THỰC TẠI VÀ HOANG ĐƯỜNG 37

Chủ Nhật, tháng 1 04, 2015

THỰC TẠI VÀ HOANG ĐƯỜNG (IV)

ĐẠI CHÚNG

Nguyễn Ngọc Chi

Chi cố
0903 714 111
SG

1970

2011

PHẦN IV: BÁU VẬT

“Lạc vào cõi mộng Tự Nhiên
Thẫn thờ một bóng giữa miền Siêu Linh
Nhặt lên hòn ngọc bí huyền
Mắt ai thăm thẳm đắm nhìn mắt ai.”

Thầy Cãi

CHƯƠNG IV: DỊ THẢO

“Chúa đã tạo ra các số nguyên, tất cả các số còn lại là tác phẩm của con người”.

Leopold Kronecken

“Người biết suy nghĩ tự thích ứng với thế giới; người không biết suy nghĩ cứ khăng khăng làm cho thế giới thích ứng với mình. Vì vậy, mọi tiến bộ đều tùy thuộc vào người không biết suy nghĩ”.

George Bernard Shaw

Quá trình hình thành và phát triển “vượt lên chính mình” của số học còn lưu lại trong lịch sử toán học biết bao nhiêu câu chuyện kỳ thú, cũng như biết bao nhiêu câu đố hóc búa cho đến tận ngày nay vẫn chưa ai giải được.

Cứ mỗi lần giải được một câu thách đố của những thế hệ các nhà toán học đi trước để lại, phần lớn là do bất lực hoặc cũng đôi khi là do muốn… đố thật, toán học coi như tiến được một bước dài hể hả để rồi lại đụng phải những câu thách đố mới không giải được, tiếp tục “nhường” lại cho đời sau. Toán học làm say mê lòng người phải chăng là như thế và tìm đến chân lý được là nhờ cách như thế?

Chúng ta, vì chỉ là những kẻ lông bông đi tìm “cái gì đó”, và cũng vì trình độ toán học có giới hạn ở tầm cao rất… thấp, nên không muốn và cũng không thể đối đầu, giải quyết được những “cối xay gió” ấy. Tuy nhiên, những câu chuyện lịch sử số học có liên quan đến chúng và ít nhiều đã pha màu truyền thuyết, giai thoại lúc nào cũng làm cho chúng ta đắm đuối, say sưa. Chúng ta cho rằng một con người cầu tiến sẽ thấy được ở những câu chuyện đó rất nhiều những bài học quí báu về tư duy nhận thức. Tự nhận mình là những kẻ thích lông bông nhưng cũng ham hầu chuyện, chúng ta xin được kể vài câu chuyện trong lịch sử số học đã từng “mắt thấy tai nghe” theo kiểu “nhớ đâu kể đấy” và như thế chắc rằng không thoát được cảnh “không đầu không đuôi” y hệt như… Vũ Trụ vậy. A, ha, ha!... Kể hay hay không hay thì câu nệ làm gì nhỉ? Chúng ta chợt nhớ mình đang ở đâu và hiểu rằng chỉ có thể kể cho nhau nghe và cho thinh không nghe mà thôi.

Nhớ lại hồi đó, khi chưa lạc chân vào dặm trường thiên lý, chúng ta thường là luẩn quẩn trong một xó nhà ở thành phố Sài Gòn, ngày qua ngày trầm tư mặc tưởng với nỗi buồn cô quạnh, không biết thổ lộ nỗi lòng cùng ai. Thế rồi có một hôm lòng tự ái vì bị thiên hạ bỏ rơi kẻ lánh đời nổi lên ầm ầm, chúng ta đã tức cảnh sinh tình được bài thơ nghe rất… anh ách. Anh ách đến nỗi bây giờ còn nhớ và trước khi tiếp tục kể chuyện, chúng ta ngâm lên cho đỡ nhớ nhà:

Hoài cổ

Hãy ghé thăm chơi, bạn thập phương

Nhà tôn lấp ló mặt tiền đường

Sáng nắng, trưa râm, chiều lộng gió

Trầm tư mặc tưởng giữa phố phường

Tán lá tươi xanh xếp mấy tầng

Hai mùa hoa trái đủ đưa hương

Đoàn chó vẫy đuôi mừng khách đến

Ghế đá trong sân mát lạ thường

Nhà không lộng lẫy chỉ hữu tình

Chùm khế đong đưa nhuốm ánh vàng

Cạnh ông Long nhãn già cổ thụ

Là bà Sứ trắng đã còng lưng

Thêm anh Nguyệt quế ngạo tóc bồng

Nàng Mai chiếu thủy dịu dàng thơm

Nghiêng dáng bên hồ làm cá quẫy

Đôi rùa ngơ ngáo ở hòn non

Hãy ghé khề khà bạn thập phương

Rượu quê nhấm nháp độ sương sương

Nghe ông gia chủ ham hầu chuyện

Chuyện tình, chuyện mộng, chuyện âm - dương

Ghé mà thăm lại thuở yêu thương

Lời vâng, tiếng dạ, tục hiền lương

Cà kê thuần phác nền lễ cũ

Ha hả, quên đời, mặc đế vương

Ghé vội mà thăm kẻo nhiễu nhương

Giải tỏa tràn qua loạn vũ trường

Gia chủ sững sờ, buồn, đi mất

Thất lạc muôn đời cảnh cố hương…

Ngâm xong bài thơ, lòng chúng ta trở nên sảng khoái lạ thường. Cái gánh nặng về sự lạc lõng, cô đơn ở chốn bao la tĩnh lặng này đã hầu như được vứt bỏ. Chúng ta vặn người, vươn vai, hít một hơi dài đến căng cứng lồng ngực để đầu óc thêm tỉnh táo và cũng để lấy thêm khí thế mà tiếp tục… hoang tưởng. Ở độ cao choáng ngợp như thế này mà có thể hít thở “no nê” dưỡng khí thì chẳng ai mà tin được, và ai cũng nghĩ chúng ta là một lũ “bịa”. Nhưng có bất cứ ai trải nghiệm như chúng ta đâu? Làm sao lại là “bịa” khi chúng ta đang “sờ sờ” ở đây huyên thuyên về số học? Đó chỉ có thể coi là một nghịch lý và nếu có là nghịch lý đi nữa thì chúng ta cũng không thèm quan tâm tới khi vẫn thấy mình khỏe mạnh, tràn trề sức sống và… thèm kể chuyện.

***

Năm 1858, một nhà khảo cổ tên là Lanth, người Scotland, đã may tay mua được một cuốn sách cổ bằng “giấy cỏ sậy” tại chợ đồ cổ Lucsur ở Ai Cập. Giấy cỏ sậy được làm ra từ cây papyrus giống lau, sậy. Người dân sông Nil đem nó về phơi khô, tách ra và ép phẳng thành một loại giấy viết.

Trong cuốn sách đó viết dày đặc các ký hiệu mà sau này, khi được giải mã, người ta mới biết đó là một cuốn sách toán học của thời Ai Cập cổ đại xuất hiện vào khoảng 2000 năm TCN, tác giả là một người có tên Amos. Trong sách có 85 bài toán thực dụng và cách giải. Người ta gọi cuốn sách đó là “Sách giấy cỏ sậy Amos” hay “Sách giấy cỏ sậy Lanth”. Hiện nay, nó vẫn được lưu giữ trong Bảo tàng London (nước Anh).

Cuốn sách nói trên là một trong những tài liệu ghi chép toán học cổ xưa nhất có các ký hiệu thể hiện các phân số mà ngày nay người ta phát hiện được. Đặc biệt, trong đó, các ký hiệu thể hiện các phân số có tử số là 1 xuất hiện một cách có hệ thống.

Các phân số có tử số bằng 1 được gọi là “phân số có tử số đơn” hay ngắn gọn hơn là “phân số đơn” và vì lần đầu tiên nó được phát hiện trong cuốn sách của Amos nên còn được gọi là “phân số Ai Cập”. Cũng trong cuốn sách này, người ta thấy có những bảng đối chiếu giữa các phân số có tử số lớn hơn 1 với tổng các phân số đơn, mà theo ký số hiện đại thì như thế này:

Hiện nay, người ta vẫn chưa biết được là bằng cách nào mà người Ai Cập cổ đại đã lập ra các bảng đối chiếu đó. Theo chúng ta thì nhiều khả năng họ đã dùng cách phân chia một đoạn thẳng hình học tượng trưng. Chẳng hạn, để thiết lập được:

người Ai Cập cổ đã vẽ một đoạn thẳng rồi chia 3 đoạn thẳng đó, lấy 2 phần đoạn thẳng đó đem chia thành 4 đoạn. Rõ ràng là một phần tư cộng ba phần tư của đoạn thẳng sau chính bằng đoạn thẳng đó và cũng bằng một phần sáu cộng một phần sáu đoạn thẳng ban đầu (xem minh họa dưới đây):

Tuy nhiên các nhà toán học thấy rằng không phải cách đối chiếu như trong bảng của người Ai Cập cổ đại là duy nhất, vì thí dụ như ngoài cách biểu diễn:

Còn có các cách:

Có thể thấy rằng khi đem chia 2 vế của đẳng thức:

cho 2, sẽ có:

, nghĩa là một phân số đơn bằng tổng hai phân số đơn. Vậy thì liệu một cách tổng quát, có thể biểu diễn một phân số đơn bất kỳ thành tổng của hai phân số đơn được không?

Để tiện theo dõi, chúng ta cho rằng một phân số đích thực là một phép chia không thực hiện triệt để được trong thế giới số nguyên. Hơn nữa, nếu có:

thì cũng có:

nên chúng ta có thể coi phân số là những phép chia không giải quyết được trong thế giới số tự nhiên (không âm, không dương) trong quá trình tìm lời đáp cho câu hỏi vừa nêu mà không làm giảm đi tính tổng quát.

Giả sử chúng ta có một phân số không phải là phân số đơn (gọi là “tạp”):

thì bao giờ cũng có thể viết được:

Và nếu như thế thì cũng viết được:

Nếu

và

là giải quyết được trong Thế giới N thì chúng phải là những số tự nhiên, tạm gọi là

và

Hơn nữa là:

Đặt lại:

thì viết được:

Câu hỏi đã được giải đáp!

Thí dụ:

1/ Có

Trong trường hợp y và z bằng nhau thì nghiệm duy nhất của bài toán là:

Tuy nhiên chúng ta có thể nhìn bài toán dưới dạng tổng quát hơn. Vì một phân số còn có thể viết dưới những dạng gọi là chưa được ước lược (giản lược) của nó nên trong trường hợp này có thể viết:

với b là một số tự nhiên bất kỳ. Nếu có hai số (tự nhiên) y và z sao cho:

và

cũng như

là những số nguyên thì:

Khi

, thì cũng có nghĩa là chúng bằng b cho nên:

Trong trường hợp

, để cho:

chia hết được thì y và z phải là những số hàm chứa tích của một số tự nhiên với số 3 hoặc bằng 1. Giả sử rằng:

Chúng ta thấy tốc độ tăng của z nhanh hơn của 3b, cho nên từ b'=7 trở xuống, 3b không bao giờ chia hết cho z nữa.

Nếu p=2 thì b ít ra cũng phải bằng 4, và lúc này:

Đó thực ra là trường hợp

Có b=6 khi p=2 không? Có, nhưng… vô nghiệm.

Đến đây, có thể kết luận rằng:

Có thể cho rằng

luôn bằng b mà không làm mất đi tính tổng quát của bài toán và nghiệm duy nhất của nó là:

hoặc:

Có thể kiểm chứng lại:

2/ Có

. Phân tích ra được:

Rõ ràng là nó không thể phân tích được thành tổng hai phân số đơn. Tuy nhiên có thể biểu diễn nó thành tổng của ba phân số đơn là:

và do đó cũng có:

Có một câu hỏi đặt ra là có thể chọn hai số tự nhiên a, x với a > x và các số tự nhiên b, c, d để thiết lập đẳng thức:

được không?

Trường hợp x = 4 thì được rồi. Trường hợp x = 2 thì:

Nghĩa là cũng được. Còn trường hợp x = 3 thì cũng được luôn vì có:

Thế còn khi x > 4?

Chúng ta biết rằng có thể viết:

Nếu xn viết được thành tổng các số y, z, k mà an đều chia hết cho các số ấy thì có thể biểu diễn được

thành tổng của ba phân số đơn. Chẳng hạn có:

Tuy nhiên khi x > 4 thì có làm được như thế không?

Vấn đề tưởng đơn giản, nhưng đến nay vẫn chưa được giải quyết triệt để?

Năm 1950, nhà toán học người Hungari tên là Palel Erdôs (1913-1997) đưa ra phỏng đoán rằng khi

thì chắc chắn có nghiệm.

Nhà toán học Straus đã chứng minh được khi

thì phỏng đoán đó đúng.

Vào năm 1964, nhà toán học Kha Triệu, người Trung Quốc, đã chứng minh rằng khi

thì phỏng đoán của Erdôs cũng đúng.

Đến năm 1978, nhà toán học Fransissain chứng minh được rằng khi

thì điều phỏng đoán đó vẫn đúng.

Chưa ai biết được tình hình sẽ như thế nào khi x là một số bất kỳ!

Chúng ta cho rằng dù x và a là bất kỳ thì với điều kiện

, luôn có:

Vì sao vậy?

Vì rằng có thể nhân tử số và mẫu số của phân số

cho một số tự nhiên q nào đó, sao cho:

Như thế sẽ có:

và có thể nhóm gọn vế phải lại:

Khi N là số tự nhiên vô hạn thì cũng làm cho N! vô hạn, thành số lớn nhất có thể chia hết cho mọi số, kể cả bản thân nó. Vì vậy:

Và đó có thể chỉ là cách viết tổng quát của cách viết với những bộ ba số b, c và d khác nhau:

Có một vấn đề nữa là:

Vì

cho nên có thể phân tích 1 thành tổng vô hạn của những phân số đơn giống nhau:

Thế thì có thể phân tích

khi

thành một tổng như thế không? Xem phần trên cũng biết là không bao giờ làm được điều đó. Tuy nhiên, nếu chỉ là tổng của những phân số đơn không nhất thiết phải khác nhau thì có thể làm được.

Biết rằng:

Nếu

có thể phân tích thành một tổng vô hạn các phân số đơn thì điều chúng ta nói là đúng. Có một cách phân tích

thành tổng vô hạn của những phân số đơn giống nhau là nhân cả tử số và mẫu số cho N!:

Vì N! là số tự nhiên vô hạn nên vế phải là một tổng vô hạn phân số đơn

Nếu thấy như thế là “khó coi” quá thì còn một cách nữa và lần này

sẽ bằng tổng vô hạn của những phân số đơn không giống nhau:

với n là số vô hạn

Còn một câu chuyện vui về phân số đơn nữa.

Ngày xưa, một người đàn ông nọ làm lụng quần quật cả đời mới gầy dựng được đàn bò 17 con. Một lần, ông bị ốm nặng, biết không qua khỏi bèn làm di chúc cho ba người con trai. Tờ di chúc dặn rằng sẽ chia 17 con bò ấy cho ba đứa con theo cách: con cả được một phần hai đàn bò, con thứ hai được một phần ba đàn bò, còn đứa con út chỉ được một phần chín đàn bò; cứ theo thế mà chia, không được cãi cọ, tranh giành và nhất là tuyệt đối không được xả thịt con bò nào. Sau khi người đàn ông qua đời, ba người con của ông ta họp lại và chia:

Vì không được xả thịt để chia nên ba anh em không biết phải làm sao, bèn đi vời một ông giáo làng đến phân xử giúp.

Ông giáo đến, nghe kể sự tình xong, tủm tỉm nói:

- Với 17 con bò thì chẳng thể chia chác gì được cả nếu không xả làm đôi một con bò. Vậy hãy chọn ra một con để…

Người anh cả cướp lời:

- Không! Không được đâu! Cha chúng tôi di chúc lại là không được xả thịt dù là một con bò…

- Tôi có bảo chọn ra một con để xả đôi nó đâu, mà là để tạm gọi nó là … 2 con bò - Ông giáo nói nhẹ nhàng và tỉnh rụi.

Ba anh em nhà kia trố mắt nhìn chăm chăm ông giáo làm ông này bật cười thành tiếng:

- Không có chuyện chọc tiết bò ở đây đâu. Đừng lo quá thế! Mà đáng lẽ phải vui lên chứ. Ban nãy các anh chỉ có 17 con bò, bây giờ coi như có thêm 1 con nữa thành ra 18 con. Và tôi chia giúp các anh thế này:

Tính ra 9+6+2=17 con bò, chả mất chả dư con nào. Mấy anh chịu như thế không?

Ba anh chàng quê mùa cục mịch đã trố mắt, đến lúc này lại còn há hốc cả mồm ra, cứ như ông giáo là người ngoài hành tinh không bằng. Dù sao thì trạng thái “cứng đờ” ấy cũng chỉ tồn tại trong chốc lát. Rồi cả ba anh em cùng buột miệng ra như đồng thanh:

- Chúng tôi xin chịu ơn thầy ạ!

Người anh cả nói thêm:

- Xin phép mời thầy thư thư nán lại dùng bữa cơm hậu tạ của chúng tôi. Dạ, dưới bếp đã làm gà, lợn và sắp xong rồi ạ!...

- Cảm ơn các anh đã có lòng, nhưng cho tôi xin kiếu vì còn bận chút việc riêng không thể chậm trễ được. Thôi, tôi về đây! Lần khác gặp lại nhé!...

Ông giáo cáo từ ra về mà lòng rất vui vì ông biết mình đã làm được một việc nghĩa trọng đại. Nếu không có ông giúp, chắc chắn rằng ba anh em nhà kia không bao giờ chia cho nhau được đàn bò theo lời cha dặn bởi vì họ đã “vấp phải” vấn đề mà toán học cũng “chịu chết”: chia hết một số nguyên tố cho một số khác nó và 1 trong thế giới Z, hơn nữa, không thể đoán được tình hình đó diễn tiến theo hướng nghiêm trọng đến cỡ nào.

Ba người anh em nọ không hài lòng sao được đối với cách chia của ông giáo khi không những không phải xả thịt con bò nào mà còn ai cũng như được chia nhiều hơn. Người anh cả được 9 con bò thay vì

con như cách chia lúc đầu, anh thứ hai được 6 con thay vì

con, và anh út được 2 con nguyên thay vì chỉ là

con thôi.

Có thể là ba anh chàng không hiểu được vì sao lại như thế, nhưng ông giáo thì biết tỏng. Dù trong di chúc, người cha có cho phép xẻ thịt một con bò để chia như lúc đầu thì cả ba anh em đều “thiệt hại” vì tổng số bò sau khi đã chia chỉ là:

Còn những

con bò (nghĩa là gần một con bò) không biết “biến đi đâu mất”, hoặc bị “dư” ra và nếu có muốn chia tiếp cho đúng lời cha dặn thì cũng làm sao mà chia cho xong được? Tuy nhiên, nếu chỉ cộng số lượng con bò “nguyên” sau khi chia thì rõ ràng chỉ có:

nghĩa là còn 3 con bò “nguyên” chưa chia. Nếu chia tiếp 3 con bò này theo tỷ lệ như cha dặn (và được xẻ thịt một con bò) thì:

Chia theo cách này “bất công” quá mà lại phải xẻ thịt con bò nên tốt nhất là chia bình đẳng 3 con bò còn lại cho mỗi người một con là vẹn cả mọi bề.

Chia theo cách này cũng cho kết quả như cách chia của ông giáo, nhưng cách chia của ông giáo hay hơn vì “kín đáo” hơn và có phần huyền bí hơn.

***

Nếu chúng ta nhìn Vũ Trụ ở góc độ “cực kỳ” rời rạc thì sẽ thấy Nó như là một tổng thể đơn vị:.

Vì các hạt KG giống nhau i xì nên muốn phân biệt chúng, chúng ta phải đánh dấu. Để cho không hạt nào giống hạt nào thì chúng ta phải có N ký hiệu mới đủ. Nhưng làm thế nào để nghĩ ra được N ký hiệu khác nhau ấy và ghi nhớ chúng được? Điều bức bách ấy tất yếu dẫn con người đến cách ký hiệu theo hệ thống tuần hoàn không lặp lại. Chẳng hạn là hệ thống ký hiệu có 10 ký hiệu cơ sở là:

a, b, c, đ, e, f, g, h, i, k

Từ đó có thể tiếp tục ký hiệu là:

ka, kb, …, kk

rồi:

kka, kkb, …, kkk

Cuối cùng phải có một ký hiệu mà giành cả cuộc đời cũng khó lòng viết ra được vì nhiều “k” quá là:

kkk……k

Và đối với những ký hiệu mà quá nhiều ký tự “k” khác nhau sẽ hầu như không còn khả năng phân biệt chúng với nhau nữa.

Vậy có cách nào giải quyết được “nan đề” trên không?

Chúng ta thấy rằng khi tìm cách đánh dấu các hạt KG thì hành động đó đã hàm chứa việc sắp xếp chúng theo một thứ tự nhất định, đồng nghĩa với sự đếm và xác định tổng số N.

Đối với con người thì sự xác định số lượng của một tập hợp các vật nào đó là một yêu cầu tất yếu khách quan. Cho nên nếu chúng ta đi làm cái công việc đánh dấu hạt KG để theo dõi hành tung của chúng thì cũng đồng thời phục vụ cho việc đếm chúng.

Có thể cho rằng việc đếm số lượng con bò, con gà… là điều bắt buộc đối với con người trong quá trình mưu sinh, nhưng tại sao lại có những người “rỗi hơi” đi đếm sao trên trời và “khùng” hơn nữa là đi đếm từng hạt KG để rồi chỉ gặt hái được toàn những thứ viển vông, thậm chí là cả những dằn vặt, đau khổ? Tại sao toán học cứ cắm đầu cắm cổ, “lao tâm khổ trí” lặn hụp trong mông lung để mò mẫm nắm bắt hết “chân lý sáng ngời” này đến “chân lý sáng ngời” khác nhưng hoàn toàn vô tích sự đối với cuộc sống thực dụng của con người, hay nói rõ hơn là không thể dùng những “chân lý sáng ngời” ấy để làm no cái bụng đói được?

