THỰC TẠI VÀ HOANG ĐƯỜNG 38/b

Thứ Tư, tháng 1 28, 2015


THỰC TẠI VÀ HOANG ĐƯỜNG (IV)



PHẦN IV:     BÁU VẬT

“Lạc vào cõi mộng Tự Nhiên
Thẫn thờ một bóng giữa miền Siêu Linh
Nhặt lên hòn ngọc bí huyền
Mắt ai thăm thẳm đắm nhìn mắt ai.”
Thầy Cãi

CHƯƠNG V: KỲ HOA

“Chúng ta ngưỡng mộ Hy Lạp cổ đại như là cái nôi của nền khoa học phương Tây. Ở đó, lần đầu tiên hình học Ơclit được xây dựng. Đó là sự kỳ diệu của trí tuệ, là hệ thống logic mà những kết quả của nó suy ra cái này từ cái kia một cách chính xác, đến nỗi không ai có thể nghi ngờ điều gì”.
A. Anhxtanh

“Hình học có hai bảo vật, một là Định lý Pitago, bảo vật kia là Định lý tích trung bằng tích ngoại. Ta có thể so sánh cái thứ nhất với một lượng vàng và có thể gọi cái thứ hai là viên ngọc quí”.
J. Keple

(tiếp theo)
Vui chút thế thôi, bây giờ chúng ta sẽ quay lại xem xét lần nữa việc chia đoạn thẳng thỏa mãn điều kiện tích trung bằng tích ngoại.
Trước hết, chúng ta sẽ vẽ lại đoạn thẳng OA của hình 2:
Điểm B nằm tại vị trí thỏa mãn điều kiện tích trung bằng tích ngoại, nghĩa là:
                 

Trong không gian Ơclít, đường thẳng là tập hợp của vô số điểm kế tiếp nhau trên một phương nhất định. Ở đây, đoạn thẳng OA là một tập hợp hữu hạn điểm nằm kề tiếp nhau trên đường thẳng a. Giả sử rằng các điểm đó là điểm tuyệt đối (hạt KG), tổng “bề dày” của chúng chính là độ dài tuyệt đối của đoạn thẳng OA và bằng n (n cũng là số lượng của các điểm làm nên đoạn thẳng OA). Điểm B chỉ có thể là một trong số các điểm đó.
Điều giả sử nêu trên dẫn đến kết luận đầu tiên là không những đoạn thẳng OA là nguyên (tự nhiên) mà các đoạn OA và BA cũng là những đoạn thẳng hữu tỷ, đều có bản chất nguyên (tự nhiên). Cần chú ý rằng, tất cả những đoạn thẳng hữu tỷ đều có bản chất nguyên (tự nhiên). Sự hữu tỷ của chúng chỉ là do nhân tạo, do nhận thức quy định. Chẳng hạn có đoạn thẳng hữu tỷ là 0,5m. Nếu chúng ta qui định lại đơn vị đo độ dài cho nó là dm thì nó sẽ trở thành một đoạn thẳng nguyên (tự nhiên) và bằng 5 dm (đềximét!).
Nếu chúng ta gọi OB là x và BA là y, thì:
                 
và vì phải thỏa mãn điều kiện tích trung bằng tích ngoại nên cũng có:
     
Giải phương trình theo ẩn số x, chúng ta được:
      
Khi chọn y=1 (hoặc -1) thì
    
Nghiệm của phương trình đã gây ra một “khủng hoảng vĩ đại” không thể tin nổi: x là một đoạn thẳng tư nhiên “thuở ban đầu", giờ đây lại trở thành một đoạn thẳng vô tỷ, thậm chí là vừa âm vừa vô tỷ và “ngắn” hơn đoạn thẳng y (trong khi chúng ta “thấy” nó dài hơn).
Cần phải hiểu hiện tượng đó như thế nào? Về vấn đề nghiệm âm của phương trình có thể tạm hiểu được là khi hai đoạn thẳng x và y là cùng dấu âm, dương (không phân định thành tương phản, hoặc là cùng chiều nếu chúng là những véctơ) thì x luôn dài hơn y, ngược lại, khi chúng (được qui ước) khác dấu âm, dương (hoặc là những véctơ trái chiều), thì x bao giờ cũng ngắn hơn y (về mặt giá trị tuyệt đối) và hơn nữa x1 và x2 là tương phản nghịch đảo của nhau qua gốc –y2, nghĩa là:
                 
Còn vấn đề sau khi tính toán, một đoạn thẳng nguyên bị “đổi” thành vô tỷ thì như thế nào?
Nếu xem xét kỹ thì mọi đoạn thẳng trên đường thẳng a đều luôn được xác định đối với đường thẳng a vì chúng chỉ có thể được hình thành bắt đầu từ một điểm nào đó và kết thúc tại một điểm khác. Không thể có một khoảng cách nào trong x nhỏ hơn đơn vị độ dài tuyệt đối của a được nữa. Một đoạn thẳng là vô tỷ đối với đường thẳng a thì không cùng phương với đường thẳng a, hoặc phải là một đường không thẳng, hoàn toàn hay có ít nhất một bộ phận khác phương với a. Chính vì điều này mà không thể nào chọn được điểm B trên đoạn thẳng OA sao cho thỏa mãn điều kiện tích trung bằng tích ngoại. Còn muốn thỏa mãn điều kiện ấy thì hoặc điểm B phải nằm ngoài đường thẳng a (để đoạn x được thấy là vô tỷ đối với a), hoặc nếu B vẫn có thể nằm trên đường thẳng a (trong khoảng OA) thì đoạn OBA không còn thẳng nữa (nghĩa là không còn thuộc a nữa dù ba điểm O, B, A vẫn thuộc a). Chúng ta minh họa vài trường hợp có thể của đoạn OBA khi nó thỏa mãn điều kiện tích trung bằng tích ngoại (theo “quan niệm” của đường thẳng a) ở hình 13:
Hình: 13: Hiện tượng tích trung bằng tích ngoại
Thực ra các minh họa ở hình 13 chỉ có tính chất gợi ý tượng trưng chứ không đúng vì trong hiện thực khách quan mà chúng ta đang hiện hữu không thể dựng được những đoạn thẳng ấy với điều kiện chúng vừa phải là hữu tỷ vừa thỏa mãn điều kiện tích trung bằng tích ngoại. Muốn thực hiện được điều đó thì phải “thổi thời gian vào, nghĩa là các đoạn thẳng đó phải sống động. Tuy nhiên trong một điều kiện nào đó, chúng ta tin rằng những hình chiếu của những đoạn thẳng ở hình 13, khi “chiếu xuống” đường thẳng a, sẽ tạo nên đoạn OA với điểm phân chia B sẽ thỏa mãn điều kiện tích trung bằng tích ngoại mà cả x, y và OA sẽ chẳng có đoạn thẳng nào là vô tỷ cả (đương nhiên là không phải theo “quan điểm” của a).
Dù rằng sự vô tỷ, xét ở khía cạnh khác cũng mang tính khách quan của nó, nhưng chắc chắn rằng nếu không có sự tạo dựng của tư duy thì nó khó lòng thể hiện ra được, thậm chí là không tồn tại. Sự nhân tạo thật không biết đến đâu mà lường! Ngay cả đoạn thẳng OA “chắc như bắp” là tự nhiên như thế, mà qua sự “nhào nặn” của tư duy, nhân tạo cũng buộc đoạn thẳng này phải vô tỷ. Chúng ta sẽ giải phương trình theo hướng hơi khác một chút để minh chứng điều vừa nói.
    
Chọn n là ẩn số và giải ra chúng ta được:
     
Bỏ qua trường hợp phân định tương phản thì n>y, do đó phương trình có nghiệm duy nhất là:
                 
Kết quả cho thấy dù y có thế nào chăng nữa thì n vẫn phải là một số vô tỷ, hay có thể nói, muốn thỏa mãn điều kiện tích trung bằng tích ngoại, đoạn OA phải biến thành vô tỷ.
    
Đúng thật là hiện tượng tích trung bằng tích ngoại đã tạo ra biết bao nhiêu điều kỳ lạ, song có lẽ điều kỳ lạ nhất là dù có vẻ thiên về tính nhân tạo nhiều hơn thì đối với sự xắp bày của tự nhiên và các quá trình vận động của vạn vật, nó không hề xa lạ chút nào, mà trái lại, cứ như một kim chỉ nam cho mọi thứ thích thú hướng về. Hình như không có một con số nào sánh được sự vừa kỳ diệu vừa kỳ cục với Tỷ lệ vàng. Chúng ta cho rằng có như thế là vì Tỷ lệ vàng đã bộc lộ ra nhiều điều quan trọng của Vũ Trụ hình học và thông qua đó là của Tự nhiên Tồn tại, chẳng hạn như về mối quan hệ giữa quan sát nhận thức và Thực tại khách quan, và sự chuyển hóa giữa các tầng nấc không gian từ vi mô đến vĩ mô, về cấu trúc đa tạp của không gian… Chắc rằng, Tỷ lệ vàng là một biểu hiện của yếu tố hay mối quan hệ nào đó rất sâu xa về cấu trúc nền tảng của Vũ Trụ hình học. Nếu có thế thì thử hỏi số có mối liên hệ nào đến số “Pi” (ký hiệu: ) không?
Số là một con số mà nếu không có nó thì Vũ Trụ hình học không có sự tương phản giữa “cong” và “thẳng” và do đó mà cũng không thể có chuyển hóa giữa hai lực lượng lưỡng nghi ấy. Nếu thực sự có như vậy thì thử hình dung xem tình hình sẽ nghiêm trọng đến cỡ nào? Cũng thật lạ lùng là số  cũng vô tỷ “khủng khiếp” như số .
Số , đầu tiên được dẫn ra từ hình học, khi người xưa tìm cách tính độ dài (chu vi) đường tròn, nhưng cũng như số , nó ẩn hiện khắp nơi trong tự nhiên. Thí dụ, giáo sư Hans Henrik Stlum, nhà khoa học vế trái đất thuộc trường đại học Cambridge, đã tiến hành tính toán tỷ số giữa chiều dài thực của các con sông và độ dài tính theo đường chim bay của chúng và lập tỷ số. Ông phát hiện ra rằng mặc dù tỷ số này có giá trị khác nhau đối với các con sông khác nhau, nhưng tính trung bình thì nó lớn hơn 3 một chút, cụ thể là vào khoảng 3,14, rất gần với số .
Số chính là tỷ số giữa chu vi đường tròn và đường kính của nó. Ngay từ xa xưa, các nhà toán học đã nỗ lực tìm “chân tướng” của số và công cuộc đó cũng là một nỗ lực vô tiền khoáng hậu cho đến tận ngày nay. Acximét đã đưa ra trị số phân số để biểu thị số ; Lưu Huy thời Ngụy ở Trung Quốc đưa ra phân số và , Thái Huy thời Đông Hán dùng phân số …, người Ấn Độ xưa dùng các phân số … Nhà toán học Tổ Xung Chi, người thời Nam Bắc triều ở Trung Quốc đưa ra đuợc trị của số chính xác kỷ lục lúc bấy giờ và kỷ lục đó tồn tại trong một thời gian dài, đó là số 3,141592 (chính xác đến 6 số lẻ). Trong dân gian việt Nam có lưu truyền một qui tắc xác định đường kính của đường tròn khi biết chu vi của nó: “Quân bát, phát tam, tồn ngũ, quân nhị”, nghĩa là “chia (chu vi) làm 8 phân, bỏ đi 3 phần, còn lại 5 phần, rồi chia đôi”, hay có thể viết:
                 
Năm 1427, người Ả Rập tính được ra 17 số sau dấu phẩy của . Một nhà số học người Hà Lan đã tính ra được 35 số sau dấu phẩy của . Sau khi ông mất vào năm 1610, người ta đã khắc số với 35 số thập phân đó lên bia mộ để ghi nhận công lao của ông.
Năm 1973, nhờ máy tính điện tử đã ra đời, hai nhà số học nữ người Pháp đã tính được 1 triệu số sau dấu phẩy của . Sau đó một người Mỹ nâng lên thành 1,5 triệu số lẻ. Đến tháng 9-1989, một nhà toán học  ở trường Đại học Tôkyô (Nhật) đã tính được với hơn 1 tỷ số lẻ. Năm 1996, một nhà toán học Nhật khác cũng thuộc trường Đại học Tôkyô tính chính xác số đến 6 tỷ số lẻ. Sau đó nghe đâu có hai anh em người Nga, sống ở New York đã tính được số với 8 tỷ con số. Có lẽ công cuộc tìm kiếm trị chính xác của số vẫn còn tiếp diễn. Chúng ta không hiểu công cuộc đó có đem lại hiệu quả thiết thực nào không vì người ta ước chừng rằng, chỉ cần một số  chính xác tới 39 con số thập phân thôi là cũng đủ để tính chu vi Vũ Trụ chính xác tới cỡ bán kính của nguyên tử hydrô. Vả lại cũng đã có ít nhất là hai công thức số học để tính số rồi.
Công thức thứ nhất để tính bắt nguồn từ một bế tắc của nhà toán học Jacob Bernoulli (1654 - 1705). Nhà toán học này không tìm được tổng của chuỗi các nghịch đảo bình phương:
                 
Ông có viết: “Cho đến nay, tôi đã cố gắng nhiều nhưng vẫn không tìm ra. Ai tìm được và cho biết thì tôi xin cảm ơn vô cùng”.
Một nhà toán học thiên tài, đã từng là học trò của Johann Bernoulli (1667 - 1748, em trai của Jacob), đã chú ý tới bài toán đó. Người đó chính là Ơle.
Ơle (Léonard Euler, 1707 - 1783), là nhà toán học nghiên cứu nhiều lĩnh vực như toán học, vật lý học, triết học, âm nhạc, xây dựng… Tuy nhiên sự nghiệp chủ yếu và có được những thành quả phi thường, rực rỡ nhất của ông là nghiên cứu toán học. Trong vai trò là nhà toán học, Ơle là thiên tài.
Như đã kể, Ơle sinh ngày 15-4-1707 tại Bâle, Thụy Sĩ, trong một gia đình mục sư. Từ nhỏ, qua sự hướng dẫn của cha, Ơle đã tỏ ra có năng khiếu đặc biệt về toán học. Năm 1720, Ơle vào học tại trường Đại học Bâle. Tài năng toán học của ông nhanh chóng được giáo sư J. Bernoulli phát hiện. Năm 17 tuổi thì Ơle tốt nghiệp đại học.
Năm 1727, Ơle đến làm việc ở Viện hàn lâm khoa học Pêtécbua (St. Pêtécbua là tên gọi của thủ đô nước Nga lúc bấy giờ). Tại đây, tài năng của Ơle nhanh chóng thăng hoa. Năm 1735, khi Viện hàn lâm Pêtécbua cần có những số liệu tính toán thiên văn để thiếp lập bản đồ, Ơle đã nhận lời thực hiện yêu cầu đó trong thời hạn 3 ngày. Với một khối lượng công việc đáng lẽ ra phải cần vài tháng mới có thể hoàn thành thì ông đã làm cho mọi người hết sức ngỡ ngàng và thán phục khi thực hiện xong chỉ trong vòng 1 ngày 1 đêm. Do làm việc cật lực như vậy mà ông bị hỏng một bên mắt.
Sau 14 năm làm việc, Ơle hoàn thành rất nhiều công trình toán học có giá trị cao. Ngoài công tác nghiên cứu, ông còn giảng dạy ở trường Đại học tổng hợp Pêtécbua, làm chuyên gia kiểm định kỹ thuật trong công tác đo lường.
Năm 1741, Ơle chuyển sang làm việc tại Viện hàn lâm khoa học Beclin, kinh đô nước Đức. Trước khi rời Nga, ông nhận danh hiệu viện sĩ danh dự Viện hàn lâm khoa học Pêtécbua. Trong quá trình 25 năm làm việc ở Đức, Ơle đã cho công bố gần 300 công trình nghiên cứu, đồng thời vẫn cộng tác chặt chẽ với Viện hàn lâm khoa học Pêtécbua và cho đăng tải trên tạp chí của Viện này hơn 100 công trình khác.
Năm 1766, Ơle về lại Pêtécbua. Bốn năm sau, tức năm 1770, do ngày đêm làm việc quên mình, con mắt còn lại của ông bị hỏng nốt. Sau khi bị mù, Ơle còn lâm phải cảnh nhà cháy trụi, của cải mất sạch, cô quạnh vì vợ ông đột ngột qua đời. Song tai ương và đau buồn đó có vẻ như không hề ảnh hưởng tới sức sáng tạo và năng suất làm việc phi thường của Ơle. Ông đã đọc cho thư ký chép hết công trình này đến công trình khác. Từ năm 1766 cho đến lúc qua đời, Ơle đã cho ra đến 416 công trình nghiên cứu, tính ra là khoảng 25 công trình trong 1 năm.
Ơle qua đời tại Pêtécbua vào ngày 18-9-1783 trong khi đang làm viện sử Viện hàn lâm khoa học của 8 nước trên thế giới gồm: Nga, Anh, Đức, Pháp… Sau khi Ơle mất, những công trình chưa công bố của ông được tiếp tục đang trên tạp chí của Viện hàn lâm khoa học Pêtécbua đến 80 năm sau mới hết.
Năm 1911, tại quê hương Ơle, người ta đã in toàn bộ các công trình nghiên cứu của ông thành bộ sách gồm 85 quyển cỡ lớn với tổng số gần 40.000 trang. Trong đó có:
- Lý thuyết về sự chuyển động của các sao chổi và hành tinh.
- Cơ học phân giải.
- Lý thuyết đầy đủ về sự đóng và vận chuyển tàu thủy.
- Nhập môn về phép tính vi tích phân.
- Toán vi phân.
- Toán tích phân
………
Để tìm tổng chính xác của chuỗi các nghịch đảo bình phương, nhà toán học Ơle đã áp dụng một phương pháp chứng minh do chính ông sáng tạo ra, gọi là phép chứng minh tương tự. Ông đã tiến hành như sau:
Nếu phương trình đa thức tổng quát bậc n:
                 
có n nghiệm phân biệt x1, x2,…, xn thì theo định lý Viét, có thể phân tích nó thành:
                 
So sánh những số hạng cùng bậc đối với x ở hai vế đồng nhất thức ấy, có thể rút ra được những hệ thức giữa các nghiệm đã biết và các hệ số của phương trình. hệ thức đơn giản nhất, tìm được bằng cách so sánh những số hạng chứa xn-1, là:
                 
Việc phân tích thành những thừa số bậc nhất có thể làm theo cách khác. Nếu các nghiệm đều khác 0, hay khác 0 thì cũng sẽ có:
    
Ơle tiếp tục khảo sát phương trình đa thức bậc 2n có dạng:
                 
Nó có 2n nghiệm phân biệt là:
                 
Và hiển nhiên dẫn đến đồng nhất thức:
                 
Từ đó suy ra:
                 
Với những khảo sát cơ bản trên và lấy nó làm cơ sở so sánh, Ơle chuyển sang xét phương trình hay:
                 
Vế trái của phương trình có vô số số hạng, nó có “bậc vô tận”. Vì vậy, theo nhận xét của Ơle, không nên ngạc nhiên rằng nó có vô số nghiệm:
                 
Ơle chia 2 vế của phương trình k cho x thì làm xuất hiện một phương trình tương tự như phương trình j, và khi loại bỏ nghiệm 0 của nó đi thì có thể viết:
     
Đó chính là kết quả tổng của chuỗi các nghịch đảo bình phương mà Jacob Bernoulli đã từng nỗ lực nhưng không tìm ra được.
Chứng minh bằng tương tự là một ý tưởng táo bạo nhưng tài tình của nhà toán học thiên tài Ơle. Mười năm sau đó, ông viết: “Đây là một phương pháp mới và chưa từng được dùng vào mục đích như vậy”
Để có đủ cơ sở vững chắc cho niềm tin vào sự sáng tạo đó của mình, Ơle đã thử nó với nhiều trường hợp khác và đều thành công mỹ mãn. Và cũng bằng cách tương tự như thế, Ơle đã tìm ra một công thức tính số tuyệt đẹp:
                 
Công thức tính số thứ hai bắt nguồn từ việc nghiên cứu dựng các đa giác đều nội tiếp đường tròn bằng thước kẻ và compa.
Nói chung, nếu đã dựng được hình đa giác đều n cạnh nội tiếp đường tròn thì cũng dựng được đa giác đều 2n cạnh bằng cách chia đôi cung giữa 2 đỉnh kế nhau của đa giác đều n cạnh. Chẳng hạn, vì người ta đã dựng được đa giác đều 3 cạnh (tam giác đều) và 5 cạnh (ngũ giác đều) nên cũng dựng được các đa giác đều có số cạnh là 6, 12, 24… và 10, 20, 40… Một cách tổng quát thì có thể dựng được các đa giác đều 3.2n cạnh và 5.2n cạnh bằng thước kẻ và compa. Còn có một trường hợp nữa là nếu bắt đầu từ đường kính (gọi là “đa giác đều 2 cạnh nội tiếp”) thì người ta sẽ dựng được bằng thước kẻ và compa các đa giác đều nội tiếp có 2n cạnh.
Nếu biểu thị độ dài một cạnh của đa giác đều n cạnh là an (đối với đa giác đều 2 cạnh thì an=1), thì cạnh của đa giác đều 2n cạnh là:
                 
Điều này được chứng minh dễ dàng như sau (xem hình 14):

Hình 14: gấp đôi cạnh của một đa giác đều
Gọi:            an = DE = 2DC
                  a2n = DB
                  AB = 2
Vì tam giác ABD vuông nên diện tích của nó là:
    
Từ những dữ liệu đó, thay thế vào, sẽ có:
                 
Và làm xuất hiện phương trình:
                 
Giải phương trình này với ẩn là , sẽ được:
                 
Từ chúng ta còn rút ra được:
                 
Nhờ hai kết quả tính a2n và an, rồi thông qua biện luận, chúng ta sẽ có công thức tính a2n khi n>2, mà vế phải là một liên căn thức gồm n-1 căn thức bậc 2.
                 
