ mà chúng ta… muốn nghĩ, mất hết những suy tư toán học mà chúng ta rất cần trong lúc này. Lạ lùng nhất là nó cứ gợi nhớ về một thời xa lắc, thời mà chúng ta còn vật vã trong đói khát, lăn xả khắp nơi, làm bất cứ việc gì miễn là lương thiện vì miếng cơm manh áo, để rồi sau khi đã trở nên sung túc, có nhà có cửa thì trăn trở sôi sục, quyết một phen vươn lên giàu sang phú quí và… thất bại thảm hại, suýt chút nữa thì trở về với cảnh vô gia cư, đói khát như xưa…
Sự hồi tưởng làm chúng ta rùng mình. Sự rùng mình làm hiện lên trước mắt chúng ta một công trường dựng xây vĩ đại.
Sau chiến thắng vĩ đại, trào dâng niềm hứng khởi vĩ đại với những tuyên bố hào sảng vĩ đại. Vì biện chứng mà cực đoan, tự do dân chủ mà duy ý chí, duy lý mà mê tín, cho nên tự do lại bế tắc, độc lập lại hà khắc dẫn đến sự bối rối, lẩn quẩn vĩ đại quanh “giá - lương - tiền”. Khi sự hứng khởi vĩ đại biến thành sự cụt hứng vĩ đại thì lẽ tự nhiên phải dẫn đến sự hoang mang vĩ đại để nung nấu một cuộc bứt phá vĩ đại mà mở đầu là cuộc “đổi mới tư duy” vĩ đại. Nhờ có cuộc đổi mới tư duy vĩ đại mà có cuộc giải thoát đói nghèo vĩ đại làm trào dâng một tinh thần lạc quan vĩ đại về một tương lai sung túc trong một xứ sở nước non biếc xanh, an khang thịnh vượng.
Người nông dân, mà có lẽ ai cũng vậy chứ không riêng gì họ, khi đã thoát kiếp đói nghèo, có chút của ăn của để, rồi thì nghĩ ngay đến việc duy trì, mở rộng công ăn chuyện làm cũng như tu bổ, củng cố nơi ăn chốn ở tươm tất hơn, đẹp đẽ hơn, cao rộng hơn cho cuộc sống thoải mái hơn đồng thời cũng hãnh diện hơn trước bà con lối xóm, trước bàn dân thiên hạ. Điều đó hoàn toàn chính đáng mà cũng hợp lý, nếu nó được dự trù cẩn thận, suy tính kỹ lưỡng trên cơ sở “liệu cơm gắp mắm”. Còn không, coi chừng tai họa!
Xét ở tầm vĩ mô cũng vậy. Khi đã thoát ra được khỏi tình trạng xơ xác, tiêu điều và có được một ngân sách tương đối dồi dào, thì bất cứ quốc gia nào cũng bắt tay vào việc xây dựng cơ sở hạ tầng ngày một qui mô hiện đại nhằm đáp ứng yêu cầu của nền kinh tế ngày một phát triển, phục vụ cho quốc kế dân sinh. Đương nhiên là phải như thế và muốn thế thì bước đầu tiên là xác định mục đích, dự tính, lên kế hoạch “dài hơi” cũng như “ngắn hơi” để rồi quy hoạch ưu tiên “dài hạn” cũng như “ngắn hạn” và tiến hành xây dựng từng bước, từng phần hay cấp tập, ồ ạt. Việc định hướng đúng đắn một cách cơ bản ngay từ đầu cho quá trình xây dựng và phát triển kinh tế đối với một quốc gia là vô cùng quan trọng. Bởi vì nó không những quyết định đến tính hiệu quả, khả thi, thỏa mãn chính xác nhu cầu có thực của xã hội hiện tại mà còn gây ảnh hưởng mạnh mẽ trong tương lai về mọi lĩnh vực như: môi trường sinh thái, phân bố dân cư, xu thế tiêu dùng xã hội, sự bình ổn của công ăn việc làm, của đời sống người dân…, thậm chí là đến cả vận mệnh của quá trình xây dựng phát triển kinh tế tiếp theo.
Muốn định hướng đúng thì phải có một tầm nhìn chiến lược đúng. Muốn có tầm nhìn chiến lược đúng thì phải có những bộ não tư duy đúng. Muốn tư duy đúng thì trước hết phải tỉnh táo, bình tĩnh, không những phải tài giỏi mà còn phải đức độ nữa. Tài giỏi và đức độ thể hiện ở chỗ thấu triệt được mối quan hệ giữa bảo tồn và đổi mới, giữa hiện tại và tương lai, giữa chung và riêng, giữa sở trường và sở đoản, giữa “của ăn” và “của để”, giữa thừa và thiếu, giữa còn và mất, giữa “ăn chắc mặc bền” và “ăn xổi ở thì”…, trên cơ sở quan niệm: xây dựng và phát triển kinh tế là đòi hỏi khách quan của đời sống xã hội cho nên mục đích tối hậu của nó là phục vụ cho đời sống xã hội, tạo khả năng cho mỗi cuộc đời người dân đều được sống trong công bằng, bác ái, an vui và ngày một sung túc, không phải cho riêng thế hệ hôm nay, cũng không phải cho riêng thế hệ mai sau, mà cho cả hai. Nói cụ thể hơn, xây dựng và phát triển kinh tế là một nảy sinh tất yếu từ đòi hỏi khách quan của đời sống xã hội nhưng lại được định đoạt bởi ý chí chủ quan của con người. Mà ý chí con người thì do còn hạn chế về nhận thức tự nhiên - xã hội và cũng do không thể thoát ly được cái nền tảng cảm thức mê muội bản năng, cho nên không phải ai, không phải lúc nào cũng hoàn toàn sáng suốt. Vì vậy mà cần phải vô cùng thận trọng trong việc đề ra “tầm vóc chiến lược”, hết sức đề cao cảnh giác đối với chính mình, đừng để bị “dắt mũi” bởi những tham vọng vĩ đại, “dụ khị” vĩ đại, khờ khạo vĩ đại và cả “đục nước béo cò” vĩ đại.
Người nông dân nhờ nền kinh tế khởi sắc mà thoát kiếp đói nghèo. Chuyện rằng có một bác nông dân ở vùng đất giáp ranh, không phải nông thôn cũng chưa là phố thị, nhưng đồng ruộng, vườn tược còn nhiều nên gọi là nông thôn vẫn đúng hơn. Vào thời kỳ đất đai “sốt” giá, theo “phong trào thi đua” bán đất, bác cũng trích ra bán bớt ít ruộng vườn và được một đống tiền to. Bỗng nhiên trời cho một khoản kếch xù mà trước đó chỉ mơ thôi cũng chẳng dám, bác nông dân và gia đình bác ngây ngất quá chừng. Lúc đầu bác cũng chỉ trích ra một ít để trang trải nợ nần lặt vặt và mua sắm vài thứ đồ dùng tiện nghi cho sinh hoạt gia đình. Số còn lại thì bác vẫn giữ khư khư vì đắn đo, chưa biết “xài” như thế nào cho phải phép. Bác nông dân cũng như nhiều người lối xóm đang lưỡng lự thì các đại gia “hảo tâm”, các nhà mối lái “nghĩa khí”, các nhà quảng cáo “chân thành” cùng xồng xộc xông tới làng quê, rao giảng mê ly và bày ra mọi thứ hào nhoáng, choáng ngợp của nền văn minh hiện đại phương Tây. Thế là sau phong trào thi đua bán bớt đất đai vườn ruộng để cải thiện đời sống, thì xuất hiện phong trào thi đua tiêu dùng “hàng xịn” theo kiểu “con gà tức nhau tiếng gáy”. Bác nông dân nọ dù sao vẫn còn bị ám ảnh bởi sự nghèo khổ mới qua nên vẫn rụt rè, có phần sợ sệt.
Đúng thật là văn minh hiện đại có tính cám dỗ ghê gớm. Nó chế ngự lý trí và kích hoạt thèm muốn bản năng lên cao độ. Và khi thèm muốn bản năng đã thoát khỏi sự kìm tỏa của lý trí thì nó sẽ lồng lên bất kham. Không thể ngoại lệ, bác nông dân cũng bị tác động mãnh liệt, tuy nhiên bác không lâm vào tình trạng đến nỗi như thế.
Giá đất tiếp tục “sốt”, bác nông dân nhẩm tính: “Ruộng vườn của mình còn bao la, bán đi một miếng nhỏ nữa cũng chẳng “xi nhê” gì. Chậc! Đời người là mấy nả! Cứ quần quật mãi trên ruộng vườn rõ là chẳng bao giờ giàu nổi. Mà không khéo, người ta còn cho là đứa cù lần, được hưởng mà không biết hưởng, để vợ con nhếch nhác nghèo khổ”. Thế là bác nông dân lại “thu hoạch” được một khoản tiền “khủng”. Cũng bán miếng đất nhỏ bằng lần trước nhưng lại được số tiền gấp đôi lần trước nên lần này, bác nông dân không rụt rè nữa mà “chơi cho chúng biết tay” (chúng nó là những ai thì không nghe bác nói!). Bác sắm cho mỗi thằng con lớn một chiếc xe gắn máy “đời mới” láng coóng, một điện thoại di động không biết “ngon” cỡ nào mà giá tiền bằng mua con heo thịt cỡ 1 tạ. Thế rồi bác nghe theo lời mách bảo, thuê một anh kiến trúc sư ở tận một thành phố lớn về thiết kế chỗ gia đình bác đang ở. Vẽ vời xong, anh kiến trúc sư này “tiện thể” giới thiệu cho bác một ông thầu xây mà anh ta khen ngợi hết lời về tay nghề và bác đồng ý luôn. Không lâu sau đó, một cơ ngơi “vật vã” nghễu nghện trên toàn bộ “thổ cư” của bác nông dân. Tất cả đột nhiên thay đổi. Thay cho sự khiêm nhường, hồn nhiên, bình lặng và dung dị là sự huênh hoang, khiên cưỡng, ồn ã và hào nhoáng…
Nghe đâu bác nông dân còn bán thêm vài lần đất nữa vì những thằng con của bác, đã có gia đình riêng, cứ nằng nặc muốn bán để chia chác chứ chẳng thiết tha với công việc ruộng vườn “quê kệch”, khó mà giàu xổi lên được.
Câu chuyện về bác nông dân nọ, chúng ta chỉ biết có thế. Đó là câu chuyện buồn hay vui, kết thúc có hậu không, chúng ta không thể biết được. Bác nông dân hành động như thế là khôn hay dại, là thức thời hay nhanh nhẩu đoảng, chúng ta cũng không biết nốt. Trong dân gian Việt Nam có câu chuyện “Thằng Bờm” thật ý nhị. Có thể là lạc lõng nhưng chúng ta cũng cứ kể ra đây cho… vui:
“Thằng Bờm có cái quạt mo
Phú ông xin đổi ba bò chín trâu
Bờm rằng Bờm chẳng lấy trâu
Phú ông xin đổi một xâu cá mè
Bờm rằng Bờm chẳng lấy mè
Phú ông xin đổi một bè gỗ lim
Bờm rằng Bờm chẳng lấy lim
Phú ông xin đổi con chim đồi mồi
Bờm rằng Bờm chẳng lấy mồi
Phú ông xin đổi nắm xôi, Bờm cười”.
Thế rồi thằng Bờm có đổi cái quạt mo lấy nắm xôi không, đố ai biết đấy?!
Bẵng đi một dạo khá lâu, cũng cỡ khoảng 8 năm sau ngày bác nông dân xây dựng xong cơ đồ từ tiền bán ruộng đất của ông cha để lại, trước khi lên đường thực hiện cuộc hành trình này, chúng ta có dịp đi qua vùng quê ấy và thấy sừng sững một bản sơ đồ qui hoạch “hùng tráng”. Chắc đến giờ này một khu công nghiệp vĩ đại đã lù lù ở đó và đang hoạt động cầm chừng chờ qua cơn khủng hoảng kinh tế toàn cầu.
Nhắc đến “Qui hoạch”, chúng ta lại nhớ về thời xa lắc ấy, thời mà chúng ta đã từng sống lăn lộn vì gạo tiền, sống phập phù buồn vui theo từng tin tức thực hư, theo từng thông báo về những cuộc giải tỏa - đền bù chồng chất, lê thê, dai dẳng trong một phố thị bành trướng nhanh đến chóng mặt và đồng thời cũng là một công trường phá - xây vĩ đại.
Các “dự án” mà công trường ấy “ra tay” thực hiện có nhiều đúng mà cũng không ít sai và từng là đề tài tranh luận hấp dẫn cho hơn một thế hệ con người sống ở đó. Không biết có bao nhiêu cuộc đời lận đận vì nó, nhưng chắc chắn có nhiều “tai to mặt lớn” hôm nay nhờ nó mà “tích lũy tư bản” được rất khá từ hai bàn tay trắng và đồng lương tháng “vì nhân dân phục vụ”. Chẳng ai có thể đếm xuể được những câu chuyện đàm tiếu cười ra nước mắt lan truyền trong bàn dân thiên hạ về cái công trường phá - xây vĩ đại đó.
Như đã nói, qui hoạch là tất yếu trong quá trình phát triển kinh tế của một quốc gia. Do đó, vấn đề ở đây không phải là qui hoạch hay không qui hoạch mà là qui hoạch và triển khai thực hiện qui hoạch như thế nào. Không thể phủ nhận được rằng có nhiều dự án đẹp đẽ, hợp lý đã trở thành hiện thực và phục vụ đắc lực, đầy hiệu quả trong xã hội. Nhưng cũng không ít dự án “tròn trịa” như thế đã bị biến dạng, méo mó đến nực cười (chưa kể bị “rút ruột”!) trong quá trình được thực thi. Đó là chưa nói đến những “dự án thế kỷ” không biết được sinh ra trên cơ sở đạo lý nào.
Cần thấy rằng, xây và phá là hai quá trình liên quan đến nhau. Không có phá thì không có xây và ngược lại không có xây thì cũng chẳng có phá. Thậm chí, có thể “đại ngôn” rằng, tạo dựng là một quá trình thống nhất gồm hai quá trình bộ phận là phá và xây. Hai quá trình đó là tiền đề tồn tại của nhau, cho nên không có cuộc dựng xây nào lại không bắt đầu từ sự khai phá (phá những tạo dựng có trước như thành quả tạo dựng của thiên nhiên, thành quả lao động của con người trong quá khứ…).
Vì qui hoạch là gắn liền với dựng xây, cho nên nó cũng liên quan mật thiết đến phá hoại. Nếu qui hoạch không khéo và hơn nữa là phạm sai lầm, làm cho yếu tố phá hoại tiềm tàng trong nó trở nên nổi trội thì đó chính là tai họa. Có những tai họa dễ thấy như làm xáo trộn đời sống trước đó vốn dĩ bình ổn của dân cư trong một thời gian quá dài, làm hao tiền tốn của của dân một cách vô ích, làm xấu đi nghiêm trọng môi trường sinh thái…, nhưng cũng có những tai họa khó thấy như làm giảm tiềm lực quốc gia, gây ra những bất hợp lý, không phù hợp trong phát triển kinh tế đối với đặc thù của đất nước, thậm chí trở thành chướng ngại phải phá bỏ trong một tương lai gần…
Từ đó mà thấy qui hoạch là một công việc cực kỳ khó, đòi hỏi phải có cái trí, cái tâm cao độ. Từ cảm hứng vĩ đại có thể làm ra dự án vĩ đại về một công trình dựng xây vĩ đại mà khi thực thi tất nhiên cũng sẽ đòi hỏi một chi phí vĩ đại, và nếu không khéo sẽ trở thành một khoản nợ nước ngoài vĩ đại làm kiệt quệ ngày mai…
Ôi! Cái công trình phá - xây vĩ đại thời xa lắc ấy đã hoàn tất chưa? Và giờ này, phố thị quê hương chúng ta đã đồ sộ đến mức nào rồi? Đột nhiên chúng ta nhớ đến người bạn rượu, quen từ thuở hàn vi. Kể cũng buồn cười, từ một kẻ thất nghiệp, khố rách áo ôm thời “bao cấp”, nhờ chuyển chỗ ở vài lần trong thời “đổi mới” mà ông bạn đó “hốt” được một mớ tiền khá bộn làm vốn để rồi chẳng mấy chốc trở thành một “đại gia” kinh doanh bất động sản. Có thể dựa vào hình 2, vì nó na ná như cái phố thị mà chúng ta ở trước đây, để kể câu chuyện làm giàu “nhẹ nhàng” đến lạ lùng của ông bạn rượu. Chuyện thế này:
Hồi đó, nếu trung tâm phố thị là điểm B thì chúng ta ở tại điểm O và nhà ông bạn ở điểm A. Nếu đoạn OB là 12km thì đoạn BA là 9km. Nghĩa là để đến nhà bạn, chúng ta phải qua B và đi tổng cộng là 21km. Đó là một quãng đường khá xa vào thời phương tiện đi lại chủ yếu bằng xe đạp. Vì thế mà chúng ta và ông bạn cũng ít có dịp gặp nhau.