Nào có phải vậy đâu! Cạnh tranh sinh tồn sẽ làm xuất hiện ra bộ não biết tư duy. Mục đích của tư duy là nhận thức thế giới để tăng cường khả năng sinh tồn. Có thể nói cách khác là đối với bộ não tư duy thì thích nghi để sống còn là động lực của nhận thức và ngược lại, mục đích cuối cùng của nhận thức là tăng cường thích nghi để sống còn. Một trong những phương diện của nhận thức là tìm cách xác định được lực lượng vạn vật - hiện tượng trong thực tại khách quan và như vậy sự đếm số lượng là một nảy sinh tất yếu trong tư duy. Từ đó mà cũng thấy, phương châm hoàn toàn tự nhiên của tư duy nhận thức là nhận biết hoàn toàn, đến tận cùng Thực tại khách quan và vì thế mà sự nhận thức chỉ thỏa mãn khi đã biết tỏng tòng tong Vũ Trụ và cân đo đong đếm được toàn thể Vũ Trụ. Có thể nói, nếu triết học là những ông thầy đồ mù ngồi đoán voi thì toán học là lực lượng đi tiên phong của nhận thức. Chính vì vậy mà công việc đi đếm các hạt KG để xác định N là bao nhiêu cũng phục vụ cho mục đích cuối cùng của nhận thức. Những “chân lý sáng ngời” nhưng (tưởng rằng) vô bổ hôm nay của toán học sẽ vô cùng có ích cho sự thích nghi sống còn của con người trong tương lai.

Như vậy, hệ thống ký hiệu theo nguyên tắc tuần hoàn, vừa có vẻ lặp lại vừa không lặp lại để đánh dấu hạt KG, sớm muộn gì cũng phải chuyển hóa thành cơ số đếm.

Có thể có vô vàn hệ cơ số đếm và chúng hoàn toàn bình đẳng nhau, nhưng ngày nay, loài người đã ưu tiên lựa chọn hệ đếm cơ số 10 làm hệ đếm cơ bản cho mình.

Bây giờ để đánh dấu tất cả các hạt KG, chúng ta chỉ việc thay các ký hiệu a, b, c… bằng 1, 2, 3... và đem các ký số (lượng) ấy “dán” lên các hạt KG là “xong việc”. Nhờ có sự đánh dấu các hạt KG bằng con số mà chúng ta có thể phân biệt được một cách rạch ròi và dễ dàng chúng với nhau dù là giữa hai hạt KG “đứng kề nhau ở xa tít tắp”, chẳng hạn nếu một hạt KG mang số n thì hạt KG “đứng” kề trước nó là n – 1.

Khi chúng ta đã đếm hết N hạt KG rồi thì chúng ta cũng biết lực lượng KG của Vũ Trụ là N. Nếu số hạt KG của Vũ Trụ thực ra là vô hạn hoặc hữu hạn (chỉ có N hạt thôi) nhưng muốn “đếm đi đếm lại” thì… cứ thế mà đếm:

(N + 1), (N + 2), …

đến … vĩnh viễn cũng được.

Có thể nói, biểu hiện dưới góc độ rời rạc của Vũ Trụ đã làm cho tư duy nhận thức của con người xây dựng được một dãy các số đếm (theo hệ cơ số 10) dài đến vô hạn. Dãy số đếm này, vì thuộc về khái niệm nên nó là ảo. Tuy nhiên, giờ đây, khi nhìn vào Vũ Trụ, ngoài vạn vật - hiện tượng, chúng ta còn thấy được đầy ắp những biểu tượng của những con số lúc ẩn lúc hiện nữa. Nghĩa là trước mắt chúng ta đã hiện hữu (dù là ảo) một thế giới số đếm (số tự nhiên).

Trong thực tế, cuộc mưu sinh đã đưa con người đến phương thức sống cùng làm, cùng ăn. Quá trình đồng tâm hiệp lực khi làm việc rồi xác định thành quả để san sẻ chia chác lúc hưởng thụ đã buộc con người phải đếm và tính toán. Khi trước mắt con người có tư duy nhận thức đã hiện hữu một thế giới số nguyên rồi thì do cái bản tính cố hữu là quá ư tò mò và năng động không ngừng sáng tạo mà thế giới số đếm dần dần chuyển hóa thành thế giới số phức hợp với đủ mọi loại số và đủ mọi phép toán có thể có của Tự Nhiên Tồn Tại, ẩn chứa trong sự vận động của Vũ Trụ.

Thế giới số, do được hình thành từ sự “gợi ý” của Thực tại khách quan nên nó cũng kỳ ảo và chứa chấp vô vàn bí ẩn đòi hỏi con người phải tiếp tục nhận thức một cách… thật là vẩt vả. Có thể nói vui rằng loài người đã được Tạo hóa thụ tinh, đẻ ra toán học để tự làm khổ mình.

Để nhận thức được sâu rộng thế giới số, loài người đã phải mổ xẻ, phân chia nó, tăng cường qui ước để phân biệt các loại số, để lập “vành”, phân “nhóm”, tạo “trường”, xác định “tập hợp”,… và xem xét mối quan hệ, sự tác động qua lại, cách thức chuyển hóa lẫn nhau giữa chúng một cách “toán học”

Trong quá trình nhận thức thế giới số, toán học đã phát hiện ra rất nhiều các loại số khác nhau mà mối quan hệ giữa chúng có tính riêng nào đó và có thể tập hợp chúng lại thành những thế giới số có tính đặc thù như: thế giới số lũy thừa, trong đó có thể bao hàm thế giới số bình phương, thế giới số lập phương…, hay thế giới số chẵn, thế giới số lẻ… Cho nên để không lầm lẫn thế giới số nói chung với những thế giới từng loại số, chúng ta từ nay sẽ gọi nó là Vũ Trụ số.

Trong Vũ Trụ số, có rất nhiều hiện tượng kỳ lạ về con số. Chẳng hạn như số 0. Số 0 là số chia cho bất kỳ số nào thì cũng bằng chính nó (hay có thể nói tất cả các số đều là ước của nó). Tùy theo qui ước mà khi nó có nghĩa là sự trống rỗng thì mọi số chia cho nó đều bằng chính số ấy và khi nó không phải trống rỗng thì nó là số vô định mà mọi số, không thể chia được cho nó. Có một số có tính chất tương tự như thế là số vô cùng lớn (VCL). Khi nó là xác định được thì nó là vô cùng nhỏ

bị chặn bởi số 0 (thỏa mãn nguyên lý nước đôi!). Lúc này, nó chia được cho mọi số và bằng chính nó. Khi nó không xác định được thì nó là số lớn vô hạn

, lúc này không có số nào chia được cho nó (vì kết quả là vô định).

Con số 1 tưởng giản dị là thế mà cũng ly kỳ. Nó có thể chia cho bất kỳ số nào để tạo ra số nghịch đảo hoàn toàn của chính số ấy. tất cả mọi số đều có thể chia cho nó và có kết quả bằng chính số đem chia.

Trong thế giới số tự nhiên, nếu không chú ý tới số 0 và số 1, thì tất cả các số còn lại đều có thể viết dưới dạng một tích gồm tối thiểu là 2 con số trở lên. Người ta gọi những số có thể viết thành tích của ít nhất là 2 số khác nó là “hợp số”; còn những số chỉ có thể viết thành tích của số 1 và chính nó là “số nguyên tố” (có thể mở rộng định nghĩa có số nguyên số âm và số nguyên tố dương nhưng ở đây chúng ta không xét đến).

Số nguyên tố được nhà toán học lừng danh Ơclít (Euclide, 330 - 275 TCN, sinh ra ở Athens, nhưng sống và làm việc chủ yếu ở Ai Cập) phát hiện từ thế kỷ III TCN.

Trong thế giới các số nguyên tố thì số 2 và số 5 có tính đặc biệt. Số 2 là số chẵn duy nhất trong thế giới số nguyên tố. Số 5 là số có tận tùng là 5 duy nhất trong thế giới ấy. Còn lại, tất cả các số nguyên tố đều lẻ và chỉ có những số có tận cùng 1, 3, 7, 9 mới có khả năng là số nguyên tố.

Nhưng không phải bất cứ số nào có tận cùng là 1, 3, 7, 9 đều là số nguyên tố. Hơn nữa, đến tận ngày nay, các nhà toán học vẫn chưa tìm ra được qui luật tổng quát về sự phân bố của các số nguyên tố trong dãy số đếm. Phải chăng sự sắp xếp các số nguyên tố trong dãy số đếm là hoàn toàn ngẫu nhiên, phi qui luật? Nếu thế thì cũng không có gì đáng ngạc nhiên, thậm chí là như thế mới hợp lý, mới thỏa mãn nguyên lý nước đôi của Tự Nhiên Tồn Tại: Có những biểu hiện triệt để tuân theo qui luật thì cũng phải có những biểu hiện có vẻ không tuân theo luật.

Tuy nhiên, cần hiểu thế nào về những hiện tượng không tuân theo qui luật trong khi chúng ta quan niệm rằng vạn vật - hiện tượng vận động và chuyển hóa phải tuân theo những qui luật (hay nguyên lý) đặc thù của chúng mà nguyên lý gốc cội của mọi qui luật, mọi nguyên lý đặc thù là nguyên lý Tự Nhiên? Thực ra, nói không tuân theo qui luật thì nên hiểu một cách tương đối và có thể rằng nguyên nhân chủ yếu của hiện tượng ấy lại là do cái nhìn phiến diện, cực đoan của quan sát và nhận thức gây ra, làm cho thực tại khách quan méo mó đi khi bị tính chủ quan lũng đoạn. Chúng ta có thể nên vài thí dụ về vấn đề này:

- Một vật rơi từ độ cao h nào đó xuống mặt đất (mực 0) thì nó sẽ “cho” một “công” (năng lượng). Nhưng quá trình đó không thể xảy ra được nếu không có quá trình ban đầu (gọi là quá trình thuận): “ai đó” phải nâng nó lên đến độ cao ấy chứ bản thân nó không tự “bay lên” độ cao đó. Còn nếu không nâng vật đó lên mà “cố tình” cho nó sinh công thì phải đào bên cạnh nó một cái hố và “mở đường” cho nó rơi xuống cái hố đó. Tuy nhiên công nhận được từ vật đó khi nó rơi xuống hố có một giá trị bất thường: công âm.

- Tương tự như trên thì trong toán học, nếu không có số hữu tỷ lũy thừa thì không có số hữu tỷ khai căn để ra số hữu tỷ. Nhưng cứ cố tình khai căn số hữu tỷ chưa lũy thừa thì sự xuất hiện số vô tỷ là hiển nhiên. Chẳng hạn số 2 không phải là một số chính phương, do đó thế giới số hữu tỷ “cấm” khai căn nó. Nếu chúng ta cứ cố tình khai căn thì “phải chịu”:

- Chúng ta viết ra dãy số đếm:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, …

Rõ ràng, sự sắp xếp đó là có qui luật (số sau lớn hơn số trước 1 đơn vị).

Nếu ta chỉ chọn số chẵn hay lẻ thôi thì 2 dãy mới cũng được sắp xếp theo qui luật. Chẳng hạn ta viết dãy số lẻ:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, …

Dãy số này phát triển theo qui luật là số sau hơn số trước kề nó là 2 đơn vị.

Tuy nhiên nếu chúng ta cố tình tiếp tục “chia đàn xẻ nghé” dãy ra thành 2 dãy: số nguyên tố và hợp số thì ngay lập tức, chúng ta vấp phải nhiều hiện tượng kỳ quái là:

Thứ nhất: dãy số nguyên tố là không đầy đủ vì thiếu mất số 2 (thuộc về dãy số chẵn) và do đó nó không phải là bộ phận thực thụ của thế giới số lẻ.

Thứ hai: khi phân dãy số lẻ thành 2 dãy số như vậy thì số 1 - vị chúa tể của Vũ Trụ, sẽ phải thốt lên lời ai oán: “Thế thì cho trẫm ở đất nào?”. Số 1 là lẻ nên chắc chắn phải thuộc thế giới số lẻ. Nó không phải là một hợp số nên không thể đứng vào dãy những hợp số. Theo qui ước thì nó cũng không phải là số nguyên tố nên cũng không được đứng vào dãy ấy. Vậy thì phải cho nó đứng một mình trong thế giới số lẻ? Một vị chúa tể mà để “côi cút” như thế e khó coi quá! Mặt khác, cần thấy rằng số 1 là một số đặc biệt, nó là một số lẻ, vừa thỏa mãn phần nào điều kiện của một hợp số (vì 1 x 1 x 1 = 1³; tương tự như a x a x a = a³), vừa thỏa mãn nhu cầu để được gọi là số nguyên tố (vì nó cũng chỉ chia hết cho chính nó và đơn vị, chỉ có điều đơn vị lại trùng với nó). Vậy thì có thể xếp số 1 (trong ngoặc đơn) vào cả hai dãy số.

Để cho đầy đủ thì buộc phải đưa số 2 vào dãy số nguyên tố, nhưng cho nó trong ngoặc đơn để nhằm hiểu rằng bất cứ số nào chia hết cho 2 đều là số chẵn, số 2 chia hết cho 2 nên nó cũng là số chẵn, tuy vậy, vì nó là số chẵn nhỏ nhất nên chỉ chia hết cho chính nó và số 1, phù hợp yêu cầu của một số nguyên tố nên nó cũng bị ép buộc là một số nguyên tố, nghĩa là số 2 có lưỡng tính.

Thứ ba: chúng ta viết ra dãy số nguyên tố:

(1), (2), 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19…

và dãy số hợp số:

(1), 9, 15, 21, 25, 27, 33, 35, 39…

Thấy rằng: Nếu sự sắp xếp các số nguyên tố trong dãy số đếm là phi qui luật thì dãy số nguyên tố và kéo theo dãy số hợp số cũng biến thiên tăng dần một cách phi qui luật.

Nếu bây giờ chúng ta bỏ các dấu phẩy và ngoặc đơn ở hai dãy số đó đi và viết lại:

1 2 3 5 7 11 13 17 19…

và:

1 9 15 21 25 27 33 35 39…

thì chúng ta sẽ làm xuất hiện hai số tự nhiên không tuần hoàn, có thể là vô hạn mà cũng có thể là hữu hạn.

Nếu số N là hữu hạn thì 2 số đó phải hữu hạn và chúng là những số như thế nào, nguyên tố hay hợp số?

Trong trường hợp chúng là những số tự nhiên vô hạn thì có thể thêm số 0 và dấu phẩy đằng trước để biến chúng thành hai số vô tỷ. Vậy hai số vô tỷ này có thể là kết quả của hai bài toán có phép nhân nào đó không hay có thể là kết quả của một quá trình khai căn nào đó không?

Chúng ta nêu thí dụ, đặt ra các câu hỏi để rồi không đủ năng lực trả lời. Cho nên cũng chẳng cần nấn ná lại làm gì nơi đã hết niềm vui thú. Chúng ta sẽ chơi bời ở chỗ khác!

Vì số nguyên tố xuất hiện không theo một qui luật phân bố nào cả và hiện hữu dưới dạng không có biểu hiện đặc thù nên việc nhận biết một số lẻ có phải là số nguyên tố hay không, nhất là đối với các số lớn, là một công việc vô cùng khó khăn.

Trước hết, cần phải biết được số lượng số nguyên tố là hữu hạn hay vô hạn. Chính Ơclít đã chứng minh được có vô số kể số nguyên tố như sau:

Giả sử số lượng số nguyên tố là hữu hạn, gồm

số:

Sẽ có một số tự nhiên là

. Theo một định lý khác đã được chứng minh, a ắt có một ước số là số nguyên tố lớn hơn 1, gọi là P_j. Số P_j cũng phải thuộc dãy số nguyên tố nói trên (bằng P_i chẳng hạn) và rõ ràng phải là ước số của số

. Vì là ước của a nên

phải chia hết cho P_j để cho ra kết quả là một số tự nhiên. Điều này phi lý vì:

Nghĩa là P_j>1 phải là ước của 1! Vậy thì P_j phải là số nguyên tố không thuộc dãy

Sau này, nhà toán học thiên tài Ơle (L. Euler, 1707 - 1783), theo một con đường khác, đã chứng minh được một cách xác đáng hơn tính vô hạn của dãy số nguyên tố. Dù có phức tạp hơn nhưng đây là một chứng minh nhận được rất nhiều kết quả toán học khác.

Ngay từ khi số nguyên tố được phát hiện, các nhà toán học đã chú tâm đến việc xác định chúng. Người đầu tiên tìm số nguyên tố một cách có phương pháp là nhà toán học Ơratôxten (Eratosthenes, 276 - 194 TCN), người Hy Lạp. Phương pháp của ông được gọi là “phương pháp sàng” vì nó gợi nhớ tới hiện tượng sàng lọc đá sỏi trong cát. Nhờ phương pháp này mà ông đã “sàng” được 1.000 số nguyên tố đầu tiên để lập thành bảng và bảng này được gọi là “bảng sàng Ơratôxten”. Ơratôxten đã tiến hành như sau:

Ông viết các số lên tấm giấy cỏ sậy căng trên một cái khung, rồi chọc thủng những số nào là hợp số, kể cả số 1. Thế là được “cái sàng Ơratôxten”, tất cả số 1 và các hợp số đều bị “lọt” khỏi bởi những lỗ thủng, chỉ còn lại các số nguyên tố (các số không bị đâm thủng).

Ngay từ thế kỳ XVII, nhà toán học Katandi đã lập bảng các số nguyên tố nhỏ hơn 760, rồi Shuten vào năm 1657 đã lập bảng các số nguyên tố nhỏ hơn 10.000. Vào những năm cuối của thế kỷ XIX, Pơvuxin đã lập bảng các số nguyên tố nhỏ hơn 10 triệu. Ông này đã giành hơn 40 năm cuộc đời mình để có được bảng số lớn nhất thời bấy giờ, viết trong 750 tờ giấy đầy chữ viết nhỏ.

Năm 1959, Bucơ và Grunbơgiơ đã lập ra bảng 6 triệu số nguyên tố đầu tiên. Số nguyên tố thứ 6 triệu là: 104.395.301. Bảng này được lưu giữ bằng micrôphim.

Cuối năm 2001, số nguyên tố lớn nhất mà người ta biết được là: 2^13466971-1

Khi viết tường minh ra, nó gồm 4.053.946 chữ số trong hệ thập phân.

Ngày nay, nhờ công nghệ máy tính phát triển, chắc chắn những số nguyên tố ngày một vĩ đại sẽ kế tiếp nhau xuất hiện.

Đáng khâm phục là vào năm 1934, một học sinh người Ấn Độ tên là Sundaram đã đưa ra một phương pháp sàng để tìm số nguyên tố khác với phương pháp sàng của Ơratôxten.

Tuy nhiên, việc dò tìm số nguyên tố bằng phương pháp sàng dù sao cũng chỉ là cách làm thủ công, có tính mò mẫm, có vẻ như không thỏa mãn đối với “tinh thần toán học”. Do đó mà từ rất lâu, ao ước khám phá ra một công thức tổng quát để xác định một số là nguyên tố đã là của nhiều thế hệ các nhà toán học. Cho đến nay công cuộc tìm kiếm công thức tổng quát đó vẫn chưa đạt kết quả cuối cùng (và có thể nào là không hề tồn tại một công thức như thế?) nhưng cũng đã gặt hái được rất nhiều thành tích đáng nể phục.

Ngày 18-10-1640, nhà toán học người Pháp tên là Fecma đã gửi thư cho B. F. de Bessy (1602 - 1672), nêu ra định lý sau: “Nếu p là số nguyên tố thì với mọi số nguyên dương n, n^p - n chia hết cho p”.

Ông chứng minh: biến đổi nhị thức:

n^p – n = n (n^{p – 1} – 1)

Nếu n là bội số của P thì định lý được khẳng định. Trong trường hợp n không chia hết cho p thì sẽ chứng minh được n và p là những số nguyên tố cùng nhau. Vì p là số nguyên tố, nên chỉ có bội số của p mới có thừa số chung với nó mà thôi. Khi n, p là các số nguyên tố cùng nhau thì phải có:

n^{p – 1} chia hết cho p

Định lý trên đã được Fecma phát biểu dưới dạng thứ hai: “Nếu p là số nguyên tố thì với mọi số nguyên dương n, n^{p – 1} – 1 chia hết cho p”.

Và trong số học hiện đại, người ta gọi đó là “định lý nhỏ Fecma”.

Fecma còn đưa ra điều phỏng đoán: “Khi p là số tự nhiên thì các số dạng

chắc chắn là số nguyên tố”. Sau này người ta gọi các số như vậy là số Fecma, ký hiệu là

. Tuy nhiên điều phỏng đoán này là sai lầm.

Năm 1736, Ơle (người Pháp gốc Thụy Sĩ nhưng sống và làm việc ở Nga 31 năm, ở Đức 25 năm) đã khẳng định định lý nhỏ Fecma là trường hợp riêng của định lý Ơle, bằng cách dùng định lý Trung Hoa để chứng minh. Theo Ơle thì:

“Nếu p là số nguyên tố thì

”.

(Muốn hiểu được lời phát biểu định lý đó thì phải có khái niệm về đồng dư thức. Đồng dư thức nghĩa là: nếu có 2 số tự nhiên a và b chia hết cho số tự nhiên

cho ra cùng số dư thì có thể nói: “a đồng dư với b theo modul m” và viết:

Từ đó mà có định lý dư Trung Hoa:

“Hai số a và b đồng dư với nhau theo mod m khi và chỉ khi a – b chia hết cho m”.