Có thể nói độ dài một cạnh của đa giác đều 2n cạnh, nếu đem so với đường kính đường tròn ngoại tiếp nó, là một số vô tỷ không thua gì số .
Nếu đã biết độ dài của a2n thì chu vi đa giác đều đó, khi qui ước đường kính bằng 2 là . Cho nên cũng có thể suy ra được:
   
Một số tự nhiên nhân với một số vô tỷ “ghê gớm” thì tất nhiên cũng phải là một số vô tỷ không kém. Trị số gần đúng của  là 3,141592, số  này được Tổ Xung Chi, người Trung Quốc nêu ra lần đầu tiên vào thế kỷ V (thời Nam - Bắc triều). Nó đã đủ độ chính xác cần thiết cho mọi tính toán thực dụng. Thế nhưng để “thực chứng” sự vô tỷ của cũng như để “chiến thắng” trong việc xác định với mức độ khó khăn ngày càng tăng các trị số kế tiếp nhau của nó, trong lịch sử toán học đã có một cuộc thi đua không chính thức. Các kỷ lục về tính toán số  vì thế mà liên tục được xác lập để rồi lần lượt bị bứt phá. Cuối thế ký XX, 11-9-2000, con số lẻ thứ một triệu tỉ của được xác định, và đó là số 0. Tháng 8-2009, con số lẻ thức 2,6 triệu tỉ của được tính ra tại trường Fabrice Bellard đã phá kỷ lục đó với số gồm 2,7 triệu tỉ con số. Giả sử mỗi giây đọc được một chữ số thì muốn đọc hết chữ số của số này phải cần đến một lượng thời gian là 85.000 năm. Còn kỷ lục về việc nhớ số  thì Lu Chao, người Trung Quốc, đã được sách Guinness (sách liệt kê các kỷ lục ở mọi lĩnh vực trên thế giới) ghi nhận là anh này đã nhớ chính xác và đọc ra vanh vách tới con số thứ 67.890 của số . Công cuộc đi tìm trị số ngày một chính xác hơn của hoàn toàn không hề có ý nghĩa thực tiễn mà có vẻ như một minh chứng hùng hồn về tính khí cực kỳ tò mò và sự “bướng bỉnh” lạ lùng của một giống loài biết tư duy nhận thức!
Tuy nhiên, cái gọi là “tất nhiên” chưa hẳn đã là duy nhất. Vì như chúng ta từng nói, một đoạn thẳng chỉ trở nên vô tỷ nếu nhìn nó ở một góc độ nhất định nào đó, hay khi so sánh nó với “ai đó” mà phải thông qua phép khai căn không được phép thực hiện trong thế giới số hữu tỷ. Nếu nhìn ở góc độ khác hoặc trong sự so sánh phù hợp nhất định nào đó thì đoạn thẳng đó là hữu tỷ, nguyên hay tự nhiên. Chẳng hạn, nếu chúng ta chọn a2n là hữu tỷ thì đường kính của đường tròn ngoại tiếp của đa giác đều 2n cạnh phải vô tỷ, vì giữa chúng là sự vô ước, thế nhưng lúc này lại là số hữu tỷ, thậm chí là số tự nhiên.
Công thức tính số ở trên, thoạt nhìn thì thấy đẹp như một cô gái tuổi trăng tròn với mái tóc dài thướt tha trong gió. Nhưng nhìn kỹ thì thấy hơi… bực mình. Chúng ta rất thích người thiếu nữ để tóc dài vì nó làm tăng thêm phần dịu hiền và duyên dáng. Song một mái tóc dài đến vô tận thì lại hóa ra… quá kỳ dị. Sẽ không bao giờ hiểu nổi một người con gái có mái tóc dài bất tận và hình như chưa bao giờ được chải chuốt cho bớt rối, lại có thể lả lướt khoe duyên khắp Vũ Trụ như thế.
Nhưng không, hãy “nhìn” kỹ lại đi, hình như mái tóc ấy không đến nỗi dài như thế. Có thể đó chỉ là cái bóng của một mái tóc khác ngắn hơn nhiều và đẹp hơn nhiều chăng? Tương tự như mặt trời chiếu bóng của một cái cột lên mặt đất ở góc độ rất xiên: độ dài cột là hữu hạn nhưng bóng của nó lại có thể dài đến vô định.
Trong công thức tính ấy, chúng ta đã đặt điều kiện rằng chỉ khi thì vế phải mới bằng vế trái. Nhưng đặt điều kiện như thế có đúng không và sao không đặt điều kiện ? Nếu đặt thì vẫn chưa vô hạn vì do đó liên căn thức của vế phải phải kết thúc trước khi còn khả năng khai triển và vì vậy nó sẽ trở nên hữu tỷ. Do đó đặt điều kiện vẫn hợp lý hơn. Thế nhưng nếu đặt điều kiện như vậy thì liên căn thức, tương tự như trường hợp kia, cũng phải kết thúc ở n-1, nghĩa là bị chặn trước khi đạt tới vô hạn, và trong trường hợp này, cũng phải hữu tỷ.
Sẽ cảm nhận rõ hơn vấn đề trên nếu qui ước lại rằng đường kính đường tròn ngoại tiếp đa giác đều không phải bằng 2 mà chỉ bằng 1 đơn vị độ dài. Lúc này chúng ta có phương trình:
                 
Giải ra với a2n<1 sẽ có nghiệm:
                 
Qua biện luận, chúng ta đạt được:
                 
                  với n-1 căn thức bậc 2
Để cho khỏi rườm rà, ở đây chúng ta viết công thức tính theo a2n, và như vậy:
                 
với a2n là một dạng liên căn thức có n-1 căn thức bậc 2
Rõ ràng, bằng bất cứ giá nào thì a2n cũng phải hữu hạn vì nó bị chặn trước khi đạt tới vô hạn. Vậy a2n phải hữu tỷ không lặp lại và do đó  không thể vô tỷ!
Mặt khác, nếu quan niệm rằng  các đường thẳng hay cong đều do tập hợp các điểm “xếp” liên tiếp nhau tạo nên thì đường tròn không thể ngoại lệ. Vì đường tròn là đường cong khép kín nên n không thể bằng mà phải hữu hạn. (Nếu muốn cho n là vô hạn thì phải tính đến vô vàn các điểm ảo trong nội tại của các điểm tạo nên đường tròn, rồi vô vàn điểm trong nội tại các điểm ảo tạo nên điểm thực, cứ thế mãi mãi cho đến khi vỡ lẽ ra rằng thực ra là sự đếm lặp lại giữa ảo và thực để chẳng thể xác định được cái gì hết. Số vô tỷ là vì thế chăng?!).
Vì sao một liên căn thức khi không được tiếp tục tiến triển nữa thì nó trở thành hữu tỷ? Chúng ta đã nói điều lố bịch chăng khi chỉ với thôi, chẳng tiến triển gì cả, cũng chẳng thể nào hữu tỷ được? Có thể trong Vũ Trụ số học, tình hình là “bi đát” như thế. Nhưng ở đây là Vũ Trụ hình học được bộ não hoang tưởng “thái quá” của chúng ta nhận thức. Chúng ta cho rằng khi liên căn thức dừng tiến triển thì cũng có nghĩa dừng vận động. Khi một đoạn thẳng nằm bất động thì dù có bị đánh giá thế nào cũng mặc, nó vẫn hiển hiện chắc nịch là một đoạn thẳng xác định được.
Nói về sự hoang tưởng bạt mạng thì hoang tưởng sau đây cũng thuộc dạng “siêu quần”: Nếu xét ở tầng các điểm làm nên một đường tròn là nhỏ nhất tuyệt đối (điểm KG) thì không phải bất cứ loại đa giác đều nào cũng nội tiếp được tùy ý đường tròn có qui mô tương xứng nào, mà phải tùy thuộc vào số lượng, sự chẵn lẻ của tập hợp điểm đó, chỉ có loại đa giác đều phù hợp mới nội tiếp được và tùy tình hình, mới có thể phát triển được lên thành đa giác đều có 2n cạnh.
Ghê chưa?!
Chưa ghê lắm đâu! Những suy đoán tiếp theo có lẽ còn ghê hơn nữa!
Trong tất cả những đa giác đều nội tiếp đường tròn thì đa giác 6 cạnh đều (lục giác đều) có một tính chất phi thường hơn cả, đó là độ dài một cạnh của nó bằng độ dài bán kính (nửa độ dài đường kính) đường tròn ngoại tiếp, hay nếu gọi độ dài đường kính là D, độ dài cạnh lục giác đều nội tiếp là a6, thì có thể biểu diễn:
                 
Đẳng thức đó có tuyệt đối chính xác không? Nếu chúng ta quan niệm rằng là số vô tỷ thì nó không chính xác, còn nếu chúng ta quan niệm  là hữu tỷ thì có thể nó chính xác đến thậm chí là tuyệt đối.
Nhưng hiện tượng một cạnh của đa giác đều bằng với bán kính đường tròn ngoại tiếp nó là ngẫu nhiên vô ý hay định mệnh hữu tình. Có thể là cả hai. Tạo hóa buộc phải cho điều đó xảy ra để đảm bảo tính đầy đủ của Tự Nhiên Tồn Tại và cũng chính vì thế mà điều xảy ra đó cũng là hy hữu. Một sự hy hữu tất yếu bao giờ cũng hàm chứa sự tinh túy để trở thành quí giá và tuyệt đẹp. Nếu Tạo Hóa đã không vô tình bày ra hiện tượng một cạnh của lục giác đều bằng với bán kính đường tròn ngoại tiếp nó thì “tội vạ” gì không làm cho nó đạt đến chính xác tuyệt đối? Chúng ta cho rằng đẳng thức nêu trên là tuyệt đối chính xác và nằm ngoài quan sát trực giác. Chỉ khi bị con người “soi mói” và nhận thức (thông qua khái niệm), nó mới trở nên “phập phù”.
Bản chất của Tự Nhiên Tồn Tại ẩn hiện úp úp mở mở ở khắp nơi, lởn vởn ở khắp mọi tầng nấc qui mô của Vũ Trụ. Nếu chỉ cần hiểu bản chất của Tự Nhiên Tồn Tại một cách định tính thôi thì có lẽ nghiền ngẫm cho thấu được Triết học Hoàng - Lão cũng đã là đủ. Và một khi đã thừa nhận triết học ấy thì ngay trong hình học sơ cấp cũng có thể thấy được những nguyên lý cơ bản nhất của Tự Nhiên Tồn Tại và ngược lại, có thể dùng hình học sơ cấp để minh chứng cho triết thuyết về tự nhiên của Lão Tử. Cùng một chân lý thì đi tìm nó ở nơi đơn giản là dễ dàng hơn ở chốn phức tạp. Toán học phát triển lên trình độ ngày một cao thì cũng ngày một phức tạp. Nhu cầu tìm kiếm chân lý đã buộc nó phải như vậy. Phải thừa nhận rằng nhờ sự phát triển đó mà toán học đã gặt hái được những thành tựu vĩ đại về nhận thức Tự Nhiên. Tuy vậy, mặt trái của sự phát triển toán học lại gây ra khó khăn chồng chất cho đám hậu thế trong việc nhận thức nội dung của nó, thậm chí là bất khả. Sự phát triển tư duy nhận thức từ thấp đến cao là một qui luật, vì vậy mà loài người không phải không muốn mà là không biết, không thể phát hiện được những chân lý cao vời vợi của Tự Nhiên ẩn chứa trong những sự việc đơn giản nhất, và nếu có một vài bậc tài giỏi đi tiên phong có ý kiến cảm tính về những hiện tượng đại loại như thế thì lại chẳng có ai tin được. Loài người tất yếu phải đi trên một con đường vòng gập ghềnh, chông gai, đầy gian khổ để nhận thức thực tại khách quan và chỉ khi đạt đến trình độ nào đó thì mới phát hiện ra được một chân lý nào đó. Chỉ đến lúc đó, ngoái nhìn lại quá khứ, họ mới “té ngửa” ra rằng cái chân lý mà họ vừa phát hiện với biết bao nhiêu mồ hôi nước mắt, hóa ra đã xuất đầu lộ diện từ lâu lắm rồi, có khi ở tận buổi đầu tiên của tư duy nhận thức khoa học.
Hiện tượng có tính hy hữu nhưng tất yếu ở lục giác đều nội tiếp đường tròn làm cho chúng ta có linh cảm rằng hình như đó là một sự gợi mở của Tạo Hóa, hay nói cách khác, đó là một mắt xích dễ tháo gỡ nhất của một rào cản để tiếp cận những bí ẩn vẫn còn bị che dấu trong nền tảng của Tự Nhiên Tồn Tại. Thế thì cần phải “đột kích” ngay cái mắt xích này!.
Cái gốc của lục giác đều nội tiếp đường tròn là tam giác đều. Khi đã dựng được tam giác đều nội tiếp đường tròn có chu vi là , thì cũng có thể dựng được loại đa giác đều có độ dài một cạnh là a2n cũng nội tiếp đường tròn ấy, và chu vi của đa giác này là: (với là số cạnh của nó). Có thể thiết lập được mối quan hệ sau:
                 
Tuy nhiên, theo góc độ quan sát (hoang tưởng tới mức nhiều người cho là điên loạn!) của chúng ta thì n không thể tiến đến vô hạn độ mà chỉ có thể đạt đến trạng thái tạm gọi là “tới hạn”, và đường tròn là biểu hiện của trạng thái tới hạn đó. Theo như quan niệm (có thể là hơi lếu láo) mà chúng ta đã trình bày ở phía trên, khi n đạt đến tới hạn thì đa giác đều cạnh đã “dừng sự tăng trưởng” số cạnh ở trước tới hạn một “khoảng” xác định nào đó mà nếu “nhảy” qua khoảng đó, nó không còn là đa giác nữa mà biến thành chính đường tròn mà nó nội tiếp. Cái đa giác đều cuối cùng này được gọi là “đa giác tới hạn”.
Ở trạng thái tới hạn, a2n là đoạn thẳng nhỏ nhất, đóng vai trò là đơn vị độ dài làm nên hệ thống các đa giác đều hình thành trên cơ sở tam giác đều, nên có thể chọn a2n=1. Vì a2n có mối quan hệ “sống còn” với cạnh của tam giác đều, mà cạnh của tam giác đều lại có mối quan hệ “ruột thịt” với D, cho nên giữa 3.2n.a2n và  cũng phải có mối quan hệ “keo sơn” và liên thông. Khi đa giác đều phát triển đến trạng thái tới hạn của nó thì nó đã rất gần với đường tròn ngoại tiếp nên viết được:
                 
Chúng ta phán đoán theo cảm tính rằng nếu 3 là độ dài ba đơn vị của một đoạn thẳng trên đường thẳng thì tương ứng với nó, là độ dài ba đơn vị của một đoạn cong trên đường tròn có mối quan hệ gắn bó nào đó với đường thẳng đó. Lúc này phải có tương ứng với D, nghĩa là D có thể được phân tích thành:
                 
với aD3 là đơn vị độ dài nhỏ nhất của đường kính D, và aD3 phải nhỏ hơn 1 sao cho:
                 
Suy ra:
                 
Vì 3 là nguyên, aD3 so với 3 không thể vô tỷ, nên  phải hữu tỷ.
Đến đây thì trái tim chúng ta bỗng đập loạn xạ và điên cuồng như muốn phá tan lồng ngực. Hình như sự hoang tưởng của chúng ta cũng đã đạt đến trạng thái tới hạn. Không biết trong tâm hồn chúng ta đang ngự trị điều gì trong lúc này: sự mãn nguyện hoàn toàn hay sự hoang mang tột độ? Có thể là cả hai chăng?
Dù là trong Thực tại ảo thì toán học cũng vĩnh viễn không bao giờ tính ra được một số hữu tỷ bằng con đường truyền thống. Trong thực tiễn, khi chúng ta dùng compa vẽ lên mặt phẳng một đường tròn thì chưa chắc đường tròn đó là tròn thực sự, vì chúng ta đang sống trong một tầng nấc qui mô có không gian không phải thuần Ơclít hay thuần cong mà là đa tạp. Ngay cả một đoạn thẳng Ơclít cũng khó lòng nếu không muốn nói là không thể hiện hữu trong hiện thực khách quan mà con người đang sống. Chính vì vậy mà không thể tìm thấy số  hữu tỷ (một cách tự nhiên) và cũng không thể ứng dụng nó trong đời sống…
Bình tĩnh lại, chúng ta vẫn cứ tin rằng số hữu tỷ tồn tại. Nhưng vì không thể tìm thấy trong hiện thực của con người nên cần phải tìm nó ở thế giới hoang đường. Chúng ta cho rằng thế giới hoang đường vẫn có thể là thực tại khách quan, thậm chí là mức độ khách quan của nó còn hơn hẳn mức độ khách quan của Thực tại khách quan mà con người quan sát được. Nó mang tên Hoang đường bởi vì con người đã không thể tiếp cận nó nên chối bỏ nó. Một sự tư duy lôgíc chặt chẽ đến cứng đờ sẽ giết chết những vận hội lớn lao. Trong khi chờ đợi cho tâm thần bớt rối loạn để đi tìm số hữu tỷ, chúng ta ngâm lên một bài thơ mà hồi còn ở nhà, trong một lần chơi trò xếp chữ cho đỡ buồn, chúng ta đã có được:
NGƯỜI CON GÁI TÊN PI
                              Em có thật không, hỡi cô gái tên Pi
                              Mà nhan sắc nổi ghen Thần Vệ Nữ
                              Mãi trinh nguyên cho lòng người ái mộ
                              Nâng niu tên em trong tiềm thức của mình
                              Em hiện ra từ chân lý khách quan
                              Ngực nở, eo thon, hông tròn mạnh khỏe
                              Sao mái tóc em lại lê thê vô tỷ?
                              Ngồ ngộ làm sao, bối rối cả Nhân gian
                              Cứ mỗi lần chăm chú ngắm nhìn em
                              Lại ngờ ngợ Tạo Hóa nào muốn thế
                              Đã kỳ quan thì đâu cần diêm dúa
                              Tuyệt mỹ rồi thì hằng số làm gì!
                              Em là ai, hỡi cô gái tên Pi
                              Mà huyền diệu như vòng tròn Thái Cực
                              Và kỳ ảo trong cõi đời rất thực
                              Hay từ Hoang Đường hắt xuống bóng em thôi?
                              Đúng không Pi, ở nơi ấy xa vời
                              Em xinh đẹp trong gọn gàng bình dị
                              Em duyên dáng bởi vì em hữu tỷ
                              Có quê hương là Thế giới N?
                              Em tên là Pi, có tiên tổ là 3?!
Tại sao lại nói: tổ tiên của số là số 3? Vì trong Vũ Trụ số; không có số nào không có gốc tự nhiên. Mọi con số đều có nguồn cội là số tự nhiên, cho nên vì gần 3 hơn cả nên chúng ta cho rằng số “ra đời” từ số 3. Đơn giản vậy thôi!
Để tìm , chúng ta viết lại:
                 