“Đổi mới” được một thời gian không lâu thì khu vực A thuộc diện qui hoạch để làm khu công nghiệp. Ông bạn đến gặp chúng ta rủ đi nhậu và rầu rĩ báo “hung tin” đó, than thở số phận hẩm hiu. Số tiền đền bù nhận được khi đó chẳng đáng là bao, không thể mua được căn nhà phố dù chỉ nhỏ gấp đôi căn nhà cũ. (Do dư luận lên án ghê quá nên những lần giải tỏa về sau số tiền đền bù có tăng lên nhiều). Chúng ta góp ý kiến: đã lỡ rồi thì thà đi cho xa mà mua được đất rộng. Ông bạn gật gù: chắc phải thế thật chứ còn cách nào hay hơn nữa đâu.
Khoảng 2 tháng sau, ông bạn thông báo đã mua được miếng đất D ở vùng ngoại vi phố thị và đang cất nhà ở đó. Vào một ngày chủ nhật, chúng ta tìm đường đến D chơi. Vì chưa có đường BD nên muốn đến được D, chúng ta phải đi một đoạn OF dài 18 km trên đại lộ rồi từ F đi đoạn đường đất FD dài khoảng 6,7 km nữa. Tổng cộng, chúng ta phải đi khoảng 24,7 km mới đến được D (xa hơn quãng đường trước đây từ chỗ chúng ta đến nhà cũ của ông bạn). Phải nói ông bạn mua được mảnh đất vườn vuông vức, rất đẹp. Nó rộng đúng 2 công đất (2000 m2) và đã có sẵn cả chục cây ăn trái nhiều loại.
Gặp nhau, ông bạn mừng quá xé phay luôn hai con gà làm bữa nhậu. Suốt buổi khề khà, ông bạn cứ nói đi nói lại một cách khoái chí rằng, tưởng xui hóa hên, tự dưng được “lên” địa chủ, lại có được nghề chăn nuôi heo, gà thu nhập cũng được, thôi, cầu cho cứ thế này mãi là ổn…
Đường xa, mà cũng vì bận túi bụi việc làm ăn nên bẵng đi khá lâu, chúng ta không về D chơi được. Ông bạn cũng bặt vô âm tín, chẳng có tin tức gì.
Công trường phá - xây có phần đơn điệu với nhịp độ “tàn tàn” thuở ban đầu, lúc này bỗng mở rộng qui mô, bước vào giai đoạn hoạt động cao trào, hùng hổ, “dữ tợn” chưa từng thấy và trở nên vĩ đại. Có thể đó là tình trạng cộng hưởng do nhiều yếu tố đồng thời tác động như: sự mạnh lên của nội lực, được ngoại lực hà hơi tiếp sức, nhu cầu thực tế, cảm hứng yêu thích sự vĩ đại phương Tây, dễ làm giàu lúc giao thời…, và trong số đó, chắc chắn có cả sự lũng đoạn của những mưu đồ mờ ám. Cái phố thị nhỏ bé mà xưa kia từng được ví von là “Hòn ngọc viễn đông” theo đó mà ngày một đồ sộ. Sự phì đại, bành trướng của nó ra xung quanh, nhanh đến chóng mặt. Từng cơn sốt giá đất hầm hập nối tiếp nhau nổi lên, lan tỏa khắp nơi làm rúng động, băng hoại biết bao nhiêu tâm hồn con người và cũng làm tan nát biết bao nhiêu nghĩa tình. Thế là vùng ngoại ô D bị phố thị “ngoạm” mất, trở thành nội ô. Cảnh săc làng quê vườn tược ở đó vĩnh viễn biến mất. Một con đường nhựa thênh thang, thẳng tắp xuất hiện nối trung tâm phố thị B với D.
Khi con đường BD xuất hiện thì nghe phong phanh giá đất ở D vọt lên hơn 20 lần so với lúc ông bạn mới mua - chúng ta kháo nhau, xuýt xoa mừng cho ông bạn và cũng có phần ghen tỵ với sự quá ư may mắn của ông ta.
Nhưng sự may mắn của ông bạn nhậu đâu đã dừng ở đó. Một lần có việc, chúng ta đến trung tâm B và tình cờ gặp ông bạn. Cả hai đều quá đỗi vui mừng nên tạm gác lại mọi chuyện, lôi nhau vào một quán gần đó thi nhau… nốc bia. Chúng ta gật gù khen số ông bạn được phần sung sướng, rồi hỏi han tình hình “đô thị hóa” ở D. Ông bạn cười ha hả mà rằng: “Hồi đó mấy ông xui xẻo như tớ thì bây giờ giàu to rồi… Chưa đâu, giá đất ở D còn vọt lên nữa khi xuất hiện con đường OD. Người ta buộc phải làm con đường đó để giải quyết nạn kẹt xe ở B… Rồi mấy ông xem!...”. Chúng ta trố mắt nhìn ông bạn: khẩu khí của ông này thật đanh thép và hùng hồn, khác hẳn cách nói đứt quãng như hết hơi ngày trước, khi ông ta còn là một thanh niên với trình độ học vấn ở khoảng giữa chương trình phổ thông, vô công rỗi nghề, thường tìm chúng ta để chủ yếu là nhậu ké bia “đối chứng”. Để tỏ rõ thức thời, chúng ta nêu ra ý tưởng: “ Bây giờ mà mua được miếng đất đâu đó, dọc đường OD tương lai, để đó vài năm nữa bán lại, chắc hốt bạc”. Ông bạn lại cười ha hả: “Chán mấy ông bỏ mẹ! Kinh doanh là phải đi trước đón đầu… Tớ cũng “đón” được mấy miếng ở đó rồi… Bây giờ mà mấy ông đến đó, đố mua được miếng đất “ngon” nào. Vì người ta đều “găm” lại, chờ thời và cũng vì giá ở đó đã rất cao, thậm chí có chỗ còn cao hơn cả ở D nữa. Lúc này, chả ma nào dại mà đâm đầu vào đấy!...” Rồi ông bạn chồm tới, hạ thấp giọng: “Này, chỗ bạn bè với nhau, tớ khuyên thật lòng: nếu có tiền thì đến ngay huyện C mà mua đất. Ở đó đất hãy còn rẻ lắm và trước sau gì cũng thành một quận nội thành. Tin đi! Một khi khởi công làm con đường OD, người ta đồng thời cũng “ra quân” để khởi công con đường BC và con đường OC… Chúng ta lại một phen “được” ngạc nhiên: “Ông làm sao mà biết được như thế? Báo chí, TV có “nói năng” gì đâu!...”. Ông bạn khoái chí ra mặt, thì thầm: “Tớ có quen với mấy “lão” ở Sở Qui hoạch… Thật ra, nhiều khi cũng chẳng cần phải hỏi, cứ thấy mấy lão rủ nhau mua đất ở đâu thì mình mua ngay đất bên cạnh đó, chắc chắn là… trúng đậm!”.
Cuộc nhậu rồi cũng tàn. Ông bạn nhất quyết đòi trả tiền, bao cả bọn. Trước lúc bắt tay chào tạm biệt, ông bạn chìa cho chúng ta một tấm danh thiếp, rồi nói: “Khi nào có dịp ghé nhà tớ chơi. Hiện nay tớ không ở D nữa mà dời sang D’ rồi.”. Ông bạn phóng xe và mất dạng trong tích tắc. Nhìn kỹ danh thiếp chúng ta đọc thấy tên, họ, số điện thoại của ông bạn và sau đó là dòng chữ: “Môi giới mua bán, sang nhượng nhà đất”. Té ra, bạn chúng ta đã thành… “cò đất”.
Những thông tin của ông bạn trong cuộc nhậu đó rồi cũng lần lượt thành hiện thực. Phố thị đã đổi thay hoàn toàn: một khối bê tông đồ sộ chiếm lĩnh một khu vực đất đai mênh mông.
Chúng ta vẫn ở lại O, chẳng đi đâu cả. O theo thời gian, cũng vươn lên thành khu thị tứ ồn ào, xô bồ xô bộn với đủ mọi thành phần dân cư. Vì cũng là đầu mối của nhiều tuyến giao thông, vận chuyển vật tư hàng hóa nên cả ngày lẫn đêm lúc nào cũng đầy bụi, đất đỏ, rác rến vung vãi khắp nơi…
Có thể là do số kiếp mà cũng có thể là do bất tài vô tướng, chúng ta làm ăn đến mức hơi khấm khá một chút thì chững lại. Sau khi bị cùng một lúc sáu “trí thức lưu manh” trong đối tác làm ăn quịt nợ mà tổng số tiền qui ra theo thời giá là ngót ngét 100 cây vàng bốn số chín, thì ước mơ vươn lên giàu sang phú quí của chúng ta tan vỡ hoàn toàn. Buồn nản, chúng ta rửa tay, gác kiếm, trao lại binh quyền cho “em út” rồi lui về… xó phòng, ngồi ngẫm nghĩ sự trớ trêu của cuộc đời. Trong một lần ngồi suy tư sầu muộn như thế, chúng ta chợt thấy lóe lên một tia sáng chói ở tít trên cao xanh. Tia sáng đó thật lạ lùng! Nó cứ “đọng” mãi trong tâm khảm, làm chúng ta có cảm giác khắc khoải trong đợi chờ và cả cái cảm giác như là tia sáng đó hối thúc ghê gớm rằng, hãy tìm cho ra xuất xứ đích thực của nó. Thế là theo định mệnh, chúng ta răm rắp chuẩn bị hành tranh và lên đường thiên lý cho đến nay.
Tuy nhiên, trước khi lên đường, nhớ ơn ông bạn cò đất đã cho chúng ta vay tiền lúc nguy khốn, chúng ta đến D’ để chào tạm biệt. Sau hai chặng đường OB và BD’ thì đến nhà ông bạn. Nhưng ông bạn đã dời đi, không còn ở đó nữa. Hỏi chủ nhân mới, thì ra ông bạn đã chuyển về E, chỉ cách chỗ chúng ta ở 3 km. Chúng ta đành quay về B rồi về E và cảm thấy hơi bị… lộn ruột. Địa chỉ mới của ông bạn cũng dễ tìm. Đó là một tòa nhà mặt tiền bề thế, có sân rộng, cây to, xây “nhái” theo kiểu nhà địa chủ thời Pháp thuộc. Trên đầu cổng có một tấm bảng to đề dòng chữ nổi: “Công ty cổ phần địa ốc Hùng Tráng”.
Lâu không gặp, thấy ông bạn biến tướng nhiều quá: bụng phình to, căng tròn như bà bầu sắp đến cữ, mập phì đến mất cả cổ. Tay bắt mặt mừng xong, ông bạn nói như phân trần: “Mới chuyển trụ sở về đây, định đi thăm mấy ông nhưng công việc còn ngổn ngang quá… Tìm tớ có chuyện gì không?” Giọng nói của ông ta đã thoảng tiếng phì phò của hơi thở. Sợ bạn hiểu lầm đến nhờ vả, mượn tiền, chúng ta vội nói: “Sắp phải đi xa nên đến chào từ biệt ông đây!”. Ông bạn trợn mắt: “Ấy chết! Bị giải tỏa á? Định đi đâu? Đừng có lấy tiền đền bù mà mua nhà ở khu Đông - Bắc! Nghe lời tớ đi, về đó không khôn ngoan đâu. Hãy về mấy huyện ngoại ô ở vùng Tây - Nam mà mua đất, đất ruộng cũng được, rất rẻ. Tương lai của vùng ngoại ô Tây - Nam rất sáng lạn, có khi còn sáng lạn hơn cả trường hợp khu D ngày xưa. Tớ dời công ty về đây để tiện lợi cho việc mở hướng làm ăn đến đó đấy. Này, những dòng chữ đầu tiên của dự án qui hoạch vùng Tây - Nam phố thị đã được viết ra. Tin tớ đi!”. Chúng ta cười rầu rầu: “Không, ở O hết giải tỏa rồi. Đời sống cũng tạm ổn. Đi vì ý thích thôi!”. Ông bạn ngớ người, cụt hứng: “Thế à! Thì thôi, đi đâu cũng nhớ điện thoại về báo tin, thăm hỏi bạn bè đấy nhé!”.
Chúng ta đã không bao giờ điện thoại! Chúng ta đã hóa thành một lũ nhóc đầy tự ti thuộc về thế giới vô cùng nhỏ, còn ông bạn kia thì đã là một khổng lồ, thành viên khả kính của thế giới vô cùng lớn. Hơn nữa, con đường chúng ta đi rất hãn hữu qua miền phủ sóng. Chẳng hạn như lúc này đây, dù có chiếc điện thoại tối tân, đời mới nhất thì cũng hoàn toàn vô tích sự.
Vùng Tây - Nam phố thị hồi đó (ở hình 2 là vùng phía dưới con đường OA) “trống trơn” và thoáng đãng, bây giờ chắc là đã dày đặc nhà cao tầng với chi chít ngang dọc đường nhựa và chồng chất cầu vượt bằng bê tông cốt thép. Ông bạn chúng ta đã gặt hái thêm được bao nhiêu “của ăn của để” trong sự nghiệp phá - xây, bê tông hóa làng quê, biến ruộng vườn thành phố thị, nhà xưởng, sân gôn ở đó?
Chỉ cần “đi” xung quanh trung tâm phố thị B trong khoảng mươi, mười lăm năm, ông bạn của chúng ta đã vụt lên thành một khổng lồ về tiền tài, địa vị và danh tiếng. Kể ra, như thế cũng thật là tài tình vì chúng ta biết chắc rằng ông bạn là người đàng hoàng, tử tế, không bao giờ làm điều bất lương trong cái thời buổi cát bụi mù mịt ấy, khi mà có biết bao nhiêu kẻ mưu đồ kiếm chác một cách tội lỗi đã bị vạch mặt, phải tù tội, phải “dựa cột” (thay cho đoạn đầu dài thời phong kiến), nhưng số đó chỉ như phần nổi của một tảng băng chìm…
Tảng băng chìm? Ừ nhỉ! Tảng băng trôi lênh đênh trên đại dương bao giờ cũng có hai phần chìm, nổi và nếu quan sát ở xa, từ trên cạn thì chúng ta chỉ nhìn thấy phần nổi không đáng kể so với phần chìm của nó mà thôi. Cũng có thể lấy hình tượng tảng băng chìm để minh họa cho “sự nghiệp” tham nhũng “ghê hồn” của không ít “nô bộc” thời ấy. Trong thời xa lắc, nếu xét về mặt qui mô lan tỏa cũng như sự “trường tồn”, dai dẳng thì tham nhũng cũng vĩ đại không kém công cuộc qui hoạch phá - xây, “nhà tài trợ” chủ yếu của nó. Nếu xét về mặt công lao thì trong mọi cuộc mưu đồ và làm giàu, mưu đồ và làm giàu bằng cách xà xẻo, tham nhũng tài sản quốc gia (sách nhiễu đòi hối lộ thực ra cũng là một dạng tham nhũng, nhìn ở góc độ này thì nó có tính gián tiếp, nhìn ở góc độ kia thì lại có tính trực tiếp, bởi vì đều là sự ăn trộm, cướp bóc tiền bạc, của cải quần chúng) là bất chính nhất, là có tội lớn nhất, nặng nhất đối với dân với nước. Còn xét về mặt đức độ thì tham nhũng thường là những kẻ giả nhân giả nghĩa “ngoại hạng” bởi vì phía sau bộ mặt liêm chính, nghĩa khí không chê vào đâu được là một tâm hồn suy đồi cũng không thể chê vào đâu được. Điều lạ là đã tham nhũng được một lần thì luôn tìm cách tham nhũng lần nữa, mà lần sau thường “bạo” hơn lần trước, hết “thiên thời” thì tự tạo ra “thiên thời” để cứ thế mà tham nhũng, và như một luật lệ, tham nhũng càng “bạo” thì càng phung phí, càng cúng to, càng xài sang và càng sống thác loạn, nhơ nhuốc. Vì thế mà những kẻ tham nhũng “kinh niên” có lẽ là những kẻ trơ tráo nhất đồng thời lại hay giật mình lo lắng nhất trên thế gian. Đó cũng chính là những kịch sĩ đóng vai nhân vật chính diện hoàn hảo nhất, tài tình nhất trong mọi thời đại. Cuối cùng thì theo chúng ta, cái “đặc tính ác liệt” nhất của sự nghiệp tham nhũng là không những nó biết kéo bè kéo cánh, tổ chức xây dựng và phát triển lực lượng “cùng hội cùng thuyền” một cách “đồng bộ”, chặt chẽ, “có trên có dưới”, mà còn biết gửi gắm, chuyển giao thế hệ và “hạ cánh an toàn” một cách kỳ diệu để về hưu, an hưởng tuổi già trước không ít những lời tán tụng của đám kế thừa cũng như trong sự trọng vọng của đàn cháu con…
Hồi tưởng và nghĩ ngợi vẩn vơ, “lê thê lếch thếch” có tác dụng rất tốt là tạo được sự nghỉ ngơi cần thiết đối với một bộ não đang bị rối bời bởi sự bế tắc. Đúng vậy thật! Đến đây, tâm trí của chúng ta đã hoàn hồn và tỉnh táo trở lại. Trước mắt chúng ta, hình 2 đã không còn sống động kiểu xô bồ xô bộn nữa mà đã ở trong trạng thái tĩnh tại “đâu ra đó” vốn dĩ của nó. Thế là vấn đề toán học mà chúng ta chưa giải quyết được lại hiện ra.