Chẳng hạn có:

thì:

)

Theo định lý nhỏ Fecma, khi p là số nguyên tố, n là số nguyên dương, thì sẽ phải có:

n^{p – 1} – 1 chia hết cho p

Nhưng điều ngược lại: nếu n^{p – 1} – 1 chia hết cho p thì p có phải là số nguyên tố không? Tưởng rằng câu trả lời khẳng định là hiển nhiên nhưng nào ngờ, vào năm 1830, có một người Đức tìm ra 2³⁴⁰ – 1 chia hết cho 341 nhưng 341 không phải là số nguyên tố mà là số hợp:

Người ta gọi các số loại này là “số nguyên tố giả”.

Nhà toán học người Pháp tên là Mecxen (Marin Merssenne, 1588 - 1648) đã viết trong lời tựa cuốn “Nghiên cứu vật lý - toán học” rằng trong tổng số 55 số nguyên tố không vượt quá 257 thì chỉ có 11 số p là 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 và 257 là cho 2^p ^{– 1} trở thành số nguyên tố. Về sau, 2^{p – 1} được gọi là số Mecxen và ký hiệu là Mp.

Người ta đã chứng minh được rằng nếu Mp là số nguyên tố thì p chắc chắn là số nguyên tố. Tuy nhiên, điều ngược lại, nếu p là số nguyên tố thì Mp là số nguyên tố, hóa ra chưa chắc đã đúng. Chẳng hạn, khi p = 11 (số nguyên tố) thì:

Mp = 2¹¹ – 1 = 2047 = 23 x 89 là một hợp số.

Nhà toán học người Đức là Gônbach (Christian Goldbach, 1690 - 1764) phỏng đoán dù sao thì cũng tồn tại vô số số nguyên tố Mp. Điều phỏng đoán này vẫn chưa ai chứng minh hay bác bỏ được.Từ việc nghiên cứu số Fp và Mp, người ta đưa ra điều khẳng định: dù không phải bất cứ số nào có dạng

cũng đều là số nguyên tố, nhưng bất cứ số nguyên tố nào cũng viết ra được một trong hai dạng đó và chúng là vô hạn. Đối với dạng 4n – 1 thì đã được nhà toán học Đức là Diriclet (Peter Gustav Lejeune Dirichlet, 1805 - 1859) chứng minh trọn vẹn. Còn dạng 4n + 1 thì chưa.

Còn rất nhiều những khám phá và phỏng đoán toán học về số nguyên tố mà chúng ta không thể kể ra hết được ở đây. Và chắc rằng sẽ còn nhiều khám phá và phỏng đoán nữa tiếp tục xuất hiện vì cuộc hành trình đi tìm công thức tổng quát xác định được chắc chắn một số tự nhiên nào đó là số nguyên tố, có lẽ được bắt đầu từ “cái sàng Êratôsten”, vẫn chưa kết thúc.

Nhắc đến “cái sàng Êratôsten”, có lẽ chúng ta phải kể đôi điều lý thú nữa về sự “đau đầu” của toán học khi đụng chạm tới số nguyên tố. Khi quan sát cái sàng đó, chúng ta sẽ thấy có hiện tượng các cặp số lẻ đứng liền nhau (cách nhau một số hợp) cũng đồng thời là số nguyên tố. Hiện tượng đó được các nhà toán học gọi là sự xuất hiện “các số nguyên tố sinh đôi”. Thí dụ, các số 5 và 7, các số 11 và 13…

Người ta đã tìm được cặp số sinh đôi là:

Thế nhưng số lượng cặp số nguyên tố sinh đôi là hữu hạn hay vô hạn? Rất nhiều người đã chú tâm nghiên cứu nhưng chưa ai có thể trả lời được câu hỏi này. Đây là một trong hai bài toán được cho là quan trọng nhất của toán học mà D. Hilbert đã trình ra tại Hội nghị toán học thế giới tổ chức tại Pari vào năm 1900. Ngày nay toán học thậm chí chỉ việc xác định được con đường nào là “chân chính” dẫn tới lời giải đáp cũng còn chịu bất lực.

Các nhà toán học cho rằng vấn đề quan trọng nhất có liên quan đến các số nguyên tố là khả năng phân tích một số nguyên bất kỳ ra thành các thừa số nguyên tố. Người ta đã chứng minh được khả năng đó là có thực và trong lý thuyết số, thường gọi nó là “định lý cơ bản của số học”. Nội dung của định lý này là: “Bất kỳ một số tự nhiên nào cũng được phân tích ra thành các thừa số nguyên tố theo một cách duy nhất”. Sau đây là phần chứng minh:

Cho một số tự nhiên N bất kỳ. Nếu nó là số nguyên tố thì định lý được chứng minh một cách hiển nhiên, bởi vì chính bản thân nó có thể được xem là một thừa số duy nhất. Nếu nó là hợp số thì nó phải chia hết cho một số nguyên tố p nào đó nhỏ hơn nó. Lúc này sẽ viết được:

Nếu

là số nguyên tố thì định lý cũng được chứng minh. Nếu nó là hợp số thì lại viết được:

Tương tự, chúng ta sẽ đạt được kết quả cuối cùng là:

Giả sử có cách thứ hai dẫn tới kết quả:

(với tất cả các q là số nguyên tố)

Như vậy thì có thể viết:

Vì các số nguyên tố chỉ có thể chia hết cho chính nó và cho 1, nên nếu vế trái chia hết lần lượt cho

thì vế phải cũng phải chia hết lần lượt cho những số nguyên tố ấy và nếu hai vế đều sắp xếp các thừa số theo trật tự tăng dần thì phải có:

Định lý đã được chứng minh trọn vẹn!

Nếu một số tự nhiên bất kỳ có thể được viết dưới dạng một tích nhiều số nguyên tố thì thử hỏi nó có thể được biểu thị dưới dạng một tổng của nhiều số nguyên tố không?

Cách nay trên dưới 250 năm, nhà toán học Gônbách, viện sĩ Viện hàn lâm Pêtecbua (thủ đô của nước Nga Sa hoàng) đã nghiên cứu vấn đề đó. Ông đã làm thí nghiệm với rất nhiều số, cố phân tích chúng thành tổng của các số nguyên tố và kết quả là sự gợi ý một khẳng định: bao giờ cũng có thể phân tích một số ra tổng của không quá 3 số nguyên tố.

Gônbách không chứng minh được mệnh đề trên, thậm chí cũng không tìm được phương pháp chứng minh nó. Ông bèn viết thư trình bày sự việc đó cho bạn ông là nhà toán học lừng danh Ơle. Hai ông đã trao đổi thư từ cho nhau trong suốt 15 năm trời. Trong bức thư ngày 7-6-1742, Gônbách báo cho Ơle biết rằng, ông đã mạo hiểm phát biểu mệnh đề: “Một số bất kỳ lớn hơn 5 là tổng của ba số nguyên tố”. Ơle trả lời rằng, theo ông thì mỗi một số chẵn đều là tổng của hai số nguyên tố, điều suy đoán đó có thể là một định lý hoàn toàn chính xác, và mệnh đề của Gônbách là một hệ quả đơn giản của điều suy đoán đó. Thế nhưng, ngay cả Ơle cũng không chứng minh được.

Từ đó một bài toán dưới cái tên: “Bài toán của Gônbách” lừng danh trong thế giới toán học xuất hiện với nội dung: “Chứng minh một số tự nhiên bất kỳ lớn hơn đơn vị là tổng của không quá 3 số nguyên tố”.

Cả Gônbách, Ơle và các nhà toán học thế kỷ XIX đều không đi đến kết quả nào trong việc giải bài toán ấy. Nhà toán học siêu quần Canto, người lập nên lý thuyết tập hợp đã kiên nhẫn thí nghiệm tất cả các số chẵn từ 2 đến 1000, rồi đến lượt nhà toán học Ôbri đã thí nghiệm tất cả các số chẵn từ 1000 đến 2000, cả hai người đều cả quyết rằng trong giới hạn đó, một số chẵn bất kỳ đều là tổng của hai số nguyên tố.

Đến đầu thế kỷ XX đã xuất hiện rất nhiều công trình nhằm mở đường giải bài toán ấy hoặc liên hệ nó với các vấn đề khác của toán học. Tuy nhiên, việc chứng minh chặt chẽ bài toán đó thì không đạt kết quả gì hết. Năm 1912, nhà lý thuyết số, nhà vật lý lý thuyết trứ danh Landao, trong hội nghị các nhà toán học quốc tế, đã nêu ý kiến rằng, bài toán đó không thể giải quyết được bằng các phương tiện toán học hiện đại…

Năm 1930, xuất hiện một bước ngoặt trong việc giải bài toán Gônbách. Nhà toán học ưu tú Xô viết là L. G. Snhirenman (1905 - 1938) đã “giảm nhẹ” yêu cầu của bài toán Gônbách bằng một bài toán khác. Bài toán này về hình thức có vẻ phức tạp nhưng có thể giải quyết được. Ông đặt vấn đề liệu có thể có một số nguyên dương nhất định gọi là c, và một số tự nhiên bất kỳ có thể được biểu thị dưới dạng tổng của không vượt quá c số nguyên tố? Hay viết dưới dạng biểu thức toán học:

Nếu tồn tại biểu thức đó và chứng minh được c = 3 thì bài toán Gônbách được giải quyết.

Snhirenman đã giải quyết hoàn toàn thành công bài toán Gônbách đã được “giảm nhẹ” đó. Số c được gọi là “hằng số Snhirenman”. Lúc đầu, số c được xác định là rất lớn. Sự nỗ lực của các nhà toán học đã làm giảm nó xuống còn 67 và cuối thì đạt được giá trị là 18. Tuy nhiên so với yêu cầu của bài toán Gônbách (c = 3) thì kể ra cũng còn hơi bị xa.

Dù sao đi nữa thì toán học cũng đạt được điều quan trọng là đã chứng minh được bất kỳ số tự nhiên nào, dù lớn bao nhiêu chăng nữa, cũng đều có thể phân tích thành tổng các số nguyên tố với số lượng không quá 67 con số (thậm chí là không quá 18 con số!).

Năm 1939, nhà toán học nổi tiếng người Xô Viết, viện sĩ Vinôgradốp đã đạt được kết quả: đối với tất cả các số lẻ đủ lớn, hằng số Snhirenman không vượt quá 3. Kết quả này dù chưa giải quyết trọn vẹn bài toán Gônbách nhưng cũng đã làm cho công cuộc giải bài toán ấy tiến thêm được một bước rất dài.

***

Sự phân bố phi quy luật trong dãy số đếm của các số nguyên tố và do đó đã kéo theo sự không thể dự báo được “khoảng cách” hay mức độ tăng trưởng của một số nguyên tố thành số nguyên tố kế tiếp sau nó trong dãy số nguyên tố, có lẽ là một trong vài ấn tượng mạnh nhất, gây sững sờ cũng như “khó chịu” nhất đối với nhiều thế hệ các nhà toán học.

Cũng như đối với hiện tượng một khối chân lý sáng ngời lại phải hàm chứa những nghịch lý, nhận thức của loài người đã từng có một thời không sao chấp nhận nổi một cơ thể toán học chặt chẽ về lôgíc, chắc nịch về qui luật lại để cho các số nguyên tố “tự tung tự tác”, lúc ẩn lúc hiện một cách tùy tiện như ma trơi. Sự “trêu ngươi” của số nguyên tố đã thúc giục các nhà toán học tiến hành một cuộc “thập tự chinh” để khuất phục nó. Cuộc “thập tự chinh” đó được phát động ngay từ buổi bình minh của toán học và trở thành một cuộc trường chinh đằng đẵng cho tới tận ngày nay mà vẫn chưa tới hồi kết thúc. Loài người đã phải dành ra biết bao nhiêu tâm trí và sức lực, đã phải “hiến tế” biết bao nhiêu nhà toán học cho cuộc trường chinh ấy, và dù cũng đã đạt được biết bao nhiêu chiến tích thì cái mục đích cuối cùng là tìm ra được một công thức tổng quát xác định được một cách chắc chắn tính nguyên tố của một số lẻ bất kỳ (cũng có nghĩa là khám phá ra tính qui luật của sự phân bố biểu hiện phi qui luật của các số nguyên tố trong dãy số đếm), vẫn mịt mù bóng chim tăm cá.

Tuy nhiên, cần phải khẳng định một điều rằng thành quả đạt được trong cuộc nghiên cứu về số nguyên tố thật là lớn lao. Nó đã cho phép nhận diện được tương đối chính xác tính nguyên tố của nhiều số lẻ ở những “khu vực” cực kỳ xa vời trong thế giới số nguyên. Hơn thế nữa, thành quả đó đã có một ý nghĩa rất sâu sắc đối với nhận thức của loài người, bởi vì nhờ nó mà các nhà toán học hiểu được rằng sự hiện diện phi qui luật của các số nguyên tố không hẳn là đã phi qui luật. Tính phân nhóm của các số nguyên tố và số nguyên tố thuộc nhóm nào cũng phải tuân thủ qui luật đặc thù của nhóm ấy là điều chắc chắn, không thể chối cãi được. Đó là một gợi ý hết sức quan trọng về sự tồn tại của công thức tổng quát.

Về mặt triết học, chúng ta cho rằng mọi sự vật - hiện tượng của Thực tại khách quan, dù thực hay ảo đều phải tuân theo nguyên lý chung nhất, duy nhất của Tự Nhiên Tồn Tại. Từ đó suy ra, mọi phần tử trong một tập hợp, một thực thể hay một hệ thống mà nó góp phần tạo lập nên đều phải tuân theo một nguyên lý chung nhất, có tính đặc thù của tập hợp, thực thể hay hệ thống đó. Vậy thì tập hợp các số nguyên tố trước hết là phải tuân theo những nguyên lý chung nhất của Vũ trụ số, kế đến là của Thế giới số tự nhiên và vì số nguyên tố thuộc dãy số đếm nên nó cũng phải tuân theo nguyên lý chung nhất của dãy đó. Phải chăng sự phân bố số nguyên tố vì phải tuân theo luật chung nhất nào đó của số đếm nên có thể là hệ quả suy ra từ đó và như vậy là nó phải mang tính qui luật?

Bản chất ngông cuồng của sự hoang tưởng đã buộc chúng ta phải nghĩ rằng có thể ngay từ đầu toán học đã lạc hướng để rồi phải đi trên con đường ngày một khúc khuỷu, gập ghềnh nhưng cuối cùng thì sau khi đã giải quyết xong những bài toán phức tạp và hóc búa nhất, nó cũng đến được nơi trú ngụ của cái công thức tổng quát về số nguyên tố. Tuy nhiên, vì chân lý vốn dĩ là dung dị cho nên không nhất thiết phải đi trên một con đường khác thong dong hơn, vẫn có thể chiêm ngưỡng được cái công thức hằng ước đó. Có thể nào nói như thế cũng là nói về một chân lý?

Bây giờ, chúng ta quay lại, tiếp tục vui thú một phen nữa với các số nguyên tố, nhưng theo cách riêng tư và vì sự “tung hứng” có phần vụng về nên có thể gọi là “cách của những gã nhà quê”.

Chắc rằng trong quá trình vận động, chuyển hóa, tương tác lẫn nhau không ngừng nghỉ của vạn vật - hiện tượng, luôn tồn tại những phản ứng tạm gọi là những cảm ứng vô thức hàm chứa mầm mống về sự nhận biết số lượng, về sự đếm, định lượng. Có lẽ nhờ đặc tính đó mà chẳng hạn như các nguyên tử, phân tử… mới có thể “tìm thấy” những nguyên tử, phân tử phù hợp với chúng trong những điều kiện nhất định của môi trường để kết hợp, tạo nên một thế giới vật chất mà chúng ta đang thấy, vừa phong phú đa dạng vừa khuôn khổ trật tự. Nhưng sự đếm thực sự và sự hình thành nên hệ thống số đếm chỉ có thể là kết quả của tư duy và vì thế nên cũng chỉ là một tồn tại có tính ảo.

Nhờ tư duy mà có dãy số đếm, nhờ tư duy mang tính tự do mà những số đếm trở nên bất tận. Dãy số đếm xuất hiện cùng với bản chất “cộng” của nó là tiền đề cho một Vũ Trụ số hình thành và vì dãy số đếm là bất tận nên Vũ Trụ số cũng vô hạn. Có thể nói dãy số đếm là hệ cơ sở, là nền tảng của Vũ Trụ mọi thế giới số. Vì lẽ đó mà chúng ta cho rằng muốn nghiên cứu cặn kẽ Vũ Trụ số thì việc đầu tiên phải làm là xem xét dãy số đếm cùng với sự biến ảo của nó.

Chúng ta viết ra dãy số đếm hệ cơ số 10:

1, 2, 3, 4, 5, … (đến vô hạn).

và đưa ra vài nhận xét:

- Dãy số đếm chứa chấp tất cả các ký số có thể có của số tự nhiên (trừ số 0 nếu qui ước số 0 không phải là số đếm). Do đó mà nó cũng chứa chấp tất cả các loại số chẵn, lẻ, nguyên tố, lũy thừa…

- Dãy số đếm cũng hàm chứa 3 phép toán thuận: cộng, nhân, lũy thừa và kéo theo 3 phép toán nghịch: trừ, chia, khai căn.

- Việc cho phép 3 phép toán nghịch được thực hiện tự do trên các số đếm đã làm cho dãy số đếm tiềm ẩn đủ các loại số có thể có của Vũ Trụ số.

- Dãy số đếm là dãy số: số sau luôn lớn hơn số trước kề nó chính xác là 1 đơn vị và nếu gọi số chia hết cho 2 là số chẵn và số không chia hết cho 2 là lẻ thì sự sắp xếp của dãy số đếm là xen kẽ chẵn lẻ (nghĩa là giữa hai số chẵn là một số lẻ và giữa hai số lẻ là một số chẵn).

- Thế giới số tự nhiên, dãy số đếm là dãy số bao hàm tất cả các dãy số tự nhiên có thể có và cũng có thể bằng cách nào đấy “trích xuất” ra từ nó một dãy số nào đó tùy ý.

- Số lượng dãy số đếm trong Vũ Trụ số vô hạn chiều là vô hạn (mà Thế giới số tự nhiên cũng vô hạn).

Có thể nêu ra rất nhiều nhận xét khác nữa, nhưng thôi chúng ta thiết thực hơn là nêu vài thí dụ cho nhận xét vừa rồi.

Muốn có một dãy số chẵn mà số sau hơn số trước kề nó 2 đơn vị thì chúng ta nhân dãy số đếm lên 2 lần, hoặc chúng ta dùng cách cộng 2 dãy số đếm:

Tương tự, nếu muốn có một sãy số mà số sau lớn hơn số trước kề nó n đơn vị thì chúng ta nhân số đến với n (lần).

Chúng ta thấy rằng việc nhân dãy số đếm với n cho ra kết quả là một dãy số rõ ràng là lớn hơn dãy số đếm gấp n lần. Thế nhưng theo nhận xét ở phía trên thì nó chỉ là bộ phận thuộc dãy số đếm nên đồng thời lại phải nhỏ hơn số đếm về mặt lực lượng. Đó là một nghịch lý hiển nhiên đành phải chấp nhận! Nếu cố tình không muốn chấp nhận nghịch lý đó thì chỉ còn cách phải cho rằng việc nhân lên n lần không làm cho dãy số đếm tăng lên chút nào về mặt lực lượng mà chỉ làm nó biến hóa thành một dạng khác. Vậy thì có thể nhận định trong dãy số chẵn có hàm chứa số lẻ và ngược lại trong dãy số lẻ có hàm chứa số chẵn, hay nói một cách triết lế: trong dương có âm mà trong âm có dương. Ở đây nữa, sự xuất hiện nghịch lý đã minh chứng cho sự tồn tại của một biểu hiện theo nguyên lý nước đôi: không một vô hạn nào là không bao hàm cái hữu hạn và ngược lại, không một hữu hạn nào lại không bao hàm cái vô hạn.

Một cách hoàn toàn hiển nhiên, nếu chúng ta muốn có một dãy các số đếm có lũy thừa bậc n bất kỳ, thì coi như chúng ta đã nâng dãy số đếm lên lũy thừa bậc n và viết:

1ⁿ, 2ⁿ, 3ⁿ, 4ⁿ, 5ⁿ, …

Để làm xuất hiện dãy số lẻ từ dãy số đếm, chúng ta làm như sau:

Dãy số lẻ này là bao gồm toàn bộ các số lẻ có thể có trong dãy số đếm, nghĩa là cũng bao gồm toàn bộ các số nguyên tố lẻ có thể có trong đó.

Nếu nhân dãy số lẻ đó với bất cứ một số lẻ nào (khác 1) thì chúng ta đều nhận được một dãy số lẻ không chứa đựng bất cứ số nguyên tố lẻ nào (hoặc chỉ có 1 số nguyên tố).

Chúng ta có thể gọi dãy số chẵn mà số sau lớn hơn số trước kề nó 2 đơn vị là “dãy số chẵn cơ bản”, và như thế, cũng gọi dãy số lẻ mà số sau lớn hơn số trước kề nó 2 đơn vị là “dãy số lẻ cơ bản”

Nếu chúng ta nhân dãy số lẻ cơ bản với 3 (số lẻ nhỏ nhất khác 1) thì được:

Chúng ta cho rằng những dãy số do dãy số đếm biến dạng ra qua phép cộng và phép nhân đều mang tính tự nhiên và những dãy số biến dạng từ dãy số biến dạng tự nhiên qua phép cộng và phép nhân cũng mang tính tự nhiên (nói thế không có nghĩa là chúng không mang tính “nhân tạo”). Với quan niệm như vậy thì dãy số (1) là kề sát nhất dãy số lẻ cơ bản (nghĩa là giữa chúng không thể tồn tại một dãy số lẻ tự nhiên nào khác nữa). Vì khoảng cách giữa các số hạng liên tiếp trong dãy số (1) là 6 đơn vị và là khoảng cách nhỏ nhất so với khoảng cách của các dãy số lẻ tự nhiên “chiết xuất” ra từ dãy số lẻ cơ bản, cho nên có thể nói rằng dãy số (1) chứa đựng nhiều hợp số lẻ nhất, hay nói cách khác là khi nó loại bỏ tất cả các số nguyên tố (trừ số 3) thì đồng thời nó cũng loại bỏ một số lượng nhất định nhưng là số lượng ít nhất các hợp số lẻ.