Muốn hữu tỷ thì aD3 phải hữu tỷ. Vì không thể tính toán trực tiếp ra được (sẽ gặp số vô tỷ) nên chỉ có thể tìm và chọn nó. Muốn tìm nó thì trước hết phải tìm và chọn aD3. Do đó, cần phải viết lại biểu thức trên thành:
                 
Tìm aD3 bằng cách nào? Bằng cách áp dụng lại một phương pháp cổ xưa mà có lần chúng ta đã nhắc tới khi kể về số nguyên tố, đó là “phương pháp sàng” của Ơratôxten.
Đầu tiên, chúng ta chia 3 cho số vô tỷ:
                 
Vì số hữu tỷ cũng phải lớn hơn 3 và nó chỉ có thể quanh quẩn đâu đó gần số vô tỷ nên aD3 cũng có thể quanh quẩn đâu đó gần số 0,9549… Vậy, chúng ta sẽ tạm thời “sàng” các số từ 0,950 đến 0,961 xem sao. Cách “sàng” ở đây là lấy số 3 chia cho các số từ 0,950 đến 0,961 để tìm ra một số hữu tỷ nhất chọn làm số và đồng thời là số aD3. Chúng ta bắt đầu:
                 
Công việc sàng lọc đã xong và kết quả cho chúng ta thấy ngay một hy hữu lạ lùng: nếu cái sàng chỉ giữ lại số hữu tỷ “tròn trịa” nhất thôi thì duy nhất chỉ có một số ở lại, đó là số 3,125. Chẳng còn gì để nói nữa, chúng ta “đành phải” chọn số đó làm số hữu tỷ và số 0,96 cho aD3.
Từ nay chúng ta ký hiệu số Pi hữu tỷ là , gọi là số “Pi vàng”, và có được mối liên hệ tuyệt đẹp của sự bình dị:
                 
Nếu  là một chân lý đích thực thì nó đã từng xuất hiện trước mắt con người từ thời cổ đại, mà công đầu theo sách vở ngày nay đã xác nhận, là thuộc về các nhà thông thái babylon. Không biết bằng cách nào mà họ đã đề xuất được:
                 
Nói đến người ta, lại chợt nhớ đến mình. Chúng ta vẫn canh cánh bên lòng về cái vành tròn mô tả lần lượt 6 con chim, đến 10 con hươu, rồi tiếp tục đến 8 con chim và cuối cùng trở lại 10 con hươu, trên trống đồng Ngọc Lũ của người việt cổ thời Hùng Vương. Đành rằng, như chúng ta đã kể trong dân gian Việt Nam còn lưu truyền cách tính số và trị của nó là bằng 3,2, nhưng đó là quan niệm sau này hoặc rất có thể là hậu thế đã hiều lầm bậc tiền bối. Về mặt toán học thì cái vành trên trống đồng Ngọc Lũ đó thể hiện bộ 4 số lần lượt là: 6, 10, 8, 10. Nếu cho đó là những độ dài của những đoạn thẳng thì khi dựng hình lần lượt theo những đoạn thẳng đó, chúng ta sẽ có được một hình thang cân ABCD trên hình 15 (vẽ minh họa ước lệ chứ không đúng tỷ lệ!)
Hình 15: Dựng hình thang cân theo bộ 4 số của người Việt cổ
Gọi là bộ 4 số nhưng thực ra chỉ có 3 số khác nhau hợp thành bộ 3 số Pitago là 6, 8, 10… Việc người Việt cổ liệt kê thêm một số 10 nữa đã gợi chúng ta về một hình thang cân mà cạnh đáy nhỏ là 6, đáy lớn là 8, và hai cạnh bên là 10.
Nhưng nếu thực sự người Việt cổ đã từng dựng hình thang đó thì họ dựng với mục đích gì? Phải chăng là để tính số ? Khó lòng mà tin vào điều đó được. Tuy nhiên, với kiến thức ngày nay, chúng ta thấy có nhiều điều thú vị đối với hình thang này. Nếu kéo dài hai cạnh bên của hình thang là AB và DC, chúng sẽ cắt nhau tại O. O chính là tâm của đường tròn đi qua hai điềm A và D của hình thang cân.
Dựa vào tính chất của 2 tam giác đồng dạng, có thể tính được ra bán kính của đường tròn tâm O là 40, hay nếu gọi đường kính của nó là D thì D = 80 và như vậy, chu vi của đường tròn là:
                 
Nhưng nếu dùng số Pi vàng thì:
                 
Tỷ số  làm cho trong thực tiễn, nhất là vào thời cổ đại khó phân biệt được là dùng số nào thì đúng.
Giả sử rằng chúng ta có nhiều hình tam giác cân y hệt tam giác AOD và sắp xếp chúng nằm kề nhau sao cho đỉnh nhìn cạnh đáy của chúng trùng nhau tại điểm O. Hỏi, kết quả của việc sắp xếp ấy có vừa vặn khít khao (không dư, không hụt) để tạo được một đa giác đều nội tiếp đường tròn 0 hay không?
Ở hình 15 chúng ta thấy đoạn thẳng AD chặn trên đường tròn 0 một cung AD. Nếu biết độ dài cung ấy thì chỉ cần lấy chu vi đường tròn chia cho cung ấy là sẽ trả lời được câu hỏi trên. Vì không có cách nào tính được ra cung ấy nên chúng ta phải lụy đến lượng giác. Góc được tính là:
                 
Tra bảng sẽ có
Vậy số hình tam giác AOD có thể xếp được trong đường tròn tâm O là:
                  360 : 11,47834… = 31,36342…
Nghĩa là gồm 31 hình nguyên và một phần (vô tỷ!) của hình nguyên.
Cũng chỉ giả sử thôi, nếu người Việt cổ thời Hùng Vương đã từng xếp các hình tam giác nói trên để tìm cách tính chu vi đường tròn thì có thể do mức độ chính xác của đo đạc thời bấy giờ mà họ biết được số hình tam giác xếp vừa khít trong vòng tròn tâm O giao động từ 31 đến khoảng 31,5 hình, và nếu lấy trung bình thì khoảng 31,25 hình.
Nếu lấy số hình đó nhân với 8 (AD), chia cho 80 (D) thì sẽ nhận được số Pi vàng:
                 
Có thể người xưa làm cách khác. Họ nhân 31 với 8 để có 248. Còn 0,25 (có nghĩa là hình) thì họ đơn giản lấy 8 chia cho 4 để được 2. Cộng hai kết quả ấy được 250 và họ cho rằng đó là chu vi đường tròn O. Lấy 250 chia cho 80 (đường kính D) cũng sẽ nhận được số Pi vàng:
                 
Chúng ta biết đa giác đều 30 cạnh có đặc tính rất hay là nếu đặt chúng “chồng lên” một cách thích hợp trên một hình lục giác nội tiếp chung trong một đường tròn thì cứ 5 cạnh liên tiếp của đa giác đều 30 cạnh nằm lọt vừa vặn “trong” một cạnh của lục giác đều.
Nếu chúng ta muốn xếp chỉ với 30 hình tam giác “kiểu” AOD nhưng vừa khít trong vòng tròn 0, thì cần phải tăng độ dài đoạn thẳng , đồng nghĩa với việc tăng độ dài cung . Và chính xác là phải tăng lên:
                 
Thú vị là, nếu muốn tìm lại độ dài đoạn AD ban đầu, thì lấy ()’ nhân với 0,96:
Trước đây không lâu, trong một lần giới thiệu sơ lược lịch sử tìm tòi trị số đúng của , chúng ta có dẫn ra từ một cuốn sách rằng trong dân gian Việt Nam còn lưu truyền cách xác định đường kính khi biết chu vi đường tròn của nó là: “Quân bát, phát tam, tồn ngũ, quân nhị” và mô tả:
Nghĩ lại, thấy thật bất cập. Trong thực tế cuộc sống, thông thường vẫn là tính chu vi đường tròn, hay vẽ đường tròn khi đã biết đường kính. Khi đã biết chu vi đường tròn và biết thì đơn giản là chỉ việc lấy chu vi chia cho là có ngay độ dài của đường kính, việc gì phải dùng câu trên chi cho rườm rà. Con số quan trọng nhất có liên quan tới mọi đường tròn, từ chu vi cho đến đường kính và không được quên, đó là số . Vậy thì theo chúng ta, câu truyền khẩu dân gian trên phải là câu ghi nhớ nằm lòng chỉ cách tính ra số  có thể mô tả lại như sau:
Và phát biểu: “(Lấy 10) chia 8 phần, bỏ 3 phần, lấy 5 phần rồi chia cho 2”.
Bàn luận như thế về ông cha mình không biết là đúng hay sai nhưng bất luận là gì đi chăng nữa thì trong tâm tưởng, chúng ta tin tưởng sâu sắc rằng, tổ tiên chúng ta thật vô cùng tài giỏi.
Thôi, chúng ta hãy quay lại công việc chính!
Chúng ta viết lại mối quan hệ hoang đường mà nhờ nó, chúng ta đã “sàng” được số Pi Vàng và số 0,96 (từ nay chúng ta tặng cho nó cái tên: “Số qui đổi vàng”; vì hầu hết các số thập phân vô hạn tuần hoàn một chữ số khi nhân với nó đều phải chấm dứt sự vô hạn, và còn vì nhiều điều khác nữa).
Mối quan hệ đó là đặc trưng cho đa giác 3 cạnh đều. Để cho “công bằng” thì phải cho rằng mọi đa giác đều đều có mối quan hệ dạng đó, nghĩa là phải có:
Từ đó chúng ta có được một dãy số có quan hệ mật thiết với là: …, và viết dưới dạng con số là:
       
Qui luật tăng trưởng của dãy này là muốn biết số hạng tại vị trí nào đó thì chỉ việc lấy số thứ tự của nó nhân với số hạng đầu tiên (tức số 0,32). Một hệ quả suy ra từ qui luật này là tổng của hai số hạng bất kỳ trong dãy bằng số hạng có số thứ tự bằng tổng số thứ tự của hai số hạng đó. Chẳng hạn cho hai số trong dãy là 0,96 và 1,28. Tổng của chúng là:
0,96 + 1,28 = 2,24
Đó là số hạng có số thứ tự bằng:
3 + 4 = 7
Chúng ta đề xuất dãy số đó ra chỉ vì cảm giác thấy nó đẹp chứ không biết nó có ích lợi gì không nữa. Dù sao thì chúng ta cũng cứ đặt tên cho nó là “Dãy số của Pi Vàng”.
Đã là vàng thì phải quí báu. Đã gọi là số Pi Vàng mà từ nãy giờ chẳng thấy nó quí báu ở chỗ nào có cả. Sự hữu tỷ của nó kể cũng đẹp đấy. Nhưng thiên hạ ngày nay đã quen tôn vinh sự vô tỷ mất rồi nên chẳng ai còn cần tới nó. Công lao của nó đến nay là cho ra đời một dãy số hữu tỷ mà chưa ai kiểm chứng được và chúng ta cũng chưa biết dùng vào việc gì.
Nói vui thế thôi, chứ thực ra khi đặt cho con số 3,125 cái tên là Pi Vàng, chúng ta đã nhìn thấy ở nó một điều kỳ diệu. Không ai có thể tin nổi số Pi vàng lại là kết quả tác thành từ một số được mệnh danh là “vô tỷ nhất trong các số vô tỷ”. Nhưng rồi mọi người sẽ phải tin thôi khi thấy đẳng thức sau đây:
Chính mối quan hệ này, một mối quan hệ mà ngay cả thần thánh lẫn Thượng Đế cũng không thể sáng tạo ra được, đã củng cố niềm tin của chúng ta rằng số Pi vô tỷ chỉ là cái bóng của số Pi Vàng, hay có thể nói: số Pi Vàng mới đích thị là chân lý tuyệt đối khách quan và khi “bị” quan sát lẫn nhận thức “lũng đoạn”, nó chỉ còn biểu hiện ra như một chân lý tương đối là số Pi vô tỷ.
Với quan niệm trên, vậy thì phải chăng số vô tỷ cũng chỉ là cái bóng của một số hữu tỷ nào đó? Chúng ta không phản bội lại niềm tin của mình nên dõng dạc trả lời: “Vâng, thưa quí ngài, phải có một con số như thế!”.
Niềm tin và tính hoài nghi đều có mặt xấu và tốt của chúng. Có thể rằng, niềm tin làm cho cuộc đời yên ổn hơn nhưng vì bảo thủ nên cũng đơn điệu hơn; hoài nghi làm cho cuộc đời bấp bênh hơn nhưng vì linh động hơn nên cũng phong phú hơn. Nếu niềm tin là sự bảo tồn thì hoài nghi là sự phát triển. Hãy giữ vững niềm tin nhưng phải biết hoài nghi, đó mới là tư duy đúng. Một khi niềm tin chối bỏ hoài nghi thì nó trở thành tín ngưỡng mù quáng, ngược lại, một khi hoài nghi chối bỏ niềm tin thì nó trở thành đa nghi cực đoan. Cả hai tính cách ấy đều xấu như nhau đối với một tư duy sáng suốt. Thực ra tín ngưỡng mù quáng và đa nghi cực đoan chỉ là “hai trong một”, vì tin rằng tất cả đều đáng ngờ và chẳng tin gì ngoài một thứ duy nhất được tin cậy thì có khác gì nhau đâu?
Nếu Tỷ lệ vàng được ký hiệu là thì số Phi hữu tỷ được chúng ta ký hiệu là (đọc là “Phi sao”). Vì số đã được gọi là Tỷ lệ vàng rồi nên được chúng ta gọi là “Tỷ lệ vàng sao”.
Cũng tương tự như khi lựa chọn số , chúng ta cần tìm kiếm một số hữu tỷ gần với số nhất, thể hiện được tính hy hữu và cũng phải mang được phần lớn những biểu hiện “dị thường” của số . Vậy thì chúng ta có thể chọn số là 1,618 được không? Đã là tự do lựa chọn thì điều đó có thể được và vì gần số 2 nhất nên có thể cho rằng tổ tông nó là số 2 và:
Tuy nhiên, nghịch đảo của nó là một số hữu tỷ dài lê thê gợi nhớ về sự vô tỷ nên chẳng hy hữu tý nào.
Lấy một thí dụ như thế để thấy dù có quyền tự do lựa chọn thì cũng không thể lựa chọn tự do rồi gán cho đối tượng lựa chọn đó nhãn mác chân lý được. Muốn lựa chọn đúng thì không những cần phải trăn trở suy tư mà còn phải biết linh cảm nữa, hay nói cách khác là sự lựa chọn đó phải có… duyên. Thực ra ngay từ đầu, khi tình cờ phát hiện ra mối liên quan gần như không tưởng giữa và , trong thâm tâm, chúng ta đã lựa chọn con số 1,6 để đóng vai trò là số “Tỷ lệ vàng sao” rồi. Vậy chúng ta hãy mạnh dạn viết:
Nếu tổ tông (và cũng chắc rằng tổ tông) của nó là số 2 thì:
Đó là một biểu hiện giản dị đến mức hơi tầm thường. Thế nhưng, như chúng ta thường “rêu rao”: trong cái tầm thường nhiều khi lại hàm chứa cái sáng ngời chân lý. Ở đây cũng vậy, nếu chúng ta nghịch đảo vế trái, nhân nó lên 10 lần và chia cho 2, sẽ được một sự ngạc nhiên thú vị:
Có thể thấy:
Đó chính là công thức tính  được lưu truyền trong dân gian Việt Nam.
Hơn nữa, suy ra từ trên, có thể viết:
Vậy chính là số hạng nằm ở vị trí thứ 5 trong dãy số của Pi Vàng.
Chưa hết, trong dãy của , nằm ở vị trí các số thứ tự liên tiếp 3, 4, 5 là các số hạng: 0,96; 1,28; 1,6. Ai cũng biết rằng ba số 3, 4, 5 là bộ ba số Pitago làm nên tam giác vuông nguyên nhỏ nhất, thỏa mãn:
32 + 42 = 52
Ba số hữu tỷ ở ba vị trí liên tiếp nhau theo thứ tự 3, 4, 5 nêu trên cũng thỏa mãn:
0,962 + 1,282 = 1,62,
và vì vậy, bộ ba số hữu tỷ đó cũng làm nên một tam giác vuông hữu tỷ và có thể là nhỏ nhất. Chúng ta biết rằng chắc chắn là chứng minh được, nên có thể phát biểu một cách tổng quát: Có bao nhiêu bộ ba số Pitago để thiết lập nên tam giác vuông nguyên thì cũng có bấy nhiêu bộ ba số hữu tỷ tương ứng để thiết lập nên tam giác vuông hữu tỷ.
Từng đó sự kiện đã đủ cho hy hữu chưa? Nếu chưa thì chúng ta dẫn ra thêm một hiện tượng nữa và có thể là hy hữu không chê vào đâu được. Từ cách tính của ông bà tổ tiên chúng ta là:
Có thể suy ra được:
       
Vì cùng có mối quan hệ mật thiết với nên chúng ta ngờ rằng giữa và có một mối quan hệ liên thông sâu xa nào đó và đó cũng là lý do để chúng ta phán đoán rằng số là chân lý khách quan đích thực còn số là hình ảnh đã bị biến dạng của nó. Điều lạ lùng nhất là ở sờ sờ đó ngay trước “mũi” con người hàng ngàn năm nay nhưng chẳng ai “thấy” được nét đẹp tuyệt vời của nó để mà đi tung hô, hết lời ca ngợi cái bóng của nó. Biết làm sao được khi mà, nói một cách ví von,  như một viên ngọc nằm ở đáy một hồ nước trong veo, con người ở trên mặt hồ không thể thấy đích thực nó mà do ánh sáng bị chiết xuất và sự lay động của nước, chỉ có thể nhìn thấy được ảo ảnh của nó và ở một vị trí khác, đó chính là . Tệ hại hơn nữa, khi con người vì tò mò lại “nhúng cả mũi” vào hồ nước để nhìn cho rõ thì chỉ làm cho nước lay động mạnh hơn và lại càng khó lòng xác định hình hài cũng như vị trí của  hơn. Muốn “nắm bắt” được nó, con người phải “xả thân” vào trong hồ nước, sống im ắng và trầm tư mặc tưởng trong đó để mà ngộ ra được sự lầm lẫn bấy lâu của mình. Tuy nhiên, vì  hiện hữu ở tầng quá sâu và chỉ “sống được” trong môi trường nước thôi nên con người chỉ có thể ngắm nghía nó để làm cho nhận thức tự nhiên của mình thêm sâu sắc chứ không thể “lôi” nó lên thế giới trên cạn để “xài” nó được.
Do có tính đặc thù nên , cái ảnh ảo của nó, cũng có tính đặc thù tương tự và vì thế mà có thể viết được một đồng nhất thức hy hữu:
                 