Rất có thể sự biểu diễn tích vô hướng của hai véctơ có vẻ “không công bằng” như vậy là có nguồn gốc từ cách biểu diễn toán học về tổng của hai véctơ. Cho nên chắc là chúng ta lại phải bắt đầu từ đó.
Nhìn hình 2, một cách trực quan và chỉ chú ý tới độ dài thôi thì rõ ràng:
Tuy nhiên, nếu chú ý tới cả phương chiều của các đoạn thẳng (nghĩa là coi chúng là những véctơ) thì biểu diễn theo toán học phải là:
Có lạ lùng không? Không, vì hiển nhiên là phải thế! Có, vì hiển nhiên là không phải thế! Biết nói thế nào được nhỉ? Hay nói như thế này có rõ ràng hơn không? Vì hiện thực vừa là thực tại vừa không phải thực tại nên nhìn như thế nào thì phải biểu diễn như thế ấy và vì có nhiều cách nhìn đối với cùng một hiện tượng nên cũng có nhiều cách biểu diễn? Chẳng sáng sủa gì, thậm chí còn mù mịt hơn!
Biết đâu chừng lúc đầu tiên, toán học cũng phải lúng túng trước sự lạ lùng đó nhưng rồi nó phải buộc chấp nhận vì không còn cách biểu diễn nào khác. Cần thấy rằng việc biểu diễn phương chiều trong toán học là do yêu cầu của quan sát có “tính vật lý” và của nghiên cứu vật lý. Nói đến véctơ là nói đến chuyển động (thẳng), mà đã nói đến chuyển động thì phải nghĩ ngay đến sự biểu hiện của thời gian. Chính vì thế mà có thể nói nếu biểu diễn thứ nhất là đơn thuần toán học thì biểu diễn thứ hai là biểu diễn một hiện tượng chuyển động bằng những qui ước và ký hiệu toán học. (Ở đây không thể liên tưởng đến hiện tượng phân tích và tổng hợp lực được).
Đối với biểu diễn thứ hai, để giải nghĩa nó cho “bùi tai”, phải dùng ngôn ngữ vật lý, và có thể nói thế này:
Dù chuyển động từ O đến A và từ O đến B rồi từ B đến D là bằng nhau về độ dài quãng đường, nhưng đó là hai chuyển động khác nhau vì điểm đến của chúng là khác nhau; dù chuyển động từ O đến B rồi từ B đến D và từ O đến D hoàn toàn khác nhau về độ dài quãng đường và cả về phương chiều thì chúng cũng giống nhau ở chỗ đích đến cuối cùng đều là điểm D. Hơn nữa, khi viết:
thì cần tưởng tượng rằng, theo cách nào đó, quá trình chuyển động ở vế trái và quá trình chuyển động ở vế phải là hai quá trình chuyển động hoàn toàn khác nhau nhưng cùng đến D tương đương nhau về mặt thời gian. Nghĩa là nếu quá trình từ O đến D là một chuyển động đều trong t thời gian thì trong thế giới hoàn toàn là ảo mộng, có thể tìm thấy một trong những “hình lôgic” của nó một chuyển động đồng thời với hai vận tốc sao cho trong t thời gian vừa đến được điểm B vừa đến được điểm B’, hoặc trong hiện thực cũng có thể có một chuyển độngđều khác, cũng đến D trong thời gian t, được gọi là tương đương với nó. Trường hợp cụ thể ở đây, chuyển động đều khác đó chính là quá trình từ O đến B rồi tiếp tục đến D. Nếu gọi vận tốc chuyển động từ O đến D là v1 và vận tốc chuyển động từ O đến B rồi đến D là v2, thì có thể biểu diễn lần lượt là:
Do đó:
Vì 
nên tất yếu là 
để tồn tại dấu “bằng” trong biểu diễn toán học đó. Có thể viết dưới dạng véctơ:
nên tất yếu là để tồn tại dấu “bằng” trong biểu diễn toán học đó. Có thể viết dưới dạng véctơ:
Tuy nhiên, vì toán học thuần túy rất “ghét” thời gian cho nên nó không “thích” biểu diễn như thế. Hơn nữa, nhờ vào “thế mạnh” hình học của mình, nó cứ “khăng khăng” rằng:
và diễn giải theo cách riêng, phi thời gian và khó tin về mặt trực giác. Có thể thấy sự biểu diễn đồng thời:
và 
là rất “phản cảm”. Nhưng nếu hiện thực không có những biểu hiện tiềm tàng có tính chất như vậy thì toán học cũng không thể sáng tạo ra được cách biểu diễn có vẻ “nhập nhèm”, gây “thất thoát” ấy. Rõ ràng cách biểu diễn trên đã gây ra ảo giác co giãn không gian mà cụ thể ở đây là co rút độ dài khi một đoạn thẳng chuyển hóa thành một véctơ. (Nghĩa là không cần “chờ” đến phát hiện của Anhstanh mới thấy được điều đó!).
Nói đến thất thoát lại nhớ đến… tham nhũng. Rất khó phát hiện những tham nhũng nhỏ cũng như lớn vì những kẻ tham nhũng vô cùng tài giỏi trong việc “báo cáo láo”. Phải chăng một trong những yếu tố quan trọng làm nên sự tài giỏi của những “nhà” báo cáo láo chính là sự “biến hóa” của những con số gây ra bởi sự “nhập nhèm” của các biểu diễn toán học?
Câu hỏi đó, đột nhiên, làm cho đầu não của chúng ta bừng tỏ! Thì ra, có thể dùng ngay hình 2 và sự “nhập nhèm” của toán học (có sự “nhập nhèm” một phần là do yếu tố khách quan, nhưng chủ yếu là do yếu tố chủ quan như kém hiểu biết hoặc cố tình vờ vịt… gây nên) để kể một cách điển hình về “thành quả” đạt được của tham nhũng trong công cuộc phá - xây, đưa một quốc gia có truyền thống và sở trường sản xuất nông - lâm - ngư nghiệp thành một quốc gia có nền công nghiệp hiện đại, chế tạo được đủ thứ mà các quốc gia khác có thể chế tạo được, biến một đại chúng đã có thói quen sống căn cơ, chừng mực thành một lực lượng “người tiêu dùng” vĩ đại. Ở đây, chúng ta không thèm kể đến những thủ đoạn tham nhũng trắng trợn như: “rút ruột công trình”, kê khống số lượng hạng mục công trình đầu tư (chẳng hạn tháo dỡ công trình cũ, tận dụng vật tư cũ lắp ráp thành công trình khác cũ, rồi sơn phết lại gọi là đầu tư xây lắp công trình mới!)…, không thèm nhắc đến những xin xỏ, vòi vĩnh hèn mọn nhiều khi chỉ là những khoản tiền đủ mua két bia, chai rượu xảy ra nhan nhản ở khắp nơi có hiện diện công quyền, mà chỉ kể về loại tham nhũng “có tình có lý” hơn và chủ yếu là muốn thông qua đó để làm sáng tỏ vấn đề toán học mà chúng ta đang rất quan tâm.
Trước khi bước vào công cuộc phá - xây, phố thị chỉ là đoạn quốc lộ OA có nhà cửa san sát hai bên mà trung tâm (nơi có cái chợ chính) là B, với một nền sản xuất tiểu thủ công nghiệp èo uột, nhỏ lẻ, phục vụ chủ yếu cho nhu cầu tự cung tự cấp của địa phương (vì nạn ngăn sông cấm chợ, cấm luân chuyển hàng hóa giữa các địa phương với nhau; đó cũng chính là một trong những nguyên nhân làm xảy ra hiện tượng có những lượng vật tư, hàng hóa bị ứ đọng, tồn kho ở địa phương này vì dư thừa, vì không biết sử dụng vào việc gì, lại vô cùng quí báu và cần thiết đối với địa phương khác, mà “hồi đó”, nếu là của nhà nước thì được gọi là “hàng chậm luân chuyển”; không ít người thức thời, thấy ra vấn đề và đã có được “thu nhập” rất khá, thậm chí là gầy dựng được cả cơ nghiệp riêng tư từ “hàng chậm luân chuyển” ấy đấy!).
Khi nạn ngăn sông cấm chợ bị bãi bỏ thì nền tiểu thủ công nghiệp của phố thị cũng được cởi trói và vươn lên mạnh mẽ khác thường: vừa hoạt động hết công suất, vừa phải tranh thủ mở rộng về qui mô, thu hút nhân công, nâng cao kỹ thuật… Phố thị vì thế mà ngày càng chật chội, ồn ào và bụi bặm? Tình hình đó tất yếu dẫn đến phải qui hoạch lại phố thị. Và cuộc phá - xây vĩ đại bắt đầu! Phá - xây để đáp ứng lượng dân cư ngày một “dồi dào”, phá - xây để tập trung sản xuất công nghiệp lại một cách hợp lý hơn, giải phóng phố thị khỏi nạn ô nhiễm, phá - xây để phố thị trở thành đồ sộ, thênh thang, văn minh, hiện đại để xứng đáng “tầm vóc chiến lược” của nó đối với quốc gia, thỏa niềm tự hào trước châu lục và cả thế giới nữa.
Qui hoạch làm cho dự án khu công nghiệp ra đời. Thế thì chọn vị trí cho khu công nghiệp ở đâu? Khi phố thị chưa có bất kỳ một con đường “chiến lược” nào khác ngoài quốc lộ ra; do nhiều yếu tố có lợi trước mắt nào đó, chẳng hạn như gần trục lộ lưu thông, ít chi phí trong đền bù giải tỏa trong xây dựng cơ sở hạ tầng… và cũng có một phần chưa đủ sức “nhìn xa trông rộng” mà người ta đã chọn khu vực A.
Khi dự án xây dựng khu công nghiệp ở A được phê duyệt thì người ta bắt đầu lên dự toán và có được tổng chi phí đầu tư tạm tính của dự án. Trong tổng chi phí đó tất nhiên là có tổng chi phí vận chuyển (vật liệu xây dựng, đất, cát, đá…), nhưng để phục vụ cho ý đồ toán học của mình, chúng ta chỉ chú ý khoản chi phí vận chuyển trên quãng đường OA mà thôi. Chi phí vận chuyển đó gồm nhiều thứ như phí nhân công, phí xăng dầu, phí cầu đường, khấu hao phương tiện… Có thể qui tất cả các lượng chi phí đó về một biểu diễn lực lượng chung, gọi là “tiền”.
Với một đơn giá đất chung nào đó, cũng có thể qui số tiền chi phí vận chuyển nói trên ra một lượng diện tích đất nào đó. Ở đây có một câu hỏi tế nhị được nêu ra: vậy thì số tiền đó có thể qui ra thành một “lượng” đường nào đó được không? Có thể được mà cũng có thể không, tùy theo quan niệm và qui ước. Trong trường hợp này chúng ta cho rằng không qui đổi được. Lực lượng của vạn vật đều được gọi chung là lực lượng Không Gian vì xét cho cùng thì chúng đều được cấu thành nên từ những hạt KG. Do có sự biểu hiện đặc thù của mỗi vật trước quan sát - nhận thức và cũng do quan sát - nhận thức qui định mà lực lượng Không Gian của nó cũng mang nét đặc thù và có tên gọi riêng. Mặt phẳng (được qui ước) là không có độ dày (vì nếu nó thực sự phải có độ dày đi nữa thì nhận thức cũng khó mà quan niệm được), nên lực lượng Không Gian của nó được gọi là “diện tích”. Một diện tích nào đó nhất định phải là sự hợp thành của nhiều đơn vị diện tích. Đơn vị diện tích nhỏ tuyệt đối chính là “diện tích cắt ngang” của hạt KG. Nhưng không thể thấy được hạt KG nên diện tích cũng không thể hiện hữu trong hiện thực. Diện tích chỉ thực sự hiện hữu nếu đơn vị diện tích của nó có tính tương đối và được qui ước. Với quan niệm điểm là không có tiết diện thì cũng phải quan niệm đường “may” lắm là chỉ có bề dài chứ không có bề rộng, và do đó chúng chỉ có thể là yếu tố làm nên diện tích của mặt phẳng chứ không phải là diện tích. Có thể nói chúng hư vô đối với diện tích cho nên về mặt liên quan đến diện tích thì không thể qui đổi từ tiền ra điểm và đường được (mà cũng chẳng ai ngu dại gì đem tiền đi đổi lấy cái hư không!). Ngược lại, nếu quan niệm điểm là có tiết diện thì phải có những “cái gì đó” đóng vai trò là “điểm” hợp thành tiết diện của nó, hơn nữa phải quan niệm đường cũng có bề ngang và tương tự, đường cũng có thể là tập hợp của nhiều đường “nhỏ hơn”. Đó là những điều không thể hình dung được và nếu có hình dung được thì cũng không thể xác định được chắc chắn số lượng “điểm” làm nên điểm và số lượng “đường” làm nên đường là bao nhiêu. Không thể qui đổi tiền ra cái bất định được! Còn nếu khăng khăng đòi qui đổi tiền ra “lượng” đường cho bằng được thì phải coi đường là một diện tích chắc chắn xác định được trong hiện thực (hoặc phải hiểu “đường” ở đây là loại dùng để… ăn, chứ không phải để đi!).
Diện tích là kết quả tích hợp của hai đoạn đường cho nên thứ nguyên của nó là độ dài bình phương. Giả sử rằng, trong công cuộc phá - xây ở hình 2, người ta qui định một đơn vị khối lượng công trình chung, nghĩa là tổng khối lượng của bất cứ công trình nào đều là một tổng của các đơn vị khối lượng công trình. Thêm nữa, chi phí vận chuyển của mọi đơn vị khối lượng công trình là như nhau dù chúng ở đâu, miễn là độ dài quãng đường vận chuyển là bằng nhau.
Chúng ta cho rằng có thể chọn đơn vị độ dài quãng đường kết hợp với chọn đơn vị tiền tệ sao cho chi phí vận chuyển của một đơn vị khối lượng công trình, đúng bằng độ dài quãng đường vận chuyển bình phương.
Đến đây, sau khi đã “giải bày hết mọi nỗi niềm”, chúng ta sẽ xác định được chi phí vận chuyển của một đơn vị khối lượng công trình xây lắp khu công nghiệp A trên quãng đường OA là: 
, và có thể triển khai:
, và có thể triển khai:
Nếu viết dưới dạng véctơ thì theo qui ước toán học, vì 
và 
là trùng phương chiều nên:
và là trùng phương chiều nên:
Giả sử rằng chi phí vận chuyển đó đã được dự trù một cách chính xác. Nhờ thế mà trong suốt quá trình xây dựng khu công nghiệp A, một cách “danh chính ngôn thuận”, không thể tham nhũng bằng cách gian lận chi phí vận chuyển.