Vì khoảng cách giữa hai số liên tiếp trong dãy (1) là 6 đơn vị, nên đã có một cặp số lẻ giữa chúng bị loại ra. Các cặp số lẻ bị loại ra đó được gom lại thành một tổng số lượng và trong tổng số lượng đó là toàn bộ các số nguyên tố lẻ (trừ số 1 và số 3) có thể có của dãy số đếm.

Chúng ta biết rằng những số có tận cùng là 5 đều chia hết cho 5 nên không bao giờ là số nguyên tố (trừ số 5). Những số lẻ chia hết cho 3 (trừ số 3) cũng không thể là số nguyên tố. Dấu hiệu để một số lẻ chia hết cho 3 là tổng cuối cùng các ký số của nó là một trong ba số 3, 6, 9. Chẳng hạn các số lẻ 4071, tổng cuối cùng của các ký số là:

4 + 7 + 1 = 12 = 1 + 2 = 3

Vậy số đó chia hết cho 3.

Như thế, đối với các cặp số lẻ bị loại ra khỏi (1), ngoài những số có tận cùng là 5, những số còn lại đều có khả năng là số nguyên tố:

Đó là một phát hiện của chúng ta trong việc nhận biết một số lẻ bất kỳ có phải là số nguyên tố hay không. Nó có mới không? Cũ mèm! Nó có hay không? Dở òm! Có lẽ chúng ta đang ở đâu đó trong buổi bình minh của số học!

Thôi, chúng ta xoay hướng khác:

Giả sử có 2 dãy số đếm và chúng ta cộng chúng theo cách này.

Các số hạng của dãy (2) và (3) là trùng nhau vì thực ra đó là 2 dãy số đếm. Dãy (4) là bộ phận của dãy (2) hoặc (3) vì chúng có mặt xen kẽ trong đó.

Có thể suy ra dễ dàng một số chẵn bất kỳ là tổng của 2 số lẻ. Thí dụ:

Với 4 thí dụ đó chúng ta thấy rằng một số chẵn không những có thể phân tích thành tổng 2 số lẻ mà còn có thể thành tổng của 2 số nguyên tố.

Vậy thì điều mà Ơle phỏng đoán, rằng một số chẵn tự nhiên bất kỳ lớn hơn 2 chắc chắn phân tích được thành tổng của 2 số nguyên tố, có đúng không? Và nếu đúng thì có thể chứng minh theo phương hướng này không?

Giả sử chúng ta có số tự nhiên bất kỳ là 52. Theo như cách sắp đặt các dãy số (2), (3), (4) ở trên thì chúng ta có ngay:

52 = 27 + 25

Đó là tổng 2 số lẻ nhưng không phải nguyên tố. Tuy nhiên, chúng ta có thể có những tổng của các cặp số lẻ khác mà tổng của chúng cũng bằng 52, bằng cách coi (2) và (3) là những “thước dò” để “kéo” thước (2) sang trái (hoặc phải) theo từng “nấc” 2 đơn vị một và đồng thời cũng kéo thước (3) sang phải hoặc trái theo từng “nấc” 2 đơn vị một. Có thể mô tả cách làm đó như sau:

52 = (27 – 2) + (25 + 2) = 25 + 27

Vì kết quả biến đổi chẳng nên cơm cháo gì nên chúng ta… biến đổi tiếp:

52 = (25 – 2) + (27 + 2) = 23 + 29

Thành công mĩ mãn vì đó chính là tổng của hai số nguyên tố.

Thêm một thí dụ nữa:

56 = 29 + 27

Đó là tổng của một số nguyên tố và một hợp số lẻ nên cần phải biến đổi:

56 = (29 + 2) + (27 – 2) = 31 + 25 = (31 + 2) + (25 – 2)

= 33 + 23 = (33 + 2) + (23 – 2) = 35 + 21

= (35 + 2) + (21 – 2) = 37 + 19

Đó chính là tổng với 2 số nguyên tố của số chẵn tự nhiên 56.

Có thể là ở miền số nhỏ, vấn đề một số chẵn có thể phân tích thành tổng của 2 số nguyên tố luôn được nghiệm đúng nhưng ở vùng các số lớn, điều đó còn đúng nữa không? Hay nói một cách tổng quát: có một số chẵn bất kỳ là

thì luôn lựa chọn được một số chẵn là

để viết được:

a = (m + b) + (n – b)

với m, n là những số lẻ, và

(m + b), (n – b) là những số nguyên tố

Nếu mệnh đề trên được chứng minh thì đó chính là qui luật và ý kiến của Ơle là chính xác.

Bằng thao tác kéo thước (2) và (3), có thể làm xuất hiện tất cả các cặp số lẻ có thể có và do đó có thể chọn ra làm một tổng 2 số lẻ cho một số chẵn bất kỳ. Nếu có một số chẵn n bất kỳ, có thể đưa thước (2) và (3) vào vị trí cặp số lẻ là 1 và (n – 1) để có tổng.

n = 1 + (n – 1)

Tiếp tục kéo thước, sẽ có thể tạo được các cặp số lẻ khác chẳng hạn: 3, n – 3, hay 5, n – 5…

Khi n càng lớn thì tổng số cặp số lẻ để tạo thành tổng của n càng nhiều và như thế thì càng có khả năng tìm được tổng của n là 2 số nguyên tố.

Điều suy đoán đó nghe rất có lý nhưng không phải là một chứng minh. Còn có thể chứng minh được hay không thì chúng ta mù tịt vì… dốt quá xá!

Không suy nghĩ thêm về chuyện đó nữa, chúng ta trở về viết lại cách cộng 2 dãy số đếm cho ra dãy số lẻ cơ bản:

Quá trình cộng cho chúng ta thấy tất cả các số hạng từ 3 trở đi ở dãy số lẻ cơ bản đều là kết quả của tổng một số chẵn và một số lẻ. Chẳng hạn:

3 = 2 + 1

5 = 3 + 2

13 = 7 +6

Ở đây, nếu chúng ta qui ước rằng 1 cũng là số lẻ (và hơn nữa là số nguyên tố) thì vì một số chẵn có thể phân tích thành tổng 2 số lẻ nên có thể cho rằng bất kỳ số lẻ tự nhiên n ≥ 3 nào cũng đều phân tích được thành tổng của 3 số lẻ. Thí dụ:

3 = 2 + 1 = 1 + 1 + 1 (tổng 3 số lẻ trùng nhau)

5 = 3 + 2 = 3 + 1 + 1

7 = 4 + 3 = 1 + 3 + 3

13 = 7 + 6 = 7 + 5 + 1

Và hơn nữa có thể cho rằng bất cứ một số lẻ tự nhiên n ≥ 3 nào cũng đều có thể phân tích thành tổng của 3 số nguyên tố.

Đối với một số lẻ bất kỳ nào thì bằng cách kéo thước (2) và (3) ngược chiều nhau theo từng nấc 1 đơn vị, bao giờ cũng chọn được một tổng gồm một số chẵn và một số nguyên tố. Nếu mệnh đề “một số chẵn tự nhiên luôn phân tích được thành tổng của 2 số nguyên tố” được chứng minh, thì mệnh đề “một số lẻ bất kỳ lớn hơn hoặc bằng 3 luôn có thể phân tích thành tổng của 3 số nguyên tố” sẽ trở thành hiển nhiên.

Vậy, muốn quyết định được triệt để bài toán Gônbách thì phải chứng minh được mệnh đề Ơle.

Chúng ta khẳng định như thế và lại nói sang chuyện… cũ.

Có một câu hỏi đặt ra là bằng những con đường (mà chúng ta gọi là) biến đổi tự nhiên như trên có thể nào làm xuất hiện một dãy số chứa chấp toàn bộ số nguyên tố lẻ và không chứa bất cứ hợp số lẻ nào không?

Chúng ta thấy ngay rằng nếu thực hiện được điều đó thì sự phân bố của số nguyên tố phải có qui luật và qui luật đó là có tính chặt chẽ. Tuy nhiên, có thể không bao giờ làm được điều đó.

Dù sao thì chúng ta cũng cố thử một phen cho thỏa lòng mát dạ.

Trước hết chúng ta viết ra dãy số lẻ cơ bản, kế tiếp bên dưới viết ra dãy số được “chiết xuất” từ nó khi nhân nó với 3 rồi làm một phép trừ, như sau:

Như đã nói, kết quả là một dãy số chứa toàn bộ số nguyên tố lẻ từ số 5 và “một ít” hợp số lẻ. Quan sát trực giác cũng thấy ngay rằng các số hạng trong dãy số này phân bố có qui luật.

Nếu dãy số đó, ở đây chúng ta gọi là dãy số (5), chỉ chứa toàn số nguyên tố thôi thì cuộc đời dễ chịu biết bao nhiêu!

Có cách nào “sàng” bỏ “một ít” hợp số lẻ đi không? Nhìn những số hạng đầu tiên của dãy số, chúng ta khấp khởi nghĩ rằng: việc sàng bỏ cái “số ít” ấy chắc rằng cũng không mấy khó nhọc. Nhưng than ôi, dãy (5) chỉ không chứa những số lẻ chia hết cho 3 thôi chứ nó vẫn chứa gần như đầy đủ các số lẻ có thể chia hết cho những số lẻ khác 3 và khác bản thân nó. Vì vậy mà cái “một ít” ấy cũng hằng hà sa số như sao trên trời vậy. Hơn nữa, chúng ta không tìm thấy một qui tắc nhất quán nào trong việc lược bỏ các số không nguyên tố ra khỏi (5) cả cho nên nếu có thiết lập được dãy số nguyên tố thì sư biến đổi các khoảng cách (giữa hai số hạng liên tiếp) là không lường trước được.

Vậy thì tại sao sự phân bố ngay trong nội tại của dãy nguyên tố lại không theo một qui tắc nào ngoài qui tắc trị số của các số hạng tăng dần đến vô hạn? Bởi vì dãy số nguyên tố không phải là dãy số biến dạng tự nhiên từ dãy số đếm, dù trực tiếp hay gián tiếp. Mặt khác, các số nguyên tố là một bộ phận của dãy số đếm bị ràng buộc bởi dãy số đếm cho nên sự biểu hiện “ngỗ nghịch” của chúng không phải vì chúng muốn “ngỗ nghịch” mà vì nhiệm vụ thiêng liêng này: vừa bảo vệ bản chất phát triển nhất quán, có tính chu kỳ nhưng không lặp lại của dãy số đếm, vừa đảm bảo cho nguyên lý nước đôi của Tự Nhiên Tồn Tại không bị xâm phạm.

Hãy bằng lòng với Tự Nhiên dù chúng ta quan niệm rằng Tự Nhiên không hoàn hảo. Bởi vì nếu không biết bằng lòng như thế thì rồi chúng ta sẽ phải đến một kết luận rằng chính bản thân tư duy của chúng ta không hoàn hảo. Thế nhưng thói đời làm cho con người ta, mấy ai, chấp nhận là mình suy nghĩ không hoàn hảo? Cho nên, người nào hiểu rằng mình không bao giờ hoàn hảo, thì người đó là kẻ hiểu được sự đời!

***

Trong lịch sử toán học có một câu chuyện rất hay, gọi là “Vấn đề (3a+1)”.

Thập niên 1950, giới toán học thế giới trở nên sôi nổi trước một hiện tượng kỳ lạ: a là một số tự nhiên bất kỳ, nếu a là số chẵn thì chia đôi

; nếu a là số lẻ thì nhân nó với 3 rồi cộng với 1; cứ thực hiện như vậy thì cuối cùng bao giờ kết quả cũng là số 1.

Thí dụ: có a = 26, chia đôi bằng 13, lấy 13 nhân với 3 thì được 39, cộng số đó với 1 được 40, chia 40 cho 2 được 20, chia 20 cho 2 được 10, chia 10 cho 2 được 5, nhân 5 với 3 được 15, cộng 1 được 16, chia 16 cho 2 được 8, chia 8 cho 2 được 4, chia 4 cho 2 được 2, chia 2 cho 2 được kết quả cuối cùng là 1.

Hiện tượng đó đã từng gây nên biết bao nhiêu cảm hứng cho những người yêu mến toán học đương thời. Một nhà toán học Mỹ nói: “Có một thời, trong các trường đại học Mỹ, hiện tượng này trở nên hấp dẫn nhất. Sinh viên khoa toán và khoa máy tính hầu như ai cũng nghiên cứu nó”

Các nhà toán học đã phải ngạc nhiên rằng dù phải thực hiện bao nhiêu phép tính chăng nữa thì rốt cuộc vẫn làm cho số a trở về 1. Giáo viên và sinh viên ở trường đại học Tôkyô (Nhật Bản) đã kiểm tra từng số đến số tự nhiên 2⁴⁰ vẫn thấy không có một ngoại lệ nào, bao giờ cũng thu được kết quả cuối cùng là

Người ta chỉ gọi: hiện tượng “3a+1”, vì không biết ai là người đầu tiên đề xướng ra. Có người cho đó là ý tưởng của L. Collatz, đưa ra tại Hội nghị toán học thế giới năm 1950. Nhưng cũng có người lại nói rằng do B. Thwaiter (Anh), R.V. Andree (Nga), Hans (Mỹ), Neolamu (Mỹ)… đưa ra. Nói chung thì đến nay vẫn chưa biết chắc chắn ai là tác giả.

Nhiều người đã cố tìm hiểu để giải thích hiện tượng này nhưng ngay cả các nhà toán học nổi tiếng cũng chưa giải quyết được. Học giả R.K. Guy gọi đó là “Đề toán khó của thế giới” và khuyên mọi người không nên toan tính giải quyết nó. Đã có nhiều giải thưởng với số tiền thưởng ngày càng cao đã được đưa ra nhưng người lãnh giải thì cứ vẫn “trốn chui trốn nhủi” đâu đó. Nhà toán học nổi tiếng thế giới là P. Erdôs nhắn nhủ rằng: “Toán học còn chưa đủ chín để giải quyết vấn đề đó”

Trong quá trình làm cho dãy số đếm “biến hóa”, chúng ta thấy được một điều, không biết dùng nó để giải thích vấn đề 3a + 1 có được không nữa. Nhưng chúng ta cứ mạnh dạn nêu ra đây để “đèn trời soi xét”

Trước hết, chúng ta viết lại:

và đưa ra nhận xét:

- Dãy (4) bao gồm toàn bộ các loại số chẵn tự nhiên có thể có.

- Một số chẵn a bất kỳ bao giờ cũng có thể biểu diễn:

với: n, m là những số tự nhiên, trong đó

x là một số lẻ tự nhiên và lũy thừa của một số lẻ cũng là số lẻ thuộc dãy

nên có thể cho x^m = b

Có thể viết lại biểu thức trên là:

và khi b = 1 thì a = 2ⁿ

- Từ trên suy ra có 2 loại số chẵn là:

- Nói chung thì một số chẵn bao giờ cũng viết được thành tổng của 2 số lẻ. Hơn nữa, có thể viết:

a = 1 + p

với p là một số lẻ tự nhiên.

Sau khi có những nhận xét như vậy, chúng ta thử lý giải hiện tượng “3a + 1”.

Giả sử có a là số chẵn tự nhiên bất kỳ. Vì:

(b là số lẻ thuộc dãy số lẻ tự nhiên)

Nhân b với 3 thì được một số lẻ thuộc dãy số lẻ chia hết cho 3 và 3a + 1 là một số chẵn. Vì 3b + 1 là số chẵn nên có thể viết:

(với y₁ là số tự nhiên khác 0 và b₁ là 1 số lẻ tự nhiên).

Suy ra

Nếu b₁ = 1 thì quá trình kết thúc.

Nếu

thì ta lại có: 3b₁ là một số lẻ trong dãy chia hết cho 3 và cũng lại có:

Nếu

thì quá trình lại tiếp diễn tương tự để có b₃, b₄, … với

và 3b, 3b₁, 3b₂, 3b₃, 3b₄,… là những số lẻ thuộc dãy chia hết cho 3.

Điều cần chứng minh là quá trình bao giờ cũng dẫn đến kết quả cuối cùng:

Nghĩa là sẽ làm xuất hiện một số lẻ 3b_i trong dãy chia hết cho 3 để có:

Một cách trực quan, chúng ta thấy rất nhiều số lẻ trong dãy chia hết cho 3 thỏa mãn biếu thức trên:

2² = 3 + 1

2⁴ = 3 . 5 + 1 = 15 + 1

2⁶ = 3 . 21 + 1 = 63 + 1

2⁸ = 3 . 85 + 1 = 255 + 1

2¹⁰ = 3 . 341 + = 1023 + 1

Nghĩa là nếu m là một số chẵn tự nhiên thì 2^m sẽ phân tích được thành:

Trong đó b_i là số lẻ tự nhiên

Cần phải chứng minh được rằng đối với bất kỳ một số tự nhiên a nào thì thông qua quá trình 3a+ 1 sẽ làm xuất hiện b_i để thỏa mãn biểu thức trên:

Đây là điều chúng ta phỏng đoán: quá trình 3a + 1 là một quá trình làm xuất hiện hàng loạt những số lẻ liên tiếp khác nhau, có số trị lớn nhỏ đan xen nhau, hay có thể nói đó là một quá trình “tiến, lui”. Quá trinh tiến lui đó, do tính chất “nhân 3, cộng 1, chia cho 2^y” (với y có thể là 1, 2, 3, …) làm cho khoảng lùi nhiều khi lớn hơn khoảng tiến (chia nhiều lần cho 2 làm giảm nhanh số trị của một số lẻ đang tương đối lớn nào đó). Hiện tượng đó, kèm theo hiện tượng các số lẻ xuất hiện trong quá trình phải khác nhau đã dẫn đến không thể tiến đến vô hạn được và phải xuất hiện b_i để có 3b_i + 1 = 2^m

Ở các dãy số lẻ chia hết cho các số lớn hơn 3 (chẳng hạn cho 5, 7, 11…), quá trình tương tự như thế, dù cũng có dạng “tiến lui” nhưng tính chất “nhân với số lớn hơn 4, cộng 1, chia 2^y (với y thường không lớn hơn 2), nên thường dẫn tới vô hạn. Đối với các dãy số này, cũng có thể chọn được số chẵn a để quá trình quay về kết thúc với 1 nhưng không phổ biến.

Nếu gọi A là một số lẻ tự nhiên và đồng thời là số biểu thị cho dãy số lẻ chia hết cho nó thì có thể viết quá trình 3a + 1 thành tổng quát hơn là Aa + 1. Và chúng ta đoán rằng: quá trình Aa + 1 là một qui luật đối với dãy chia hết cho 3 và là hiện tượng ngẫu nhiên đối với các dãy chia hết cho số lẻ lớn hơn 3.

Thí dụ:

- Đối với dãy chia hết cho 5; khi chọn a = 6 thì:

6 : 2 = 3

5 x 3 + 1 = 16

16 : 2 = 8; 8 : 2 = 4; 4 : 2 = 2; 2 : 2 = 1

Khi chúng ta chọn a = 18 thì:

18 : 2 = 9; 5 x 9 + 1 = 46; 46 : 2 = 23; 5 x 23 + 1 = 116; 116 : 2 = 58; 58 : 2 = 29; 5 x 29 + 1 = 146; 146 : 2 = 73; 5 x 73 + 1 = 366; 366 : 2 = 183; 5 x 183 + 1 = 458; 458 : 2 = 229; 5 x 229 + 1 = 1146; 1146 : 2 = 573;…

- Đối với dãy chia hết cho 7, khi chọn a = 18 thì:

18 : 2 = 9

7 x 9 + 1 = 64

64 : 2⁶ = 1

Khi chúng ta chọn a = 38 thì:

38 : 2 = 19; 7 x 19 + 1 = 134; 134 : 2 = 67; 7 x 67 + 1 = 470; 470 : 2 = 235; 7 x 235 + 1 = 1646; 1646 : 2 = 823; 7 x 823 + 1 = 5762;…

Cần nói thêm rằng quá trình Aa – 1 đôi khi cũng dẫn tới kết quả 1 nhưng cũng chỉ là hiện tượng ngẫu nhiên. Cũng có những quá trình Aa

1 “tiến lui” được một lúc thì lặp lại thành một chu trình kín ở đâu đó, không tiến tới vô hạn mà cũng không về 1.

Chẳng hạn đối với dãy chia hết cho 3, khi chọn a = 14 và quá trình là 3a – 1 thì:

14 : 2 = 7; 3 x 7 – 1 = 20; 20 : 2 = 10; 10 : 2 = 5; 3 x 5 – 1 = 14; 14 : 2 = 7;…

Cũng với dạng quá trình 3a – 1 nhưng chọn a = 6 thì:

6 : 2 = 3; 3 x 3 – 1 = 8; 8 : 2 = 4; 4 : 2 = 2; 2 : 2 = 1

Vấn đề 3a + 1 cho chúng ta biết rằng nếu bậc của lũy thừa 2 là số chẵn thì 2^m – 1 luôn chia hết cho 3 và có thể viết:

Có thể chọn m sao cho

là số lẻ gọi là p và viết lại:

Nếu chứng minh được

không bao giờ chia hết cho 3 thì

phải chia hết cho 3 để có số c lẻ nào đó và b phải chia hết cho c để có kết quả là số lẻ Mp nào đó:

Đây chính là số Mecxen và đã được chứng minh rằng nếu Mp là số nguyên tố thì p cũng là số nguyên tố.

Trong phần cuối quyển IX của bộ sách “Những nguyên lý”, Ơclít đã đưa ra mệnh đề: Nếu

là số nguyên tố thì nhất định

là “số hoàn hảo” (hay còn gọi là “số hoàn chỉnh”).

Vậy số hoàn hảo là gì?

Trường phái Pitago ở Hy Lạp cổ đại đã phát hiện ra rất nhiều loại số kỳ lạ, trong đó có số hoàn hảo.