(với vế trái là sự tham gia của các số hữu tỷ và vế phải ngoài các số hữu tỷ, còn xuất hiện một số vô tỷ nhất trong các số vô tỷ).
Từ đồng nhất thức trên, có thể ước lược, hạ lũy thừa và triển khai để có được:
    
Chúng ta đã làm xuất hiện số 0,96 và còn gọi tôn vinh là “Số qui đổi vàng”. Ở phần phía trên khi đặt vấn đề để tìm số chúng ta đã quan niệm rằng 0,96 là đơn vị độ dài đường kính D của đường tròn tâm O so với độ dài tuyệt đối a2n=1 của đa giác đều loại 3.2n cạnh, nội tiếp trong đường tròn đó. Giờ đây, chúng ta cũng cho rằng ở một góc độ (hoặc thời điểm) quan sát nhất định, đơn vị độ dài tuyệt đối của đoạn thẳng OA có điểm B nằm ở vị trí tích trung bằng tích ngoại.
Từ biểu thức:
                 
có thể viết:
                 
Như vậy 0,6 là nghịch đảo của qua mốc 0,96. Nếu quan niệm 0,96 là đơn vị độ dài nào đấy thì nghịch đảo qua 0,96 là tương đương với nghịch đảo qua 1 và chúng ta đồ rằng 1,6 và -0,6 là hai nghiệm của phương trình bậc hai giống với phương trình có nghiệm là và
Chúng ta nhớ lại, về hiện tượng tích trung bằng tích ngoại, nhà toán học, thiên văn học Kepler đã đưa ra một định lý, mà vào năm 1579, ông đã viết cho một người thầy cũ của mình: “Trên một đường thẳng được chia theo trung ngoại tỷ, nếu ta dựng một tam giác vuông, sao cho đỉnh góc vuông nằm ngay trên đường thẳng góc được vạch từ điểm cắt, thì cạnh nhỏ của tam giác sẽ bằng đoạn dài hơn của đường thẳng bị cắt”
Chúng ta minh họa điều Kepler phát biểu trên hình 16.
Hình 16: Minh họa định lý của Kepler
Ý của Kepler nói rằng nếu có một đoạn thẳng OA mà điểm B cắt đoạn thẳng thỏa mãn tích trung bằng tích ngoại, thì sẽ có một tam giác vuông OCA, sao cho:

Dựa vào tính chất của 2 tam giác đồng dạng, dễ dàng chứng minh định lý của Kepler, với qui ước:
BA = 1
Nếu đưa hình 16 vào Thế giới hoang đường, nghĩa là cho:
thì               BC = 1,28
Lúc này, rõ ràng tam giác vuông BAC sẽ biến thành tam giác vuông có 3 cạnh hữu tỷ nhỏ nhất (nếu quan niệm 0,96 đóng vai trò là đơn vị độ dài nhỏ nhất tuyệt đối).
(Trong Thế giới hoang đường, tam giác OCA vẫn được cho là vuông. Và vì thế điểm C vẫn nằm trên đường tròn đường kính OA. Nhưng đường kính OA không phải bằng 2,56 mà bằng 2,6 vì lúc này BA lại được thấy là bằng 1. Thế mới tài! Trong “hiện thực”, điều đó không thể xảy ra vì muốn cho vuông, C phải nằm trên đường tròn có O’A nào đó với:
BA = 0,96
O’B = 1,70666…
Và              O’B + BA = O’A = 2,6666…
Từ đó        
Nghĩa là tam giác vuông O’CA cũng có 3 cạnh hữu tỷ. Hơn nữa, có thể thấy:
Đó phải chăng chỉ là một biểu hiện tầm thường hay chính là điều kỳ diệu?!)
Bây giờ, giả sử chúng ta chưa biết trị số của và cần phải tìm nó. Chúng ta gọi là ẩn số x. Đối với , chúng ta biết nó có tính chất:
Tương tự, đối với , chúng ta cũng có:
Suy ra phương trình:
Đó là phương trình có dạng giống với dạng của phương trình tính ra mà chúng ta đã áp dụng. Nhưng để cho giống hơn nữa, chúng ta nhân hai vế của nó với 0,96 và có:
Giải phương trình này ra, được:
Chúng ta liệt kê những tính chất đã biết của số :

Nhìn lên hình 16, một cách trực quan, chúng ta viết được tỷ lệ thức thể hiện điều kiện tích trung bằng tích ngoại:
Và… hoàn toàn sai lầm. Bởi vì trong thực tại của chúng ta, số 0,96 chỉ là… 0,96 thôi chứ không phải là số qui đổi vàng của Thế giới Hoang Đường.
Điều kiện tích trung bằng tích ngoại trong thế giới hoang đường phải được viết khác đi. Từ phương trình tính  ở trên, chúng ta có:
Cuối cùng thì tỷ lệ thức về tích trung bằng tích ngoại trong Thế giới Hoang Đường là:
Có lẽ cũng cần nói thêm một chút về nghiệm âm của phương trình tính . Khi  thì có thể có hai trường hợp xảy ra. Nếu đoạn thẳng OA nằm trong miền âm của thế giới tương phản âm dương và chúng ta ở trong miền dương của thế giới ấy quan sát nó thì tỷ lệ thức phải được viết là:
Xét ra thì bản chất của mối quan hệ tỷ lệ ấy cũng không có gì bị biến đổi cả, vì khi chúng ta “vào” trong thế giới âm để quan sát nó thì về mặt tương phản, chúng ta và cái tỷ lệ thức ấy “cùng một giuộc” nên nó lại trở về với dạng thức “không âm không dương” ban đầu.
Trường hợp thứ hai là chỉ “một mình” x là âm thôi thì theo tỷ lệ thức, đoạn OA sẽ bằng:
Xét theo trị số tuyệt đối thì làm sao mà đoạn OA lại nhỏ hơn hai đoạn thẳng thành phần của nó được?
Trước khi trả lời câu hỏi đó, cần phải trả lời câu hỏi này: Vậy thì hiện tượng nêu trên có tồn tại không? Chúng ta cho rằng nghiệm âm của phương trình cũng là kết quả của một quá trình tính toán thực sự khách quan (dù là trong thực tại ảo) và không phạm bất cứ sai lầm nào nên nó cũng có quyền được tồn tại một cách bình đẳng đối với nghiệm dương. Do nhận thức về Tự Nhiên Tồn Tại chưa thấu đáo và do cái tạm gọi là “tư duy trực giác” có được từ thuở hình thành nên sự suy nghĩ (và cũng chính là bộ phận nền tảng của tư duy trừu tượng) của nhân loại cũng như vào thuở bình minh của cuộc hành trình khám phá khoa học đã trở thành “truyền thống” tạo nên mặt trái bảo thủ của tư duy sáng tạo, cho nên thứ gì không phù hợp với trực giác, với năng lực (trình độ) cảm thức của con người thì đều thường bị ý chí của họ “truất quyền” tồn tại. Vai trò của thực chứng là tối quan trọng trong công cuộc đi khám phá chân lý cũng như kiểm nghiệm chân lý. Tuy nhiên, cần phải thấy rằng thực tiễn không phải là tiêu chuẩn duy nhất để xác nhận chân lý, thậm chí không phải lúc nào hay bất cứ đâu nó cũng đủ “năng lực” để đảm đương được vai trò ấy. Khi con người cứ khăng khăng lấy trình độ cảm thức trực giác hay là khả năng quan sát thực tại của mình làm thước đo duy nhất của chân lý thì cũng là lúc niềm tin của họ vào thực chứng trở thành tín ngưỡng mù quáng với tên gọi là “chủ nghĩa thực chứng”.
Chúng ta gọi thứ trái ngược với Chủ nghĩa thực chứng là “Chủ nghĩa phi thực” (coi thực tại mà con người trực giác được chỉ là “giả hợp”, không thực; cho rằng không thể nhận thức đúng được bản chất sự vật thông qua khái niệm, mà phải loại bỏ khái niệm hay còn gọi là vượt lên trên khái niệm bằng con đường thực hành “thiền”, để qua đó đạt đến trình độ cảm ngộ thực tại đích thực, nghĩa là muốn tiếp cận được chân lý tối hậu thì chỉ có cách thông qua chiêm nghiệm tâm linh)
Chủ nghĩa thực chứng cực đoan bao nhiêu thì chủ nghĩa phi thực cực đoan bấy nhiêu. Chỉ khi dung hòa được hai thứ chủ nghĩa ấy một cách tự nhiên thì lúc đó mới có được một sự tư duy bản lĩnh, kiên định mà cũng linh động sáng tạo. Người lớn chỉ nhìn thấy hình vẽ của Hoàng Tử Bé là một cái mũ phớt và tưởng rằng đó là sự thực không thể chối cãi!
Đối với hiện tượng nêu trên, chúng ta tin chắc rằng Hoàng tử Bé sẽ giải trình như thế này:
Khi x = -0,6 thì có nghĩa rằng đoạn thẳng OA đã “nằm trong” một thế giới tương phản âm - dương và đã bị phân định nội tại thành hai bộ phận âm và dương mà nếu biểu diễn tương tự như số phức (kiểu của riêng chúng ta!) thì là:
                 
(1,54 là độ dài được gọi là tuyệt đối của đoạn thẳng OA khi x = -0,6; nó không âm không dương và cũng không nguyên!)
Trong thế giới tương phản âm - dương, không thể quan sát thấy được trọn vẹn độ dài đó của đoạn thẳng OA, vì các bộ phận trong nội tại đã phân định âm - dương của nó “tương tác”, kết hợp theo cách đã làm cho phần lớn độ dài của OA (bằng 1,2) trở nên trung tính (không âm không dương), do đó cũng không hiện hữu được và lặn xuống, chìm khuất. Bộ phận ít hơn, còn lại của đoạn thẳng OA vì mang tính dương nên vẫn nổi trội, hiện hữu và được quan sát “nhìn thấy”. Bộ phận này là “đại diện” của đoạn OA trước quan sát và cũng mang một đặc tính của đoạn OA là tích trung bằng tích ngoại. Do đó có thể viết:
                 
Hai vế của tỷ lệ thức là “cùng phe” trong phân định tương phản âm - dương nên có thể viêt nó dưới dạng trung tính là:
                 
Điều lạ lùng nhất ở đây là độ dài của một đoạn thẳng lại nhỏ hơn bộ phận làm nên nó (0,36 < 0,6). Vì sao lại xảy ra hiện tượng như vậy?
Thực ra một đoạn thẳng luôn lớn hơn bộ phận của nó và đó là một chân lý tuyệt đối. Chỉ tại chúng ta nhìn “gà hóa cuốc” ra thế thôi. Trong mối tương phản nghịch đảo, bao giờ cũng tồn tại hai vế với một vế gồm các số hạng nhỏ hơn trị số làm mốc nghịch đảo và vế còn lại gồm các số hạng lớn hơn trị số đó. Ở vế gồm các số nhỏ hơn trị số làm mốc nghịch đảo thì tích của bất cứ hai (hay nhiều) số hạng nào cũng cho kết quả là một số có trị số nhỏ hơn hai (hay nhiều) con số tham gia phép nhân ấy. Đối với mối tương phản nghịch đảo hoàn toàn (tương phản qua 1 trong thực tại và qua 0,96 - được coi là đơn vị nhỏ nhất trong Thế giới Hoang đường) thì tích của các số hạng ở vế nhỏ hơn 1 có xu hướng tiến về phía vô cùng nhỏ.
Trong Vũ Trụ tương phản ảo - thực, chúng ta luôn coi mình hiện hữu trong thế giới thực. Cụ thể là trong Vũ Trụ tương phản nghịch đảo, chúng ta luôn ở trong thế giới mà mốc nghịch đảo được coi là đơn vị nhỏ nhất cấu thành nên nó và tất cả những lực lượng nhỏ hơn 1 (tuyệt đối) đều thuộc về thế giới tương phản nghịch đảo với thế giới mà chúng ta đang tồn tại. Vì đặc tính của sự tương phản là trái ngược nhau nên hai hiện tượng y hệt nhau về bản chất nhưng xảy ra ở hai thế giới tương phản nhau sẽ thấy như trái ngược nhau.
Khi x = -0,6 thì coi như đoạn thẳng OA và chúng ta không còn ở chung một thế giới nữa mà nó đã bị đặt sang thế giới nghịch đảo với thế giới mà chúng ta đang sống. Chính vì vậy, chúng ta mới thấy hiện tượng lạ đời: đoạn thẳng OA ngắn hơn thành phần x của nó. Tuy nhiên, nếu chúng ta “bước sang” thế giới nghịch đảo ấy thì lại thấy đó cũng là thực tại mà chúng ta đang sống và đoạn OA luôn lớn hơn thành phần x của nó vì tích của hai số hạng lớn hơn 1 bao giờ cũng lớn hơn các số tham gia phép nhân.
¯¯¯
Có thể thấy Vũ Trụ hình học là minh họa trực quan của Vũ Trụ số và là một bước tiến tất yếu của toán học đến gần hơn với thực tại khách quan.
Tương tự như Vũ Trụ số, Vũ Trụ hình học cũng có hiện tượng chồng chập của các thế giới: tự nhiên, nguyên, hữu tỷ, vô tỷ… Nhưng Vũ Trụ hình học ưu việt hơn Vũ Trụ số ở chỗ là nó đã diễn tả được nhiều điều hết sức trừu tượng xảy ra trong Vũ Trụ số, hơn nữa, còn lột tả được nhiều hiện tượng biến đổi, chuyển hóa không gian rất gần với Thực tại khách quan, giúp cho nhận thức của con người về Tự Nhiên Tồn Tại ngày một thêm sâu sắc.
Dù rằng Vũ Trụ số cũng diễn tả được đặc tính tương phản của thực tại khách quan, song nói chung vẫn ở mức độ hời hợt hoặc siêu hình. Phải nói rằng trong Vũ Trụ hình học, tuy sự siêu hình vẫn không thể bị loại bỏ, nhưng đặc tính tương phản của Thực tại khách quan đã được biểu hiện sinh động hơn, phong phú hơn và sát thực hơn. Ngoài hai mặt tương phản được cho là cơ bản của Vũ Trụ số là âm - dương và nghịch đảo, trong Vũ Trụ hình học còn xuất hiện một hình thức tương phản cực kỳ quan trọng, có thể là có vai trò cốt lõi trong sự tồn tại và chuyển hóa không gian, đó là tương phản cong - thẳng. Nếu không có tương phản cong - thẳng và sự chuyển hóa qua lại giữa cong và thẳng thì không thể có Vũ Trụ hình học vì ngay cả Tự Nhiên Tồn Tại cũng không có.
Trong một thế giới đồng phương, chỉ có thể tồn tại một tập hợp rời rạc đường thằng đồng phương không liên hệ gì với nhau. Các đoạn thẳng xuất hiện trên tập hợp này chỉ có thể liên hệ được với nhau nếu chúng tương phản vì trong nó xuất hiện hai chiều trái ngược nhau được gọi là âm và dương. Chúng ta có thể đặt tên cho thế giới này là Không gian véctơ hai chiều.
Do có hiện tượng chồng chập các Không gian hai chiều làm xuất hiện Không gian nhiều chiều. Lúc này các điểm của một Không gian hai chiều có thể trùng với (hay đồng thời là) các điểm của những Không gian hai chiều khác nên các không gian hai chiều chồng chập nhau thì cũng có một không gian véctơ liên thông gồm 2n chiều.
Có thể tưởng tượng ra rằng trên một mặt phẳng luôn tồn tại n đường thẳng khác phương chiều và như vậy cũng tồn tại những tập hợp gồm n điểm đại diện cho n đường thẳng đó. Trong số những tập hợp n điểm kể trên, sẽ phải có những tập hợp tạo thành đường tròn gọi là liên thông của các đường thẳng khác phương chiều và trong trường hợp đối với không gian liên thông là những hình cầu liên thông. Chúng ta cho rằng, nhờ có đặc tính này mà trong không gian liên thông mới xuất hiện mối tương phản giữa thẳng và tròn. Sự hiện hữu đa dạng và phong phú các đường cong như đường xoắn ốc, sóng, cônic… là những kết quả chuyển hóa qua lại giữa thẳng và tròn thông qua số  và số qui đổi vàng 0,96.
Nếu trong Vũ Trụ số, chúng ta có một quan niệm riêng về số phức thì trong Vũ Trụ hình, chúng ta cũng có một quan niệm riêng về đoạn thẳng phức. Một trong những biểu hiện của một đoạn thẳng phức là trường hợp đoạn thẳng OA có một trong hai đoạn thẳng thành phần của nó là đoạn thẳng âm x = -0,6. Trong không gian véctơ liên thông nếu qui ước tương phản âm - dương theo một phương chiều nào đó thì các đoạn thẳng “nằm ngoài” phương chiều ấy được coi là những đoạn thẳng phức đối với phương chiều được qui ước âm - dương.
Đặc tính tương phản của Thực tại khách quan còn được phản ánh ở nhiều hiện tượng khác nữa trong Vũ Trụ hình học. Chẳng hạn đối xứng trục hay đối xứng gương… là những biểu diễn tương phản về vị trí và “tư thế” của hai hình hình học nào đó. Nói chung, bằng cách tịnh tiến và quay thích hợp, chúng ta có thể biến đổi một hình nào đó thành thể tương phản hoàn toàn với nó qua một trục hoặc một điểm.
Trong quá trình nghiên cứu “các biến đổi hình học” cũng như khám phá và xây dựng nên các phép biến đổi (ánh xạ), các nhà toán học đã phát hiện ra một hiện tượng đặc sắc là sự tương phản nghịch đảo của mặt phẳng đối với một đường tròn, và cách thức biến đổi làm xuất hiện hiện tượng đó được họ gọi là phép nghịch đảo đối với các đường tròn (hay còn gọi là các phép đối xứng tròn, do có sự giống nhau của phép biến đổi này với sự phản xạ trong phương cầu).
Giả sử trong mặt phẳng cố định, cho trước một đường tròn tâm O (các nhà toán học gọi là tâm hay cực của phép nghịch đảo), có bán kính r (xem hình 17). Ảnh của điểm P là P’ nằm trên đường thẳng chứa OP, ở cùng phía của P đối với O sao cho:
                 