Trước khi triển khai xây dựng khu công nghiệp A thì phải tiến hành đền bù để giải phóng mặt bằng. Phần đông dân cư ở A đã di cư đến khu vực D để bắt đầu cuộc sống mới, làm xuất hiện một cuộc phá - xây tự phát với qui mô nhỏ lẻ ở đó. Theo thời gian, dân tứ xứ với đủ thành phần kéo đến khu vực D ngày một đông, làm cho nó trở nên nhộn nhịp hơn mà cũng nhếch nhác hơn. Tình hình đó gợi ra nhu cầu có thực là phải mở rộng và qui hoạch lại phố thị. Thế là một dự án phá - xây khu dân cư mới có chú ý tới tính hiện đại, bền vững, hài hòa về cảnh quan trên toàn khu vực D được phê duyệt (nhưng hình như quên, không chú ý đến sự thoát nước nên sau này ngập lụt trong mùa mưa đã trở thành vấn nạn ở đó!).
Vì khu vực D sau này sẽ là một bộ phận của phố thị, cho nên để tạo thế liên thông với trung tâm B và cũng để một công đôi việc, tạo điều kiện thuận lợi, dễ dàng cho quá trình thi công xây phá ở D, người ta gấp rút xây dựng đại lộ BD. Sau đó thì một bộ tổng dự toán công trình xây dựng khu vực D cũng được lập ra và vì nó rõ ràng và sáng sủa nên nhanh chóng được “thông qua” luôn.
Cơ quan có thẩm quyền nào đó, từng hoàn thành xuất sắc nhiệm vụ trong vai trò chủ đầu tư đối với công trình xây dựng khu công nghiệp A, đã được chỉ định làm chủ đầu tư. Ông “ chủ” này tỏ ra là một nhân vật đầy tâm huyết. Ít ai biết được thời chiến tranh cứu nước, trong khi bằng hữu động viên nhau tình nguyên lên đường ra mặt trận đền nợ nước, thì ông này khéo léo như bị buộc ở lại hậu phương. Ông đã tuyên bố với bằng hữu rằng, dù có ở lại hậu phương thì ông cũng hướng đến tiền tuyến và làm việc quên mình cho tiền tuyến. Nhưng sự thực hoàn toàn trái ngược: ngay từ thời đó ông đã có máu tham nhũng và tính thích hoạnh họe để đòi ăn của đút đã trở thành thói quen của ông. Sau chiến tranh vì đã có kinh nghiệm quản lý kinh tế và cũng tạo được chút ít thế lực nên ông vút lên như diều gặp gió, và đến thời “phá rào, mở cửa” thì ông đã chọn được một chỗ phù hợp không chê vào đâu được đối với “máu” và thói quen của ông.
Rất giỏi đọc dự toán và sơ đồ qui hoạch tổng thể cũng như khá hiểu toán học nên khi thấy chi phí vận chuyển của một đơn vị khối lượng công trình trên quãng đường OBD cũng được tính bằng với chi phí vận chuyển của một đơn vị khối lượng công trình trên quãng đường OBA (rõ ràng là phải bằng nhau vì 
), ông “chủ” ngay lập tức phát hiện ra một cơ hội kiếm chác to lớn từ chi phí vận chuyển. Thế là ông “lập trình” một kế hoạch và từng bước thực hiện.
), ông “chủ” ngay lập tức phát hiện ra một cơ hội kiếm chác to lớn từ chi phí vận chuyển. Thế là ông “lập trình” một kế hoạch và từng bước thực hiện.
Động thái đầu tiên, hợp với lẽ thường, ông “chủ” cho mời mấy ông tổng thầu đến. Giai đoạn đó chưa có lệ “đấu thầu” nên tất nhiên mấy ông “tổng” này đương nhiên được chỉ định vì đều dưới trướng ông “chủ” và hơn nữa đã “có ăn có chịu” với ông “chủ” từ thời xây dựng khu công nghiệp A. Cũng là điều đương nhiên, trong số các ông “tổng” đó có một, hai ông “tổng” được gọi là “đệ tử ruột” của ông “chủ” và luôn nhận được phần “thầu” to nhất.
Để tỏ ra khách quan, ông “chủ” đưa ra bộ dự toán đã được “trên” thông qua cho mấy ông “tổng” về nghiên cứu. Tuy nhiên ông “chủ” có “thòng” trước một câu thế này: “Theo tôi thì các hạng mục dự toán đều hợp lý. Riêng phần chi phí vận chuyển, các cậu phải xem lại. Bây giờ chất lượng đường xá, tốt hơn trước nhiều, phương tiện vận tải cũng hiện đại hơn nên chuyên chở cũng hiệu quả hơn, hơn nữa, đã có nhiều trường hợp bên bán vật tư nguyên liệu chấp nhận “bao” luôn cả chi phí vận chuyển…”
Đã quá quen, các ông “tổng” biết ngay ông “chủ” muốn gì nên “hú hé” nhau đi nhậu để bàn bạc thống nhất trong việc “giảm giá” chi phí vận chuyển cho ông “chủ”… sướng. Xong đâu đấy, họ nhất trí cử ông “tổng” có uy tín nhất (thực ra là đệ tử ruột) đến gặp ông “chủ” để đề xuất thử xem sao. Ông “chủ” nghe trình bày một cách lơ đãng, xong, vừa nhìn đệ tử ruột của mình, vừa cười hềnh hệch như đang “ngắm” một anh hề: “Tớ biết các cậu cũng khó khăn lắm nên “chả dám” bớt giá vận chuyển của các cậu. Không có các cậu thì làm gì có tớ. Nhưng một mình tớ thì làm sao đứng vững được ở đây để lo cho các cậu? Chính cậu cũng biết muốn trời cho thì phải cúng kiếng. Đâu phải bỗng dưng mà tớ được chỉ định là chủ đầu tư thực hiện dự án D… Thôi không nói nhiều nữa! Tớ cũng đã tính kỹ rồi nên quyết thế này nhé: chi phí vận chuyển trên một đơn vị khối lượng công trình “chốt” ở mức là:
Ông đệ tử ruột lè lưỡi, rồi than thở: “Ối giời ơi sếp ơi! Sếp mà “chốt” thế thì làm gì còn thịt xương nữa! Đã “gánh” bao nhiêu khoản rồi, bây giờ Sếp thêm khoản này nữa, chúng em chỉ còn “từ chết đến bị thương” thôi!...”
Ông “chủ” nhẹ nhàng trách yêu: “Cái cậu này buồn cười nhỉ!? Không phải là thêm khoản nào cả mà chi phí vận chuyển của các cậu vẫn được tính đúng định mức cũ, chỉ có điều tổng chi phí vận chuyển thực tế giảm xuống mà thôi. Các cậu đâu có mất thêm gì, thậm chí lại còn được lợi thêm ấy chứ!... Về nói nhỏ với anh em cứ yên tâm mà “ra quân”. Tớ sẽ… vẽ đường cho mà chạy… Nhưng này, nhớ kín đấy, rò rỉ ra là toi cả nút, biết chưa?!”. “Yes, sir!”.
Đúng ngày giờ định trước công cuộc phá - xây khu dân cư mới đã mở màn tại khu vực D với đỏ rực băng rôn, cớ xí, với rộn ràng kèn trống, với rôm rả những tràng “pháo tay” sau những lời phát biểu nghe “sướng quá”.
Mở màn xong thì… hãy đợi đấy! Bởi vì quá trình hợp đồng “khoán trắng” giữa các ông “tổng” và đám “thầu con” B, giữa đám “thầu con” B và lũ “thầu cháu” C… vẫn chưa ngã ngũ.
Thế rồi cuộc mặc cả, mè nheo, van vỉ cũng xong xuôi. Công cuộc phá - xây chính thức đi vào triển khai thực hiện.
Trong khoảng thời gian đó, có lẽ là nhờ tinh thần “chủ động sáng tạo” của ông “chủ”, nhiều cuộc họp tay đôi (ông “chủ” và ông dự án), tay ba (thêm ông dự toán), tay tư (thêm ông phố thị), tay năm (thêm ông cầu đường)… liên tiếp diễn ra, ở chốn công đường thì ít mà ở quán nhậu có “em út” để “gác tay” thì nhiều.
Khỏi phải nói, chính nhờ những cuộc họp đó mà việc xây dựng con đường giao thông “chiến lược” trực tuyến OD (lúc đầu không có trong dự án và được coi là một phát sinh bổ sung) được ưu tiên thực thi, hoàn thành trong một thời gian kỷ lục và được đưa vào sử dụng “vượt mức kế hoạch”, chi phí đền bù giải tỏa và thi công không tốn kém bao nhiêu nhờ chủ trương “nhà nước và nhân dân cùng làm”.
Sự xuất hiện con đường OD là kết quả trên cơ sở luận chứng rất xác đáng mà ông “chủ” là người trình bày, như sau:
- Thực trạng cho thấy ngay từ khi phá - xây khu công nghiệp A, ngày đêm luôn có hàng đoàn xe tải lớn nhỏ, kể cả xe công-ten-nơ qua lại trung tâm phố thị B gây tiếng ồn đinh tai nhức óc và khói bụi mù mịt. Nếu khu D bước vào giai đoạn cao trào phá - xây thì “luồng” xe vận tải qua B sẽ tăng lên bội phần. Hiện nay ngoài ồn và bụi, hiện tượng “kẹt đường” và tai nạn giao thông do xe tải gây ra ở B đã đến mức báo động, thì thử hỏi đến lúc đó tình hình ở B sẽ như thế nào? (Ông phố thị ngồi nghe, ứa nước mắt và gật gù lia lịa!).
- Từ ngày khu công nghiệp A bước vào hoạt động đến nay, không năm nào lại không phải tu bổ con đường OA do sức chịu tải thiết kế ban đầu của nó không đáp ứng nổi. Hơn nữa, do hệ thống ngầm như cấp thoát nước chẳng hạn bị xâm hại thường xuyên mà khắp đoạn đường OA, liên miên xảy ra sự đào lên lấp xuống và hiện tượng đó đã trở thành vấn nạn không biết đến bao giờ mới dứt cho dân chúng hết kêu ca, nguyền rủa. Điều chủ yếu là tiền ngân sách đáng lý phải đầu tư vào những việc ích nước lợi dân thì lại đổ vào những việc vô bổ như thế và hàng năm số tiền đó là bao nhiêu? Rồi đây, khi có thêm một lưu lượng xe tải nữa thì đoạn đường OB sẽ có hình thù như thế nào, và đoạn BD, hiện đang là đại lộ đẹp nhất phố thị, được các nhà ngoại cảm nổi tiếng cho là trục tâm linh của phố thị, được các nhà phong thủy chỉ ra là trục phát tài của phố thị, sẽ ra sao?! Cho nên trước mắt, để không làm nghiêm trọng thêm tình hình và bảo vệ được tuyến BD, phải cấp bách xây dựng con đường chiến lược OD. (Ai cũng tán thưởng, riêng ông cầu - đường có vẻ bực bội ra mặt nhưng không dám mở lời “vặn vẹo” vì… chí lý quá).
- Cuối cùng (ông “chủ” nhấn mạnh), rồi cũng sẽ đến lúc phải giải phóng con đường OA khỏi nạn xe tải. Nhưng theo ý kiến nhiều chuyên gia, việc đó cần phải suy xét kỹ, tiến hành thận trọng vì nếu không sẽ làm ảnh hưởng xấu đến hoạt động của khu công nghiệp A - trái tim kinh tế của phố thị. Trong một tương lai không xa, chắc chắn phải có một qui hoạch tổng thể và đồng bộ phố thị để phố thị vươn lên thành một thành phố văn minh, hiện đại với vẻ đẹp quắc thước, được tôn tạo bởi một mạng lưới đường xá, cầu vượt thực sự khoa học, có tính bền vững cao, tầm cỡ thế giới (nói đến đây ông “chủ” có liếc nhìn ông cầu - đường!). Chúng ta không làm được như thế, bỏ mặc cho phố thị nhếch nhác, là có tội với hậu thế. Hãy quyết tâm thực hiện cho bằng được, cho xong công trình vĩ mô đó trong phần đời còn lại của chúng ta và cũng coi đó là món quà của chúng ta tặng lại cho con cháu mai sau!...
Luận chứng của ông “chủ” được mọi người trong cuộc họp kể cả ông cầu - đường vỗ tay quá chừng. Người ta ca ngợi hết lời tầm nhìn sâu thấy rộng của ông “chủ”. Có người còn buột miệng: “Ăn cái gì mà giỏi ghê thật!”. Không giỏi sao được? Trong dự án qui hoạch khu D không một lời nói đến con đường OD (vì làm gì đã có nó) nên trong sơ đồ qui hoạch cũng không có bóng dáng của nó (vì ngoài tầm thể hiện). Vì không thấy nó đâu nên ông dự toán khi tính chi phí vận chuyển chỉ làm mỗi việc đơn giản là “bê” kết quả tính cho quãng đường OA “áp” cho quãng đường OBD (vì độ dài của chúng bằng nhau) là xong. Ông “chủ” thì ngay từ đầu đã thấy cái “thiếu hiểu biết” của ông dự án, nhưng ông chả dại gì tung hê ra sớm một cách khơi khơi vì trong đầu ông luôn thường trực một quyền mưu cực kỳ lợi hại, có từ thời Trung hoa cổ đại, đã trở thành kinh điển với tên gọi là “Hư hư thực thực” và một quyền mưu mà ông tự nghĩ ra, gọi là “Hãy đợi đấy!”.
Về mặt hiệu quả kinh tế trong vận chuyển thì sự xuất hiện tuyến đường OD là tất yếu. Nhưng trong luận chứng của mình, ông “chủ” không một lần đề cập đến vấn đề đó. Ấy vậy mà việc ưu tiên xây dựng con đường OD vẫn được duyệt. Thế mới tài tình!
Khi con đường OD được đưa vào sử dụng thì có lẽ, vui mừng nhất là các ông “tổng” và đám thầu con, cháu đang bước vào san lấp mặt bằng để chuẩn bị cho thi công chính thức ở D. Bởi vì chi phí vận chuyển thực tế của họ đã đúng như ông “chủ” phán quyết. Đúng là sự tiên tri “thần sầu quỉ khóc”, họ nghĩ như vậy…
Có thể thấy cụ thể cái hiệu quả kinh tế trong vận chuyển vật tư, nguyên liệu đến D do ông “chủ” tạo ra được như sau:
Khi chưa có con đường OD, chi phí vận chuyển cho một đơn vị khối lượng công trình đã được duyệt là:
Khi có OD thì chi phí đó phải giảm xuống còn:
Vậy hiệu quả kinh tế trong vận chuyển nói trên sẽ là:
Đó là thực tế. Nhưng trên giấy tờ thì khi quyết toán, chi phí vận chuyển vẫn là 
, nghĩa là:
, nghĩa là:
Chẳng có hiệu quả kinh tế nào ở đây cả!
Vì là thành quả “lao động sáng tạo” của mình nên ông “chủ” cho phép mình có quyền “tự quyết” số chênh lệch đó và “gửi gắm” nó cho các ông “tổng”.
Tham thì có tham nhưng ông “chủ”, một con người đã được “tôi luyện” tít từ thời còn chiến tranh, lại có tài “kinh bang tế thế”, chẳng dại dột gì mà “ăn” một mình cái “thành quả” khổng lồ đó, vì như thế chắc chắn là không thể “nuốt trôi” hết được. Trên đời này, người ta có thể thờ ơ về mặt này mặt nọ nhưng riêng chuyện tiền bạc thì đừng hòng qua mặt được ai. Thế là ông “chủ” trích một chút ít từ “quả núi thái sơn” chênh lệch đó cho anh em “tổng” gọi là để “cùng nhau vui vẻ” (chứ “chúng nó” thiếu gì các khoản “ăn được” khác!). Rồi ông trích ra một phần lớn từ đó để làm cái công việc mà không kẻ khôn ngoan nào không làm là “trải thảm” khắp đầu đuôi, từ “các bác” đến đám “bộ sậu” để gọi là “cùng chung hưởng lộc nước”. Ông chỉ giữ lại một phần ít ỏi cho mình. Gọi là ít ỏi nhưng vì chỉ một mình ông hưởng phần đó nên hóa ra nó cũng thực sự kếch xù!
Kể thêm rằng, nghe đâu sau đó chừng 6, 7 năm thì qui hoạch tổng thể phố thị ra đời. Vì con đường OA trở thành một trong những trục chính ở trung tâm nội thị nên xe tải nặng sẽ bị cấm lưu thông qua đó. Hơn nữa do phố thị bị biến dạng ghê gớm bởi sự bành trướng của nó nên khi ấy khu công nghiệp A sẽ không còn ở nơi “đắc địa” nữa. Qui hoạch tổng thể cho thấy ở C sẽ mọc lên một khu công nghiệp đồ sộ gấp mấy lần khu công nghiệp A, còn ở A sẽ được phá - xây thành khu phố thị mới với hàng loạt chung cư cao tầng.