Theo định nghĩa thì số hoàn hảo là số tự nhiên mà tổng các ước của nó (kể cả bản thân nó) bằng 2 lần nó hoặc nếu không kể bản thân nó thì bằng chính nó. Chẳng hạn:

1 + 2 + 3 + 6 = 2 x 6 hoặc 1 + 2 + 3 = 6

1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 2 x 28 hoặc 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28

Trường phái Pitago cho rằng số 6 là số thần thánh nhất, lý tưởng nhất, đầy đủ nhất. Ngoài tính chất chung nêu trên, số 6 còn có tính chất: tích các ước (không kể bản thân nó) bằng chính nó:

1 x 2 x 3 = 6

Số 6 cũng là số hoàn hảo nhỏ nhất.

Ơclít đã chứng minh mệnh đề về số hoàn hảo của ông như sau:

Đặt

. Tất cả các ước của

, không kể bản thân nó có tổng là:

Ơclít đã phát hiện được 3 số hoàn hảo là 6, 28, 491, tương ứng với p bằng 2, 3 và 5.

Đến thế kỷ I, học giả cuối cùng của trường phái Pitago phát hiện thêm được một số hoàn hảo nữa là số 8128 (p = 7). Năm 1460, người ta tìm được số hoàn hảo thứ 5 là số 33550336 (p = 13). Năm 1603, lại tìm thấy được các số hoàn hảo thứ 6, thứ 7 và thứ 8. Đầu thế kỷ XIX, tiếp tục tìm thấy số hoàn hảo thứ 9 có 37 ký số… Cho đến năm 1996, người ta đã tìm được số hoàn hảo thứ 33.

Vào thế kỷ XVIII, nhà toán học thiên tài Ơle đã chứng minh rằng: “Bất cứ một số hoàn hảo nào là số chẵn đều phải có dạng

, trong đó p là số nguyên tố và

cũng là số nguyên tố”.

Điều đáng ngạc nhiên là trong các số hoàn hảo đã được tìm thấy, tất cả đều chẵn.

Phải chăng không có số hoàn hảo lẻ? Năm 1908, nhà toán học A. Turcaninov chứng minh số hoàn hảo lẻ chỉ có thể lớn hơn 2 triệu. Người ta đã chứng minh được số hoàn hảo là số lẻ, nếu tồn tại, thì phải lớn hơn 10²⁰⁰ (!).

Đến nay, chưa ai có thể biết được số lượng số hoàn hảo là hữu hạn hay vô hạn.

Sau đây là vài biểu hiện kỳ lạ của số hoàn hảo:

- Một số hoàn hảo có thể phân tích thành tổng của một lượng số đếm liên tiếp bắt đầu từ 1:

6 = 1 + 2 + 3

28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7

496 = 1 + 2 + 3 + … + 30 + 31

8128 = 1 + 2 + 3 + … + 30 + 31 + … + 126 + 127

- Trừ số 6 ra, các số hoàn hảo khác đều có thể biểu thị bằng tổng lập phương các số đếm lẻ liên tiếp, bắt đầu từ 1:

28 = 1³ +3³

486 = 1³ + 3³ + 5³ + 7³

8128 = 1³ + 3³ + 5³ + … + 13³ + 15³

- Tổng các số nghịch đảo tất cả các ước (kể cả bản thân nó) của số hoàn hảo luôn bằng 2:

Sự biến hóa của Vũ Trụ số thật khôn lường. Đến Tôn Ngộ Không với 72 phép thần thông quảng đại và thậm chí là cả ngài Phật Tổ Như Lai “thông thái bác địa” mà lạc vào Vũ Trụ ấy cũng phải kinh hoàng, phủ phục. Tuy nhiên, như chúng ta đã nói, nguyên nhân sâu xa gây ra sự biến hóa khôn lường của Vũ Trụ số lại là do sự biến ảo kỳ diệu, vừa tự nhiên, vừa nhân tạo của dãy số đếm, mà cho đến nay, người ta vẫn còn chưa nhận biết hết được.

Nói về sự đếm thì người ta có thể đếm:

Một, hai, ba, …

Để đếm nhanh hơn, người ta có thể đếm:

Hai, bốn, sáu, …

Nhanh hơn nữa:

Năm, mười, mười lăm, …

Nghĩa là có nhiều cách đếm khác nhau. Nhưng cách đếm cơ sở, cội gốc của mọi cách đếm thì vẫn là cách đếm đầu tiên, thêm vào liên tiếp từng đơn vị một. Cho nên có thể nói rằng dãy số đếm

1, 2, 3, 4, …

là dãy số nguyên thủy có tính cơ sở, là cội rễ của mọi dãy số, là nền tảng của Vũ Trụ số cũng như của mọi biến hóa của Vũ Trụ ấy.

Dù dãy số đếm cơ sở chỉ tồn tại trong thực tại ảo nhưng là sự “gợi ý” của Thực Tại khách quan và được hình thành bởi tư duy nhận thức trước mặt biểu hiện rời rạc của Thực Tại khách quan.

Giả sử có N hạt KG phơi bày rời rạc ra trước quan sát. Nhận thức ban đầu có thể chỉ là:

Tiếp theo, nhận thức sẽ thấy được điều này:

N = 1 + 1 + 1 + … + 1

Vì hạt KG phân bố không đến nỗi rời rạc như thế mà có lúc còn “nhóm họp” lại thành những lực lượng to nhỏ khác nhau, nên nhận thức thấy thêm điều này nữa:

N = 1 + 1 + 1 + … + 1 = 1 + 2 + 3 + … + n

(với n < N: vừa biểu thị là lực lượng có số hạt KG nhiều nhất (ở đây cứ cho là nó trùng với số đếm), vừa là tổng số lượng các lực lượng KG có nội tại tăng dần từ 1 đến 2… và đến n, trình hiện ra trong “tầm quan sát” của nhận thức).

Từ đó mà dãy số đếm cơ sở ra đời và nhận thức cũng qua đó, hiểu được một trong những bản chất cơ bản nhất cúa nó là sự thêm vào (phép cộng).

Dãy số đếm và phép cộng ra đời đã tạo tiền đề cho các phép toán khác và các thế giới số lần lượt hình thành. Loài người không ngờ rằng trên con đường mưu cầu cuộc sống, họ đã “vô tình” tạo ra cả một Vũ Trụ số để rồi cho đến tận ngày nay, họ vẫn còn phải lặn hụp “bở hơi tai” trong cái đại dương vô bờ bến đó…

Thôi, chúng ta hãy quay lại “bông phèng” một lúc nữa với các dãy số.

Giả sử chúng ta có tổng:

1 + 1 + 1 + … + 1 = 10

thì chúng ta cũng viết được:

10 = 1 + 2 + 3 + 4

và:

Vì:

nên:

Nghĩa là số 1 bao giờ cũng phân tích được thành tổng của các phân số đơn.

Nhưng số 1 có thể phân tích thành tổng của 3 phân số đơn không? Không phải với mọi N đều có thể phân tích được như thế. Đối với N = 10 thì 1 không thể phân tích được thành tổng của 3 phân số đơn, nhưng đối với N = 6 thì là phân tích được:

Thêm vài thí dụ nữa:

- Cho N = 1 + 1 + … + 1 = 7 = 1 + 2 + 4

Suy ra:

Bằng cách tương tự chúng ta sẽ được kết quả:

(với N = 7)

- Cho N = 2, như chúng ta đã biết:

Nếu n = 10 thì:

Suy ra:

Trường hợp n rất lớn thì có thể cho rằng:

Cho N = 3 thì:

Cho N = 18 thì chính là trường hợp ba anh em nhà nọ chia bò:

Khi chúng ta trừ hai dãy số đếm cho nhau sao cho số bị trừ lớn hơn số trừ 1 đơn vị, sẽ làm xuất hiện một dãy số toàn số 1:

Nếu bỏ dấu phẩy ở kết quả đi, chúng ta sẽ được một số tự nhiên vô hạn toàn số 1:

1 1 1 1 1 …

Bình phương số đó sẽ được số:

1 2 3 4 5 6 7 9 0 1 2 3 …

Nếu số lượng số 1 là hạn định ( N hữu hạn) thì hai số hạng cuối cùng của số bình phương chúng là 21.

Chẳng hạn N = 2 thì:

11² = 121

N = 3 thì:

111² = 12321

N = 4 thì:

1111² = 1234321

Nếu chia số: 1111… (với số lượng số 1 là vô hạn) cho 9 thì sẽ có kết quả:

12345679012345679012…

Vậy thì:

Và do đó mà có: 111… = 0,111… (!)

Hay: (111…) x 9 = 1

và: 999… = 1 (!)

Sự vô hạn thật quá kỳ dị!

Nhưng biết đâu chừng đó là biểu hiện của Tự Nhiên Tồn Tại: giới hạn của lớn vô cùng là 1, và nếu so “kích cỡ qui mô” giữa Vũ Trụ và hạt KG thì:

Khi số lượng số 1 là 9 thì đem chia 111111111 cho 9 sẽ có kết quả là:

12345679

Tương tự:

Khi số N = 8 thì kết quả là:

1234567,888…

Khi số N = 7 thì kết quả là:

123456,777…

Khi số N = 3 thì kết quả là:

12,333…

Khi số N = 2 thì kết quả là:

1,2222…

Khi số N = 1 thì kết quả là:

0,111111…

Ngược lại, vì 0,1111… x 9 = 1 nên có thể suy ra:

0,11111… x n x 9 = n

Nghĩa là từ đây ta có thể xây dựng lại được dãy số đếm cơ sở:

1, 2, 3, 4, …

Nếu bình phương các số hạng của dãy số đó, ta sẽ được dãy bình phương các số đếm:

1², 2², 3², 4², 5²…

Điều lạ lùng của dãy bình phương các số đếm là các khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp hợp thành một dãy số bao gồm toàn bộ các loại số lẻ có thể có (ngoại trừ số 1) của Thế giới số tự nhiên:

Vì bình phương của một số lẻ là một số lẻ nên dãy số lẻ nói trên cũng hàm chứa tất cả các số lẻ bình phương có thể có. Từ những nhận xét này mà chúng ta có thể thiết lập được vài biểu thức liên quan đến dãy bình phương các số đếm.

Nếu có một số đếm là a thì số đếm liên tiếp kế trước nó là a – 1 và kế sau nó là a + 1. Nếu gọi khoảng cách giữa hai số a² và (a + 1)² là b thì chúng ta sẽ có:

a + (a + 1) = 2a + 1 = b

a + (a – 1) = 2a – 1 = b – 2

Nếu b là một số lẻ c² thì:

Và

Tóm lại, chúng ta có thể xác định được các số hạng nào trong dãy số đếm mà khi bình phương chúng lên sẽ thiết lập được biểu thức Pitago nổi tiếng từ cổ chí kim, khi đã biết c².

Chẳng hạn, chúng ta chọn số lẻ 5, bình phương lên được 25.

Vậy:

. Từ đây chúng ta có:

Hay chúng ta chọn số lẻ là 3, bình phương lên được 9. Vậy:

Nếu chúng ta nhân 2 về cho một số căn 2 nào đó sẽ được một biểu thức với những số đếm mới. Thí dụ nhân với

Hay nhân với căn

Có hằng hà sa số các số tự nhiên để thiết lập được đẳng thức: tổng của 2 số bình phương bằng bình phương của số thứ ba. Tuy nhiên không phải lúc nào cũng thiết lập được như thế. Chẳng hạn có 2 + 3 = 5, bao giờ cũng có 2² + 5 = 3², nhưng 5 không phải là một số chính phương cho nên không bao giờ thiết lập được:

2² + c² = 3², với c là một số lẻ tự nhiên.

Nói một cách tổng quát, khi A, B, C là những số tự nhiên thì:

A² + B² = C²

có vô số nghiệm nhưng không phải lúc nào cũng nghiệm đúng. Hay có thể phát biểu: tổng của 2 số bình phương không phải lúc nào cũng cho ra kết quả là một số thuộc dãy số bình phương.

Vậy thì có thể thiết lập được:

A² + B² + C² = D²

với A, B, C, D là những số tự nhiên nào đó hay không?

Chắc chắn là được, vì chúng ta dò ra thí dụ:

3² + 4² + 12² = 13²

Có một vấn đề là khi A + B = D thì luôn tốn tại: (A + B)² = D². Triển khai ra thì được:

A² + B² + 2AB = D²

Vậy thử hỏi rằng có khi nào chọn được C để cho:

C² = 2AB không?

Chúng ta trả lời một cách đanh thép rằng là… là… là… “không biết”, và quay ngoắt sang ngắm nghía dãy số lập phương cùng với những biểu thị về khoảng cách của nó:

Vì là dãy biến dạng tự nhiên nên dãy này cũng có qui luật của riêng nó. Nói chung, khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp của mọi dãy số lũy thừa đều là số lẻ tự nhiên và do đó, các khoảng cách của dãy lập phương cũng lập thành một dãy số lẻ, bắt đầu từ số 7. Dò la sơ bộ, chúng ta đoán rằng dãy số các khoảng cách này gồm chứa những số lẻ nguyên tố và số lẻ có ước ít nhất là 2 số nguyên tố lẻ (có thể là trùng nhau, như 169 = 13 x 13). Chẳng hạn:

hay:

Rất đẹp là dãy số của của dãy số các khoảng cách. Đó là một dãy số chẵn bắt đầu là số 12 và (6x2) và tăng lên theo qui luật 6xn (với n là số đếm hay là số thứ tự tự nhiên).

Một câu hỏi đặt ra là có thể thiết lập được:

A³ + B³ = C³

với A, B, C là những số tự nhiên hay không?

Toán học đã chứng minh được rằng biểu thức trên không bao giờ có nghiệm đúng

Nếu chúng ta có số lập phương là a³, thì số lập phương kế tiếp nó là (a+1)³. Nếu gọi b là khoảng cách giữa chúng thì có thể xác định được:

a³ + b = (a+1)³

hoặc

a³ – (b-6a) = (a+1)³

Cả hai biểu thức trên đều cho ra: b = 3a (a+1) + 1.

Theo dự đoán của chúng ta thì b hoặc là số nguyên tố, hoặc là một hợp số có hai ước là số nguyên lẻ. Chẳng hạn cho: a = 12 thì b = 469 = 7 x 67

a = 13 thì b = 547 (là số nguyên tố)

a = 19 thì b = 7 x 163

Dạng tổng quát của một dãy số lũy thừa là:

Một trong những vấn đề tưởng chừng đơn giản nhưng đã từng là hóc búa nhất của dãy lũy thừa là vấn đề: có thể tìm được ba số tự nhiên A, B, C nào đó để có được đẳng thức:

Aⁿ + Bⁿ = Cⁿ ?

Vấn đề đó được Fecma nêu ra và phát biểu thành định lý, được giới toán học gọi là “Định lý lớn Fecma” hay “Định lý cuối cùng của Fecma”, như sau: Với n>2 thì bài toán nêu trên không có nghiệm nguyên.

Chúng ta biết rằng khi n = 0 thì bài toán rõ ràng là vô nghiệm vì:

Khi n = 1 thì bài toán luôn nghiệm đúng:

Khi n = 2 thì bài toán có vô số nghiệm như chúng ta đã biết

Khi n>2 thì ngay từ thế kỷ XVII, Fecma đã đưa ra một tuyên bố gây sững sờ: “Sở dĩ không ai tìm được các nghiệm đó là bởi vì chúng không hề tồn tại”.

Định lý lớn Fecma và công cuộc nỗ lực tìm cách chứng minh nó trong suốt hơn 350 năm đã trở thành chuyện cực kỳ lôi cuốn trong lịch sử toán học. Chúng ta đã từng được “nghe” Simon Singh kể trong tác phẩm “Định lý cuối cùng của Fecma” của ông.

Bây giờ đến lượt chúng ta xin “hầu chuyện” lại cho những ai còn “yêu mến sự thông thái”. Nhưng cũng chỉ tóm tắt được thôi vì còn phải… leo núi Tu Di!

***

Fecma (Pierrre Fermat) sinh ngày 20-8-1601 tại Beaumont - de - Lonmagne, thuộc vùng Tây Nam nước Pháp. Cha ông là môt nhà buôn bán da giàu có nên có đủ khả năng cho ông được hưởng một nền giáo dục ưu đãi tại tu viện dòng Francisco ở Grandselve, rồi sau đó chuyển qua học tại trường Đại học tổng hợp Toulouse.

Áp lực gia đình đã hướng Fecma vào làm việc ở các cơ quan hành chính và vào năm 1631, ông được bổ nhiệm vào Pháp viện Toulouse. Fecma thăng tiến rất nhanh trên con đường công danh và trở thành một thành viên của giới thượg lưu. Sự thăng quan tiến chức này không phải là do tham vọng mà có thể là do ông đã thực hiện phận sự của mình một cách chu đáo và cũng do vấn đề sức khỏe. Hồi đó có một nạn dịch hoành hành khắp Châu Âu và những người sống sót đều được thăng chức để thay thế cho những người bị chết.

Không có những tham vọng chính trị lớn, cũng không muốn dính líu đến những lôi thôi, xáo trộn ở Pháp viện, Fecma chỉ cố gắng làm tròn phận sự và không muốn ai chú ý đến mình. Ngoài công việc hành chính, toàn bộ thời gian rảnh rỗi ông đều giành cho sở thích của mình là nguyên cứu toán học. Đối với Fecma nghiên cứu toán học chỉ đóng vai trò như một “nghề” nghiệp dư, chỉ nhằm thỏa mãn niềm đam mê và thích thú của riêng ông. Nhưng sau này, nhân loại đã phải bái phục những thành quả mà ông đã đem lại cho toán học. Chính vì điều này mà E.T. Bell gọi Fecma là “Ông hoàng Nghiệp dư”. Còn Julian Coolidge, khi viết cuốn “Toán học của các nghiệp dư vĩ đại”, đã loại Fecma ra với lý do Fecma “thực sự vĩ đại, nên phải xem ông là một người chuyên nghiệp”.

Vào đầu thế kỷ XVII, toán học mới bắt đầu phục hồi sau “đêm trường trung cổ” và vẫn chưa được coi trọng. Đa số các nhà toán học đều phải tự tổ chức lấy việc tìm tòi nghiên cứu của mình. Ví dụ, Galilê không thể nghiên cứu toán học tại Đại học Pisa và buộc phải tìm kiếm công việc dạy tư. Thực tế hồi đó ở Châu Âu chỉ có Đại học Oxford là nơi có sự khuyến khích toán học. Chính trường đại học này đã lập ra một chức vị giáo sư về hình học vào năm 1619. Có thể nói không ngoa rằng phần lớn các nhà toán học thế kỷ XVII đều là nghiệp dư, nhưng Fecma lại là một trường hợp đặc biệt. Sống ở xa Pari, ông hòan tòan cách biệt với cộng đồng các nhà toán học và có lẽ đầu mối tiếp xúc duy nhất với họ là thông qua một người mang tên Marin Mersenne.

Mersenne chỉ có đóng góp nhỏ cho lý thuyết số, nhưng vai trò của ông trong toán học thế kỷ XVII lại quan trọng hơn rất nhiều bất kỳ một đồng nghiệp được đánh giá cao nào. Sau khi gia nhập dòng thánh Minim vào năm 1611, cha Mersenne đã nghiên cứu toán học và dạy lại môn học này cho các tu sĩ khác tại tu viện Minim ở Nevers. Tám năm sau ông chuyển tới Pari, ở gần Palace Royal, một nơi tập trung giới trí thức thời đó. Ông đã gặp gỡ các nhà toán học ở Pari và cảm thấy rất buồn vì họ đã từ chối nói chuyện chuyên môn với ông và với nhau.

Bản tính ưa giữ bí mật của các nhà toán học Pari đã có truyền thống từ thế kỷ XVI và sau đó còn được duy trì đến tận cuối thế kỷ XIX, thậm chí là ở thế kỷ XX vẫn có những nhà toán học làm việc trong bí mật.

Khi linh mục Mersenne tới Pari, ông đã quyết định đấu tranh chống lại bản tính thích giữ bí mật và cố gắng khuyến khích các nhà toán học trao đổi những ý tưởng của họ với nhau và sử dụng các công trình của nhau. Ông đã tổ chức các cuộc gặp gỡ thường kỳ và nhóm của ông sau này chính là nòng cốt của Viện hàn lâm Pháp.

Những cuộc chu du khắp nước Pháp và xa hơn nữa đã giúp cho Mersenne phổ biến rộng rãi những tin tức về các phát kiến mới nhất. Trong những chuyến đi như thế, ông thường hẹn gặp Fecma. Ảnh hưởng của Mersenne đối với Ông Hoàng Nghiệp dư chắc chỉ đứng sau cuốn “Số học” (Arithmetica), một chuyên luận toán học được truyền tay từ thời cổ Hi Lạp và là “vật bất li thân” của Fecma.

Mặc dù có sự động viên của vị linh mục, Fecma vẫn nhất định không chịu tiết lộ những chứng minh của mình. Đôi khi ông liên lạc bằng thư từ với các nhà toán học khác, phát biểu những phát kiến, những định lý mới nhất của mình nhưng không gửi kèm theo chứng minh, rồi thách thức họ tìm ra chứng minh đó. Ông làm vậy chỉ cốt trêu chọc họ mà thôi. Việc Fecma không bao giờ tiết lộ những chứng minh của mình đã làm cho nhiều người rất bực mình. René Descartes đã gọi Fecma là “thằng cha khoác lác”, còn John Wallis thì gọi ông là “gã người Pháp chết tiệt”. Khi Blaise Pascal ép ông công bố một số công trình, Fecma đáp: “Bất cứ công trình nào của tôi cũng xứng đáng được công bố, nhưng tôi không muốn tên tôi xuất hiện ở đó”

Những cuộc trao đổi thư từ với pascal, một cơ hội duy nhất để Fecma thảo luận những ý tưởng của mình với một ai đó ngoài Mersenne, có liên quan đến sự sáng tạo ra cả một lĩnh vực mới của toán học - đó là lý thuyết xác suất. Thực ra đề tài này là do Pascal giới thiệu với Ông hoàng nghiệp dư ưa giữ bí mật, nên mặc dù muốn biệt lập, Fecma cũng cảm thấy có nghĩa vụ phải duy trì đối thoại. Fecma và Pascal đã tìm ra những chứng minh đầu tiên và những điều tuyệt đối chắc chắn trong lý thuyết xác suất, một lĩnh vực vốn mang tính bất định.