Hình 17: Tương phản nghịch đảo qua đường tròn.
Đây là tương phản nghịch đảo qua mốc r2 của hai đoạn thẳng. Nếu r2 = 1 thì là tương phản nghịch đảo qua gốc 1. Có thể gọi P là ảnh của P’ hoặc ngược lại, P’ là ảnh của P trong phép biến đổi đó, và người ta còn gọi P, P’ là nghịch đảo của nhau qua đường tròn tâm O. Phép nghịch đảo này đã biến đổi miền bên trong đường tròn (nội tiếp vòng tròn) thành miền ngoài và ngược lại. Điều dễ thấy là để tồn tại biểu thức trên, đoạn OP phải luôn lớn hơn O, và khi P tiến đến tâm O thì P’ cũng dần tiến ra xa vô tận. Vì lý do đó mà người ta nói rằng trong phép nghịch đảo của một điểm đối với đường tròn (hình 17/a) thì ảnh của tâm O là điểm xa vô tận.
Tính chất quan trọng nhất của phép nghịch đảo vừa trình bày là nó biến đổi những đường thẳng và đường tròn thành những đường thẳng và đường tròn mà cụ thể là toán học đã chứng minh được các kết luận sau đây:
a. Một đường thẳng đi qua tâm O biến thành một đường thẳng cũng qua tâm O.
b. Một đường thẳng không đi qua tâm O biến thành một đường tròn đi qua tâm O (hình 17/b)
c. Một đường tròn đi qua tâm O biến thành một đường thẳng không đi qua tâm O.
d. Một đường tròn không đi qua tâm O biến thành một đường tròn cũng không đi qua tâm O.
Điều quan tâm đặc biệt của chúng ta đối với hiện tượng hình học này là có thể dùng nó để minh chứng cho quan niệm triết học: nội tại hạt không gian cũng lớn bằng Vũ Trụ. Sở dĩ trước mắt chúng ta hạt KG trở nên vô cùng nhỏ bé đến mức không thể nhận diện được là vì nội tại của nó là ở thể ảo, thể nghịch đảo nhỏ hơn đơn vị tuyệt đối của cái Vũ Trụ thực tại mà chúng ta đang sống và quan sát thấy. Cũng có thể suy ra rằng nội tại của hạt KG cũng vô tận như Vũ Trụ và sự vô tận của Vũ Trụ cũng hữu hạn như nội tại hạt KG!
Nói thêm, tuy phép nghịch đảo qua đường tròn là một biến đổi làm thay đổi khá rõ hình dạng của các hình hình học nhưng các hình thu được vẫn còn bảo lưu một số tính chất của các hình ban đầu. Những tính chất không bị mất đi sau một quá trình biến đổi được gọi là các tính chất bất biến. Một trong những bất biến sau khi thực hiện phép nghịch đảo qua đường tròn là góc giữa hai đường thẳng hoặc đường cong không thay đổi về độ lớn dù hướng của góc có thể thay đổi.
Một trong những hệ quả về tính bất biến của góc trong phép nghịch đảo qua đường tròn là hai đường tròn hoặc đường thẳng trực giao (nghĩa là cắt nhau theo góc vuông) sẽ giữ nguyên tính chất này sau khi bị nghịch đảo và nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì các đường tròn tiếp xúc với chúng cũng tiếp xúc nhau.
Một hệ quả khác là giả sử cho trước một tập hợp đường tròn đi qua tâm nghịch đảo và có một tiếp tuyến chung tại điểm đó thì sau phép biến đổi nghịch đảo, sẽ làm xuất hiện một họ các đường thẳng song song.
Quá trình nghiên cứu các biến đổi hình học đã chỉ ra rằng có những phép biến đổi hoàn toàn không làm mất đi các tính chất ban đầu của hình hình học sau khi biến đổi. Hai hình được gọi là “toàn đẳng” nếu chúng tương đương nhau, nghĩa là có thể biến đổi hình nọ thành hình kia qua dời hình - các biến đổi chỉ thay đổi vị trí của hình mà không làm thay đổi số đo của các đại lượng như độ dài cạnh, góc, diện tích… có liên quan với hình đó. Nhưng cũng có những phép biến đổi làm mất đi một số tính chất đặc thù của một hình sau khi đã biến dạng sang một hình khác và hình này, ngoài những tính chất đặc thù mới xuất hiện, vẫn còn bảo tồn được những tính chất nào đó của hình ban đầu (có tính chất “phổ biến” cho cả hai hình đó). Một hiện tượng có vẻ độc đáo nhưng cùng hoàn toàn tự nhiên là có một số tính chất của hình học ẩn sâu (hay phổ quát) đến nỗi luôn bất biến cho dù hình ban đầu phải chịu những biến dạng mạnh mẽ và hoàn toàn tùy ý.
Có một loại phép biến đổi “mạnh hơn” phép dời hình nhưng “nhẹ hơn” phép biến đổi gần như tùy ý, được các nhà toán học nghiên cứu từ lâu và gọi là môn “Hình học xạ ảnh”.
Bài toán “phối cảnh” đã được các họa sĩ thời phục hưng ở Châu Âu mà tiêu biểu là Lêonard đơ Vanhxi và Albert Đuyne đề cập đến và đã gợi ý cho các nhà toán học thời đó nghiên cứu. Hình vẽ do họa sĩ vẽ ra được xem như hình chiếu của vật mẫu trên mặt phẳng mà tâm chiếu là mắt của họa sĩ. Trong phép chiếu, tùy thuộc vào các vị trí khác nhau của các sự vật cần vẽ, mà độ dài đoạn thẳng và các góc không thể tránh được một sự thay đổi nhất định. Tuy nhiên, thường thì vẫn nhận ra được cấu trúc hình học của vật mẫu thông qua hình vẽ một cách dễ dàng. Hình ảnh được chụp qua máy ảnh là một dẫn chứng tuyệt vời về tính tự nhiên của phép chiếu xạ ảnh này. Điều có thể nhận thấy rõ ràng trong lĩnh vực hình học này là nó không đề cập đến sự bằng nhau của các hình mà lại chú trọng nhiều đến tỷ lệ của chúng.
Những sự kiện rời rạc trong toán học có liên quan đến các tính chất xạ ảnh đã được biết đến từ thế kỷ XVIII (cũng có một vài đề cập xuất hiện từ rất xa xưa như “định lý Menelaux” chẳng hạn). Song mãi đến cuối thế kỷ XVIII, khi trường bách khoa nổi tiếng ở Pari củng cố lại tình hình nghiên cứu toán học, nhất là hình học thì mới làm xuất hiện những công trình nghiên cứu có tính hệ thống thực sự trong lĩnh vực hình học xạ ảnh. Trường học này được các nhà cách mạng Pháp sử dụng để đào tạo ra một số lớn sĩ quan phục vụ xuất sắc cho nước cộng hòa của họ. Trong số đó có Jăng Victor Pôngxơliê (1788 - 1867), người đã viết bản “Luận văn về các tính chất xạ ảnh của các hình” khi bị bắt làm tù binh ở nước Nga.
Đến thế kỷ XIX, hình học xạ ảnh đã trở thành một trong những đối tượng được nghiên cứu nhiều trong toán học do ảnh hưởng của Stâyner, Stauat, Salơ và một số nhà toán học khác. Tính phổ cập của môn hình học này, một phần khác là do khả năng soi sáng khoa học hình học nói chung và có những liên hệ bên trong sâu sắc với hình học phi Ơclit cũng như với đại số học.
Để hiểu được sơ bộ khái niệm “biến đổi xạ ảnh”, chúng ta giả sử rằng, cho trước hai mặt phẳng và trong không gian, song song hoặc không song song với nhau. Sau đó, chúng ta thực hiện một “phép chiếu xuyên tâm” lên với tâm O (tâm chiếu) cho trước không nằm trên và để ứng với mỗi điểm P trên  là một điểm P’ trên , sao cho P và P’ nằm trên cùng một đường thẳng đi qua O. Tương tự, chúng ta cũng có thể thực hiện được “phép chiếu song song” nếu các đường thẳng chiếu không xuất phát từ tâm O mà song song với nhau. Như vậy, chúng ta có thể dùng phép chiếu xuyên tâm hay song song chiếu bất cứ hình nào trên lên để có được một hình mới và hình đó được gọi là ảnh xạ. Mọi ánh xạ của một hình lên một mặt phẳng để thu được một ảnh xạ qua một phép chiếu song song hay xuyên tâm, hoặc qua một dãy hữu hạn các phép chiếu như vậy gọi là biến đổi xạ ảnh (Nếu hai hình chỉ liên hệ với nhau bằng duy nhất một phép chiếu thì người ta nói rằng chúng “phối cảnh” nhau. Hình học xạ ảnh của mặt phẳng gồm một hệ thống các định lý hình học được bảo toàn trong các biến đổi xạ ảnh bất kỳ các hình tương ứng. Nó khác hẳn với “hình học mêtric” là một hình học bao gồm hệ thống các định lý xác lập mối quan giữa các đại lượng trong các hình được xét chỉ là bất biến đối với lớp (hay dãy) các phép dời hình. Có thể nêu ra vài tính chất xạ ảnh:
- Một điểm được chiếu thành một điểm.
- Một đường thẳng được chiếu thành đường thẳng.
- Tính hiện thực của một điểm và một đường thẳng là bất biến đối với nhóm các biến đổi xạ ảnh.
- Nếu ba điểm là cộng tuyến, tức là liên thuộc với cùng một đường thẳng thì các ảnh xạ của chúng cũng cộng tuyến.
- Nếu ba đường thẳng đồng qui, tức là liên thuộc với cùng một điểm thì ảnh xạ của chúng cũng là những đường thẳng đồng qui.
Quá trình nghiên cứu, xem xét các tính chất hình học trong hình học xạ ảnh đã cho các nhà toán học thấy rằng trong nhiều trường hợp, những luận cứ đưa ra sẽ mất hiệu lực nếu những giao điểm phải dựng của những đường thẳng nào đó lại song song với nhau. Do các đường thẳng song song không có điểm chung nên trong các lập luận, buộc phải phân biệt và giải thích ra hai trường hợp chiếu xuyên tâm và chiếu song song. Nếu không thoát ra khỏi tình trạng đó thì hình học xạ ảnh sẽ trở nên cực kỳ phức tạp do phải nghiên cứu một cách chi tiết các ngoại lệ và trường hợp riêng. Yêu cầu phải khái quát hóa các khái niệm cơ bản để “tinh giản” lý thuyết hình học xạ ảnh, do đó mà cũng được đặt ra một cách hoàn toàn tự nhiên trước các nhà toán học.
Để giải quyết vấn đề đó, có lẽ cũng tự nhiên không kém, một suy nghĩ đã bật ra trong đầu các nhà toán học là có thể nào gộp hai phép chiếu xuyên tâm và song song vào một phép chiếu duy nhất? Muốn thế, phải biện giải được phép chiếu song song là trường hợp đặc biệt của phép chiếu xuyên tâm, khi tâm chiếu ở xa vô tận. Nhưng có thể sự gợi ý mạnh mẽ cho suy nghĩ này bắt nguồn từ hiện tượng biến đổi nghịch đảo qua đường tròn, khi ảnh của tâm O được cho là điểm ở xa vô tận, và sự minh họa trực giác của các hình vẽ phối cảnh, trong đó có các đường thẳng song song có vẻ như gặp nhau ở xa vô tận và nhiều cặp đường thẳng song song gặp nhau ở xa vô tận tạo nên một tập hợp điểm làm hình thành nên một đường thẳng song song gặp nhau ở xa vô tận gọi là “đường chân trời”. Đường chân trời trong hình học phối cảnh là đường có thể thấy được nhưng không tiếp cận được.
Quan niệm về các đường song song cắt nhau ở điểm xa vô tận, tưởng chừng như nghịch lý ấy, hóa ra là hết sức hợp lý vì các nhà toán học đã phát hiện ra rằng sự tồn tại của các điểm xa vô tận đó và những yếu tố mới nảy sinh kèm theo có mối quan hệ tương hỗ giữa chúng với nhau và với các điểm “thông thường” là hoàn toàn rõ ràng và không gây ra bất cứ mâu thuẫn nào. Từ đó, các nhà toán học đã đưa ra qui ước rằng một đường thẳng bất kỳ, ngoài các điểm thông thường còn có một điểm nữa ở xa vô tận và được gọi là “điểm lý tưởng”. Điểm lý tưởng là điểm chung của tất cả các đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. Các nhà toán học còn quy ước bổ sung thêm vào tập hợp các đường thẳng một đường thẳng nữa gọi là “đường thẳng ở xa vô tận” và cho rằng đường thẳng ở xa vô tận là tập hợp các điểm lý tưởng.
Với những quy ước nêu trên thì tiên đề “qua hai điểm cho trước chỉ dựng được duy nhất một đường thẳng” vẫn được bảo toàn và một định lý được mở rộng là “bất kỳ hai đường thẳng nào cũng cắt nhau tại một điểm”. Thật vậy, qua hai điểm lý tưởng bất kỳ, chỉ có thể vẽ được một đường thẳng duy nhất là đường thẳng ở xa vô tận hay còn gọi là đường thẳng lý tưởng, bởi vì theo qui ước mỗi đường thẳng thông thường chỉ có một điểm lý tưởng. Đường thẳng lý tưởng phải “chứa” toàn bộ các điểm lý tưởng và không chứa bất kỳ một điểm thông thường nào. Giả sử đường thẳng lý tưởng chứa một điểm thông thường thôi thì vì qua một điểm lý tưởng và một điểm thông thường tất yếu phải dựng được một đường thẳng thông thường mà đường thẳng thông thường lại chỉ được phép chứa một điểm lý tưởng thôi nên điều giả sử là cực kỳ phi lý.
Nhờ những qui ước bổ sung đó, hình học xạ ảnh đã giải quyết được mỹ mãn nhiều vấn đề nan giải nảy sinh của nó. Chẳng hạn việc đưa vào các điểm xa vô tận và đường thẳng xa vô tận trên mặt phẳng giúp các nhà toán học xem xét phép chiếu của mặt phẳng này trên mặt phẳng khác một cách đầy đủ hơn.
Quá trình nghiên cứu những biến đổi hình học đã dẫn các nhà toán học đạt được hết thành tựu này đến thành tựu khác để xây dựng nên những lý thuyết tương đối chuyên biệt ngày một sâu sắc và kỳ thú. Lý thuyết Tôpô là một trong những số đó.
Hiện tượng biến đổi hình học được gọi là Tôpô chính thức được phát hiện vào khoảng đầu thế kỷ XIX, làm phát sinh một trào lưu mới trong nghiên cứu hình học, và sau này trở thành một trong những động lực chính của toán học hiện đại. Phép biến đổi Tôpô rất mạnh, nó làm mất tất cả các tính chất mêtric và xạ ảnh của các hình hình học.
Một trong những người đi tiên phong trong lĩnh vực nghiên cứu lý thuyết Tôpô là A. F. Miôbiux (1790-1868). Ông là nhà thiên văn học, làm việc trong một đài thiên văn hạng xoàng ở Đức, do tính quá khiêm nhường và cũng có thể là rụt rè mà không đạt được may mắn trên con đường công danh - khoa học. Mãi đến năm 68 tuổi, Miôbiux mới trình lên viện Hàn lâm Pari tập hồi ký về các mặt “một phía”, ghi lại những sự kiện tuyệt vời nhất trong lĩnh vực hình học mới này. Cũng như nhiều công trình khoa học quan trọng khác, bản thảo của ông đã bị vứt lăn lóc nhiều năm trên giá sách của Viện Hàn lâm cho đến khi nó được bản thân tác giả công bố.
Độc lập với Miôbiux, nhà thiên văn ở Gơttingen là I. Lixting (1808-1882) cũng đã có những phát minh tương tự và nhờ sự giúp đỡ của Gaux, năm 1847 ông cho xuất bản cuốn sách nhỏ có tựa đề “Khảo cứu đầu tiên về Tôpô”.
Khi Bergard Riman (1826-1866) đến Gơttingen học đại học ở đó thì không khí ở đó đã tràn đầy sự hiếu kỳ đối với hiện tượng hình học mới lạ và nó đã ảnh hưởng mạnh mẽ đến nhà toán học kiệt xuất trong tương lai không xa này. Những đóng góp lớn lao của Riman đối với lý thuyết Tôpô là không thể phủ nhận được.
Tuy hiện tượng Tôpô được phát hiện một cách chính thức vào thế kỷ XIX và trở thành một lý thuyết hoàn chỉnh vào thế kỷ XX, nhưng cần phải nói rằng từ rất sớm, đã có những phát minh toán học gần gũi với Tôpô. Trong số đó, nổi lên hàng đầu là việc xác lập công thức liên hệ số đỉnh, số cạnh và số mặt của một khối đa diện đơn giản: nó đã được Đềcác phát hiện năm 1640, được Ơle phát hiện lại và sử dụng năm 1752. Những nét đặc trưng của khẳng định Tôpô trong công thức này đã trở nên rất hiển nhiên khi mà về sau này, Poancarê nhận ra một trong những định lý trung tâm của Tôpô ở trong công thức Ơle và những công thức mở rộng của nó.
Có thể hiểu khối đa diện là một vật thể không gian gồm một số hữu hạn các mặt có hình đa giác. Trong các khối đa diện đều thì mọi đa giác đều bằng nhau và mọi góc phẳng ở đỉnh đều bằng nhau. Khối đa diện gọi là đơn giản nếu nó không có “những lỗ thủng”, để cho sau một biến dạng liên tục thì mặt của nó có thể biến đổi thành mặt cầu. Tuy rằng trong hình học cổ xưa, việc nghiên cứu các khối đa diện chiếm vị trí trung tâm, nhưng chỉ có Đềcác và Ơle mới phát hiện được mệnh đề sau đây: nếu gọi V là số đỉnh, E là số cạnh, F là số mặt của một khối đa diện đơn giản thì .
Một ứng dụng hết sức thú vị của công thức Ơle là nhờ nó, có thể chứng minh được sự tồn tại của không quá 5 loại đa diện đều. Sơ lược của chứng minh đó như sau:
Giả sử một khối đa diện đều có thể có mặt mà mỗi mặt là một đa giác đều có n cạnh và mỗi đỉnh có r cạnh, nếu tính số cạnh của đa giác ấy theo các mặt thì có:
                 
Còn nếu tính theo các đỉnh, thì có:
                 
Từ đó suy ra:
                 
Áp dụng công thức Ơle thì được:
                 
Vì số cạnh của một đa giác không thể nhỏ hơn 3 nên và đỉnh của một đa diện không thể hiện hữu với số mặt ít hơn 3 (có số cạnh nhỏ hơn 3) nên . Mặt khác n và r không thể đồng thời lớn hơn 3 vì nếu xảy ra như thế thì số cạnh E sẽ mang dấu âm, trái với quan sát thông thường, do đó cũng không thể hình dung được. (Tuy nhiên sự hoang tưởng tự do của chúng ta mách bảo rằng, biết đâu chừng trong tương lai, một nhà toán học nghiệp dư “điên rồ” nào đó lại khăng khăng về sự tồn tại của một số E âm và “kích hoạt” một ngành hình học mới ra đời!). Như vậy, chỉ còn phải làm sáng tỏ xem có thể thừa nhận những giá trị nào của r nếu n=3 và những giá trị nào của n nếu r=3, là thỏa mãn đẳng thức trên.
Khi n=3, đẳng thức trên có dạng:
                 
Và suy ra r có thể bằng 3, 4 hoặc 5 (r không thể lớn hơn 5 vì như đã nói ở trên, E phải là một số nguyên dương). Nghĩa là chỉ có khả năng tồn tại các đa diện đều 4 mặt, 8 mặt và 20 mặt.
Tương tự, khi r=3, đẳng thức được viết:
                 
Suy ra n bằng 3, 4 hoặc 5 và do đó trong trường hợp này cũng chỉ có khả năng tồn tại các khối đa diện đều: 4 mặt, 6 mặt và 12 mặt.
Tổng kết cả 2 trường hợp, chúng ta thấy rằng chỉ có thể tồn tại được các khối đa diện đều là:
                  Khối 4 mặt (còn gọi là khối tứ diện tam giác đều)
                  Khối 6 mặt (còn gọi là khối lập phương)
                  Khối 8 mặt
                  Khối 12 mặt
                  Khối 20 mặt.
Cột số trên có 2 tính chất kể ra cũng khá ngạc nhiên là:
                 