Nếu thành lập khu công nghiệp ở C, tất nhiên phải làm đại lộ BC. Việc này được nêu rõ trong dự án. Tuy nhiên có điều lạ là trong đó vẫn không đề cập đến thi công con đường OC, một việc làm cũng tất yếu phải có như kinh nghiệm khi phá - xây khu D đã chỉ ra. Thế là ông dự toán “buộc phải” tính chi phí vận chuyển theo lộ trình OB’C.
Chúng ta hãy mường tượng cảnh ông “chủ” cười hềnh hệch trước sự cố tình “thiếu hiểu biết” của ông dự án, trước sự “lờ tịt” của ông dự toán, đồng thời biết rằng ông lại phải trình bày luận chứng để cho ra đời con đường OC một cách “hơi muộn” một chút, nhưng lần trình bày này không phải là theo sáng kiến của ông mà theo sự “gửi gắm” của người khác.
Câu chuyện điển hình về tham nhũng theo tưởng tượng của chúng ta là như vậy. Nhìn lại, có thể thấy trong khi kể chuyện, chúng ta đã “vô tình” phát hiện ra được cái lực lượng Không Gian không biết “bốc hơi” đâu mất khi nhân hai véctơ khác phương chiều với nhau, hóa ra đó chính là lượng mà ông “chủ” đã “hốt” được nhờ quyền mưu tuyệt luân của mình.
Đến đây, rốt cuộc, chúng ta đã có thể kết luận: một lực lượng Không Gian có tính phương chiều trong mặt phẳng, trong suốt quá trình tồn tại của nó, luôn bảo toàn. Trong trường hợp cụ thể ở đây, có thể biểu diễn:
Vì 
không đổi nên 
cũng không đổi. Hơn nữa, phải cho rằng đó cũng là một lực lượng Không Gian trong mặt phẳng và là một thành phần của lực lượng diện tích 
. Như trong câu chuyện về tham nhũng cho thấy thì có thể biểu diễn:
không đổi nên cũng không đổi. Hơn nữa, phải cho rằng đó cũng là một lực lượng Không Gian trong mặt phẳng và là một thành phần của lực lượng diện tích . Như trong câu chuyện về tham nhũng cho thấy thì có thể biểu diễn:
Với 
là góc lập bởi hai véctơ đó.
là góc lập bởi hai véctơ đó.
Biết rằng:
Nên cũng có thể viết:
Đến đây, chúng ta lại “tuyên bố”: tích của hai véctơ là một lực lượng diện tích gồm hai thành phần. Trong đó một thành phần gọi là tích vô hướng của các véctơ, còn thành phần kia được tạm gọi là “lượng còn tồn đọng” của tích hai véctơ đó. Tùy thuộc vào sự biến đổi của 
mà hai thành phần đó có thể chuyển hóa qua lại nhau sao cho tổng lực lượng diện tích luôn bảo toàn.
mà hai thành phần đó có thể chuyển hóa qua lại nhau sao cho tổng lực lượng diện tích luôn bảo toàn.
Biểu thức j gây cho chúng ta một ấn tượng rất mạnh về mặt vật lý. Nếu coi vế trái là lực lượng toàn phần của một vật chuyển động, thành phần đầu của vế phải là biểu hiện lực lượng chuyển động (động năng, động lượng) của nó và có tính nổi trội (quan sát được). Còn thành phần sau của vế phải có tính lặn, chìm khuất (không hoặc khó quan sát thấy), được gọi là lực lượng nội tại của vật chuyển động, thì chúng ta sẽ dễ dàng liên tưởng đến biểu thức tuyệt mỹ và cốt lõi nhất của vật lý là:
Qua biểu thức:
chúng ta còn thấy:
Đó chính là diện tích tam giác vuông OBC
Nghĩa là lúc này BD nằm trên đường thẳng c và biến thành BC, và diện tích OBCC’ là diện tích cực đại mà hai véctơ 
và 
có thể tích hợp nên được (và gọi là sự tích hợp hoàn toàn của hai véctơ).
và có thể tích hợp nên được (và gọi là sự tích hợp hoàn toàn của hai véctơ).
Theo định lý Pitago thì:
Cho nên 
còn có thể được viết thành:
còn có thể được viết thành:
Chúng ta thấy cần phải nói thêm về trường hợp tổng của hai đoạn thẳng cùng một đường thẳng: có OB và BA thì:
Nghĩa là: tổng của hai đoạn thẳng trên a bằng một đoạn thẳng cũng trên a.
Chúng ta bình phương 2 vế:
Hành động như thế, vô tình, chúng ta đã làm cho các độ dài không còn mang tính khoảng cách đơn thuần nữa mà còn mang cả tính diện tích, thậm chí, đúng hơn là phải coi kết quả sau khi bình phương thực thụ là những diện tích (ký hiệu là S).
Triển khai biểu thức trên, chúng ta được:
Có thể coi:
Và viết:
Tuy nhiên theo định lý Pitago thì:
Cho nên:
Cuối cùng:
Vậy: tổng diện tích của hai hình vuông nguyên (tự nhiên) luôn có kết quả là một hình vuông. Hình vuông này có thể là nguyên (tự nhiên) hoặc không nguyên so với hai hình vuông kia (nhưng đối với bản thân nó thì vẫn nguyên). Tổng quát hơn, có thể phát biểu: tuân theo Định lý lớn Fecma khi n = 2, tổng diện tích của hai hình vuông bao giờ cũng bằng hình vuông thứ ba. Ba hình vuông ấy có thể là nguyên hay không nguyên đối với nhau (nhưng hoàn toàn xác định được trong Vũ trụ hình học).
Lập luận tương tự, chúng ta cũng có tổng của hai thể tích (ký hiệu thể tích là V) và tổng quát hơn là tổng của hai độ dài lũy thừa bậc n. Cũng theo Định lý lớn Fecma thì tổng của hai thể tích nguyên, hay của hai độ dài lũy thừa bậc n bao giờ cũng có kết quả là hình khối không nguyên (nhưng vẫn luôn xác định một cách dứt khoát trong không gian hình học).
Hiện tượng vừa nguyên vừa không nguyên trong Vũ trụ hình học có thể là một gợi ý quan trọng cho chúng ta trong việc nhận thức số vô tỷ và bản chất của các hằng số vật lý.
Có một hiện tượng hình học mà trong khi tìm hiểu mối quan hệ giữa các đoạn thẳng, người ta đã phát hiện được từ rất sớm, vào thời toán học chỉ mới đi được những bước chập chững đầu tiên, và được gọi là hiện tượng “tích trung bằng tích ngoại”. Hiện tượng “tích trung bằng tích ngoại” là một trong vài hiện tượng nổi tiếng nhất của toán học qua mọi thời đại và kết quả của nó là một con số cũng lẫy lừng không kém với danh xưng là “Tỷ lệ vàng”.
Giả sử chúng ta có một đoạn thẳng bất kỳ OA trên hình 2 (do đó nó không bằng 7 nữa). Trên đoạn thẳng đó có sẵn một điểm B phân chia đoạn thẳng OA thành hai đoạn thẳng thành phần là OB và BA. Bây giờ chúng ta “xê dịch” điểm B trên đoạn thẳng OA sao cho:
Đây chính là hiện tượng tích trung tỷ bằng tích ngoại tỷ ( tỷ lệ bên trong bằng tỷ lệ bên ngoài). Vào năm 300 TCN, Ơclít đã định nghĩa khái niệm này và lưu lại trong bộ “Cơ sở” của ông.
Cho BA = 1 và gọi OB là x thì ta có thể viết tích trung bằng tích ngoại là:
Từ đó, chúng ta sẽ có phương trình bậc hai:
Giải ra ta được nghiệm của nó là:
Người ta loại bỏ nghiệm 
vì cho là không hợp lệ (không thể có đoạn thẳng âm). (Còn chúng ta cho rằng cũng tồn tại vì nó thỏa mãn phương trình và trong thế giới tương phản âm - dương, đồng phương thì véctơ âm xuất hiện là điều hiển nhiên).
vì cho là không hợp lệ (không thể có đoạn thẳng âm). (Còn chúng ta cho rằng cũng tồn tại vì nó thỏa mãn phương trình và trong thế giới tương phản âm - dương, đồng phương thì véctơ âm xuất hiện là điều hiển nhiên).
Toán học gọi 
là số Tỷ lệ vàng vì vai trò quan trọng của nó trong Vũ trụ hình học và tôn thờ nó bởi những biểu hiện đặc biệt kỳ lạ của nó trong toán học cũng như trong thiên nhiên. Người ta thường ký hiệu Tỷ lệ vàng là 
, và gọi là “số phi”. Với ký hiệu , chúng ta có thể diễn tả lại hiện tượng tích trung bằng tích ngoại như sau:
là số Tỷ lệ vàng vì vai trò quan trọng của nó trong Vũ trụ hình học và tôn thờ nó bởi những biểu hiện đặc biệt kỳ lạ của nó trong toán học cũng như trong thiên nhiên. Người ta thường ký hiệu Tỷ lệ vàng là , và gọi là “số phi”. Với ký hiệu , chúng ta có thể diễn tả lại hiện tượng tích trung bằng tích ngoại như sau:
Ngay lập tức và hết sức trực quan, chúng ta đã thấy những biểu hiện kỳ thú của Tỷ lệ vàng:
- là một đoạn thẳng vô tỷ.
là một đoạn thẳng vô tỷ.
- Một hình vuông có cạnh là thì lấy cộng với 1 sẽ cho ra diện tích của nó.
thì lấy cộng với 1 sẽ cho ra diện tích của nó.
- Bình phương của là số vô tỷ: 2,6180339887…, có phần thập phân giống hệt của và cũng giống hệt phần thập phân của nghiệm âm (
) của phương trình 
.
là số vô tỷ: 2,6180339887…, có phần thập phân giống hệt của và cũng giống hệt phần thập phân của nghiệm âm () của phương trình .
- Bình phương của đem trừ đi 1 sẽ bằng chính nó và nếu tiếp tục đem nó trừ cho 1 thì sẽ bằng trị số (bỏ dấu trừ) của 
. Trị số này chính là nghịch đảo của .
đem trừ đi 1 sẽ bằng chính nó và nếu tiếp tục đem nó trừ cho 1 thì sẽ bằng trị số (bỏ dấu trừ) của . Trị số này chính là nghịch đảo của .
Những biểu hiện lạ lùng của Tỷ lệ vàng không phải chỉ có thế. Chúng ta đã từng nghe một số người kể về câu chuyện ly kỳ của Tỷ lệ vàng trong lịch sử toán học và bây giờ xin kể lại một cách tóm lược, dựa chủ yếu theo lời kể của Nguyễn Minh Hoàng (biên dịch) qua cuốn “Tỷ lệ vàng”.
¯¯¯
Trong thư văn toán học chuyên môn, ký hiệu thông thường của Tỷ lệ vàng là Ç (đọc là “tau”, tiếng Hi Lạp có nghĩa là “nhát cắt”, “chia cắt”). Tuy nhiên, vào đầu thế kỷ XX, nhà toán học Mark Barr, người Mỹ, đặt cho tỷ lệ ấy ký hiệu 
(đọc là “phi”), là chữ đầu của Phidias, tên nhà điêu khắc đại tài của Hi Lạp cổ đại, sống vào khoảng 490-430 TCN. Nhiều nhà nghiên cứu lịch sử mỹ thuật cho rằng Phidias sử dụng Tỷ lệ vàng một cách thường xuyên và tỉ mỉ. Tỷ lệ vàng còn có những tên gọi khác nhau là: Sự chia cắt hoàng kim, Con số vàng, Số phi, Tỷ lệ thần thánh…
(đọc là “phi”), là chữ đầu của Phidias, tên nhà điêu khắc đại tài của Hi Lạp cổ đại, sống vào khoảng 490-430 TCN. Nhiều nhà nghiên cứu lịch sử mỹ thuật cho rằng Phidias sử dụng Tỷ lệ vàng một cách thường xuyên và tỉ mỉ. Tỷ lệ vàng còn có những tên gọi khác nhau là: Sự chia cắt hoàng kim, Con số vàng, Số phi, Tỷ lệ thần thánh…
Nhiều bộ óc toán học trong hàng ngũ những nhà toán học xuất sắc nhất mọi thời đại, từ Pitago, Ơclít ở Hi Lạp cổ đại, rồi nhà toán học Leonardo người Ý ở Pisa, nhà toán học kiêm thiên văn học Johannes Kepler thời Phục Hưng, đến những gương mặt vừa qua như nhà vật lý Roger Penrose tại Đại học Oxford, đều đã bỏ nhiều công sức để nghiên cứu Tỷ lệ vàng. Không chỉ có thế, Tỷ lệ vàng còn có sức hấp dẫn mãnh liệt đối với cả những nhà sinh vật học, họa sĩ, nhạc sĩ, kiến trúc sư… Có thể nói Tỷ lệ vàng xuất hiện ở khắp nơi, mọi thời và là nguồn cảm hứng suy tư cho biết bao nhiêu con người hoạt động khoa học cũng như nghệ thuật, thậm chí là cả những nhà thần học. Khó có con số nào lại được quan tâm, chú ý rộng rãi đến như thế trong lịch sử toán học…
Tỷ lệ vàng hấp dẫn đến thế có lẽ vì trước hết và trên hết, nó xuất hiện một cách kỳ lạ ở những nơi thâm thúy nhất, ít người ngờ tới. Chẳng hạn, thoạt nhìn thì ngôi sao 5 cánh không có gì liên quan tới Tỷ lệ vàng cả, nhưng thực ra mỗi một tam giác cân ở mỗi góc của ngôi sao lại có tính chất là: cạnh dài chia cho cạnh ngắn (thường gọi là cạnh đáy) chính xác bằng .
.
Nhiều nhà nghiên cứu cho rằng chính những thành viên của hội phái Pitago là những người đầu tiên khám phá ra Tỷ lệ vàng và từ đó mà cũng phát hiện ra tính vô ước. Tuy nhiên trước đó, nền toán học cổ Ai Cập và Babylon đã có những thành tựu đáng kết và trước khi sáng lập trường phái của mình, Pitago đã từng chu du thiên hạ và học hỏi được nhiều tri thức toán học ở đó. Cho nên cũng có nhiều nhà nghiên cứu đặt nghi vấn: biết đâu các nền văn minh đó hoặc vài nền văn minh khác đã khám phá ra Tỷ lệ vàng trước cả hội phái Pitago?
Theo các nhà khảo cứu thì hình sao 5 cánh được xuất hiện sớm nhất là ở vùng Lưỡng Hà vào thiên niên kỷ IV TCN. Giới khảo cổ học đã khai quật được những dạng thể hình sao 5 cánh tại Uruk (cũng là nơi khai quật được chữ viết cổ Ai Cập lâu đời nhất), và ở Jemder Nasr. Hình sao 5 cánh được vẽ trên đất sét có niên đại 3200 TCN, và người ta cũng phát hiện được nhiều hình sao 5 cánh khác được vẽ trên một chiếc bình của thời kỳ đó. Nhiều địa phương khác ở Trung Đông cũng khảo cổ được những cổ vật có lưu dấu hình sao 5 cánh. Chẳng hạn một bàn nạo bằng đá lửa thuộc thời kỳ 4500-3100 TCN, trên có khắc hình sao 5 cánh được tìm thấy ở Israel.
Mặc dù hình sao 5 cánh được thấy khá nhiều trên các đồ dùng Ai Cập cổ đại, song những đường nét thực sự sắc sảo, có tính hình học thì lại hiếm thấy. Câu hỏi bật ra là: các nhà thông thái thời cổ Ai Cập đã có ý thức về sự hiện diện của Tỷ lệ vàng trong hình sao 5 cánh chưa?
Không ít người đã trả lời khẳng định và cũng đã cố gắng trưng ra những lập luận lẫn bằng chứng để thuyết phục.
Osirion là một ngôi đền được xem là đài tưởng niệm vua Seti I, từng trị vì Ai Cập khoảng năm 1300 đến 1290 TCN. Người ta phát hiện ngôi đền vào năm 1901, và công cuộc khai quật được tiến hành đến năm 1927 mới kết thúc. Năm 1982, Robert Lawlor gợi ý rằng hình học trong cấu trúc của đền Osirion là chiếu theo tỷ lệ của Sự chia Hoàng Kim. Ông này đã khẳng định rằng tỷ lệ vàng hiện diện nổi bật trong thiết kế ngôi đền, và nói: “Việc nhấn mạnh vào chủ đề hình ngũ giác đã nói lên một cách thích đáng cho niềm tin rằng, sau khi băng hà, nhà vua trở thành một vì sao”.