Ngoài việc cùng chia sẻ với Pascal quyền là cha đẻ của lý thuyết xác suất, Fecma còn tham gia rất sâu vào việc xây dựng nên một lĩnh vực khác của toán học, đó là toán giải tích. Toán giải tích cho phép chúng ta tính được tốc độ biến thiên, được biết như đạo hàm của đại lượng này đối với một đại lượng khác. Ví dụ, tốc độ biến thiên của quãng đường đối với thời gian, chính là vận tốc chuyển động.

Trong một thời gian dài, Isaác Newton được xem là người đã phát minh ra giải tích toán học một cách độc lập. Nhưng vào năm 1934, Louis Trenchard Moore đã phát hiện được một bản ghi chép, qua đó xác nhận một cách chắc chắn công lao của Fecma và trả lại cho ông vinh dự mà ông xứng đáng được hưởng. Trong bản ghi chép đó, Newton đã viết rằng ông phát triển giải tích toán của mình dựa vào “phương pháp vẽ tiếp tuyến của ông Fecma”.

Riêng những thành quả toán học về lý thuyết xác suất và giải tích toán học thôi, Fecma cũng đã có một vị trí xứng đáng trong ngôi đền tôn vinh các nhà toán học. Tuy nhiên, thành tựu lớn nhất của ông trong toán học lại ở lĩnh vực lý thuyết số - lĩnh vực có dạng thuần túy, cổ xưa nhất và có vẻ vô dụng nhất của toán học, được truyền lại từ thời Pitago. Fecma đã bị ám ảnh bởi mối liên hệ kỳ ảo giữa các con số và đã dành tình yêu say đắm nhất cho nó.

Sau khi Pitago qua đời, khái niệm chứng minh toán học đã được truyền bá rộng rãi, và hai thế kỷ sau khi trường học của ông bị đốt cháy thành bình địa thì trung tâm nghiên cứu toán học đã chuyển từ Croton tới thành phố Alexandria. Năm 332TCN, sau khi đã chinh phục được Hy Lạp, Tiểu Á và Ai Cập, Alexander Đại đế đã quyết định xây dựng nơi đây thành một kinh đô tráng lệ nhất thế giới.

Khi Alexander qua đời thì Ptolêmy, một người thân tín của ông ta lên ngôi ở Ai Cập và Alexandria lúc này mới có trường Đại học tổng hợp đầu tiên trên thế giới. Các nhà toán học và các nhà trí thức khác kéo đến thành phố chắc hẳn là bởi sự nổi tiếng của trường Đại học thu hút, nhưng sự thu hút lớn hơn lại là Thư viện Alexandria. Thư viện được thành lập theo ý tưởng của Demetrius Phalareus, một nhà hùng biện không mấy nổi tiếng. Có thời kỳ thư viện này tàng trữ được tới 600.000 cuốn sách. Các nhà toán học tới Alexandria có thể nghiên cứu và học hỏi mọi thứ từ những học giả nổi tiếng nhất. Người đầu tiên đứng đầu khoa toán ở Alexandria, không ai khác, chính là Ơclít.

Hai bộ sách làm nên vinh quang bất diệt cho nền toán học thời cổ đại là bộ gồm 13 tập có tên “Cơ sở” (hay còn được dịch là “Những nguyên lý”) của Ơclít và bộ cũng gồm 13 tập có tên “Số học” của Diophantus. Mặc dù Diophantus là một nhà toán học xuất chúng nhưng người ta vẫn không biết gì về thân thế ông mà chỉ ước đoán rằng ông sống vào khoảng năm 250.

Toàn bộ sự nghiệp của Diophantus ở Alexandra là dành cho việc thu thập những bài toán đã biết và sáng tạo thêm những bài toán mới, rồi sau đó biên soạn thành một bộ sách chuyên luận mang tên “Số học”. Trong số 13 tập làm nên bộ sách đó, chỉ còn 6 tập sống sót được qua những biến loạn thời Trung cổ và tiếp tục truyền cảm hứng cho các nhà toán học thời Phục hưng, trong đó có Fecma. Bảy tập khác bị thất lạc trong một loạt những sự kiện bi thảm đưa toán học trở về thời đại Babilon.

Trong suốt nhiều thế kỷ, Alexandra luôn đóng vai trò là kinh đô trí tuệ của thế giới. Trong khoảng thời gian đó có một lần Thư viện Alexandria bị xâm hại. Năm 47 TCN, Julius Caesar định lật đổ Cleopatra, đã tấn công thành phố, phóng hỏa thiêu hủy hạm đội Alexandria. Do ở gần cảng nên thư viện cũng bị cháy và hàng trăm ngàn cuốn sách đã bị thiêu rụi. Cleopatra là người rất coi trọng tri thức nên đã quyết định phục hồi Thư viện trở lại sự huy hoàng vốn có của nó. Mark Antony muốn làm vui lòng bà Nữ hoàng xinh đep, bèn lập tức hành quân tới thành phố Peramum, nơi đây đang xây dựng một thư viện lớn, chuyển toàn bộ số sách thu thập được ở đây về Ai Cập, để duy trì vị trí số 1 của Thư viện Alexandria.

Tuy nhiên, tới năm 389, Thư viện đó bị giáng đòn đầu tiên trong số hai đòn chí tử mà cả hai đều do sự cuồng tín tôn giáo. Hoàng đế theo đạo Thiên chúa là Theodosins đã ra lệnh cho Theophilus, tổng giám mục ở Alexandria, phá hủy tất cả các tượng đài phiếm thần giáo. Thật không may, trong thời gian Cleopatra cho phục hồi và sắp xếp lại kho sách Thư viện, bà đã quyết định cho chuyển sách vào đền Serapis và vì vậy mà trở thành đối tượng phải bị phá hủy. Những học giả phiếm thần giáo định cứu kho kiến thức vô giá của gần sáu thế kỷ đó nhưng không được vì ngay bản thân họ cũng bị băm nát bởi đám đông tín đồ Thiên chúa giáo. Bóng tối của “đêm trường trung cổ” bắt đầu phủ xuống.

Một số ít bản sao quí giá của những cuốn sách quan trọng nhất vẫn còn sót lại sau tai họa đó, cho nên các học giả vẫn tiếp tục tới Alexandria để tìm kiếm kiến thức. Nhưng vào năm 642, một cuộc tấn công của người Hồi giáo đã làm nốt phần còn lại mà người Thiên chúa giào chưa làm được. Khi được hỏi phải giải quyết thế nào đối với Thư viện, lãnh tụ Hồi giáo là Omar đắc thắng ra lệnh rằng những sách trái với kinh Coran đều phải bị tiêu hủy, còn những sách phù hợp với kinh Coran thì do quá dư thừa nên cũng phải tiêu hủy nốt. Thế là tất cả sách đều bị mang đi dùng vào việc đốt các lò sưởi ấm các nhà tắm công cộng. Sáu tập của bộ “Số học” còn lưu lại được sau những thảm kịch ở Alexandria, phải được cho là điều kỳ diệu.

Trong một thiên nhiên kỷ tiếp theo, toán học ở phương Tây gần như trong cảnh hoang tàn.

Bước ngoặt quan trọng đối với nền toán học phương Tây đã xảy ra vào năm 1453, khi mà người Thổ Nhĩ Kỳ tàn phá thành Constantinople. Trong những năm tháng trước đó, nhiều bản sách may mắn thoát được thảm họa bị tiêu hủy ở Alexandria đã được tập hợp về thành phố này. Trước mối đe dọa bị tiêu hủy một lần nữa, các nhà thông thái Byzantine bèn chạy trốn sang phương Tây và mang theo tất cả những gì mà họ còn giữ được. Những tập còn lại của bộ sách “Số học” quí giá nhờ thế mà cuối cùng cũng đã tới được Châu Âu.

Chỉ với phần còn lại của bộ “Số học” thôi, Diophatus cũng đã giới thiệu cho Fecma những kiến thức toán học của cả một ngàn năm trước đó. Fecma đã có thể tìm thấy trong đó toàn bộ kiến thức về các con số mà Pitago và Ơclit cùng với những người như họ xây dựng nên.

Có thể nói chính tác phẩm “Số học” đã khích lệ, truyền cảm hứng cho Fecma và dẫn dắt ông đi vào con đường say mê toán học. Nhưng thực ra tác phẩm đó không phải là bản gốc mà là bản dịch ra tiếng Latinh của Claude Gaspar Bachet de Méziriac, một người nổi tiếng là thông thái nhất nước Pháp hồi đó. Bachet đã cho xuất bản bản dịch đó vào năm 1621 và với nghĩa cử đó, ông đã góp phần tạo nên thời hoàng kim thứ hai của toán học.

Cuốn “Số học” này chứa 100 bài toán và mỗi bài toán đều được Diophatus đưa ra lời giải chi tiết. Việc nghiên cứu các bài toán và lời giải của Diophatus đã gợi ý cho Fecma suy nghĩ và giải các bài toán khác có liên quan và tinh tế hơn. Fecma thường ghi vắn tắt những gì mà ông thấy cần thiết, đủ để tin rằng ông đã nhìn thấy lời giải, thế thôi, chứ không bận tâm viết hết ra phần còn lại của chứng minh. Thường thì những ghi chép đó ông vứt vào sọt rác, rồi sau đó lại vội vã chuyển sang nghiên cứu bài toán khác. Thật may mắn đối với đời sau là bản dịch tác phẩm “Số học” được chừa lề rất hào phóng, nên đôi khi Fecma có thể viết vội những suy luật hoặc lời bình luận của mình ở ngay đó. Đối với nhiều thế hệ các nhà toán học, những ghi chép bên lề này, mặc dù khá hiếm hoi, nhưng là bản lưu vô giá những tính toán xuất sắc nhất của Fecma.

Khi nghiên cứu quyển II của bộ “Số học”, Fecma đi tới một loạt nhận xét, một loạt bài toán và lời giải có liên quan tới định lý Pitago và bộ ba các số Pitago. Trong quá trình tìm hiểu định lý Pitago và nghiên cứu sâu hơn với ý định thử xem mình có thể phát hiện ra điều gì đó mà người Hi Lạp còn bỏ sót hay không, và trong một khoảnh khắc bất chợt lóe sáng của thiên tài, khoảnh khắc đã làm cho Ông hoàng Nghiệp dư trở thành bất tử, Fecma đã tạo ra một phương trình mặc dù về hình thức chỉ như là một sự sửa đổi nhỏ nhặt phương trình Pitago, nhưng lại hoàn toàn vô nghiệm. Nghĩa là thay vì xét phương trình:

x² + y² = z²

Fecma đã tạo ra một biến thể của nó:

x³ + y³ = z³

Rồi sau đó Fecma còn tiếp tục thay đổi số mũ bằng những số lớn hơn 3 và phát hiện ra rằng việc tìm nghiệm của chúng là vô cùng khó khăn và theo ông thì dường như không có ba số nguyên nào thỏa mãn phương trình:

xⁿ + yⁿ = zⁿ, trong đó n = 3, 4, 5…

Thế rồi, bên lề, cạnh bài toán thứ 8 của cuốn “Số học”, Fecma đã ghi lại nhận xét của mình:

“Một số lập phương không được viết dưới dạng tổng của hai lập phương hoặc một lũy thừa bậc bốn không thể viết dưới dạng tổng của hai lũy thừa bậc bốn hay tổng quát, một số bất kỳ là lũy thừa bậc lớn hơn hai không thể viết dưới dạng tổng của hai lũy thừa cùng bậc”.

Như thế Fecma đã khẳng định rằng trong vũ trụ vô tận của các con số, không ở đâu có “bộ ba số Fecma”.

Điều đặc biệt là ngay sau đó, Fecma còn viết tiếp một câu nữa và chính nó đã làm “điên đầu” nhiều thế hệ các nhà toán học và ngay cả đối với những nhà toán học lỗi lạc, kiệt xuất nhất: “Tôi đã có một chứng minh thực sự tuyệt vời mệnh đề này, nhưng do lề quá hẹp nên không thể viết hết ra được”.

Phát kiến mà sau này trở nên cực kỳ lừng lẫy trong suốt hơn 350 năm đó đã xảy ra vào đầu sự nghiệp toán học của Fecma, tức vào khoảng năm 1637. Chừng 30 năm sau, trong khi đang thực thi công vụ ở thị trấn Castres, Fecma lâm bệnh nặng và qua đời vào ngày 12-1-1665. Do vẫn xa lánh trường phái toán học ở Pari nên những phát hiện toán học của ông có nguy cơ vĩnh viễn bị rơi vào quên lãng. Rất may là Clement Samuel, con trai đầu của Fecma, người đã đánh giá được ý nghĩa những nghiên cứu toán học nghiệp dư của cha mình, đã quyết định không để những kết quả nghiên cứu đó bị thất lạc. Ông này đã bỏ ra 5 năm trời để thu thập những ghi chép, những ghi chú vội vàng trên lề cuốn “Số học”, cũng như những thư từ của người cha và cho công bố chúng vào năm 1670.

Khi những ghi chép của Fecma đến với công chúng, người ta mới thấy rõ rằng, những bức thư mà ông gửi cho các đồng nghiệp của mình chỉ đơn thuần là những mẩu vụn vặt so với kho tàng những phát minh của ông. Những ghi chép riêng tư của ông chứa đựng cả một loạt những định lý, những đột phá xuất sắc trong lý thuyết số mà trong đó, nổi tiếng nhất là “Định lý lớn Fecma”. Nhưng định lý này hoặc không kèm theo một lời giải thích nào cả, hoặc chỉ có sự gợi ý khá mơ hồ về chứng minh ở phía sau nó. Hầu như Fecma chỉ để lại những đường nét sơ lược của quá trình suy luận đủ để các nhà toán học tin rằng quả thực là ông đã có những chứng minh, thế thôi.

Fecma từng tuyên bố rằng ông đã có trong tay những chứng minh cho mỗi nhận xét của mình và vì vậy đối với ông, chúng đều là những định lý. Tuy nhiên, chừng nào các nhà toán học còn chưa phát hiện lại được những chứng minh đó thì những nhận xét của Fecma vẫn chỉ được coi như những giả thuyết, do đó Định lý lớn Fecma, khi chưa được công nhận là đã được chứng minh, phải được gọi chính xác hơn với cái tên Giả thuyết lớn Fecma.

Hàng thế kỷ trôi qua, tất cả những nhận xét khác của Fecma đều đã được lần lượt chứng minh, duy chỉ còn Giả thuyết lớn Fecma là còn đứng đó như một khối kim cương cứng rắn, chưa ai công phá được. Cũng vì vậy mà giả thuyết này còn được gọi với cái tên “Định lý cuối cùng của Fecma” hay “Vấn đề cuối cùng của Fecma”.

Xét trên bình diện nào đó thì yêu cầu chứng minh được Giả thuyết lớn của Fecma không phải vì sẽ dẫn tới điều gì sâu sắc lắm, cũng như không giúp gì cho việc chứng minh các giả thuyết khác. Giả thuyết đã trở nên nổi tiếng và thu hút biết bao nhiêu trí tuệ và sức lực của nhiều thế hệ các nhà toán học đi tìm cách chứng minh nó chỉ bởi vì sau cái hình thức có vẻ đơn giản và rõ ràng của nó là cả một câu thách đố thuộc dạng hóc búa ghê gớm, khó giải nhất của toán học.

***

Ơle (Leonhard Euler, 1707 - 1783), được tôn vinh là một thiên tài toán học ở thế kỷ XVIII. Ông có một trực giác ghê gớm và một trí nhớ siêu phàm tới mức người ta nói rằng, ông có thể thực hiện những khối lượng tính toán rất lớn trong đầu mà không cần đặt bút viết ra giấy. Khắp châu Âu mọi người đều gọi ông là “sự hiện thân của giải tích”. Viện sĩ Viện hàn lâm Pháp tên là Francois Arago từng nói: “Ơle tính toán như là người ta thở, không hề nặng nhọc gì, hoặc như những con chim ưng nương theo gió vậy”.

Ơle sinh năm 1707 ở Basle, là con trai của một mục sư đạo Calvin có tên là Panl Euler. Mặc dù Ơle tỏ ra có tài năng thiên bẩm về toán học, nhưng cha của ông quyết định rằng ông phải học thần học để theo đuổi sự nghiệp một cha đạo. Ơle đã tuân theo, học thần học và tiếng Do Thái tại trường đại học Basle.

Thật may mắn cho Ơle, Basle lại là thành phố quê hương của dòng họ Bernoulli nổi tiếng. Đây là dòng họ có truyền thống toán học vì chỉ trong ba thế hệ đã sản sinh ra tám bộ óc thuộc hàng xuất sắc nhất châu Âu. Daniel Bernoulli và Nikolaus Bernoulli đều là bạn thân của Ơle. Hai người này đã nhận thấy trước mắt họ là một tài năng toán học đang dần biến thành nhà thần học tầm thường và họ đã van nài Paul Euler để cho Ơle thay chiếc áo thầy tu bằng những con số. Cha của Ơle đã từng là học trò của Bernoulli cha, tức Jakob Bernoulli, và rất kính trọng gia đình này, nên cuối cùng đã miễn cưỡng đồng ý cho Ơle, con trai ông dấn thân vào toán học thay vì đi giảng đạo.

Chẳng bao lâu sau, Ơle đã rời Thụy Sĩ để đến St. Peterburg, kinh đô của nước Nga Sa hoàng và bắt đầu sự nghiệp toán học lừng lẫy của mình ở đây. Thời gian tiếp theo, Ơle được Frederik Đại đế của nước Phổ mời tới làm việc tại Viện hàn lâm Berlin. Rồi ông lại quay về nước Nga dưới sự trị vì của Nữ hoàng Catherine, sống và làm việc trong những năm tháng cuối cùng của cuộc đời mình.

Một trong những thành tựu vĩ đại nhất của Ơle là sự phát triển phương pháp thuật giải. Mục đích của phương pháp này là nhằm giải các bài toán dường như là không giải được. Trong số đó là bài toán tiên đoán các pha của Mặt Trăng trong tương lai xa với độ chính xác cao.

Người ta có thể thiết lập các phương trình để xác định tác động tương hỗ giữa hai vật bất kỳ (thường gọi là “bài toán 2 vật”), nhưng không sao làm được điều đó nếu hiện diện một vật thứ ba (thường gọi là “bài toán ba vật” và cho đến nay, người ta vẫn chưa thể giải được chính xác bài toán này!). Trường hợp Mặt Trăng cũng chính là phải giải bài toán ba vật, vì ngoài tác động tương hỗ giữa Trái Đất và Mặt Trăng, còn xuất hiện tác động tương hỗ của Mặt Trời lên cả “hai vật” đó, gây ra hiện tượng nhiễu loạn đến quĩ đạo tương đối giữa các thiên thể đó.

Ơle nhận thấy rằng đối với thủy thủ đi biển thì không cần thiết phải biết pha của Mặt Trăng một cách tuyệt đối chính xác, mà chỉ cần với mức độ chính xác đủ để xác định vị trí của bản thân họ với sai số trong khoảng vài hải lý là được. Do vậy, Ơle đã phát triển các bước giải để tìm ra nghiệm tuy không thật hoàn hảo nhưng đủ độ chính xác theo yêu cầu thực tiễn. Các bước đó được gọi là thuật giải. Nó vận hành trước hết là nhận được một nghiệm thô, sau đó lại đưa nghiệm thô này trở lại thuật giải để nhận được một nghiệm tinh hơn nữa, cứ thế cho đến khi có nghiệm thỏa mãn mức độ chính xác theo yêu cầu của thực tiễn. Ông đã trao thuật giải này cho Bộ Hàng hải Anh Quốc và nhận được giải thưởng trị giá 300 bảng (đơn vị tiền tệ nước Anh). Đó là một khoản tiền có giá trị lớn thời bấy giờ.

Tài năng và thành tựu toán học của Ơle đã làm cho ông nổi danh khắp châu Âu như là người có thể giải được bất kỳ bài toán nào được đặt ra. Tuy nhiên, tinh thần say mê toán học và làm việc bền bỉ, không mệt mỏi ngay cả trong những hoàn cảnh éo le nhất của cuộc đời Ơle mới thực sự làm cho đời sau cảm phục, ngưỡng mộ.

Năm 1735, Viện Hàn Lâm Pari đặt ra giải thưởng dành cho ai giải được một bài toán thiên văn. Bài toán này hóc búa tới mức cộng đồng các nhà toán học đã đề nghị Viện Hàn Lâm cho phép họ kéo dài thêm vài tháng. Nhưng đối với Ơle thì sự kéo dài thời gian đó là không cần thiết. Ông đã nghiên cứu và giải bài toán đó liên tục trong ba ngày và đã dành được giải thưởng một cách xứng đáng. Tuy nhiên do điều kiện làm việc thiếu thốn và đầy căng thẳng nên Ơle đã phải trả giá là mù một mắt khi chưa đầy 30 tuổi.

Mất đi một con mắt, Ơle có nói vui rằng: “Bây giờ tôi sẽ ít bị phân tán tư tưởng hơn!”. Bốn mươi năm sau, con mắy còn lại của Ơle bị đục thủy tinh thể. Ông đã quyết định nhắm mắt tập viết nhằm hoàn thiện kỹ năng này trước khi bóng tối sập xuống, bao trùm lấy ông. Tuy nhiên, mấy tháng sau khi bị mù hoàn toàn, nét chữ của Ơle đã trở nên không thể đọc được nữa và Albert, con trai ông, đã phải làm thư ký cho ông.