Nhưng tại sao Vũ Trụ hình học lại chỉ cho phép dựng được vỏn vẹn có năm khối đa diện đều? Thật khó lòng hiểu nổi?!
Chúng ta biết rằng luôn luôn có thể dựng được khối cầu ngoại tiếp “khít khao” năm khối đa diện đều và bằng cách nào đó, có thể chuyển hóa năm khối ấy thành khối cầu mà chúng nội tiếp. Điều đó dẫn đến ý niệm rằng trên mặt một khối cầu chỉ có thể chia điều hòa và đều đặn theo năm cách để có thể có được 4, 6, 8, 12 hoặc 20 phần diện tích bằng nhau.
Có thể nào mở rộng khái niệm “khối đa diện” và qua đó là cả khái niệm “khối đa diện đều” để làm cho khối đa diện đều trở nên vô kể về “chủng loại” được không?
Kinh nghiệm trực giác đã đưa toán học đến việc phải qui ước n và r không được nhỏ hơn 3 và đồng thời không được lớn hơn 5. Rõ ràng là không thể hình dung được một khối đa diện đều nào lại không tuân thủ qui ước ấy. Tuy nhiên, biết đâu chừng vẫn có thể tồn tại những khối đa diện như vậy ở đâu đó mà do tính đa tạp của cấu trúc không gian, chúng đã bị biến dạng đi hoặc còn có thể là do nhận thức của chúng ta còn chưa “rốt ráo” nên đã không thấy được chúng hoặc liệt kê chúng thành một loại khác. Chúng ta hãy xem thử tình hình ra sao nếu chỉ qui ước rằng n, r và E phải nguyên dương và thỏa mãn đẳng thức:
Ngoài ra, không còn qui ước nào khác.
Một cách trực quan thì khối tứ diện là có số mặt ít nhất (4 mặt) trong các khối đa diện. Tuy nhiên, chúng ta “ngoan cố”, cứ cho rằng vẫn có thể tồn tại khối đa diện có số mặt ít hơn 4. Giả sử có khối đa diện đều mà số cạnh của nó là . Lúc này có thể viết:
Suy ra ở vế trái hoặc n = 2 và r = 3, hoặc n = 3 và r = 2. Ở trường hợp đầu, chúng ta có:

Nghĩa là chúng ta sẽ có một khối đa diện đều với số cạnh là 3, số đỉnh là 2 và số mặt là 3. Có thể hình dung được đây là một khối “tam diện đều”, có ba cạnh cùng độ cong và bằng nhau về độ dài, có hai đỉnh đối nhau tạm gọi là “hai cực” của khối.
Ở trường hợp thứ hai, thì .
Một khối đa diện đều mà chỉ có số cạnh là 3, số đỉnh là 3, số mặt là 2 thì kể cũng kỳ dị! Tuy nhiên, nếu kết hợp với “thông tin” số cạnh đa giác của nó bằng 3 và số cạnh ở mỗi đỉnh là 2 thì “hầu như” chỉ là… tam giác đều. Đã là tam giác đều thì làm sao có hai mặt và hơn nữa lại gọi là “khối” được? Thế mà có thể đấy! Chúng ta đã quan niệm rằng không tồn tại Hư Vô vì Hư Vô cũng phải là Tồn Tại, do đó không có mặt (phẳng) nào lại được tạo dựng từ Hư Vô cả mà phải từ ít ra là các hạt KG và có “độ dày” ít ra cũng bằng “bề dày” của hạt KG. Vì lẽ đó mà bất cứ mặt (phẳng) nào cũng có hai mặt tạm gọi là trái và phải hay bên này và bên kia. Tam giác đều là một mặt phẳng nên nó cũng phải có hai mặt và thành một khối là điều hiển nhiên.
Nếu tam giác đều được coi là một khối nhị diện đều thì tất cả các đa giác đều đều phải được coi là các nhị diện đều cùng chung một tính chất .
Có khối “nhất diện” (một mặt) không? Chúng ta cho rằng có, vì khi thì . Lúc này, vì:
Suy ra có thể:

Vì r không thể lớn hơn E nên có thể biện luận được: và r = 1 là trường hợp duy nhất để thỏa mãn đẳng thức. Do đó:
Như vậy, chúng ta có được kết quả:
Một khối “nhất diện” có 2 đỉnh, 1 cạnh, 1 mặt, số cạnh đa giác là 1, số cạnh tại mỗi đỉnh là 1 chỉ có thể là một đoạn thẳng mà 2 đầu mút của nó chính là 2 đỉnh. Ở phía nào “nhìn vào” cũng chỉ thấy một mặt duy nhất và là mặt đã từng thấy ở những phía khác. Đó là hiện tượng tạm gọi là “mặt mọi phía” và là “tiền thân” của mặt một phía (được nhà thiên văn học kiêm toán học Miobiux phát hiện vào buổi đầu của lý thuyết Tôpô).

Đó chính là khối nhị diện trên mặt phẳng có hai cạnh là 2 cung cùng độ cong và cùng độ dài gặp nhau tại 2 điểm (đóng vai trò là hai đỉnh của khối). Trường hợp đặc biệt của khối này là “khối” hình tròn. Hình tròn cũng là giới hạn của các khối nhị diện. Khi số cạnh của chúng tăng lên vô hạn (hay tới hạn) thì chúng biến thành “khối tròn phẳng”
Còn một khối đều cơ bản nhất mà chúng ta chưa nhắc tới, đó là khối cầu.
Có thể quan niệm (và cũng chính là qui ước) rằng khối cầu là một khối nhất diện đều vì sự “tròn quay”của nó và vì nó chỉ có một mặt gọi là mặt “mọi phía” (mặt trái ở bên trong nội tại nó, vì bị cách ly khỏi “thế giới bên ngoài” nên chỉ có thể được coi là mặt của nội tại và, không đồng nhất với mặt bên ngoài của nó).
Vì chỉ có duy nhất một mặt mọi phía nên khối cầu không có cạnh. Tuy nhiên vì mặt của nó là tập hợp của vô số điểm KG “bình đẳng” nhau nên có thể chọn bất cứ điểm KG nào làm “chuẩn mốc” khảo sát mặt cầu và chúng ta gọi đó là đỉnh của khối cầu. Khối cầu chỉ có một đỉnh duy nhất.
Chúng ta quan niệm như thế để cho thỏa mãn:
Nghĩa là số cạnh tại đỉnh là không có.
 