Mặc dù nghe hấp dẫn thật, song nhà nghiên cứu Livio vẫn cho rằng các phân tích ấy thiếu thuyết phục, một mặt, các đường nét được xem là minh chứng cho tỷ lệ vàng đã bị vạch ở những chỗ hoàn toàn có chủ ý, mặt khác, theo Livio, thật khiên cưỡng khi diễn giải sơ đồ có dạng nguyên thủy cơ bản là hình chữ nhật thành hình ngũ giác.
Tình hình đối với lăng mộ của Petrosiris cũng tương tự. Ngôi mộ này không xưa bằng đền Osirion, vì chỉ xuất hiện từ năm 300 TCN. Vào thời kỳ này, người Hi Lạp đã biết đến tỷ lệ vàng rồi. Đối với lăng mộ này, Lawlos cũng khẳng định Tỷ lệ vàng đã được ứng dụng trong việc xây dựng cấu trúc của nó. Ông kết luận như vậy là dựa vào hai phân tích hình học của một phù điêu trên bức tường phía Đông. Thế nhưng những phân tích hình học đó cũng đầy khiên cưỡng và tùy tiện. Vì vậy, Livio cho rằng việc áp dụng Tỷ lệ vàng trong kiến trúc của ngôi mộ là điều rất khó tin.
Trong số những kim tự tháp Ai Cập thì kim tự tháp Khuphu là hùng vĩ nhất. Nó xuất hiện vào khoảng giữa thiên niên kỷ III TCN. Vài nhà cuồng tín đã ra sức biện minh rằng các nhà thông thái thời đó đã chủ động đưa Tỷ lệ vàng vào việc tạo dáng kiến trúc cho kim tự tháp Khufu. Thế nhưng những lập luận gượng ép và những bằng cớ không phù hợp với kích thước thực tế cũng hầu như không thuyết phục được ai.
Khi nghiên cứu những phiến đất có ký tự hình nêm từ thiên niên kỷ II TCN (được khai quật ở Susa, Iran ngày nay), người ta gần như chắc chắn rằng người Babylon thuộc triều đại thứ nhất đã biết cách tính gần đúng diện tích hình ngũ giác (đường chéo chia cho cạnh của nó bằng ). Phiến đất sét Susa có ghi: “140, hằng của ngũ diện”. Vì người Babylon sử dụng hệ đếm 60 nên “1 40” phải được hiểu theo hệ thập phân là 
, và câu trên có nghĩa: “1,666…, cho diện tích của hình ngũ giác” (thật ra diện tích của hình ngũ giác có cạnh bằng 1 đơn vị dài là 1,720). Người Babylon cho rằng chu vi của bất kỳ hình đa giác đền nào cũng bằng 6 lần bán kính đường tròn ngoại tiếp nó và suy ra trị của số “pi” (
) là:
). Phiến đất sét Susa có ghi: “140, hằng của ngũ diện”. Vì người Babylon sử dụng hệ đếm 60 nên “1 40” phải được hiểu theo hệ thập phân là , và câu trên có nghĩa: “1,666…, cho diện tích của hình ngũ giác” (thật ra diện tích của hình ngũ giác có cạnh bằng 1 đơn vị dài là 1,720). Người Babylon cho rằng chu vi của bất kỳ hình đa giác đền nào cũng bằng 6 lần bán kính đường tròn ngoại tiếp nó và suy ra trị của số “pi” () là:
Mặc dù đã có những khám phá quan trọng trong lĩnh vực toán học nhưng vẫn chưa có chút bằng chứng nào cho thấy người Babylon cổ đã biết đến Tỷ lệ vàng.
Có thể rằng các nền văn minh Á Đông cổ đại đã có lúc động chạm đến tính vô ước nhưng không thể nhận thức được “sự kỳ quái” (cũng như tầm quan trọng) của nó nên đã chối bỏ, không thừa nhận sự tồn tại của nó. Điều này có thể tin được vì đến ngay trường phái Pitago, trong thời đại muộn hơn rất nhiều và cũng có một tri thức toán học cao hơn nhiều, khi phát hiện ra tính vô ước đã phải sửng sốt, khiếp đảm như thế nào. Có lẽ quan điểm cho rằng Tỷ lệ vàng là do những người trong hội phái Pitago, mà cụ thể là nhà toán học Hippasus, phát hiện ra, là hợp lý hơn cả.
Gớt (Goethe), nhà thơ nổi tiếng người Đức từng nói: “Trong số tất cả các dân tộc, chính người Hy Lạp mới mơ giấc mơ của cuộc đời một cách tốt nhất”. Câu nói đó nhằm ca ngợi niềm say mê khoa học và sự nỗ lực nhận thức thế giới bao trùm lên xã hội Hy Lạp cổ đại suốt mấy trăm năm. Tri thức nhiều mặt mà người Hy Lạp cổ đại phát hiện thật vĩ đại. Nhất là về toán học và chỉ riêng hình học thôi, trong vòng 400 năm, từ thời Talét (Thales, khoảng năm 600 TCN) đến “Nhà hình học vĩ đại” Apolông (Apollonius, khoảng năm 200 TCN), họ đã hòan thành những cốt yếu về lý thuyết của nó. Nhân loại lớp hậu thế đã được thừa hưởng những thành tựu, những công trình xuất sắc đến tuyệt vời của người Hy Lạp cổ đại và đời đời phải nhớ ơn họ.
Vào thời Platon, chương trình giáo dục của các chính khách là bao gồm số học, hình học, hình học lập thể, thiên văn, âm nhạc, và tất cả những môn đó, theo lời Archytan, đều được gọi là “Toán học”. Theo truyền thuyết, khi Alexandre Đại Đế đến, hỏi thầy dạy của ông là Menaechmus (người được xem là đã khám phá ra đường cong elip, parabol và hyberbol): có cách nào vắn tắt để học hình học không, thì vị thầy này đáp: “Thưa Đức vua, muốn chu du khắp lãnh thổ, ta có đường dành cho vua chúa và đường dành cho dân dã, nhưng trong lĩnh vực hình học thì chỉ có một con đường chung cho tất cả”
Người ta nói rằng Platon đã học toán từ môn đồ của Pitago là Thedorus, người đầu tiên chứng minh không chỉ 
mà 
cho đến 
cũng đều là vô tỷ. Có thể thấy rằng, phần lớn nền tảng dẫn đến việc định nghĩa và tìm hiểu Tỷ lệ vàng đã được thực hiện suốt thời kỳ trước khi Platon khai trương trường học Academy năm 386 TCN và tiếp tục được nghiên cứu suốt thời kỳ hoạt động của trường Academy mà gương mặt chủ chốt đứng sau vấn đề này có thể là Theodorus.
mà cho đến cũng đều là vô tỷ. Có thể thấy rằng, phần lớn nền tảng dẫn đến việc định nghĩa và tìm hiểu Tỷ lệ vàng đã được thực hiện suốt thời kỳ trước khi Platon khai trương trường học Academy năm 386 TCN và tiếp tục được nghiên cứu suốt thời kỳ hoạt động của trường Academy mà gương mặt chủ chốt đứng sau vấn đề này có thể là Theodorus.
Trong một chừng mực nào đó, Platon được xem như một nhà lý thuyết thực sự. Có lẽ sự dìu dắt của Platon là quan trọng hơn nhiều so với những đóng góp trực tiếp của ông đối với toán học. Một bản văn được cho là của Philodemus ở thế kỷ I, có đọan: “Tiến bộ lớn lao về toán học (đạt được) trong thời kỳ đó, với Platon là người chỉ đạo và ra đề, còn các nhà toán học thì miệt mài nghiên cứu”.
Dù sao thì bản thân Platon chắc chắn cũng quan tâm rất nhiều đến tính chất của các con số và các hình hình học. Tuy nhiên, có thể là chịu ảnh hưởng sâu sắc bởi quan niệm của trường phái Pitago, ông thường gắn liền những đặc trưng toán học với những hiện tượng tự nhiên - xã hội. Chẳng hạn Platon cho rằng dân số lý tưởng của một quốc gia là 5.040. Hay ông coi 216 là một số quan trọng, bởi vì theo ông, nó là kết quả của 6 mũ 3, mà 6 là số tượng trưng cho hôn nhân (là tích của số đực - số 3, và số cái, số 2), hơn nữa 216 còn là tổng lập phương của 3, 4, 5 mà 3, 4, 5 lại là cạnh của tam giác vuông nguyên nhỏ nhất.
Chắc chắn Platon cũng trực tiếp quan tâm đến Cách cắt Hoàng kim. Platon đã có lần nhấn mạnh rằng nếu một con số chẵn có thể là tổng của hai số chẵn hoặc hai số lẻ, thì tổng cũa hai số vô tỷ cũng có thể là vô tỷ hoặc hữu tỷ.
Trong một tác phẩm của mình (cuốn “Timaeun”), Platon tự nhận lấy nhiệm vụ nặng nề là thảo luận về nguồn gốc và chuyển động Vũ Trụ. Đặc biệt, ông đã sử dụng 5 khối đa diện để thử giải thích cấu trúc vật chất, điều mà trường phái Pitago đã từng tìm hiểu ít nhiều. Platon đã đưa ra 5 loại khối đa diện mà sau này được gọi là “những khối Platon (xem hình 3), được phân biệt theo các thuộc tính: chúng là những hình khối có các mặt giống nhau và các cạnh bằng nhau và mỗi khối đều nội tiếp trong hình cầu.
Platon đã dựa theo quan niệm của Empedocle (cho rằng Vũ Trụ được xây dựng trên 4 yếu tố vật chất là đất, nước, không khí, lửa) để giải thích cho những khối đa diện của ông. Theo Platon, yếu tố đất liên hệ với khối lập phương vững chãi, trong khi tính chất “sắc sảo” của lửa lại phù hợp với khối tứ diện có mũi nhọn, còn gió thì giống như dáng vẻ “linh động” của khối tám mặt, khối đa điện 20 mặt “long lanh” muôn hình vạn trạng thì biểu trưng cho nước, cuối cùng là khối 12 mặt ngũ giác được Platon gán cho toàn thể Vũ Trụ mà theo cách nói của ông là “Thượng đế dùng để đính các chòm sao trên toàn bộ bầu trời”. Platon cho rằng, các hiện tượng phức tạp ta nhìn thấy trong Vũ Trụ thật ra không mấy quan trọng, mà điều thực sự nền móng chính là các đối xứng cơ bản, chúng không bao giờ thay đổi (đây là cảm nhận thiên tài của Platon!).
Hình 3
Tỷ lệ vàng đóng vai trò chủ chốt trong các kích thước và tính chất đối xứng của vài khối Platon. Khối 12 mặt có độ dài cạnh là 1 sẽ có tổng diện tích bằng 
và có thể tích là 
. Tương tự, khối 20 mặt có cạnh là 1 đơn vị sẽ có thể tích là 
.
và có thể tích là . Tương tự, khối 20 mặt có cạnh là 1 đơn vị sẽ có thể tích là .
Tính đối xứng của các khối Platon đưa đến nhiều những biểu hiện thú vị. Chẳng hạn khối lập phương và khối 8 mặt có cùng số cạnh là 12, nhưng trong khi khối lập phương có 6 mặt và 8 đỉnh thì khối 8 mặt có 8 mặt và 6 đỉnh. Trường hợp này cũng xảy ra đối với khối 12 mặt và khối 20 mặt. Nếu kết nối tâm điểm của tất cả các mặt ở khối lập phương, ta sẽ được một khối 8 mặt (xem hình 4). Nếu kết nối tâm điểm các mặt của khối 8 mặt, sẽ làm xuất hiện một khối lập phương…
Còn rất nhiều những biểu hiện liên quan mật thiết với Tỷ lệ vàng đối với các khối Platon nữa, song chúng ta không nói tiếp về chúng vì phía trước còn những điều hết sức kỳ lạ của Tỷ lệ vàng mà chúng ta không thể không nói tới, trong khuôn khổ thời gian cho phép mà chúng ta đành phải hạn định để “nhường” cho cuộc hành trình “đi tìm cái gì đó” chưa đâu vào đâu cả.
Chúng ta đã nói rất nhiều đến con số 1. Đó là con số ai cũng cho là minh bạch, đơn giản nhất, “khô cứng” như một tiên đề và trơ trơ bất dịch như một chân lý, không cần phải bàn luận về nó. Ấy vậy mà theo chúng ta quan niệm, nó lại đồng thời là một thực thể kỳ bí nhất. Số 1 là nguyên tố của mọi con số (trừ nó) và đồng thời cũng bao hàm tất cả mọi con số, nghĩa là nó nhỏ nhoi nhất mà cũng vĩ đại nhất. Có thể nói ai hiểu được tường tận bản chất của số 1 (và “bóng” của nó là số 0) thì người đó sẽ am hiểu một cách cơ bản Thực tại ảo và thông qua đó sẽ nhận thức được đúng đắn và sâu sắc Thực tại Khách quan.
Hình 4
Nhìn con số 1 đứng độc lập, khó lòng mà mường tượng được mối quan hệ “keo sơn” gắn bó của nó với số Tỷ lệ vàng. Chẳng hạn có bài toán như thế này:
Chúng ta gọi kết quả của bài toán là x (ẩn số). Nếu bài toán là biểu thức (gọi là “liên căn bậc hai của một”) và chỉ có hai số 1 thôi, thì:
Vì không có một số đếm hay tự nhiên nào bình phương lên bằng 2 cả nên rõ ràng lúc này x là một số “nhân tạo”, và “chắc như bắp” là nó chỉ có thể tồn tại trong thực tại ảo dưới tên gọi là “số vô tỷ”.
Nếu trong bài toán có ba số 1 thì:
Suy ra:
Nếu trong bài toán có bốn số 1 thì:
Suy ra:
Nói chung, nếu bài toán có n số 1 thì có thể viết dưới dạng khác là:
với n-2 số 1
Có thể đặt 
. Nếu n là nhiều vô hạn thì X phải là số lớn hơn 1 nhưng nhỏ hơn 2 và đồng thời phải là một số thập phân vô tận. Lúc này có thể viết biểu thức dưới dạng tương tự như trường hợp có ba số 1, tuy nhiên vế phải của biểu thức không thể là số 2 được nữa mà phải là X2 và chúng ta viết:
. Nếu n là nhiều vô hạn thì X phải là số lớn hơn 1 nhưng nhỏ hơn 2 và đồng thời phải là một số thập phân vô tận. Lúc này có thể viết biểu thức dưới dạng tương tự như trường hợp có ba số 1, tuy nhiên vế phải của biểu thức không thể là số 2 được nữa mà phải là X2 và chúng ta viết:
Trên đời này, nếu có số nào mà khi bình phương lên rồi trừ đi một lại bằng chính nó thì số đó, có lẽ, chỉ có thể là Tỷ lệ vàng 
.
.