Sau khi bị mù, Ơle vẫn tiếp tục sáng tạo toán học trong suốt 17 năm tiếp theo với năng suất thậm chí còn hơn cả trước đó. Các đồng nghiệp của ông cho rằng việc mất đi thị giác càng làm cho trí tưởng tượng của ông thêm mở rộng.

Năm 1776, một ca mổ đã được thực hiện và trong ít ngày, thị giác của Ơle dường như được phục hồi. Nhưng rồi do nhiễm trùng, ông lại bị bóng tối bao phủ trở lại. Không hề nản lòng, ông tiếp tục làm việc miệt mài thêm 7 năm nữa. Ngày 18-9-1783, một cơn đột quỵ đã cướp đi sinh mạng của Ơle.

Nhà toán học kiêm triết học, Huân tước Concordcet nói: “Ơle đã ngừng sống và ngừng tính toán”.

Có thể nói Ơle cũng là người đầu tiên tìm cách chứng minh Định lý cuối cùng của Fecma.

Chúng ta biết rằng phương trình Fecma chỉ viết đơn giản là:

xⁿ +yⁿ = zⁿ, trong đó n là số nguyên bất kỳ lớn hơn 2.

Nhưng thực ra phương trình đó biểu diễn một tập hợp vô số các phương trình:

x³ + y³ = z³

x⁴ + y⁴ = z⁴

x⁵ + y⁵ = z⁵

…

Lúc đầu, có lẽ Ơle đã băn khoăn tự hỏi liệu có thể chứng minh rằng một trong số các phương trình trên không có nghiệm nguyên rồi loại suy ra kết quả cho những phương trình còn lại hay không.

Với vấn đề nêu ra đó, Ơle đã gặp một sự khởi đầu thuận lợi khi ông phát hiện một đầu mối ẩn giấu trong những ghi chú nguệch ngoạc của Fecma. Mặc dù Fecma không viết ra chứng minh cho Định lý lớn Fecma, nhưng ông lại phác thảo lời giải đối với trường hợp n = 4 ở đâu đó trong cuốn “Số học” và gộp nó vào chứng minh của một bài toán hoàn toàn khác. Đó là một tính toán có phần đầy đủ nhất mà Fecma đã viết ra nhưng cũng rất mơ hồ. Dù sao thì nó cũng cho Ơle biết được đó là dạng đặc biệt của sự chứng minh bằng phản chứng, được gọi là “Phương pháp giảm vô hạn”.

Để chứng minh phương trình x⁴ + y⁴ = z⁴ vô nghiệm, Fecma bắt đầu với giả thuyết rằng nó có một nghiệm là:

x = X₁; y = Y₁; z = Z₁.

Sau khi khảo sát các tính chất của X₁, Y₁, Z₁, Fecma có thể chứng minh được rằng nếu nghiệm giả định này tồn tại thì sẽ phải có một nghiệm nhỏ hơn là X₂, Y₂, Z₂. Sau đó, bằng cách xem xét nghiệm mới này, Fecma lại chứng minh được rằng phải có một nghiệm mới nhỏ hơn nữa là X₃, Y₃, Z₃, và cứ như vậy mãi. Tuy nhiên các số x, y, z là các số tự nhiên nên lại không thể “xuống thang” như thế đến vô tận được, nghĩa là phải có một nghiệm nhỏ nhất. Sự mâu thuẫn này chứng tỏ giả thuyết ban đầu là sai. Vậy, phương trình x⁴ + y⁴ = z⁴ là vô nghiệm.

Ơle đã thử dùng kết quả này như một điểm xuất phát để xây dựng chứng minh tổng quát cho tất cả các phương trình khác. Trước hết ông quyết định xây dựng chứng minh cho trường hợp n = 3.

Để mở rộng chứng minh của Fecma trong trường hợp n = 4 sang n = 3, Ơle đã phải sử dụng đến số ảo (số i, với i² = -1). Số ảo ra đời vào thế kỷ XVI, khi nhà toán học người Ý tên là Rafacllo Bombelli đã vấp phải câu hỏi khó lòng trả lời được là:

bằng bao nhiêu, và ông đã chọn giải pháp là tạo ra một số mới. Nhà toán học người Đức ở thế kỷ XVII là Gottfried Leibniz đã mô tả bản chất của số ảo như sau: “Số ảo là một sự trợ giúp tuyệt đẹp và kỳ diệu của Chúa. Nó là loài lưỡng cư giữa tồn tại và không tồn tại!”.

Số ảo ra đời là một tất yếu toán học nhằm đảm bảo tính đầy đủ của Vũ trụ số. Nhờ có nó mà nhiều bài toán trước đó không thể công phá nổi đã được giải quyết.

Thực ra trong quá khứ, nhiều nhà toán học đã thử áp dụng phương pháp giảm vô hạn cho trường hợp n = 4 để chứng minh tổng quát Định lý lớn Fecma, nhưng mọi ý định mở rộng phép chứng minh đó đều dẫn tới lỗ hổng lôgíc. Bằng cách đưa số ảo vào chứng minh của mình, Ơle đã thành công đối với trường hợp n = 3. Ngày 4-8-1753, trong một bức thư gửi cho nhà toán học Gônbách, Ơle thông báo rằng ông đã áp dụng phương pháp giảm vô hạn của Fecma và đã hoàn tất chứng minh trong trường hợp n = 3. Thế là sau 100 năm, công cuộc chứng minh Định lý lớn Fecma đã tiến được một bước.

Tuy nhiên, chứng minh của Ơle lại không lặp lại được đối với các trường hợp khác. Mọi nỗ lực của ông nhằm làm cho hệ thống lập luận của mình áp dụng được đến vô hạn đều kết thúc thất bại. Vậy là người đã sáng tạo ra tri thức toán học nhiều hơn bất kỳ ai khác trong lịch sử, dù đã làm được một bước đột phá quan trọng, thì cũng đành bất lực trước thách thức của Fecma.

Mặc dù mới chứng minh được cho trường hợp n = 3 và n = 4 thì coi như các nhà toán học đã chứng minh được hàng loạt các trường hợp có n = 8, 12, 16, 20… hay n = 6, 9, 12, 15… vì lẽ đơn giản là một số lũy thừa bậc tám (hoặc bậc sáu) thì cũng coi như một số bình phương có lũy thừa bậc bốn (hoặc bậc ba). Thí dụ:

2⁸ = (2²)⁴ = 4⁴

Chứng minh cho trường hợp n = 3 có tầm quan trọng đặc biệt vì 3 là số nguyên tố. Các số nguyên tố là những viên gạch số hay cũng có thể được coi là những nguyên tử của số hợp, bởi vì tất cả các số khác đều được tạo dựng bằng tích của các số nguyên tố. Các nhà toán học đã xác định rằng để chứng minh Định lý lớn Fecma đối với mọi giá trị n, chỉ cần chứng minh nó đối với các trường hợp n là số nguyên tố.

Nhưng than ôi, Ơclít đã chứng minh các số nguyên tố là vô hạn!...

***

Vào đầu thế kỷ XIX, Định lý lớn Fecma đã tự khẳng định chắc nịch là bài toán nổi tiếng hóc búa nhất trong lý thuyết số, kể từ khi có đột phá đầu tiên của Ơle đến lúc đó, hầu như không còn bước tiến nào nữa trong việc chứng minh nó.

Trong tình hình đó, có một người phụ nữ đã lên tiếng và làm trỗi dậy niềm say mê theo đuổi tìm kiếm chứng minh được coi như đã mất của Fecma. Người phụ nữ đó có tên là Sophie Germain. Sống trong một thời đại vẫn còn định kiến trọng nam khinh nữ, để có thể tiến hành nghiên cứu, bà đã buộc phải cải trang thành nam giới, phải học tập trong những điều kiện tồi tệ và làm việc trong sự cô lập về trí tuệ.

Trong nhiều thế kỷ, phụ nữ không được khuyến khích nghiên cứu toán học. Mặc dù vậy, nhiều phụ nữ vẫn dấn thân vào con đường toán học, chống lại thói tục đó và vĩnh viễn được khắc ghi tên tuổi của mình vào biên niên sử toán học.

Nhà toán học nữ đầu tiên mà thế giới còn biết đến là Theano ở thế kỷ VI TCN. Bà lúc đầu là học trò của Pitago rồi sau đó là một trong số những môn đệ gần gũi nhất và cuối cùng đã trở thành vợ ông. Pitago nổi tiếng là một “triết gia luôn đấu tranh cho phụ nữ”, bởi vì ông thực sự khuyến khích các học giả là nữ. Theano chỉ là một trong số 28 người nữ trong Hội ái hữu.

Tới thế kỷ IV TCN, con gái của giáo sư toán học ở Đại học Alexandria, tên là Hypatia đã trở thành nhà toán học nổi tiếng với những bài giảng cho công chúng rộng rãi nhất và cũng vì bà thuộc số những người giải toán kiệt xuất nhất thời đó. Những nhà toán học bị bế tắc hàng tháng trước một bài toán cụ thể nào đó đều viết thư cho bà để tìm kiếm lời giải và bà rất hiếm khi làm cho những người khâm phục bà phải thất vọng. Bà cũng là nhà nữ toán học đầu tiên lập trường học riêng có ảnh hưởng của mình. Bà đam mê toán học và các quá trình chứng minh lôgíc tới mức khi được hỏi vì sao không lấy chồng, bà đã trả lời rằng bà đã kết hôn với chân lý. Cuối cùng, sự hiến dâng hoàn toàn cho sự nghiệp duy lý của Hypatia đã đưa bà đến một cái chết thật bi thảm trong cuộc đàn áp của Cyril, Đức giám mục xứ Alexandria đối với các nhà toán học, triết học và khoa học khác mà ông ta coi là dị giáo. Nhà lịch sử học Edward Gibbon đã mô tả cảnh tượng Hypatia bị giết chết như sau:

“Trong một ngày định mệnh, vào Mùa Chay, Hypatia bị kéo ra khỏi chiếc xe của bà, bị lột trần truồng, kéo lê đến nhà thờ và bị hành quyết dã man bởi gã đọc kinh Pierre và một lũ cuồng tín man rợ, tàn nhẫn. Chúng dùng những vỏ sò sắc nhọn để róc thịt bà và tung những cẳng tay cẳng chân còn run rẩy của bà vào ngọn lửa”.

Mãi tới thời Phục hưng mới xuất hiện một người phụ nữ khác làm cho tên tuổi của mình nổi lên trên danh nghĩa là nhà toán học. Đó là Maria Agnesi, sinh năm 1718 ở Milan, nước Ý. Cũng như Hypatia, bà cũng là con gái của một nhà toán học. Agnesi được thừa nhận là một trong số những nhà toán học tinh tế nhất châu Âu và đặc biệt, bà nổi tiếng là nhờ công trình về tiếp tuyến của các đường cong. Mặc dù mọi người đều thừa nhận tài năng của Agnesi, nhưng nhiều cơ quan học thuật, nhất là Viện Hàn lâm Pháp, đều từ chối không dành cho bà một vị trí nghiên cứu chính thức nào. Sự phân biệt chống lại phụ nữ đã được thể chế hóa này vẫn tiếp tục duy trì cho tới tận thế kỷ XX, khi mà bà Emmy Noether, người đã được Anhxtanh (Einstein) mô tả là “một thiên tài toán học sáng tạo quan trọng nhất đã được sản sinh ra cho tới nay kể từ khi nền giáo dục cao cấp bắt đầu dành cho phụ nữ”, đã bị từ chối chức phó giáo sư ở Đại học Gottingen.

Trong số tất cả các nước châu Âu thì Pháp là nước có thái độ phân biệt đối xử nặng nề nhất đối với phụ nữ có học vấn, trong suốt phần lớn thế kỷ XVIII và XIX. Tuy vậy, vẫn có một người phụ nữ dám vượt qua khỏi những ràng buộc bất công này của xã hội Pháp để vươn lên xác lập cho mình một vị trí vững vàng trong hàng ngũ những nhà lý thuyết số cự phách. Đó chính là nhà toán học Sophia Germain. Bà đã tạo ra một cuộc cách mạng trong việc nghiên cứu Định lý lớn Fecma.

Sophia Germain sinh ngày 1-4-1776 và là con gái một thương gia thành đạt về mặt tài chính nhưng không thuộc giới quí tộc. Sự kiện làm thay đổi hẳn cuộc đời bà đã xảy ra vào một ngày khi bà đang duyệt qua thư viện của người cha và tình cờ bắt gặp cuốn “Lịch sử toán học” của Jean-Etienne Montuela. Chương sách đã hút hồn bà là một tiểu luận của Montuela về cuộc đời của Ácximét (Archimedes) và gây ấn tượng đặc biệt cho bà là câu chuyện xung quanh cái chết của Ácximét.

Ácximét suốt đời sống ở Syracuse và nghiên cứu toán học trong một bối cảnh tương đối thanh bình. Nhưng vào những năm cuối ở tuổi thất tuần thì sự bình yên ấy bị phá vỡ bởi sự xâm lăng của Đế quốc La Mã. Truyền thuyết kể rằng khi chỗ của Ácximét đã bị xâm chiếm thì ông vẫn không hay biết và do đang quá mải mê nghiên cứu các khối hình học vẽ trên cát nên ông đã không trả lời câu hỏi của một tên lính La Mã và bị tên này rút kiếm đâm chết.

Germain nghĩ rằng nếu có ai đó đã say mê hình học đến mức bị đâm chết thì toán học hẳn phải hấp dẫn nhất trên đời. Thế là bà bèn ngay lập tức tiến hành tự học cơ sở của lý thuyết số và giải tích toán. Chẳng bao lâu sau, Germain đã phải thức rất khuya để nghiên cứu các công trình của Ơle và Niutơn.

Niềm say mê toán học lạ lùng ở người con gái làm cha mẹ của bà hết sức lo lắng. Nghe theo lời khuyên của một người bạn, cha của Germain đã tịch thu nến, dẹp bỏ lò sưởi để mong làm nản chí học toán của bà. Bà đã đối phó lại bằng cách bí mật cất giấu nến, quấn khăn trải giường quanh mình để chống rét và tiếp tục nghiên cứu. Tinh thần say mê nghiên cứu toán học của Germain rốt cục cũng đã khuất phục được cha mẹ của bà. Họ đành chiều theo ý con gái, để cho bà tiếp tục theo đuổi điều mình yêu thích. Sau này, Germain không lấy chồng và người cha đã cung phụng hoàn toàn cho bà trên bước đường hiến dâng đời mình cho toán học.

Trong nhiều năm, Germain phải tiếp tục nghiên cứu trong sự đơn độc hoàn toàn, vì trong gia đình không có ai là nhà toán học để có thể giới thiệu với bà những ý tưởng mới nhất, còn các ông thầy toán thì từ chối, không muốn hướng dẫn bà một cách nghiêm túc.

Vào năm 1794, trường Đại học Bách khoa được mở ở Pari nhằm mục đích đào tạo các nhà toán học và khoa học xuất sắc cho quốc gia. Tuy nhiên trường này chỉ dành cho nam giới. Để vào học được trường này, Germain đã quyết định mạo danh một cựu học sinh là Antoine - August Le Blanc. Phòng hành chính của nhà trường không hề hay biết rằng Le Blanc thực đã rời khỏi Pari nên vẫn tiếp tục gửi giáo trình và bài tập cho anh ta. Germain đã phải xoay sở để nhận được những thứ đó và mỗi tuần lại phải gửi lời giải đáp các bài tập dưới cái tên Le Blanc. Mọi thứ đều diễn ra suông sẻ cho tới vài tháng sau, khi giáo sư Joseph - Louis Lagrange không thể không nhận thấy sự xuất sắc trong các lời giải của anh chàng Le Blanc. Đó là những lời giải không chỉ tỏ ra cực kỳ thông minh mà còn chứng tỏ sự tiến bộ ghê gớm của một sinh viên trước đó vốn nổi tiếng là dốt. Lagrange, một trong số những đỉnh cao toán học của thế kỷ XIX, đã yêu cầu được gặp cậu sinh viên có nhiều tiến bộ này và Germain buộc phải tiết lộ nhân thân của mình. Lagrange kinh ngạc nhưng hài lòng khi gặp người phụ nữ trẻ, rồi sau đó ông trở thành thầy hướng dẫn và là bạn của bà.

Germain ngày càng tự tin hơn, từ việc giải các bài toán trong sách bài tập, bà đã chuyển sang nghiên cứu những lĩnh vực còn chưa được khám phá của toán học. Điều quan trọng nhất là Germain bắt đầu quan tâm sâu hơn đối với lý thuyết số và tất nhiên là không thể không chú ý tới Định lý lớn của Fecma. Bà đã làm việc với bài toán hóc búa này trong suốt vài ba năm và cuối cùng đã đạt đến giai đoạn mà bà tin rằng mình đã tạo được một bước đột phá quan trọng. Lúc này Germain rất cần thảo luận những ý tưởng của mình với một đồng nghiệp nào đó giỏi thực sự về lý thuyết số và bà, vốn dĩ là người có tính quyết đoán, quyết định phải đi thẳng tới đỉnh cao, xin ý kiến của nhà lý thuyết số vĩ đại nhất thế giới. Đó chính là nhà toán học người Đức, có tên là Gauxơ (Card Friedrich Gauss), được thừa nhận là một trong số những nhà toán học xuất sắc nhất đã từng sống trên đời; và được gọi là “Ông hoàng toán học”.

Khi Germain viết thư cho Gauxơ thì bà vẫn đang ở độ tuổi 20 và mặc dù đã có tiếng tăm ở Pari thì bà vẫn e ngại người đàn ông vĩ đại đó coi thường phận đàn bà của mình, cho nên lại một lần nữa bà lại mạo danh Le Blanc khi ký tên dưới những bức thư gửi cho Gauxơ.

Đối với việc tìm kiếm chứng minh Định lý lớn Fecma, Germain đã áp dụng một chiến lược mới và bà đã mô tả cho Gauxơ cách tiếp cận tổng quát bài toán. Nói một cách khác, mục đích trước mắt của Germain không phải là chứng minh một trường hợp cụ thể nào đó mà là nói được một điều gì đó về nhiều trường hợp ngay một lúc. Trong những bức thư gửi cho Gauxơ, Germain đã phác thảo những tính toán tập trung vào số nguyên tố p đặc biệt sao cho 2p + 1 cũng là một số nguyên tố. Bảng liệt kê các số nguyên tố này có chứa số 5 vì 11 = 2 x 5 + 1 cũng là một số nguyên tố, nhưng nó không chứa số 13 vì 27 = 2 x 13 + 1 không phải là số nguyên tố.

Tiếp theo đó, Germain đã dùng lập luận để chứng tỏ rằng, đối với các giá trị của n là các số nguyên tố mà bà đã liệt kê bằng cách như trên, rất có thể không tồn tại nghiệm của phương trình xⁿ+yⁿ=xⁿ, vì nếu có nghiệm thì các số x, y, z sẽ phải là bội số của n và điều này đặt ra một hạn chế rất ngặt nghèo đối với bất cứ một nghiệm nào. Nhiều đồng nghiệp của Germain đã xem xét kỹ lưỡng từng số một trong bảng liệt kê các số nguyên tố của bà nhằm chứng minh rằng x, y, z không thể là bội số của n và do đó mà chứng minh được với những giá trị cụ thể đó, phương trình Fecma vô nghiệm.

Năm 1825, phương pháp của Germain nhận được thành công đầu tiên nhờ hai nhà toán học Dirichlet và Legendre độc lập nhau, cùng chứng minh được cho trường hợp n = 5 là không có nghiệm.

Mười bốn năm sau, một nhà toán học Pháp khác tên là Gabriel Lamé đã có những bổ sung tài tình cho phương pháp của Germain và đã chứng minh được trường hợp n = 7, phương trình Fecma cũng vô nghiệm.

Mặc dù không có những đóng góp thêm nữa cho việc chứng minh Định lý lớn Fecma, nhưng Germain lại nổi lên như một khuôn mặt xuất sắc trong lĩnh vực toán - lý. Đóng góp quan trọng nhất của bà trong lĩnh vực này là “Luận về dao động của các tấm đàn hồi”. Đóng góp đó đã đặt nền móng cho lý thuyết đàn hồi hiện đại.

Do công trình nói trên và công trình về Định lý lớn Fecma, Germain đã được Viện Pháp quốc trao huy chương và là người phụ nữ đầu tiên được dự nghe giảng tại Viện Hàn Lâm khoa học Pháp mà không phải với tư cách là vợ của một viện sĩ.

Vào những năm tháng cuối đời, bà có nối lại mối quan hệ với Gauxơ, lúc này ông đã là giáo sư thiên văn học tại trường Đại học Gottingen, Gauxơ đã thuyết phục được trường Đại học này tặng cho bà bằng danh dự nhưng đáng tiếc là chưa kịp nhận vinh dự đó thì bà đã qua đời vì ung thư vú.

Sau đột phá của Sophia Germain, Viện hàn lâm khoa học Pháp đã đặt ra một loạt giải thưởng bao gồm huy chương vàng và 30.000 franc (tiền tệ Pháp) cho nhà toán học nào đi được đến cùng trong việc khám phá bí mật của Định lý lớn Fecma. Thế rồi vào ngày 1-3-1847, Viện Hàn lâm Pháp đã tổ chức một cuôc họp liên quan tới giải thưởng này mang đầy kịch tính nhất mà người ta từng biết.

Đầu tiên là Gabriel Lamé, người chứng minh được cho trường hợp n = 7 trước đây, đã bước lên diễn đàn trước các nhà toán học xuất sắc nhất thời đó và tuyên bố rằng ông đã sắp sửa chứng minh xong Định lý lớn Fecma. Ông thừa nhận rằng chứng minh đó còn chưa hoàn tất, nhưng ông đã vạch ra được những nét chính và lạc quan tiên đoán rằng chỉ trong vài tuần tới sẽ công bố chứng minh hoàn chỉnh của mình trong tạp chí của Viện Hàn Lâm.