nghĩa là chỉ có điểm KG thôi chứ chẳng có đa giác nào cả.
Nếu để làm thỏa mãn biểu thức:
thì cũng có thể chọn . Thế nhưng chọn như thế thì trở lại trường hợp “khối” là một đoạn thẳng.
Xét ở khía cạnh khác, thì điểm KG cũng phải là một “khối” không gian cho nên khi chúng liên kết với nhau để tạo nên mặt cầu thì mỗi một phần bề mặt của một điểm KG cũng phải được coi như một “đa giác” làm nên mặt cầu. Vậy những “đa giác” đó là loại đa giác nào và chúng có giống nhau không để mà có thể gọi khối cầu do chúng hợp thành cũng được gọi là khối đa diện đều?
Dù có hoang tưởng giỏi đến mấy thì chúng ta cũng không sao mường tượng ra được cảnh ngộ đó để có thể trả lời câu hỏi trên. Rất có thể rằng, ở tầng qui mô như thực tại mà chúng ta đang thấy sự hiện hữu của các khối đa diện đều với những kiểu dáng “mày râu nhẵn nhụi” và “quắc thước” là hiển nhiên, nhưng ở tầng sâu vi mô, bức tranh thực tại sẽ hoàn toàn khác và có thể những khối đa diện đều đó bị tuyệt đối cấm không được tồn tại. Thậm chí là trong khoảng không bao la của Vũ trụ mà con người còn quan sát được, cũng chẳng thấy 5 khối đa diện đều “có quyền” được tồn tại nói trên xuất hiện. Cấu trúc hình thể của tất cả các vì sao, các thiên hà, hình như đều “chê” năm cái hình hài đều đặn và sắc sảo đến mức “khô cứng”, đầy vẻ giả tạo ấy. Ngay cả con người, dù có thể “đẽo tạc” dễ dàng ra chúng thì ngoài khối lập phương ra (dùng làm hộp đựng), người ta hầu như chẳng thèm tạo ra chúng và chẳng biết dùng vào việc gì.
Ấy thế mà ở khoảng giữa hai tầng vĩ mô và vi mô, có một tầng gọi là tầng “phân tử”, sự hiện diện các hình khối đa diện đều hay cân xứng, đóng vai trò là những khối mạng liên kết giữa các phân tử với nhau lại trở nên phổ biến lạ thường. Loài người sẽ không xuất hiện được nếu không hiện hữu những hình thể hình học ấy. Phải chăng Tự Nhiên đã sinh ra chúng và giành riêng cho chúng “một cõi” ấy?
Chen vào vài ý kiến có phần phản biện và vài thắc mắc ngây ngô như thế để vui vẻ chút thôi. Bây giờ, chúng ta lại quay về lý thuyết Tôpô.
Đối tượng của công thức Ơle là những khối đa diện đơn giản. Nhưng công thức ấy vẫn không mất ý nghĩa khi áp dụng cho những trường hợp tổng quát hơn nhiều, chẳng hạn là cho các “khối đa diện” đơn giản có mặt là mặt cong, có cạnh là cạnh cong… Có như thế, một phần là vì công thức Ơle chỉ đề cập đến số lượng đỉnh, mặt, cạnh của khối hình học. Ở đây, độ dài, diện tích, độ cong… cũng như các khái niệm khác của hình học sơ cấp và hình học xạ ảnh không có vai trò gì cả. Có thể hình dung bề mặt của một khối đa diện hoặc hình cầu được làm bằng một lớp cao su mỏng và bị làm biến dạng bằng mọi cách như uốn, nén, giãn… miễn không làm rách lớp cao su, thì công thức Ơle vẫn được bảo toàn.
Phép biến đổi tôpô mang tính tổng quát cao độ mà các phép dời hình và biến đổi xạ ảnh chỉ là những trường hợp rất đặc biệt của nó. Biến đổi tôpô từ một hình hình học A thành hình hình học A’, được định nghĩa như là một tương ứng bất kỳ giữa các điểm p của hình A và các điểm p’ của hình A’, thỏa mãn 2 điều kiện:
- Điều kiện “một - một” (đơn trị hai chiều): nghĩa là mỗi điểm p của hình A được cho tương ứng với một và chỉ một điểm p’ của hình A’ và ngược lại.
- Điều kiện “liên tục hai phía”: nghĩa là, nếu lấy hai điểm p và q của A và “di dời” p sao cho khoảng cách giữa p và q giảm dần vô hạn thì khoảng cách giữa các điểm p’ và q’ của hình A’ cũng giảm dần vô hạn, và ngược lại.
Những tính chất nào của hình A, sau khi chịu một biến đổi tôpô, vẫn còn được bảo toàn thì người ta gọi chúng là những tính chất tôpô của hình A. Chẳng hạn, bề mặt của một khối đa diện đều, sau một biến đổi tôpô, bị chịu những biến dạng như: các góc sai lệch, các cạnh bị uốn cong và độ dài thay đổi, diện tích thay đổi…, nhưng nếu số lượng các cạnh, các đỉnh… không thay đổi thì người ta gọi những tính chất vẫn còn được bảo lưu trên hình đã biến dạng ấy là những tính chất tôpô. Qua biến đổi tôpô, tam giác có thể biến dạng thành tam giác khác, cũng có khi thành một hình tròn hay elip. Vì thế các hình nói trên có những tính chất tôpô giống nhau. Thế nhưng không phải hình nào cũng thế: không thể biến dạng hình tròn thành đoạn thẳng hoặc làm biến dạng mặt cầu thành mặt xung quanh của hình trụ.
Biến đổi tôpô không chỉ có làm biến dạng. Phép biến dạng chỉ là một bộ phận của phép biến đổi tôpô.
Khi nói đến quan sát, chúng ta thường nghĩ ngay đến đôi mắt với cái nhìn trực giác. Quả thật, quan sát thực tại bằng mắt để rồi suy tư trên những điều đã thấy được, là một phương thức chủ yếu, có tính “truyền thống” (và có tính bản năng) từ xưa tới nay. Nhưng quan sát đâu phải chỉ có vậy. Lắng tai nghe rõ ràng cũng là một dạng quan sát, cảm giác bằng xúc giác cũng là quan sát. Tuy nhiên, trên nền tảng ấy, có một phương thức quan sát tối quan trọng mà nếu không có nó thì nhiều “viễn cảnh” sẽ không thể nhìn thấy được, dù tai, mắt có tinh tường tới đâu chăng nữa. Phương thức quan sát ấy được gọi là “cái nhìn của sự suy tư”. Chẳng hạn, nếu không có cái nhìn của hồi ức đi tiên phong thì dứt khoát cái nhìn bằng mắt và cả bằng tai sẽ chẳng bao giờ “thấy” được những hoạt cảnh sống động của một thời quá khứ xa vời nào đó (dù rằng chỉ là sự dàn dựng lại!), khi chưa có phát minh về phim ảnh. Đa phần những hình hình học trong hình học tôpô sau những biến đổi tôpô mạnh mẽ chỉ có thể tồn tại trong thực tại của Vũ trụ hình học (thực tại ảo). Nhưng tồn tại là một chuyện còn hiện hữu lại là chuyện khác. Chỉ bằng cái nhìn suy tưởng chăm chú trên một trình độ nhận thức nhất định, các nhà toán học mới “nhìn thấy” chúng và cố gắng minh họa ra trang giấy để cho cái nhìn bằng mắt được chiêm quan một cách khó nhọc và ít khi mà tỏ tường được. Bởi vì rằng nhiều hình tượng mà sự suy tưởng quan sát được, chỉ tồn tại thực trong một thế giới đa tạp nào đó khác với thế giới cảm giác thông thường của chúng ta, ở tầng vĩ mô, cũng như ở tầng sâu thẳm vi mô. Nói như thế đồng thời chúng ta cũng muốn nói lên ý này: Cấu trúc hình học của Vũ trụ quả thật là đa tạp và sự đa tạp ấy quả thực đã được Vũ trụ hình học phản ánh và một trong những phản ánh ấy chính là hình học tôpô. Các nhà toán học đã đi xa được biết bao nhiêu trên con đường nhận thức Tự Nhiên Tồn Tại!
Có một đề tài nảy sinh trong quá trình xây dựng nên lý thuyết tôpô và đã từng một thời nổi tiếng lẫy lừng trong giới toán học. Đề tài này về mặt trực giác có vẻ rất đơn giản, dễ chứng minh, song cho đến nay, toán học vẫn còn lấn cấn, chưa trả lời dứt khoát được. Đó là “bài toán 4 màu”.
Nội dung của Bài toán 4 màu có thể được phát biểu đơn giản như sau. Người ta dùng cách tô màu để phân biệt giữa các nước trên một tấm bản đồ với nhau, giữa đất liền và biển. Vậy phải cần đến tối thiểu là bao nhiêu màu đối với một tấm bản đồ bất kỳ vẽ trên mặt phẳng? (Bản đồ được vẽ trên một mặt cầu là trường hợp tương đương với trường hợp vẽ trên mặt phẳng).
Vấn đề của Bài toán 4 màu được Miôbiux nêu lên lần đầu tiên vào năm 1840. Tháng 10-1852, một người thợ tô màu bản đồ tên là Francis Guthrie, người Anh, đã phỏng đoán: tất cả bản đồ đều chỉ cần dùng 4 màu là đủ. Sau đó, anh trai của người thợ này đã đến hỏi thầy giáo của mình là nhà toán học nổi tiếng August de Mogan (1806-1871), cũng người Anh. Mogan đã nghiên cứu nghiêm túc vấn đề nhưng không chứng minh được mà cũng chỉ tin rằng phỏng đoán đó là đúng. Ngày 23-10-1852, Mogan viết thư cho người bạn thân là nhà toán học cũng nổi tiếng không kém tên là W. R. Halmilton, nhưng ông này cho là vấn đề đơn giản nên không quan tâm.
Ngày 13-6-1878, nhà toán học người Anh là Arthur Cayley (1821-1895) đã nêu lại vấn đề 4 màu tại Hội nghị toán học ở London và năm 1879, người ta đã trưng cầu lời giải cho bài toán 4 màu. Sau đó, A. B. Kempe đã chứng minh được mệnh đề có tính chất mấu chốt: trong một bản đồ bất kỳ, nếu số vùng n>6 thì phải có số biên giới của mỗi vùng không vượt quá 5. Cũng năm đó, ông này đã đăng bài “Tô bản đồ bằng 4 màu như thế nào?” trên Tạp chí “Tự Nhiên”, và vấn đề 4 màu xem như được giải quyết vào ngày 17-7-1879.
Thế nhưng, năm 1890, P. J. Hint (1861-1955), người Anh, đã chỉ ra những sai lầm trong chứng minh của Kempe. Hint cũng là người đã chứng minh được rằng: bất cứ bản đồ nào cũng đều có thể chỉ cần dùng tối đa là 5 màu để tô.
Năm 1922, Franklin chứng minh được nếu bản đồ có không quá 25 vùng thì có thể dùng 4 màu. Tương tự, năm 1926, Renotr chứng minh được, nếu số vùng không quá 27 thì cũng chỉ cần 4 màu để tô. Tiếp tục, năm 1938, Franklin chứng minh số vùng tối đa có thể tô 4 màu là 32, rồi đến năm 1940, Wim chứng minh số vùng tối đa là 35. Năm 1969, một người NaUy tên là O. Ore chứng minh số vùng tối đa để có thể tô được chỉ với 4 màu là 45. Năm 1975, người ta nâng số vùng lên được 52.
Nhờ máy tính, năm 1974, Kele công bố đã chứng minh được định lý 4 màu (nghĩa là bài toán 4 màu được giải quyết về mặt lý thuyết). Tháng 9-1976, ba nhà toán học dạy ở Trường đại học Ilinoi (Mỹ) là K. I. Appel, A. W. Haken và J. Kock đã xây dựng cách giải và dùng 3 máy tính có tốc độ tính toán 4 triệu phép tính trong 1 giây và tính trong 1200 giờ để giải xong bài toán 4 màu. Lúc đó, công trình này được coi như một kỳ tích chưa từng có trong lịch sử toán học và hôm tuyên bố giải được bài toán 4 màu, bưu cục của Trường đại học Ilinoi đã đóng dấu bốn chữ đầy tự hào: “Bốn màu kết thúc!” (“Four Cloro Suffice”!). Năm 1977,     F. Allairic cũng công bố kết quả của bài toán 4 màu bằng máy tính.
Dù sao thì vẫn còn nhiều nhà toán học nghi ngờ đối với cách giải bài toán 4 màu bằng máy tính và càng nghi ngờ cách giải này hơn nữa khi vào năm 1981, một nhà toán học người Mỹ tên là Smith đã kiểm tra lại 40% trình tự tính toán của nhóm ba nhà toán học của Trường đại học Ilinoi nói trên, và đã phát hiện 14 chỗ sai nhỏ 1 chỗ sai lớn. Điều này làm cho các nhà toán học mong muốn tìm được một chứng minh cho vấn đề 4 màu theo cách lý giải thông thường. Cần nói thêm rằng toán học cận đại đã đánh giá Bài toán 4 màu là một trong ba bài toán khó tiêu biểu. Hai bài toán kia, như chúng ta đã biết, là “Bài toán Gônbách” và “Bài toán Fecma”.
Thực sự là có thể giải được bài toán 4 màu theo lối thông thường không? Dù không đủ năng lực để tìm ra lời giải ấy nhưng với quan niệm triết học về Tự nhiên Tồn Tại đã “bị” tiêm nhiễm bởi NTT và cảm thức hồn nhiên của mình, chúng ta cho rằng lời giải ấy tồn tại và không những chỉ “thông thường” mà có khi còn giản dị đến bất ngờ nữa. Hơn nữa, cũng dựa hoàn toàn vào cảm thức mà chúng ta thấy hình như, lời giải “thông thường và giản dị” của bài toán 4 màu, nếu tồn tại, phải bắt đầu từ “điểm tựa” là định lý Jordan.
Kamil Jordan (1830-1922) là người đầu tiên phát biểu định lý này và nội dung của nó như sau: Một đường cong kín c (không tự cắt nó) trên mặt phẳng sẽ chia mặt phẳng ra đúng hai miền gọi là miền trong và miền ngoài. Có thể mở rộng định lý áp dụng cho một mặt cong kín trong không gian, không tự cắt nó, chia không gian thành “phía” trong và “phía” ngoài!).
Thoạt nhìn, định lý Jordan có vẻ hoàn toàn hiển nhiên. Ấy vậy mà do sự đòi hỏi phải chặt chẽ của toán học về mặt lôgíc, việc chứng minh định lý này không phải dễ dàng. Chứng minh của Jordan không hề ngắn gọn và chưa hoàn tất, cần phải điều chỉnh bổ sung nhiều nữa mới khắc phục được những thiếu sót của nó. Những chứng minh chặt chẽ đầu tiên của định lý Jordan là rất phức tạp và khó hiểu ngay cả đối với những người có trình độ toán học tốt. Những chứng minh tương đối đơn giản sau này mới được tìm ra.
Một đường cong kín thì rõ ràng là 2 “đầu mút” của nó phải trùng nhau. Còn từ “cong” làm chúng ta dễ loại trừ đường gãy khúc. Chúng ta có thể hiểu “cong” ở đây là tương đương với khái niệm “bất kỳ”. Trong một không gian đa tạp thì đường cong (hay lượn) mới mang tính tổng quát (hay phổ biến). Tất cả các kiểu, dạng đường khác chỉ là những trường hợp đặc biệt của đường cong mà phần nhiều là do chủ quan của quan sát, nhận thức “thấy thế” và qui ước. Với quan niệm như thế thì đường tròn chỉ là một trường hợp riêng, hay còn gọi là trường hợp đặc biệt của một đường cong bất kỳ khép kín, không tự cắt nó, hay như các nhà toán học nói, đường tròn là tương đương tôpô với một đường cong khép kín, không tự cắt nó.
Còn thế nào gọi là “miền trong” hay “miền ngoài”? Về mặt trực giác, chúng ta thường vẫn nghĩ miền trong là miền thuộc đâu đó vùng trung tâm và miền ngoài là miền bị ngăn cách khỏi cái trung tâm ấy, nhưng thực ra không hẳn là như thế. Vì đường cong bất kỳ có thể “đi đến” vô tận rồi “trở về”, nên một bộ phận của miền trong có thể “nằm đâu đó” ở vô tận, và một bộ phận của miền ngoài, vì lẽ đó cũng “nằm đâu đó”  ở vùng trung tâm hoặc lân cận trung tâm. Có thể quan niệm một cách tương đối rằng miền trong là nội tại của một “thực thể” có tính hữu hạn và bị “đóng kín”, còn miền ngoài là môi trường của miền trong, bao bọc miền trong, nhận miền trong là bộ phận của nó và miền ngoài mang “nặng” tính vô hạn.
Một trong những hệ quả của định lý Jordan là nếu có hai điểm khác biệt thuộc cùng một miền, thì có ít nhất một đường nối hai điểm đó không cắt đường cong bất kỳ c phân định miền, còn nếu hai điểm thuộc hai miền khác nhau thì không thể có một đường nào nối hai điểm đó lại không cắt c.
Có thể rằng bản thân Jordan, khi xây dựng những khái niệm: “đường cong kín”, “miền trong”, “miền ngoài”… để phát biểu định lý, cũng không thể ngờ rằng chúng thật sự bất ổn, và chính việc phân tích những quan hệ và khái niệm nảy sinh trong quá trình chứng minh định lý đã trở thành nhiệm vụ lý thuyêt có ý nghĩa quan trọng bậc nhất mà chủ yếu là lý thuyết tôpô hiện đại phải có trách nhiệm giải quyết.
Chúng ta tin tưởng sâu sắc rằng trên bước đường đi giải quyết những khúc mắc nảy sinh do sự xuất hiện tự nhiên những ý niệm, ý tưởng mới trong công cuộc khám phá và sáng tạo để nhận thức thực tại theo “cách riêng” của mình, toán học rồi đây cũng sẽ đạt đến những quan niệm tương tự mà Triết học Duy Tồn đã tiếp cận được về cấu trúc không gian thực tại, đồng thời cũng đóng luôn vai trò làm minh chứng quan trọng cho những quan niệm triết học ấy. Trong toán học ngày nay đã phơi bày ra hiện tượng là xuất hiện hàng loạt những mâu thuẫn nội tại không sao “công phá” được. Và toán học sẽ vĩnh viễn “hoang mang” nếu không thừa nhận sự biểu hiện nước đôi của Tự Nhiên Tồn Tại mà Triết học duy tồn đã chỉ ra, Có thể lấy vấn đề của định lý Jordan làm một ví dụ điển hình cho nhận định này.
Theo quan niệm của Triết học Duy tồn thì định lý Jordan, cùng với những hệ quả suy ra từ nó đã hàm chứa nhiều nghịch lý khó lòng giải quyết nổi. Chẳng hạn, khi một đường cong khép kín thì nó phân định mặt phẳng thành hai miền phân biệt được gọi (hay qui ước) là “trong” và “ngoài”. Nhưng “trong” và “ngoài” thực ra chỉ là hai nhãn mác hình thức có thể tùy tiện gán cho miền nào cũng được, cho nên lại phải thêm qui ước như thế nào là “trong” và như thế nào là “ngoài”. Vậy thì trên cơ sở nào mà đưa ra được qui ước ấy, hay nói cách khác, dựa vào hiện tượng nào bộc lộ ra từ sự phân định trong - ngoài để xây dựng một qui ước nhằm phân biệt được đâu là “trong” và đâu là “ngoài” một cách rạch ròi?
Giả sử rằng mặt phẳng bị phân định nói trên trải rộng đến vô tận, thì từ kinh nghiệm của quá trình quan sát trực giác thông thường, chúng ta có thể qui ước miền trong là miền bị giới hạn bởi đường cong khép kín, còn miền ngoài là miền “bao bọc” miền trong và có tính vô hạn. Điều đó có nghĩa là chỉ có thể dựng được đoạn thẳng thuộc miền trong còn đối với miền ngoài thì luôn dựng được đường thẳng (đoạn thẳng có 2 đầu kéo dài đến vô tận) thuộc riêng nó. Qui ước như thế thoạt nhìn, kể ra cũng hợp lý và định lý Jordan trở thành có vẻ hiển nhiên như một… tiên đề.
Tuy nhiên nếu suy xét kỹ thì không đơn giản như vậy. Chính cái khái niệm “đường cong bất kỳ khép kín” đã gây nên mọi “rắc rối”, “bất ổn” cho việc chứng minh định lý Jordan và thậm chí còn chứng minh rằng trong nhiều trường hợp, định lý Jordan là sai, hoặc chỉ có thể nói rằng định lý này là một trường hợp đặc biệt khi tăng cường thêm những qui ước mới.
Trước hết, chúng ta thấy rằng, có thể hiểu đường cong bất kỳ khép kín là một đường, chỉ xuất phát từ một điểm trong tầm quan sát được và khép kín tại điểm ấy, nhưng trước khi khép kín, nó có thể đi đến vô tận, một hay nhiều lần, “lang thang” một đỗi trong vô tận (nghĩa là có một hay nhiều đoạn trùng với đường ở vô tận!). Lúc này, đường cong bất kỳ khép kín đó chia mặt phẳng ra thành nhiều miền và ít nhất là 2 miền và không còn có thể phân biệt được (những) miền nào gọi là “trong”, (những) miền nào gọi là “ngoài” theo qui ước đã nêu ở trên vì ở miền nào cũng có thể dựng được đường thẳng ít nhất là có một đầu mút của nó kéo dài đến vô tận hoặc chẳng có miền nào có đường thẳng thuộc riêng nó. Nếu hình dung mặt phẳng là hình tròn và đường tròn là đường vô tận thì ở hình minh họa 18, giữa A và B, miền nào gọi là “trong” và miền nào gọi là “ngoài” (hình 18/a)? Còn ở hình 18/b thì lại càng khó xác định hơn: hoặc là đường cong kín c chia mặt phẳng ra 4 miền hoặc cũng có thể coi có 3 đường cong khép kín cũng chia mặt phẳng thành 4 miền, và nhìn kỹ thì thấy… hoa cả mắt, chẳng còn biết ra làm sao cả.
Hình 18: Sự bất ổn của định lý Jordan
Để cho định lý Jordan còn có thể phát huy được hiệu lực, không còn cách nào khác là phải thêm qui ước, chẳng hạn: đường cong bất kỳ khép kín c không được tiếp xúc với đường vô tận.
Với qui ước đó, rõ ràng là miền trong và miền ngoài đã được phân biệt rạch ròi và định lý Jordan tiếp tục được bảo vệ.
Khi đường cong kín bất kỳ phân định ra miền trong và miền ngoài thì đồng thời nó cũng “vô tình” làm cho mặt phẳng phân hóa thành 2 lực lượng tương phản nhau gọi là trong - ngoài, trong sự thống nhất của nó. Vì đường tròn là một tương đương tôpô của đường cong bất kỳ khép kín (và không tự cắt nó), cho nên có thể coi tương phản nghịch đảo qua đường tròn là trường hợp riêng (hay đặc biệt) của tương phản nghịch đảo qua đường cong bất kỳ khép kín và tâm điểm của đường tròn chính là điểm trung tâm của đường cong bất kỳ khép kín chuyển biến thành (có thể tạm hình dung điểm trung tâm là điểm mà khi miền trong xoay tròn thì nó chính là điểm nằm trên trục xoay vuông góc của miền trong và là điểm bất động duy nhất của miền trong, hay có thể hình dung một cách “vật lý”: nó là trọng tâm của miền trong). Như vậy, có thể gán cho miền trong và miền ngoài là hai thể tương phản nghịch đảo của nhau qua đường cong bất kỳ khép kín. Hiện tượng đó còn cho phép chúng ta nói rằng miền trong và miền ngoài là tương đương nhau qua phép biến đổi nghịch đảo. “Mạnh miệng” hơn nữa, chúng ta nói rằng, hai miền đó cũng là một tương đương tôpô và suy ra: nếu miền trong là hữu hạn thì miền ngoài cũng có tính hữu hạn; nếu miền ngoài là vô hạn thì miền trong cũng có tính vô hạn; hay: miền ngoài là vô hạn trong hữu hạn và miền trong là hữu hạn trong vô hạn.
Trên đây là nhận định có phần ngây thơ của chúng ta. Nhưng toán học chắc cũng phải nhận định tương tự như thế hoặc “hay hơn” như thế nếu nó vẫn còn muốn bảo toàn tính chính xác và nhất quán của nó. Tuy nhiên, khi nhận định như thế thì sự phân biệt trong - ngoài lại bị xóa mờ đi, do đó có lẽ không còn cách nào khác là lại tăng cường thêm qui ước. Bám vào điểm trung tâm, chúng ta qui ước thế này: miền trong và miền ngoài luôn có chung một điểm trung tâm nhưng điểm trung tâm đó luôn thuộc về miền trong, còn miền trong thì luôn bị bao hàm bởi miền ngoài, mà nếu ở trạng thái không tương phản thì chỉ là bộ phận của miền ngoài.
Việc củng cố làm tăng khả năng phân biệt được giữa “trong” và “ngoài” của chúng ta có phù hợp với toán học hay không? Giả sử rằng nó phù hợp thì toán học có phản ánh đúng về nguyên tắc biểu hiện của Thực tại khách quan hay không? Giả sử câu trả lời là khẳng định thì sẽ phải thừa nhận một hiện tượng lạ lùng sau đây của Tự Nhiên Tồn Tại: vì đường cong bất kỳ khép kín là có thể chọn tùy ý nên bất cứ điểm không gian nào cũng có thể là điểm trung tâm Vũ Trụ và như vậy có thể “thấy” Vũ Trụ có vô vàn trung tâm, đồng thời cũng vô tâm và có thể qui ước cho nó có 1 tâm, 2 tâm, 3 tâm…