Có cách giải khác thuyết phục hơn như sau:
Bài toán tìm 
còn có một dạng khác nữa, cũng lạ kỳ không kém, gọi là liên phân số:
còn có một dạng khác nữa, cũng lạ kỳ không kém, gọi là liên phân số:
Qua biểu thức này, các nhà toán học nói rằng Tỷ lệ vàng là “thứ vô tỷ nhất” trong số các vô tỷ. Riêng chúng ta thì thấy thêm rằng Tạo Hóa không những đã gắn liền số 
với số 1 như một định mệnh mà còn gắn liền nó với số 2 và số 5. Nếu số 1 được cho là biểu trưng của Vũ Trụ thì số 2 là biểu trưng của tương phản lưỡng nghi và số 5 là biểu trưng của sự biến hóa (ngũ hành). Trên một mặt phẳng tương phản, nếu không có hai cặp lưỡng nghi phương chiều và một hệ quan sát (gốc tọa độ), nghĩa là không có 5 yếu tố phân hoạch (mà đối với không gian là 7 yếu tố gồm ba cặp phương chiều và một gốc tọa độ) thì không bao giờ có thể xác định được phương vị của bất cứ sự vật - hiện tượng nào, cũng như không thể “theo dõi” được “hành tung” của nó. Quá trình tương tác nước - lửa trong Trời - Đất rốt cuộc thì cũng hun đúc nên được loài người - một giống loài có một cái đầu ngạo nghễ mà cũng ngông nghênh chứa một bộ não biết tư duy một cách sáng suốt mà cũng mù quáng; có hai cánh tay tự do để cầm nắm công cụ kiếm ăn dễ dàng hơn mà cũng bị ràng buộc bởi vũ khí; có hai đôi chân linh hoạt để “chu du thiên hạ”, để chạy trốn tai họa mà cũng để xông tới tấn công đối tượng, tạo ra tai họa cho chính đồng loại của mình. Nếu không có hai bàn tay 5 ngón thì chắc gì con người tôn vinh hình ngôi sao 5 cánh và chọn hệ cơ số 10 làm cơ sở cho cách đếm cũng như sự tính toán ngày nay, để từ đó mà biết được rằng trong ngôi sao 5 cánh (hay ngũ giác đều) lại ẩn chứa một số gọi là Tỷ lệ vàng?
với số 1 như một định mệnh mà còn gắn liền nó với số 2 và số 5. Nếu số 1 được cho là biểu trưng của Vũ Trụ thì số 2 là biểu trưng của tương phản lưỡng nghi và số 5 là biểu trưng của sự biến hóa (ngũ hành). Trên một mặt phẳng tương phản, nếu không có hai cặp lưỡng nghi phương chiều và một hệ quan sát (gốc tọa độ), nghĩa là không có 5 yếu tố phân hoạch (mà đối với không gian là 7 yếu tố gồm ba cặp phương chiều và một gốc tọa độ) thì không bao giờ có thể xác định được phương vị của bất cứ sự vật - hiện tượng nào, cũng như không thể “theo dõi” được “hành tung” của nó. Quá trình tương tác nước - lửa trong Trời - Đất rốt cuộc thì cũng hun đúc nên được loài người - một giống loài có một cái đầu ngạo nghễ mà cũng ngông nghênh chứa một bộ não biết tư duy một cách sáng suốt mà cũng mù quáng; có hai cánh tay tự do để cầm nắm công cụ kiếm ăn dễ dàng hơn mà cũng bị ràng buộc bởi vũ khí; có hai đôi chân linh hoạt để “chu du thiên hạ”, để chạy trốn tai họa mà cũng để xông tới tấn công đối tượng, tạo ra tai họa cho chính đồng loại của mình. Nếu không có hai bàn tay 5 ngón thì chắc gì con người tôn vinh hình ngôi sao 5 cánh và chọn hệ cơ số 10 làm cơ sở cho cách đếm cũng như sự tính toán ngày nay, để từ đó mà biết được rằng trong ngôi sao 5 cánh (hay ngũ giác đều) lại ẩn chứa một số gọi là Tỷ lệ vàng?
Minh họa ở hình 5 cho chúng ta thấy, theo tính chất về hai tam giác đồng dạng thì phải có:
Cho DC = 1, gọi BC là x, ta viết lại:
Hình 5: Tỷ lệ vàng ẩn chứa trong sao 5 cánh hay ngũ giác đều
Vậy, có thể phát biểu: đường chéo của một ngũ giác đều chia cho cạnh của nó là một Tỷ lệ vàng.
Không những thế, các đường chéo của ngũ giác đều còn hợp lại thành một ngôi sao 5 cánh và trong lòng ngôi sao đó là một ngũ giác đều nhỏ hơn. Đến lượt các đường chéo của ngũ giác đều nhỏ hơn đó cũng tạo một ngôi sao 5 cánh và một ngũ giác đều nhỏ hơn nữa. Cứ thế, quá trình có thể tiếp diễn đến vô tận mà giới hạn là tâm đường tròn ngoại tiếp ngũ giác đều lớn nhất ban đầu.
Tình hình lặp lại đến vô tận như trên cũng xảy ra trong trường hợp hình chữ nhật. Người ta gọi hình chữ nhật vàng là hình chữ nhật mà tỷ lệ giữa cạnh dài và cạnh ngắn của nó bằng 
. (Xem minh họa ở hình 6)
. (Xem minh họa ở hình 6)
Tính chất của hình chữ nhật vàng nếu cắt bỏ hình vuông có cạnh là cạnh ngắn hơn của nó thì phần còn lại cũng sẽ là một hình chữ nhật vàng (nhỏ hơn). Cắt bỏ hình vuông tương tự như thế đối với hình chữ nhật vàng mới, lại được hình chữ nhật vàng mới nhỏ hơn nữa và cứ thế sẽ đến giới hạn là một điểm (xem hình 6) mà nhà toán học Clifford A. Pichover đề nghị gọi nó là “Con mắt của Thượng Đế”.
Khi định nghĩa Tỷ lệ vàng, Ơclit quan tâm trước tiên đến việc diễn giải ở khía cạnh hình học và sử dụng tỷ lệ ấy để dựng hình ngũ giác cùng với vài khối Platon. Theo bước chân ông, giới toán học Hy Lạp ở những thế kỷ tiếp theo đã có thêm nhiều kết quả hình học mới liên quan tới Tỷ lệ vàng. Chẳng hạn có một tác phẩm toán học gọi là “bổ sung” cho bộ “Cơ sở” (thường được gọi là quyển XIV) mà người ta cho rằng tác giả là Hypsicles (nhưng các định lý lại được gán cho Apollonius, một trong ba gương mặt chủ chốt (cùng với Ơclit và Ácximet (Archimedes)) thuộc thời hoàng kim của toán học Hy Lạp cổ đại. Trong tác phẩm này có một định lý quan trọng liên quan đến khối 12 mặt và khối 20 mặt nội tiếp trong cùng một khối cầu.
Hình 6: Hình chữ nhật vàng
Sau thời hoàng kim, nền toán học Hy Lạp cổ đại nói chung và hình học nói riêng dần dần bước vào thời kỳ suy thoái không phục hồi được. Trong tình hình đó, những để cập hình học cũng trở nên thưa thớt. Nhà hình học Hy Lạp nổi tiếng cuối cùng đóng góp định lý có liên quan đến Tỷ lệ vàng là Pappus. Ông đưa ra phương pháp mới để dựng khối 12 mặt và 20 mặt, đồng thời để so sánh thể tích của các khối Platon, và tất cả liên quan với Tỷ lệ vàng. Sau khi Pappus mất thì mối quan tâm tới Tỷ lệ vàng cũng bước vào thời kỷ ngủ đông đằng đẵng ở phương Tây.
Tuy nhiên, toán học vẫn còn sức sống ở Ấn Độ và trong thế giới Ảrập. Người Ảrập đã học được hệ đếm cơ số 10 với mười ký số (có cả số 0) của các học giả Ấn Độ trong thời kỳ này và thông qua thế giới Ảrập mà hệ đếm đó được truyền bá vào châu Âu qua ngả Tây Ban Nha vào thế kỷ VIII. Hệ đếm cơ số 10 là một cải cách to lớn đối với nền toán học châu Âu và cũng là của toàn thế giới. Vào thời kỳ này thế giới Ảrập trở thành một trung tâm quan trọng của việc nghiên cứu toán học. Nhiều người nhận định rằng, nếu không có sự trỗi dậy về mặt tri thức trong thế giới ấy suốt thế kỷ VIII thì thư viện Alexandria vĩnh viễn là đống tro tàn và hầu hết nền toán học Hy Lạp cổ đại có lẽ đã không còn.
Dù các nhà toán học Ảrập có nhiều đóng góp quan trọng nhưng chủ yếu là thuộc lĩnh vực số học. Đối với vấn đề Tỷ lệ vàng thì họ chỉ tiếp cận nói chung là sơ sài. Người Ảrập có những nghiên cứu có liên quan tới Tỷ lệ vàng và lịch sử của nó là nhà toán học Abu Kamil Shuja (850 - 930). Trong một quyển Khảo luận của ông, có trình bày 20 bài toán và lời giải, với những tính toán diện tích các hình, độ dài cạnh, bán kính vòng tròn ngoài tiếp. Trong một vài tính toán đó, ông có sử dụng Tỷ lệ vàng. Vài bài toán số học trong quyển “Đại số” (Algebra) của ông, có thể cũng lấy ý từ khái niệm Tỷ lệ vàng. Abu Kamil Shuja viết nhiều sách. Đặc biệt đáng chú ý là các công trình của ông còn là nền tảng cho vài tác phẩm của nhà toán học người Ý, danh tiếng lẫy lừng của thời Trung cổ, tên là Leonardo Fibonacci. Bước nhảy đột phá trong lịch sử nghiên cứu của Tỷ lệ vàng có liên quan mật thiết với tên tuổi nhà toán học này.
¯¯¯
Leonardo Fibonacci sinh vào thập niên 1170 tại Pisa, trong một gia đình doanh nhân. Vào thế kỷ XII, Pisa là một cảng sầm uất giao thương cả trong và ngoài nước. Các thương vụ dồn dập đã tạo ra nhu cầu cao về tính toán và ghi chép thống kê. Chắc chắn Leonardo có nhiều dịp quan sát các viện thư ký liệt kê, tính toán giá cả với những số La Mã và bằng bàn tính. Việc tính toán với những ký số La Mã thật không phải là một trò dễ dàng. Chẳng hạn muốn có tổng của hai số 3.786 và 3.843, hồi đó phải làm phép cộng MMMDCCLXXXVI với MMMDCCCXLIII. Với phép cộng mà đã thấy “khiếp” rồi, huống hồ là nhân hai số La Mã đó. Việc dùng bàn tính tuy có đỡ hơn song cũng còn rất bất tiện. Bàn tính người Tây Âu dùng vào thời kỳ đó gồm các hạt đếm được xỏ bằng dây kim loại. Vị trí của dây kim loại sẽ đại diện cho từng giá trị số. Một bàn tính điển hình có 4 dây như vậy, các hạt của dây cuối thuộc hàng đơn vị, dây tiếp theo đóng vai trò hàng chục, dây thứ ba đóng vai trò hàng trăm và dây cuối (trên cùng) là hàng ngàn. Từ “bàn tính” (abacus) có lẽ xuất phát từ “avaq”, tiếng Hebrew có nghĩa là “cát bụi”, vì vào thời nguyên sơ, bàn tính có thể chỉ là những phiến đất sét có rải những viên đá hay sỏi nhỏ trên đó để làm hạt đếm.
Lớn lên, Fibonacci có điều kiện du hành đến một số quốc gia vùng Địa Trung Hải để quan sát và nghiên cứu những vấn đề về toán học. Qua những cuộc đi đó, ông đã tiếp thu được nhiều hệ thống số đếm khác nhau cũng như học hỏi được nhiều điều mới mẻ về tính toán số học. So sánh các hệ thống ký số khác nhau đó, Fibonacci đã rút ra được kết luận quan trọng rằng các ký số Ấn Độ (còn gọi là các dãy số Hindu - Ảrập) và cách ghi các ký số ấy ưu việt hơn hẳn mọi ký số và phương pháp ghi ký số khác.
Sau đó, Fibonacci đã bắt tay vào viết tác phẩm toán học đầu tiên và nổi tiếng nhất của mình có tựa đề “Quyển sách về bàn tính” (Liberabaci), xuất bản năm 1202. Mở đầu tác phẩm này, ông viết: “Chín con số Ấn Độ là: 987654321. Với chín con số này và với ký hiệu 0… bất kỳ con số nào cũng có thể được viết, như được chứng minh dưới đây”. Ông đã dành riêng 7 chương đầu của tác phẩm để giới thiệu cách viết và sử dụng các ký số Ấn Độ, cách chuyển đổi các ký số La Mã sang hệ thống ký số mới và việc ứng dụng nó trong quá trình tính toán. Có thể nói nhờ Fibonacci mà hệ đếm cơ số mười thực sự được phổ biến ở châu Âu.
Tài năng toán học xuất chúng cùng với tác phẩm để đời nói trên của Fibonacci đã làm danh tiếng của ông nổi như cồn và đến tai Frederick II, Hoàng đế La Mã, người được coi là mạnh thường quân của toán học và cả khoa học lúc bấy giờ. Vào khoảng năm 1220, khi diện kiến Hoàng đế ở Pisa, Fibonacci đã trình bày một loạt bài toán được xem là rất khó cùng với nhiều cách giải tài tình của ông.
Fibonacci đã có vai trò nổi bật trong lịch sử nghiên cứu Tỷ lệ vàng. Trong cuốn sách nhỏ về hình học của mình có tựa đề “Hình học thực hành”, xuất bản năm 1223, Fibonacci đã giới thiệu nhiều phương pháp mới để tính đường chéo và diện tích hình ngũ giác đều, tính cạnh ngũ giác, thập giác đều từ đường kính của cả hai vòng tròn nội tiếp cũng như ngoại tiếp, tính thể tích khối 12 mặt, 20 mặt, và tất cả những tính toán đó đều có liên hệ chặt chẽ với Tỷ lệ vàng. Qua đó mà Fibonacci đã mở rộng ứng dụng các tính chất của Tỷ lệ vàng trong nhiều tính toán hình học khác nhau. Tuy nhiên, đóng góp quan trọng nhất của ông trong việc hiểu biết sâu sắc Tỷ lệ vàng và làm cho nó trở nên một con số vô cùng kỳ thú lại có vẻ như một sự tình cờ, xuất phát từ một bài toán số học rất “đời thường”, tạm gọi là “Bài toán nuôi thỏ”. Bài toán này được trình bày ở chương XII trong tác phẩm Liberabaci, như sau:
“Có một người đặt một cặp thỏ con vào một vị trí vây kín bởi tường cao. Qua năm sau, sẽ có bao nhiêu cặp thỏ ra đời từ cặp thỏ đầu tiên? Biết rằng, cứ mỗi tháng thì mỗi cặp lại sinh ra một cặp thỏ con mà cứ hai tháng tuổi thì chúng đã có khả năng sinh sản.”
Lời giải bài toán thực ra là tương đối đơn giản. Nếu gọi cặp thỏ trưởng thành (có thể sinh sản được) là chữ “l”, gọi cặp thỏ con (chưa sinh sản được) là “e”, thì lúc đầu tiên rõ ràng là chẳng có cặp thỏ nào cả, và một tháng sau khi bỏ cặp thỏ con vào đó, chúng trở thành một cặp thỏ trưởng thành. Sau một tháng nữa, cặp thỏ đó cho ra đời một cặp thỏ con. Hết tháng thứ ba sẽ có hai cặp thỏ trưởng thành và một cặp thỏ con. Hết tháng thứ tư, hai cặp thỏ trưởng thành đẻ ra hai cặp thỏ con và cặp thỏ con của tháng trước trở thành cặp trưởng thành. Cứ thế, đoàn thỏ tiếp tục tăng trưởng theo một qui luật nhất quán nêu trên, và dựa vào qui luật đó mà biết được số cặp thỏ ở bất cứ tháng nào là bao nhiêu. Chúng ta minh họa qui luật tăng trưởng của thỏ ở hình 7.
Hình 7: Qui luật tăng trưởng của đoàn thỏ
Có thể thấy rằng bản thân bài toán và lời giải của nó chẳng có gì đặc biệt và cũng có thể hiểu được dễ dàng. Điều đặc biệt ở đây chính là điều ẩn chứa trong qui luật tăng trưởng của đàn thỏ. Trước hết, chúng ta hãy viết số lượng các cặp thỏ sau từng tháng dưới dạng một dãy số:
Qui luật của dãy này là tăng dần lên theo cách số hạng sau bằng tổng hai số hạng đứng trước gần nó nhất. Nghĩa là:
(1 = 0 + 1)
2 = 1 + 1
…
5 = 2 + 3
…
13 = 5 + 8
…
Nhà toán học người Pháp tên là Edouard Lucas (1842 - 1891), vào thế kỷ XIX, đặt tên cho dãy số có qui luật nêu trên là dãy Fibonacci. Những dãy số nào mà tương quan giữa các số hạng có thể biểu diễn bằng công thức toán thì được gọi là dãy đệ qui (recursive). Dãy Fibonacci (gọi tắt là dãy F) là đệ qui đầu tiên mà châu Âu biết đến.
Tại sao chúng ta lại cho rằng dãy F ẩn chứa điều đặc biệt? Phải nói rằng không những chỉ chứa điều đặc biệt mà quá nhiều điều đặc biệt nữa là đằng khác! Nhiều người đã phải kinh ngạc trước những biểu hiện hết sức lạ lùng và đầy bất ngờ của dãy F khi xem xét nó. Dưới đây là một số biểu hiện “kinh điển” trong số hầu như bất tận những biểu hiện dị thường của dãy 
.
.
Có thể chọn vài con số liền kề trong dãy F để nhân chúng từng cặp với nhau, với điều kiện số cặp là lẻ, xong rồi cộng các cặp tích số đó lại, chúng ta sẽ có kết quả là bình phương của con số cuối cùng dùng để nhân. Chẳng hạn chọn: 1, 1, 2, 3, để lập ba cặp nhân:
1 x 1, 1 x 2, 2 x 3
rồi cộng chúng lại và có kết quả:
1 x 1 + 1 x 2 + 2 x 3 = 9
Số 9 chính là số bình phương của 3 (số cuối cùng).
Cũng có thể chọn để có tổng:
1 x 1 + 1 x 2 + 2 x 3 + 3 x 5 + 5 x 8 + 8 x 13 + 13 x 21 = 441
Số 441 chính là 212.
Nếu cộng mười con số Fibonacci liên tiếp, chẳng hạn:
1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 + 13 + 21 + 34 + 55 = 143
sẽ có kết quả là một số chia hết cho 11 và kết quả phép chia này cũng là một số thuộc dãy F:
143 : 11 = 13
Và hơn nữa, có thể suy ra rằng tổng đó bằng 11 lần con số thứ bảy.
Nếu chọn bất cứ bốn số F liên tục nào, chẳng hạn là 1, 2, 3, 5, rồi làm tương tự như sau:
1 x 5 = 5
2 x 2 x 3 = 12
22 + 32 = 13;
Thì ba số kết quả, mà ở đây là 5, 12, 13 hợp thành một bộ ba số Pitago:
52 + 122 = 132
Dãy j còn được gọi là dãy Fibonacci vàng. Giả sử số thứ tự trong dãy của số F nào đó là n thì số đứng sau kề số Fn là Fn+1. Tỷ số Fn/Fn+1 sẽ dần tới số 
khi dãy F tiến càng xa về phía vô tận. Có thể liệt kê một đoạn trong dãy F để thấy điều này:
của số F nào đó là n thì số đứng sau kề số Fn là Fn+1. Tỷ số Fn/Fn+1 sẽ dần tới số khi dãy F tiến càng xa về phía vô tận. Có thể liệt kê một đoạn trong dãy F để thấy điều này:
Thế là dãy số F xuất hiện từ bài toán nuôi thỏ đã có mối quan hệ “huyết thống” với tích trung bằng tích ngoại trong hình học. Có bất ngờ không? Tuy nhiên, chúng ta sẽ thấy đó là một hiển nhiên nếu phân tích lại:
Cứ thế, khi n tiến xa đến vô tận thì:
Thật là phi thường! Nhưng có lẽ phi thường hơn nữa đối với dãy Fibonacci cùng với những con số của nó là nó lúc ẩn lúc hiện hầu như khắp nơi trong tự nhiên cũng như trong xã hội loài người. Hình như đã có mối liên hệ sâu sắc giữa dãy F với một nguyên lý cơ bản nào đó hoặc dãy F (và qua đó mà cả Tỷ lệ vàng) chính là một biểu hiện của nguyên lý cơ bản đó của Tự Nhiên Tồn Tại. Chúng ta sẽ trình bày một vài trường hợp trong vô số trường hợp biểu diễn của dãy F (và số 
) trong thiên nhiên.
) trong thiên nhiên.
Khi tăng trưởng theo chiều thẳng đứng, cành cây trổ lá theo một khoảng cách đều đặn. Hơn nữa, có nguyên nhân từ việc chọn vị trí tối ưu để tiếp cận ánh nắng, hơi nước… mà các lá (hay các cành của cây) mọc ra từ dưới lên trên một cách “xen kẽ” nhau giống như chúng “dàn trải” theo một đường xoắn ốc nào đó chứ không theo kiểu “chồng” nhau theo chiều thẳng đứng (xem minh họa ở hình 8). Chẳng hạn lá cây đoạn (baswood) mọc đối nhau, tương đương nửa vòng quanh nhánh, có tỷ lệ xếp là ½. Ở những loài cây như phỉ, mâm xôi, sồi… thì tỷ lệ này là 
(lá này cách lá kia một phần ba vòng thân nhánh). Trong khi đó, cây táo và cây mơ có tỷ lệ xếp lá là 
, còn cây lê và liễu thì có tỷ lệ xếp lá là 
. Tất cả các tỷ lệ ấy đều được lập nên từ các số có trong dãy F.
(lá này cách lá kia một phần ba vòng thân nhánh). Trong khi đó, cây táo và cây mơ có tỷ lệ xếp lá là , còn cây lê và liễu thì có tỷ lệ xếp lá là . Tất cả các tỷ lệ ấy đều được lập nên từ các số có trong dãy F.
Hình 8
Người đầu tiên khám phá ra mối tương quan giữa kiểu xếp lá và các con số Fibonacci là nhà thiên văn lừng danh Keple (Johann Kepler). Tuy nhiên, phải đến thế kỷ XIX thì những nghiên cứu mang tính toán học thực sự về hiện tượng xếp lá mới xuất hiện. Thời đó, người ta đã ghi nhận được kiểu xếp các mắt của trái dứa cũng như kiểu xếp các lá trên đầu trái dứa đều theo các hình vòng xoắn liên quan chặt chẽ tới các số của dãy F. Đặc biệt là đối với cụm lá trên đầu trái dứa, nếu quan sát kỹ và hình dung có một đường cong nối lần lượt các tâm lá từ gốc lên, thì đường cong đó là một đường cong xoắn và người ta thường gọi nó là đường xoắn sinh sản. Nếu nhìn từ trên xuống, sẽ thấy góc tạo bởi hai đường tim của hai lá liền kề nhau thường là khoảng 137,5 độ. Điều bất ngờ thú vị nhất ở đây là góc 137,5o có thể được suy ra từ một tính toán có sự tham gia của Tỷ lệ vàng:
Góc 137,5o còn được gọi là Góc Hoàng Kim. Trong một công trình nghiên cứu được công bố vào năm 1907, Van Iterson đã chứng minh rằng nếu nhìn một tập hợp điểm nằm sít nhau trên đường xoắn thật khít, mỗi điểm cách nhau theo góc 137,5o thì mắt chúng ta sẽ nhìn thấy hiện tượng là có hai lớp mô hình xoắn ốc, một theo chiều thuận và một theo chiều ngược kim đồng hồ. Số lượng đường xoắn trong hai lớp này có khuynh hướng là những con số Fibonacci liền kề, bởi vì tỷ lệ của chúng gần với Tỷ lệ vàng. Những bông li ti của một đóa hoa hướng dương đã được sắp xếp theo cách như thế (xem minh họa ở hình 9). Cách sắp xếp tương tự như hoa hướng dương cũng thấy được ở một số loài hoa khác, chẳng hạn như hoa cúc dại, hoa hồng…
Hình 9
Các con số của dãy F và Tỷ lệ vàng không chỉ xuất hiện thường xuyên trong thế giới thực vật mà thực ra là chúng có mặt phổ biến ở khắp nơi, ở mọi tầng nấc qui mô trong Vũ Trụ, từ khu vực vô cùng nhỏ chỉ có thể quan sát qua kính hiển vi, cho đến những khu vực rộng lớn cỡ các Thiên hà.
Hình 10
Vào thế kỷ XVII, nhà toán học Jacques Bernouilli (1654-1705) đã dành riêng một khảo luận có tên “Đường xoắn diệu kỳ” để nói về một loại đường xoắn mà vì bị mê hoặc bởi vẻ đẹp của nó, ông đã đặt tên là “Đường xoắn Logarith” (xem minh họa ở hình 10). Đặc tính của đường xoắn Logarith là dù kích cỡ có thay đổi to nhỏ như thế nào thì hình dáng của nó vẫn luôn được giữ nguyên. Nếu dùng kính hiển vi để phóng đại những vòng xoắn Logarith mà mắt thường không thể nhìn thấy, rồi phóng đại lên bằng kích cỡ ở hình 10 thì chúng giống hệt nhau và nếu đem chồng cái này lên cái kia thì hoàn toàn khít khao. Đặc tính này được gọi là đặc tính tự đồng dạng và nhờ có nó mà đường xoắn Logarith trở nên đặc biệt quyến rũ khiến cho nhà toán học Jacques Bernouilli ca ngợi hết lời rằng nó “có thể được dùng để làm biểu tượng cho lòng kiên định và bất biến trong nghịch cảnh, hoặc cho cơ thể loài người mà sau bao thay đổi, ngay cả sau khi chết, cũng sẽ phục hồi đúng bản chất vốn có, chính xác và hoàn hảo”. Không những thế, nhà toán học còn yêu cầu là sau khi chết, trên bia mộ mình phải khắc hình đường xoắn đó và câu: “Cho dù có thay đổi, ta lại khởi lên y như cũ”. Linh hồn của ông có lẽ vô cùng đau buồn khi biết rằng người thợ thực hiện việc khắc bia mộ đã lầm lẫn, không khắc hình đường xoắn Logarith theo ước nguyện của ông mà lại khắc hình đường xoắn Acximét (là dạng đường xoắn có khoảng cách giữa những vòng cuộn luôn không đổi).
Sự tăng trưởng theo kiểu tự đồng dạng thể hiện rất phong phú trong tự nhiên. Chẳng hạn như sự tăng trưởng của sừng cừu, ngà voi, của hoa hướng dương, vỏ ốc, xoáy nước, những trận cuồng phong, hình chụp nhiều thiên hà…
Một trong những biểu hiện tuyệt vời của đường xoắn Logarith là nó có mối quan hệ khăng khít với Tỷ lệ vàng. Có thể vẽ đường xoắn Logarith trên cơ sở hình chữ nhật vàng và hình tam giác vàng (xem hình 11a và b).
Hình 11
Đường xoắn Logarith còn được nhà bác học đại tài Đềcác (Renè Descarter) đặt tên là “Đường xoắn đẳng giác” vào năm 1638 do đặc tính độc đáo sau đây của nó: nếu vẽ một đường thẳng từ điểm cực đến bất kỳ một điểm nào trên đường cong, đường thẳng ấy sẽ cắt đường cong tại cùng một góc chính xác. Một trong những loài chim bay nhanh nhất hành tinh là chim cắt. Chúng có khả năng lao tới con mồi với tốc độ lên đến 320km/giờ. Tuy nhiên chim cắt lại không lao tới con mồi theo một lộ trình thẳng để tận dụng tối đa tốc độ của nó mà lại theo một lộ trình cong xoắn. Nhà sinh vật học Vance Tucker thuộc trường Đại học Duke (Mỹ) đã từng thắc mắc nhiều năm trời về hành động kỳ lạ này. Cuối cùng, ông mới phát hiện ra rằng mắt chim cắt nằm ở hai bên đầu, vì vậy nếu nó muốn bay theo lộ trình thẳng đến con mồi trong khi phải luôn quan sát con mồi thì nó phải nghiêng đầu đi 40o và nếu làm như vậy thì té ra phải giảm tốc độ bay đi nhiều. Chính vì vậy mà chim cắt chọn phương án bay đến con mồi theo đường xoắn đẳng giác, vừa luôn theo dõi được hành vi con mồi, vừa phát huy được tốc độ tối đa. (Xem hình minh họa 12)…
Những câu chuyện lịch sử có liên quan đến dãy F, số 
còn rất nhiều, khó lòng kể ra hết được. Có lẽ chúng ta nên tạm dừng ở đây vì đã nêu ra được những điều cốt yếu. Chỉ xin nói thêm rằng, đến nay, Leonard Fibonacci vẫn còn được nhiều người nhắc đến. Tại Pisa, một bức tượng của ông được chế tác từ thế kỷ XIX vẫn sừng sững trong công viên Scotto, gần đó có một con đường mang tên Fibonacci.
còn rất nhiều, khó lòng kể ra hết được. Có lẽ chúng ta nên tạm dừng ở đây vì đã nêu ra được những điều cốt yếu. Chỉ xin nói thêm rằng, đến nay, Leonard Fibonacci vẫn còn được nhiều người nhắc đến. Tại Pisa, một bức tượng của ông được chế tác từ thế kỷ XIX vẫn sừng sững trong công viên Scotto, gần đó có một con đường mang tên Fibonacci.
Hình 12
¯¯¯
Sự xuất hiện số vô tỷ (dù là tất yếu) trong Vũ trụ số đã từng gây kinh hoàng cho các nhà toán học trường phái Pitago thời cổ đại. Nhưng rồi loài người cũng nhanh chóng thừa nhận nó một cách “vui vẻ” với an ủi rằng chúng là kết quả của sự khai căn “vô nguyên tắc”. Còn sự xuất hiện những đoạn thẳng vô tỷ trong Vũ trụ hình thì cho đến tận ngày nay, dù cũng phải thừa nhận, nhưng vẫn thấy “khó coi”. Một đoạn thẳng vô tỷ mà luôn có thể xác định được một cách dứt khoát là điều hoàn toàn khó hiểu nếu không quan niệm về tính biểu hiện nước đôi của Tự Nhiên Tồn Tại.
Người ta cho rằng sự vô tỷ của một đoạn thẳng có nguồn gốc từ tính vô ước mà nguyên nhân sâu xa của tính vô ước, theo chúng ta là do các đoạn thẳng nằm trong những thế giới khác nhau về phương chiều. Thực ra, không có đoạn thẳng nào là thực sự vô tỷ cả, sự biểu hiện vô tỷ của chúng là có tính “nhân tạo”. Có thể nói, với sự tư duy “bạt mạng” của mình, con người đã sáng tạo ra đoạn thẳng vô tỷ để tự “hành hạ” mình.
Việc chia đoạn thẳng theo điều kiện tích trung bằng tích ngoại (hay trung tỷ bằng ngoại tỷ) làm một đoạn thẳng cho trước (cũng có nghĩa là hoàn toàn xác định và như vậy, số trị độ dài của nó nếu không nguyên thì ít ra cũng phải hữu tỷ), bị phân thành hai đoạn vô tỷ (nhưng về mặt trực quan là hoàn toàn hữu hạn) đã gây ra sự bối rối ghê gớm cho nhận thức. Trong thực tế, vì chia đoạn thẳng là một hành động tự do nên có thể chia được như thế. Tuy nhiên, đồng thời cũng không thể chia được như thế vì không thể có một “con dao” sắc đến vô tận (mỏng đến vô tận) để phân một đoạn thẳng đã xác định thành hai đoạn (rõ ràng là) hữu hạn nhưng có giới hạn ở vô cùng tận. Không thể nào không bái phục Tỷ lệ vàng, một đứa con sinh ra từ mâu thuẫn “khủng khiếp” như thế lại là một trong những niềm thích thú nhất của Thiên nhiên, lại là một trong những yếu tố cốt lõi tạo tác nên những vẻ đẹp bất diệt của Tự Nhiên. Đó phải chăng cũng là cội nguồn của tình yêu say đắm trong tâm hồn của những giống loài biết tư duy, nhận thức.
Đến đây, chúng ta bất chợt nhớ lại một bài thơ mà chúng ta đã cảm tác sau khi xem một cuộc thi hoa hậu thế giới trên TV. Bài thơ đó như thế này:
TỶ LỆ VÀNG
Ta ngồi ngắm Tỷ lệ vàng
Bước qua bước lại hai hàng nõn thon
Muốn ôm khuôn thước trăng tròn
Hôn vùi non nước thỏa hồn lang thang…
Chợt nhìn thấy vợ đi ngang
Vội vàng eo ỏng: “Toàn nàng… ma chê”
Vợ lườm, vợ nguýt thấy ghê:
“Đàn ông, một lũ chẳng mê cũng thèm!”.
Lạ thay hai mảnh treo rèm
Khéo che vô tỷ, người xem nức lòng!
Bước qua bước lại hai hàng nõn thon
Muốn ôm khuôn thước trăng tròn
Hôn vùi non nước thỏa hồn lang thang…
Chợt nhìn thấy vợ đi ngang
Vội vàng eo ỏng: “Toàn nàng… ma chê”
Vợ lườm, vợ nguýt thấy ghê:
“Đàn ông, một lũ chẳng mê cũng thèm!”.
Lạ thay hai mảnh treo rèm
Khéo che vô tỷ, người xem nức lòng!
(còn tiếp)
Mời xem:
0 comments:
Hãy viết bằng tiếng Việt có dấu trực tuyến:
Easy VN - Chương trình tự động thêm dấu tiếng Việt
VIETUNI - Tại Viet1Net (Nên chọn Kiểu Loạn)
- Chèn link bằng thẻ: <a href="URL liên kết" rel="nofollow">Tên link</a>
- Tạo chữ <b>đậm</b> và <i>Ngiêng</i>