Từng đó qui ước đã đủ “mạnh” để bảo toàn định lý Jordan chưa? Chưa đâu! Chúng ta đã quan niệm rằng, không thể có Hư Vô vì “có” Hư Vô thì vẫn cứ là Tồn Tại, do đó, đường cong bất kỳ khép kín muốn tồn tại thì phải có nội tại, nghĩa là nó phải có tiết diện dù có thể chỉ bằng “tiết diện” của hạt KG (thực thể nhỏ nhất của Vũ Trụ), hay tạm gọi là độ dày khi ở trên mặt phẳng, và muốn hiện hữu được thì phải có “bàn tay” tạo dựng. Vì có độ dày nên có thể coi đường cong bất kỳ khép kín như một “dải” cong bất kỳ khép kín và do đó, dải này phải là một bộ phận lực lượng của mặt phẳng, hay đúng hơn là ”chiếm chỗ” một phần trong mặt phẳng. Vậy thì khi chia mặt phẳng để phân biệt được miền trong và miền ngoài thì cũng đồng thời làm xuất hiện một miền thứ ba ở giữa hai miền đó (diện tích của dải cong khép kín). Có thể hình dung miền thứ ba là miền ngoài của miền trong và miền trong của miền ngoài do nó phân định ra. Để phù hợp với định lý Jordan thì phải qui ước cho miền thứ ba thuộc một miền trong hai miền còn lại, hoặc “phớt lờ” đi vì cho rằng nó vô cùng “mỏng” nên cũng không đáng kể. Dù cho dải cong bất kỳ khép kín thuộc miền nào thì cũng vi phạm vào hệ quả của định lý Jordan là cho 2 điểm bất kỳ trong cùng một miền thì sẽ có ít nhất một đoạn đường nối 2 điểm đó không cắt đường cong bất kỳ khép kín phân định miền. Hay có thể nói hệ quả đó chỉ còn một nửa hiệu lực, nghĩa là chỉ đúng với miền “không có” đường cong khép kín phân định miền. Tuy nhiên, dù có qui ước như thế thì vẫn luôn luôn phân định được giữa dải đường cong kín và miền mà nó được qui ước thuộc về đó. Muốn xóa bỏ sự phân biệt ấy thì phải tìm lý do để “phớt lờ” dải phân cách đi và khi thực hiện theo hướng này thì cũng coi như chúng ta đã chọn cách qui ước thứ 2.
Chọn cách nào thì cũng không bao giờ xóa nhòa cái ranh giới chia miền ấy được trong thực tại dù là thực tại ảo nếu còn muốn chia miền, vì rằng đường là do tập hợp các điểm nối tiếp nhau mà thành. Muốn cho định lý Jordan, sau khi đã được trang bị hàng loạt qui ước, chính xác không chê vào đâu được thì phải cho rằng bề dày của đường cong kín phân định miền là bằng 0. Điều đó có nghĩa là điểm phải có nội tại bằng 0, và khi đó mặt phẳng - là thực thể được cấu thành “một cách đặc biệt” từ tập hợp các điểm - cũng phải bằng 0. Có thể hình dung được một mặt phẳng có nội tại bằng 0 mà lại vẫn phân định tương phản thành miền trong - miền ngoài không? Chỉ có hai khả năng đối với mặt phẳng có nội tại bằng 0 là: nó tồn tại nhưng không hiện hữu (không quan sát thấy) hoặc nó thực sự không tồn tại (chưa cần phải nói đến rằng mặt phẳng tuyệt đối “kiểu Ơclít” là không thể tồn tại được trong cấu trúc không gian đa tạp của Vũ trụ thực tại khách quan). Nói đúng hơn, một mặt phẳng có nội tại bằng 0 (là tập hợp “dàn trải” của vô vàn điểm Hư Vô) và được phân định thành miền trong - miền ngoài chỉ có thể tồn tại và hiện hữu trong Vũ trụ hình học đầy hư ảo (Thực tại ảo).
Đến đây, có thể kết luận rằng định lý Jordan đã mô tả đúng tương đối nhưng không chính xác về bản chất một hiện tượng của thực tại khách quan. Muốn cho nó chính xác thì phải tăng cường qui ước và khi đã đạt được độ chính xác tuyệt đối theo “ý chí của tư duy” thì đồng thời nó cũng xa rời thực tại khách quan để chỉ có thể “sống còn” trong thực tại ảo là Vũ trụ hình học Ơclít mà thôi. Suy rộng ra, toán học chỉ tỏ ra chính xác khi nó đóng vai trò là công cụ tính toán, định lượng, và mất dần độ chính xác khi nó “kiêm nhiệm” cả chức năng triết học để nhận thức thực tại. Càng nhận thức sâu thực tại, toán học càng mất chính xác, càng mất chính xác thì càng phải tăng cường qui ước một cách duy ý chí để bảo vệ cái danh hiệu là “ngành khoa học chính xác” của nó và làm như vậy nó đã vô tình rời xa thực tại khách quan để “trú ngụ” hẳn trong thực tại ảo với biết bao nhiêu nghịch lý không thể khắc phục được. Chính những nghịch lý ấy đã làm cho toán học buộc phải nhận thức lại thực tại khách quan và nhận thức lại cả bản thân nó. Rốt cuộc, thì toán học chỉ còn một cách duy nhất để tránh mâu thuẫn là chấp nhận nghịch lý, coi sự xuất hiện nghịch lý là một trong những bản chất của thực tại khách quan. Đó cũng chính là quan niệm vừa giản dị, vừa tự do của triết học duy tồn. Lúc này thật là phù hợp để nhắc lại câu nói cực kỳ chí lý của nhà vật lý lừng danh Anhxtanh: “Chừng nào toán học liên quan tới thực tại, thì toán học không chắc chắn; còn khi toán học chắc chắn, thì toán học lại không liên quan đến thực tại”.
Trong thực tiễn, có thể “phớt lờ” bề dày của đường cong khi chia miền bằng cách tô màu để phân biệt miền này với miền kia. Hiển nhiên là trên mặt phẳng, không phải chỉ có thể chia thành 2 miền trong - ngoài mà có thể chia thành nhiều miền “kề” nhau và miền nào cũng có thể tự qui ước nội tại nó là “trong”, các miền còn lại hợp thành một miền gọi là “ngoài” của nó. Nếu các miền đó được gọi là lãnh thổ (trong đó có miền được gọi là “biển”) thì mặt phẳng đã chia miền đóng vai trò như một tấm bản đồ và việc tô màu để phân biệt các lãnh thổ với nhau (thấy được ranh giới giữa chúng) đã dẫn đến bài toán 4 màu.
Có thể chứng minh một cách thông thường (không thông qua máy tính) rằng chỉ cần sử dụng tối đa 4 màu khác nhau để tô bất kỳ tấm bản đồ nào mà các lãnh thổ đều phân biệt được với nhau (những lãnh thổ nằm kề nhau có màu khác nhau)? Chúng ta tin là hoàn toàn có thể và sau đây, chúng ta cũng xin đề xuất một phương hướng chứng minh.
Nói chung, chỉ có đúng 2 cách chia (hay phân vùng) một mặt phẳng (hay một miền nào đó). Cách thứ nhất chính là chia theo các lớp trong ngoài, vùng ngoài bao bọc vùng trong. Cách thứ hai tạm gọi là cách chia theo những phương chiều khác nhau để phân chia mặt phẳng hay một miền nào đó thành những bộ phận gọi là vùng nằm kề nhau và “nối tiếp” nhau.
Vì có thể chọn tùy ý điểm trung tâm để thực hiện chia trong - ngoài và cùng một lúc có thể chia trong - ngoài tại nhiều điểm trung tâm đối với mặt phẳng hay miền để tạo ra vô số vùng (hay còn gọi là lãnh thổ) nên cách chia thứ hai chỉ là hệ quả của cách chia trong - ngoài, và như vậy có thể cho rằng chỉ có một cách chia lãnh thổ duy nhất đối với mọi bản đồ. Không làm mất đi tính tổng quát nếu chúng ta coi đường cong bất kỳ khép kín trong phép chia trong – ngoài là những đường tròn đồng tâm. Giả sử rằng trên một mặt phẳng chúng ta chọn 3 điểm trung tâm nào đó để làm cơ sở chia trong – ngoài thành các lớp thì sẽ nhận được “hồn vía” của một bản đồ phân chia lãnh thổ như hình 19.
Để tô màu bản đồ này, chúng ta chọn 4 màu khác nhau có tên gọi là 1, 2, 3, 4 và dùng màu 1 để tô cho bất cứ lãnh thổ nào và tiếp tục tô theo nguyên tắc: những lãnh thổ kề nhau phải khác màu (và những lãnh thổ chỉ tiếp xúc với nhau tại một điểm thì không phải kề nhau).
Hình 19: “Hồn vía” của một bản đồ lãnh thổ.
Nếu tô màu như minh họa ở hình 18 thì rõ ràng chỉ cần đến ba màu (giả sử các lãnh thổ đó hợp thành một lục địa và bao quanh là biển cả thì chỉ cần dùng 2 màu để biểu diễn).
Trực giác đã cho chúng ta thấy, hình như đúng là chỉ cần tối đa 4 màu là có thể tô được bất cứ bản đồ nào. Tuy nhiên điều đó có chắc chắn để phát biểu thành định lý không? Để trả lời câu hỏi này, chúng ta sẽ lần lượt khảo sát vài trường hợp đơn giản nhất.
Nếu trên bản đồ chỉ là biển cả mênh mông thì hiển nhiên chúng ta chỉ cần dùng một màu. Nếu trên bản đồ thể hiện chỉ có một lãnh thổ bị bao bọc bởi biển cả (trường hợp chia mặt phẳng thành hai miền trong - ngoài), thì để phân biệt, chúng ta phải dùng hai màu (hình 20/a).
Nếu coi cái lãnh thổ đó là một lục địa phân chia thành hai lãnh thổ thì chỉ có hai cách chia là trong - ngoài (hình 20/b) và (tạm gọi) là theo phương chiều (hình 20/c). Khi lục địa được chia làm hai miền tiếp giáp nhau thì bản thân nó phải dùng hai màu để phân biệt lãnh thổ. Tuy nhiên, đối với cách chia thứ nhất, vì xuất hiện hiện tượng miền trong của miền trong nên miền đó bị cách ly với miền ngoài cùng (biển cả) cho nên hai miền đó có thể dùng chung một màu, nghĩa là cũng chỉ cần hai màu để tô bản đồ. Đối với cách chia thứ hai, vì hai lãnh thổ không phải là trong - ngoài của nhau mà là hai bộ phận kề nhau của lục địa và đều tiếp giáp với biển cả, đều nhận biển cả làm miền ngoài, nên xảy ra hiện tượng ba miền tiếp giáp lẫn nhau, và phải cần đến 3 màu để tô bản đồ.
Hình 20: Các trường hợp tô màu bản đồ.
Bây giờ chúng ta cho rằng lục địa đó được chia thành 3 lãnh thổ và cố tình chia sao cho phải sử dụng số màu nhiều nhất, thì chỉ có một cách chia duy nhất là ba lãnh thổ đó tiếp giáp lẫn nhau và cùng tiếp giáp với biển cả (nghĩa là 4 miền tiếp giáp lẫn nhau) như ở hình 21/a. Vì 3 lãnh thổ tiếp giáp lẫn nhau nên phải dùng 3 màu khác nhau và vì cả 3 lãnh thổ đó đều tiếp giáp với biển cả nên phải dùng đến màu thứ tư để tô nó.
Hình 21: Chia lục địa thành các lãnh thổ
Mới chia lục địa ra thành 3 lãnh thổ thôi mà đã phải dùng đến 4 màu rồi là một sự kiện làm cho nhận định tô bất cứ bản đồ nào cũng chỉ cần tới 4 màu, trở nên thật là “bấp bênh”, có khả năng sụp đổ bất cứ lúc nào. Dù sao thì đã lỡ leo lên lưng cọp rồi nên chúng ta chỉ còn nước tiếp tục… cưỡi cọp thôi, nếu không muốn bị cọp vồ!
Có thể chia lục địa thành 4 lãnh thổ tiếp giáp lẫn nhau không? Có! Điều kiện để lãnh thổ thứ tư tiếp giáp với 3 lãnh thổ còn lại và đảm bảo 4 lãnh thổ tiếp giáp lẫn nhau là lãnh thổ thứ tư phải “sở hữu” được khu vực chứa điểm cắt nhau của các đường ranh giới của 3 lãnh thổ kia, gọi là “đỉnh” hay “ngã ba biên giới”  (điểm A trên hình 21/a). Việc chia lục địa thành 4 lãnh thổ như trên được minh họa ở hình 21/b. Khi lục địa đã chia thành 4 lãnh thổ tiếp giáp lẫn nhau thì rõ ràng là phải cần đến 4 màu. Thế nhưng vì lãnh thổ thứ tư bị cách ly khỏi biển cả (tương tự như trường hợp ở hình 20/b) nên nó và biển cả có thể dùng chung một màu. Điều đó cho thấy cũng chỉ cần 4 màu để tô bản đồ minh họa trên hình 21/b.
Có thể cho lãnh thổ thứ tư tiếp giáp với biển không? Có thể, miễn là nó đủ sức mạnh chinh phục, chiếm một phần đất đai của lãnh thổ nào đó trong 3 lãnh thổ để tạo hành lang ra biển. Sự xâm lược đó được chúng ta mô tả ở hình 21/c. Lúc này vì lãnh thổ thứ tư đã tiếp giáp với biển cả nên chúng không thể dùng chung một màu được nữa. Tuy nhiên khi lãnh thổ thứ tư hoàn thành cuộc xâm lăng thì đồng thời nó cũng làm cho hai trong ba lãnh thổ còn lại không có biên giới chung nữa và hai lãnh thổ đó có thể dùng chung một màu. Việc phải tăng thêm một màu do lãnh thổ thứ tư tiếp giáp biển và giảm được một màu khi tô màu các lãnh thổ chung qui lại thì cũng chỉ cần đến 4 màu để tô bản đồ.
Qua các trường hợp phân chia lục địa ở hình 21, chúng ta phán đoán rằng, muốn phân chia lục địa ra thành những lãnh thổ tiếp giáp lẫn nhau (nghĩa là mỗi lãnh thổ đều có đường biên giới chung với những lãnh thổ còn lại) thì số lượng tối đa về lãnh thổ chỉ có thể là bốn, trong đó phải có một lãnh thổ đóng vai trò là miền trong của lục địa (không tiếp giáp với biển hay còn gọi là miền ngoài của lục địa). Do miền trong của lục địa có thể tô trùng màu với miền ngoài của nó mà không vi phạm tính phân biệt được cho nên ở góc độ tô màu, có thể coi nó như một điểm (phớt lờ đi) và trường hợp hình 21/b là tương đương với trường hợp hình 21/a. Vì vậy, có thể phát biểu tiếp: đối với một miền (mặt phẳng giới hạn) nào đó, chỉ có thể phân chia ra được tối đa là 4 vùng tiếp giáp lẫn nhau với điều kiện phải có vùng trong vùng ngoài và hoặc là vùng trong, hoặc là vùng ngoài được phân ra ba vùng bộ phận tiếp giáp lẫn nhau.
Điều hiển nhiên là có thể phân chia lục địa ở trên ra không hạn chế về số lượng lãnh thổ, nhưng không bao giờ có được hơn 4 lãnh thổ tiếp giáp lẫn nhau. Tuy nhiên có thể chia lục địa ra nhiều lãnh thổ sao cho có những lãnh thổ tiếp giáp với hai hay nhiều lãnh thổ khác và có thể có lãnh thổ tiếp giáp với mọi lãnh thổ còn lại và cả biển như minh họa ở hình 22.
Hình 22: Chia lục địa ra nhiều lãnh thổ.
Chúng ta tin rằng, cách chia lãnh thổ như mô tả ở hình 22 là có tính cơ bản, tiêu biểu, có thể đại diện được cho mọi kiểu chia lãnh thổ, có thể dùng nó làm phương tiện để giải quyết bài toán 4 màu, hay nói cách khác, nếu định lý 4 màu được chứng minh đúng cho trường hợp này thì cũng đúng cho mọi trường hợp khác.
Trên hình 22, chúng ta thấy lục địa được chia theo cách trong - ngoài thành 3 miền và như thế nếu kể cả biển nữa thì bản đồ được chia trong - ngoài thành 4 miền, trong đó miền trong cùng (cũng đóng vai trò như môt lạnh thổ) có đường biên tiếp giáp với các lãnh thổ còn lại.
Vì cách chia trong ngoài là duy nhất đối với mọi bản đồ nên luôn có thể qui ước được lãnh thổ nào đó là miền trung tâm (miền trong) của lục địa và những vành đai nằm kế tiếp nhau từ trong ra phía biển. Có thể hình dung vành đai được hình thành từ tập hợp một số nước tiếp giáp một cách nối tiếp nhau thành một dải phân cách (có thể kín hoặc không kín) giữa miền trong (lãnh thổ trung tâm, vành đai trong) và miền ngoài (vành đai ngoài, biển). Có thể thấy ở hình 22, lục địa có 2 vành đai, vành đai trong gồm 4 lãnh thổ và vành đai ngoài gồm 2 lãnh thổ.
Nếu trên bản đồ chỉ có biển và một vành đai gồm các lãnh thổ tiếp giáp nối tiếp nhau thực sự (một lãnh thổ tiếp giáp với 2 lãnh thổ khác ở hai phía “đối diện” và 2 phía “đối diện” còn lại tiếp giáp với biển thì chỉ cần 2 màu tô xen kẽ các lãnh thổ và 1 màu tô biển, tổng cộng gồm 3 màu là đủ. Trên hình 22, nếu chỉ có 5 lãnh thổ gồm lãnh thổ ở trung tâm và 4 lãnh thổ hợp thành vành đai trong và biển thôi thì do có hiện tượng bị cách ly không thể khắc phục được mà tương tự như trường hợp ở hình 21/c, chỉ cần 4 màu tô là đủ. Cho dù vành đai trong có xuất hiện thêm 4 lãnh thổ nữa (được phân thêm bởi các đường gạch đứt đoạn) thì tình hình vẫn không thay đổi và nếu lục địa có thêm vành ngoài gồm 2 lãnh thổ nữa, rồi mới tới biển thì cũng chỉ cần đến 4 màu để tô bản đồ. Suy rộng ra, dù có chia lãnh thổ theo những đường biên kỳ dị cỡ nào hay có thể nói, lãnh thổ có phân bố ngẫu nhiên cỡ nào chăng nữa thì đều mang bản chất của hình 22 nên đều có thể chỉ dùng 4 màu để tô bản đồ một cách mỹ mãn.
Hướng chứng minh định lý 4 màu mà chúng ta muốn đề xuất là như thế.
Còn một vấn đề nữa của lý thuyết tôpô có vai trò quan trọng trong những ứng dụng tôpô vào các ngành toán học khác và gợi cho bản thân chúng ta nhiều ý tưởng về vận động nội tại của vạn vật mà chúng ta muốn nhắc tới, đó là vấn đề “điểm bất động”.
Để có được một khái niệm ban đầu về điểm bất động, chúng ta có thể hình dung một cốc nước đặt trên bàn và sau khi dùng thìa khuấy thì trong cốc sẽ hình thành một khối xoáy nước, điểm trung tâm của khối nước được cho là không chuyển động và người ta còn gọi là “điểm bất động”. Một hiện tượng thiên nhiên thường thấy, biểu diễn rất rõ ràng về điểm bất động, là bão. Bão là một vùng gió xoáy mạnh kèm theo mưa lớn. Tuy nhiên vùng trung tâm của nó, thường gọi là “mắt bão”, thì luôn lặng gió, trời quang mây tạnh. Nếu không chú ý đến chuyển động tịnh tiến của bão thì có thể coi mắt bão, hay chính xác hơn, tâm bão là một điêm bất động.
Có thể hình dung một cách toán học về điểm bất động như sau. Giả sử có một mặt hình tròn gồm cả biên của nó (đường tròn) có tính đàn hồi và phải chịu một biến đổi liên tục nào đó như bị bóp, kéo căng, uốn, bẻ gập… (không bắt buộc phải là biến đổi một - một), với điều kiện mỗi điểm của đĩa vẫn còn là một điểm của đĩa tuy rằng có thể thay đổi vị trí, thì mỗi biến đổi liên tục như thế vẫn còn lại ít nhất một điểm không thay đổi vị trí ban đầu, gọi là điểm bất động, hay nói cách khác, có ít nhất một điểm mà vị trí của nó sau khi biến đổi sẽ trùng với vị trí trước khi biến đổi của nó. Đó cũng chính là nội dung được phát biểu nôm na của định lý Brauơ. Năm 1912, nhà toán học Brauơ (L. E. Jan Brower, 1881-1966), người Hà Lan đã chứng minh được và phát biểu thành định lý nổi tiếng: Mọi ánh xạ liên tục từ một vật thể cầu trong không gian n chiều vào chính nó thì có một điểm bất động.
Định lý Brauơ có nhiều ứng dụng hữu hiệu trong toán học. Nó cũng trở thành công cụ đắc lực trong việc chứng minh một bài toán có nghiệm hay không. Chẳng hạn có bài toán tìm nghiệm của phương trình . Trước hết, có thể thấy một biểu hiện đơn giản nhất của định lý điểm bất động là khi cho là hàm số liên tục trên và thì phải có một giá trị , sao cho . Từ tình huống này, có thể chuyển biến việc tìm nghiệm của phương trình thành việc tìm điểm bất động của hàm số: . Khi có một làm cho thì cũng có nghĩa là và do đó chính là một nghiệm của .
Năm 1967, giáo sư toán học người Mỹ tên là Herbert Skafn đã đề xuất một phương pháp tìm điểm bất động bằng cách tìm dãy điểm hữu hạn dẫn tới điểm bất động. Đây là một phương pháp thực sự hiệu quả và có tính đột phá.
Dù sao, việc tìm được điều kiện cần và đủ để điểm bất động tồn tại vẫn là vấn đề khó khăn. Đối với một số hình, có thể có những ánh xạ liên tục lên chính nó nhưng không có điểm bất động. Chẳng hạn miền vành khuyên nằm giữa hai đường tròn đồng tâm quay xung quanh tâm của nó một góc bội của 360o. Đó là một biến đổi liên tục của miền vào chính nó nhưng không có điểm bất động.
Có một câu hỏi lớn mà toán học ngày nay (có lẽ) còn chưa giải đáp được. Đó là: Nếu khẳng định được có điểm bất động thì điểm đó là duy nhất hay còn có thể đồng thời có những điểm bất động khác nữa và số lượng của chúng là bao nhiêu?
Theo quan niệm triết học thì vận động hay biến đổi là biểu hiện cơ bản của tồn tại, cho nên khái niệm “bất động” chỉ có tính tương đối và nằm trong qui ước. Ngay cả điểm KG cũng không thể bất động tuyệt đối mà chỉ có thể nói nó “bất di, bất dịch”, nghĩa là không “di chuyển” trong Vũ trụ (và đồng thời nếu quan sát ở góc độ khác thì nó lại luôn thay đổi vị trí một cách liên tục do có sự biến đổi trạng thái nội tại của nó và của các điểm KG lân cận được kết hợp lại một cách “hòa điệu”).
Có thể phán đoán rằng điểm bất động mà các nhà toán học khám phá được trong khi nghiên cứu các quá trình biến đổi của các hình thể hình học và có thể lấy những thí dụ minh họa một cách đơn giản về điểm ấy bằng nhiều những hiện tượng của thiên nhiên (như lốc, bão, xoáy nước…), chính là điểm cân bằng trong vận động nội tại của thực thể vạn vật ở thực tại khách quan. Vận động nội tại của vạn vật là tổng hợp cùng lúc nhiều dạng biến đổi, chuyển hóa tương phản. Cho nên tùy theo mức độ ưu tiên của quan sát mà có thể thấy được đồng thời một hay nhiều (loại) điểm cân bằng xuất hiện, mà mỗi điểm đó chính là điểm bất động của một loại biến đổi, chuyển hóa nào đó của nội tại vạn vật. Theo quan điểm của vật lý thì những điểm cân bằng chỉ trở nên bất động khi vận động nội tại của vạn vật không chịu các tác động của môi trường bên ngoài.
Tuy nhiên theo quan niệm của triết học duy tồn thì một trong những nguyên nhân cơ bản làm chuyển hóa nội tại vạn vật là do có sự tác động của môi trường, hay nói cách khác, tác động của môi trường là động lực chủ yếu của vận động nội tại vạn vật. Chính là thế mà cần phải nhìn nhận theo hai góc độ khác nhau đối với điểm cân bằng. Khi đứng ở “bên ngoài” quan sát thì không có một điểm cân bằng nào của vạn vật là bất động hoặc nếu có (theo qui ước) thì chúng là những điểm không phải điểm cân bằng mà chỉ là điểm ảo không thuộc nội tại vạn vật. Khi đứng ở “bên trong” quan sát thì điểm cân bằng nào cũng là điểm bất động và thậm chí đôi khi còn thấy được cả đường bất động. Tuy nhiên sự bất động của điểm (hay đường) ấy chỉ là so với tất cả những điểm, những bộ phận còn lại của nội tại vạn vật, hay có thể nói điểm bất động chỉ có tính tuyệt đối đối với bản thân nội tại vạn vật mà thôi.
Vũ trụ hình học là một Vũ trụ ảo “ thiếu” thời gian tính, không thể hiện được hoặc thể hiện một cách hời hợt, siêu hình sự tác động “qua lại” phong phú, nhiều vẻ vừa cơ bản vừa tất yếu giữa vạn vật và môi trường chứa vạn vật ấy mà một hình thể hình học nào đó, nếu có thì cũng chỉ có thể có duy nhất một điểm bất động đối với biến đổi tôpô. Vũ trụ hình học, do đó mà cũng không thừa nhận sự tồn tại của điểm bất động ảo. Cần nói thêm rằng khi bàn luận về định lý Jordan, chúng ta có đưa ra khái niệm “điểm trung tâm”. Chúng ta cho rằng điểm trung tâm là điểm bất động thực của miền trong đối với biến đổi tôpô và đồng thời cũng là điểm bất động ảo của miền ngoài. Quan niệm như vậy thì miền vành khuyên giữa hai đường tròn đồng tâm khi chịu một sự biến đổi liên tục (ánh xạ lên chính nó) cũng có một điểm bất động ảo và điểm đó chính là tâm của hai đường tròn “tạo dựng” nên miền vành khuyên đó.
¯¯¯


Mời xem:

LỜI PHÂN TRẦN

PHẦN I: CÓ MỘT CÁI GÌ ĐÓ

PHẦN II: NỀN TẢNG

PHẦN III: NGUỒN CỘI

PHẦN IV: BÁU VẬT


,