Toàn bộ cử tọa chưa hết sững sờ thì ngay khi Lamé rời diễn đàn, một nhà toán học xuất sắc khác của Pari hồi đó là Augustin Louis Cauchy, đã lên tuyên bố rằng ông cũng đang tiến hành nghiên cứu theo đường hướng tương tự như Lamé và cũng sắp sửa công bố một chứng minh hoàn chỉnh.

Chỉ ba tuần sau khi tuyên bố tại cuộc họp của Viện hàn Lâm, cả hai nhà toán học đã nộp cho Viện Hàn Lâm hai phong bì gắn xi kín mít. Thông lệ hồi đó là như vậy, để nếu sau này nếu xảy ra tranh chấp về nguồn gốc của những ý tưởng ban đầu thì nội dung trong những phong bì này sẽ là bằng chứng để xác định ai là người đưa ra trước.

Mọi người thấp thỏm chờ đợi suốt tháng tư và rồi cuối cùng thì cả Cauchy và Lamé cũng công bố những chi tiết chứng minh nhưng còn nhiều úp mở và mơ hồ trong kỷ yếu của Viện Hàn Lâm khoa học Pháp.

Nhưng sau đó, ngày 24-5, thật bất ngờ là người trình bày trước Viện Hàn Lâm lần này không phải là Cauchy, cũng không phải là Lamé, mà là Joseph Liouvilie, và Liouvillie đã làm cho cử tọa choáng váng khi đọc nội dung bức thư của nhà toán học người Đức tên là Ernst Kummer.

Kummer là nhà lý thuyết số thuộc đẳng cấp cao nhất. Câu chuyện đang xảy ra ở Viện Hàn lâm Pháp lúc đó được ông biết rất rõ, đọc rất kỹ tập kỷ yếu của Viện này và phân tích những chi tiết ít ỏi mà Cauchy và Lamé đã tiết lộ. Qua đó Kummer đã hiểu rằng hai nhà toán học Pháp chắc chắn đang tiến vào một ngõ cụt về lôgic và ông đã trình bày những lý lẽ của mình trong bức thư gửi cho Liouville.

Theo Kummer, vấn đề căn bản ở đây là chứng minh của Lamé và Cauchuy đều dựa trên việc dùng một tính chất của các số nguyên có tên là “Phân tích tiêu chuẩn” (đây chính là Định lý cơ bản của số học mà chúng ta đã đề cập tới trong trường hợp số tự nhiên; Ơclít đã phát hiện và chứng minh nó từ thế kỷ IV TCN).

Việc dựa vào phân tích tiêu chuẩn có nghĩa là coi sự phân tích một số nguyên thành tích của các số nguyên tố nào đó là duy nhất. Chẳng hạn có số 12 thì chỉ có một dạng phân tích duy nhất là:

Mặc dù phân tích tiêu chuẩn là đúng đối với số nguyên thực nhưng Kummer chỉ ra rằng, không nhất thiết nó cũng đúng khi có sự góp mặt của số nguyên ảo. Vì khi đó dựa trên hằng đẳng thức

mà số 12 còn được phân tích thành:

Nghĩa là tính duy nhất của phân tích tiêu chuẩn bị phá vỡ.

Vì có liên quan đến số ảo nên chứng minh của Cauchy lẫn Lamé đã bị sự đổ vỡ của phân tích tiêu chuẩn làm hư hại nghiêm trọng. Cái sai chết người trong chứng minh của hai nhà toán học Pháp là ở chỗ đó.

Bức thư của Kummer đã tác động ghê gớm tới Lamé. Lamé đã nhận thức được sai lầm của mình một cách có phần ngượng ngùng. Ông đã viết thư cho Dirichlét, một đồng nghiệp của ông ở Beclin: “Nếu chỉ cần anh ở Pari hoặc là tôi ở Beclin thì tất cả những chuyện này đã không xảy ra”.

Còn Cauchy thì vẫn chưa chịu thất bại ngay. Trong một vài tuần tiếp theo, ông vẫn tiếp tục công bố những bài báo về đề tài này. Tuy nhiên, đến cuối mùa hè thì Cauchy cũng im hơi tắt tiếng luôn.

Hơn nữa, Kummer đã chứng tỏ được rằng, một chứng minh hoàn chỉnh Định lý lớn Fecma là nằm ngoài mọi cách tiếp cận toán học hiện có. Đây là một công trình xuất sắc về lôgic toán, đồng thời lại cũng là một đòn nặng nề giáng xuống đầu cả một thế hệ các nhà toán học đang nuôi hy vọng giải quyết được bài toán hóc búa nhất thế giới.

Sau công trình của Kummer, niềm hy vọng tìm ra chứng minh cho Định lý lớn Fecma trở nên… thất vọng hơn bao giờ hết. Dù bài toán này vẫn chiếm một vị trí đặc biệt trong trái tim các nhà lý thuyết số, song dường như họ đã nhìn nhận nó như sự thách đố “giả kim thuật” trong lĩnh vực hóa học đã để lại trong quá khứ biết bao nhiêu khát vọng cuồng nhiệt mà cũng có phần điên rồ.

Nhưng đến năm 1908, một nhà công nghiệp trẻ người Đức tên là Paul Wolfskehl, trong một trường hợp lạ lùng, đã vô tình thắp lại ngọn nến hy vọng cho việc tìm câu trả lời cho thách đố cuối cùng của Fecma. Paul đã học toán tại trường đại học và tuy dành hầu hết thời gian cho việc xây dựng đế chế buôn bán giàu có của gia đình, ông vẫn duy trì quan hệ với các nhà toán học chuyên nghiệp. Đặc biệt, dù không có năng khiếu thiên bẩm về toán học nhưng Paul vẫn say mê lý thuyết số và tìm hiểu sâu những công trình có liên quan đến Định lý lớn Fecma.

Câu chuyện bắt đầu từ việc một người đàn bà mà danh tính cho đến nay vẫn chưa ai biết đã từ chối tình yêu của Paul. Quá thất vọng vì bị phụ tình, Paul quyết định tự tử. Là một người đàn ông say đắm nhưng không nông nổi, Paul đã trù định kế hoạch kỹ lưỡng cho cái chết của mình, Paul giải quyết tất cả những công việc kinh doanh còn tồn đọng, chọn ngày để tự sát. Vào ngày đó, ông quyết định viết chúc thư, soạn thảo thư từ cho gia đình và tất cả bạn bè thân thiết, chọn đúng thời điểm là 12 giờ đêm sẽ dùng súng tự bắn vào đầu mình.

Tuy nhiên sau khi đã giải quyết mỹ mãn mọi việc trong ngày thì khoảng thời gian từ đó đến nửa đêm vẫn còn dài. Trong lúc chờ đợi thời gian trôi qua, Paul lục lọi tủ sách và xem lại các tài liệu toán học. Một lúc sau, Paul bị cuốn hút vào công trình kinh điển của Kummer giải thích sai lầm của Cauchy và Lamé. Ông lần theo từng dòng một trong tính toán của Kummer và đột nhiên phát hiện thấy một chỗ có vẻ như thiếu lôgíc, có vẻ như Kummer đã đưa ra một giả thuyết và đã phạm sai lầm trong một bước lập luận. Paul vô cùng băn khoăn không biết là ông đã khám phá ra được một sai lầm nghiêm trọng trong công trình của Kummer hay Kummer vẫn đúng. Và lòng say mê toán học đã làm ông ngồi xuống, xem xét kỹ lại đoạn chứng minh hình như chưa thỏa đáng, đắm chìm vào việc phát triển một chứng minh phụ. Chứng minh phụ này hoặc sẽ cứu vãn công trình của Kummer hoặc làm cho công trình đó trở nên vô giá trị. Công việc chứng minh của Paul hoàn thành xong thì trời cũng đã hừng sáng: thời điểm được chọn để tự sát của ông đã qua từ lúc nào rồi.

Paul xé những lá thư vĩnh biệt, viết lại di chúc dưới ánh sáng của những gì đã diễn ra vào đêm hôm trước.

Như vậy là từ Paul, một thông tin vừa buồn vừa vui và dù xấu hay tốt thì cũng chứa chan một hy vọng: chứng minh của Kummer đã phạm phải một sai lầm và vì thế việc tìm ra chứng minh cho Định lý lớn Fecma vẫn còn khả năng.

Sau đó Paul mất (cũng trong năm 1908). Khi mở chúc thư của Paul, gia đình của ông đã bị sốc khi biết rằng ông đã để lại một phần lớn tài sản, gồm 100.000 mác (tiền tệ Đức, ngày nay tương đương khoảng gần 2 triệu đôla, lớn hơn cả giá trị giải Nobel) làm giải thưởng trao tặng cho ai có thể chứng minh được Định lý cuối cùng của Fecma. Người ta đã đặt tên cho giải thưởng là “Giải thưởng Wolfskehl”.

Giải thưởng này bắt đầu có hiệu lực từ ngày 27-6-1908 và được qui định hạn chót dự thi là ngày 13-9-2007, tức là có thời hạn đến 100 năm!

Giải thưởng Wolfskehl nhanh chóng được thông báo trên tất cả các tạp chí toán học và tin tức về cuộc thi cũng nhanh chóng lan khắp châu Âu. Dù giải thưởng này đã không tạo được sự quan tâm đặc biệt của các nhà toán học nghiêm túc (vì đa số họ đã coi trả lời thách đố của Fecma là điều vô vọng, chẳng dại gì mà lãng phí sự nghiệp vào đó), nhưng đã thành công trong việc giới thiệu bài toán đến rộng lớn công chúng yêu thích toán học.

Trong vài tuần lễ đầu khi thông báo giải thưởng đó, cả một dòng thác các bài dự thi đổ về Đại học Gottingen. Chẳng có gì ngạc nhiên là tất cả những chứng minh đó đều sai và sai… đủ kiểu: ngây thơ, ngớ ngẩn, mắc bẫy, ngộ nhận… Các nhà toán học không chuyên trước một bài toán có hình thức tưởng đơn giản và một giá trị giải thưởng lớn lao, đều mơ ước rằng họ sẽ có thể may mắn tìm ra một ý tưởng giải mã dung dị không ngờ nào đó mà các giáo sư toán học cỡ lớn của quá khứ đã vô tình chưa phát hiện được.

Thế là việc chứng minh Định lý lớn Fecma lại một lần nữa trở thành bài toán không những nổi tiếng nhất châu Âu mà cả toàn thế giới. Thách đố của Ông hoàng nghiệp dư vang lên từ năm 1670, đã làm “điên cái đầu” biết bao nhiêu các thế hệ toán học, đã làm thúc thủ biết bao nhiêu nhà toán học tiếng tăm lừng lẫy một thời, đã làm cho ngay cả Ông hoàng toán học Gauxơ dù bề ngoài tỏ ra không đếm xỉa đến nó nhưng chắc rằng đã từng “quyết đấu” với nó một cách không công khai và đã phải chào thua, đã làm cho cả một nền toán học dù đã có được nền nhận thức vượt trội hơn rất nhiều so với nền toán học của thế kỷ XVII đã lùi xa vào quá khứ đến hơn 300 năm, cũng chịu bất lực. Cho đến tận những thập niên cuối của thế kỷ XX, thách đố ấy vẫn kiêu hãnh như một bí ẩn lớn nhất của lý thuyết số.

***

Andrew Wiles sinh ra và lớn lên ở thành phố Cambridge, nước Anh. Năm 1963, lúc mới lên 10 tuổi, Wiles đã rất mê toán.

Một lần trên đường từ trường về nhà, Wiles quyết định ghé vào thư viện thành phố nằm trên phố Milton Road và vớ phải cuốn sách chỉ có một bài toán nhưng lại thiếu lời giải. Đó là cuốn sách có tựa đề “Bài toán cuối cùng” của tác giả Eric Temple Bell. Ba mươi năm sau lần đầu tiên đọc cuốn sách của Bell, Wiles đã kể lại cảm giác của ông lúc đó: “Nó nhìn khá đơn giản, thế mà tất cả các nhà toán học vĩ đại trong lịch sử đều không giải được. Đây là một bài toán mà tôi, một cậu bé 10 tuổi còn hiểu được, và tôi biết rằng từ thời điểm đó tôi sẽ không để cho nó xổng mất. Tôi sẽ phải giải được nó”.

Năm 1975, Wiles bắt đầu sự nghiệp của mình với tư cách một nghiên cứu sinh tại trường Đại học Cambridge. Ba năm tiếp theo ông tập trung làm luận án tiến sĩ. Mỗi nghiên cứu sinh đều được dìu dắt bởi một người thầy hướng dẫn. Dìu dắt Wiles là nhà toán học John Coates, người Úc.

Coates còn nhớ rõ: “Tôi nhớ một cộng sự nói với tôi rằng, ông ta có một sinh viên rất giỏi vừa mới thi xong phần cuối cùng về toán, và ông ta hối thúc tôi tiếp nhận cậu ta làm nghiên cứu sinh. Tôi đã rất may mắn có được một nghiên cứu sinh như Andrew. Ngay từ khi còn là một nghiên cứu sinh, Andrew đã có những ý tưởng rất sâu sắc và rõ ràng rằng anh ta là một nhà toán học sẽ làm nên những công trình lớn. Tất nhiên, ở giai đoạn đó không có chuyện một người nghiên cứu sinh sẽ làm việc ngay với Định lý cuối cùng của Fecma vì nó quá khó ngay cả với một nhà toán học đã có kinh nghiệm lão luyện”.

Dù nung nấu từ thuở thiếu thời và tâm huyết hướng tới chuẩn bị cho bản thân đón nhận thách thức của Fecma, nhưng lúc đó, khi đã gia nhập hàng ngũ các nhà toán học chuyên nghiệp, Wiles phải tạm thời từ bỏ ước mơ của mình. Ông nhớ lại: “Khi đến Cambridge, tôi thực sự phải gác Fecma sang một bên. Không phải là để quên nó - vì nó luôn ở bên tôi - mà là do tôi nhận thấy rằng những kỹ thuật mà chúng ta dùng để thử chứng minh nó thực ra đã có khoảng 130 năm nay rồi. Điều đó rõ ràng là, những kỹ thuật này dường như không cho phép thực sự đi đến được tận cội rễ của bài toán. Vấn đề là ở chỗ, khi làm việc với Định lý Fecma đó, bạn có thể sẽ phải tiêu tốn hàng năm trời mà không đi đến đâu cả. Được làm việc với bài toán mà mình yêu thích là điều tuyệt vời, chừng nào trên con đường đó, bạn còn tạo ra được những kết quả toán học hay, mặc dù rốt cuộc bạn vẫn không thể giải được nó. Một bài toán hay được định nghĩa là ở cái toán học mà nó tạo ra, chứ không phải ở bản thân bài toán đó”.

Trách nhiệm của John là phải tìm một bài toán hấp dẫn mới, làm đối tượng nghiên cứu cho Wiles ít nhất là trong 3 năm tiếp theo. Coates nói: “Tôi nghĩ, tất cả những gì mà một người hướng dẫn có thể làm đối với một nghiên cứu sinh của mình là thử cho anh ta một cú hích theo hướng đúng. Tất nhiên, không ai có thể biết trước một cách chắc chắn hướng nghiên cứu nào sẽ có kết quả, nhưng một nhà toán học già dặn có thể sử dụng sự nhạy cảm cùng với trực giác của mình để lựa chọn lĩnh vực nghiên cứu hay, còn chuyện nghiên cứu sinh đó có thể đi được bao xa trên con đường ấy là tùy thuộc vào bản thân anh ta”. Cuối cùng, Coates quyết định Wiles nên nghiên cứu một lĩnh vực toán học được gọi là “những đường cong eliptic”. Quyết định đó đã tạo ra một bước ngoặt trong sự nghiệp của Wiles. Nó đã mang lại cho ông những kỹ năng toán học cần thiết để có thể xây dựng nên một cách tiếp cận mới đối với Định lý Fecma.

Cái tên “những đường cong eliptic” dễ khiến chúng ta hiểu lầm, vì chúng không phải là những đường elip, thậm chí cũng không phải là những đường cong theo nghĩa thông thường. Thực ra, chúng là những phương trình có dạng:

y² = x³ + ax² +bx +c, trong đó a, b, c là những số nguyên.

Sở dĩ chúng có tên như vậy là vì trong quá khứ, chúng được dùng để đo chu vi của các hình elip và độ dài quĩ đạo của các hành tinh. Để tránh ngộ nhận, có thể gọi chúng là “những phương trình eliptic”.

Thách thức của các phương trình eliptic, cũng như của phương trình Fecma, là chúng có nghiệm nguyên hay không và nếu có thì có bao nhiêu nghiệm. Chẳng hạn, cho phương trình eliptic:

y² = x³ – 2

Hỏi: nó có bao nhiêu tập hợp (cặp x và y) nghiệm nguyên?

Giải bài toán này là một việc làm vô cùng khó khăn, song chính Fecma đã làm được điều đó. Ông đã phát hiện được rằng số 26 kẹp giữa số 25 và 27, mà 25 = 5² và 27 = 3³ nên có thể nói số 26 kẹp giữa một số bình phương và một số lập phương. Sau đó, ông đã chứng minh được, theo tiêu chuẩn này thì đây cũng là trường hợp duy nhất trong thế giới số nguyên. Chứng minh đó đồng nghĩa với chứng minh:

5² = 3³ – 2;

là cách viết duy nhất (có tập hợp nghiệm duy nhất) của phương trình eliptic nói trên.

Những phương trình eliptic đầu tiên đã được nghiên cứu bởi các nhà toán học cổ Hi Lạp, trong đó có Diophantus, người đã dành phần lớn tác phẩm “Số học” của mình để khảo sát những tính chất của chúng. Sự quyến rũ đặc biệt của các phương trình eliptic cũng làm cho Fecma lao vào nghiên cứu chúng. Sau hơn 2 ngàn năm, chúng vẫn còn tồn tại những bài toán khó nghiên cứu đối với những nghiên cứu sinh như Wiles. Ông nói: “Còn rất lâu nữa chúng ta mới hiểu được hoàn toàn những phương trình này. Có rất nhiều câu hỏi với bề ngoài đơn giản mà tôi có thể đặt ra về các phương trình eliptic mà vẫn còn chưa có lời giải. Thậm chí, nhiều câu hỏi mà chính Fecma đã xem xét cũng vẫn còn chưa thể trả lời được. Về một phương diện nào đó, toàn bộ toán học mà tôi đã làm đều bắt nguồn nếu không phải từ Định lý cuối cùng của Fecma thì cũng từ những ý tưởng khác của ông”.

Trong các phương trình eliptic có nhiều phương trình mà việc giải chúng khó đến nỗi chỉ có một cách duy nhất để thoát khỏi bế tắc là phải đơn giản hóa bài toán. Chẳng hạn là phương trình eliptic sau đây:

x³ – x² = y² + y

Việc xác định xem nó có bao nhiêu tập hợp nghiệm nguyên là điều không thể thực hiện nổi, dù có thể biết ngay được những tập hợp nghiệm tầm thường của nó là:

0³ – 0² = 0² + 0

và 1³ – 1² = 0² + 0

Người ta đành phải đơn giản hóa nhiệm vụ giải bài toán bằng cách xét nó trong một cái gọi là “không gian số hữu hạn”, hay còn gọi là “Số học đồng hồ”.

Để hình dung “Số học đồng hồ”, chúng ta có thể nhìn lên mặt tròn của một cái đồng hồ có khắc 12 vạch có thêm biểu thị là 12 con số thứ tự từ 1 đến 12 (để chỉ giờ). Chúng ta tưởng tượng rằng tại vị trí vẽ số 12 không phải là số 12 nữa mà là số 0 và như vậy, chúng ta đã thấy được một đồng hồ số học gồm 12 vạch (12 số). Đồng hồ số học có thể có 1 vạch, nhiều vạch và cũng có thể là vô hạn vạch, bởi vì thực ra đó là một sự biểu diễn đặc biệt của một hệ cơ số đếm nào đó.

Đối với số học đồng hồ 12 vạch thì nếu chúng ta có phép cộng giữa 11 và 4 thì kết quả không là 15 nữa mà là 3. Nghĩa là để thực hiện phép cộng đó chúng ta chĩa đầu chiếc kim (có trục ở tâm mặt đồng hồ số học) về phía số 11, rồi xoay theo chiều kim đồng hồ thêm 4 vạch nữa, và như vậy nó sẽ chỉ vào con số 3.

Ngoài phép cộng ra, chúng ta có thể thực hiện tất các phép tính thông thường khác trên đồng hồ số học. Chẳng hạn để thực hiện phép nhân 5 với 7 trên đồng hồ số học 12 vạch, chúng ta bắt đầu từ vạch 0, xoay kim theo chiều kim đồng hồ 5 lần (hoặc 7 lần), mỗi lần 7 vạch (hoặc 5 vạch) thì kim sẽ chỉ vạch có số 11, nghĩa là:

5 x 7 = 11

Vì số học đồng hồ chỉ làm việc với không gian số hữu hạn, nên tương đối dễ dàng tìm ra tất cả các nghiệm khả dĩ của một phương trình eliptic trong một số học đồng hồ cho trước. Chẳng hạn đối với số học đồng hồ 5 vạch thì phương trình x³ – x² = y² + y có tổng số các tập hợp nghiệm là 4, gồm:

x = 0 ; y = 0

x = 0 ; y = 4

x = 1 ; y = 0

x = 1 ; y = 4

Chúng ta thử lại với tập hợp nghiệm thứ tư của phương trình:

Đó là một nghiệm đúng! Vì bắt đầu từ vạch 0, quay kim 4 vòng (5 x 4) sẽ lại về vạch 0. (Khi đồng hồ số học có số vạch vô hạn thì số 0 cũng đồng thời là số

, vô hạn!!!).

Vì không thể liệt kê tất cả các tập hợp nghiệm của một phương trình eliptic trong không gian số thông thường, nên các nhà toán học đành phải tìm cách tính các số nghiệm trong tất cả các số học đồng hồ khác nhau. Nếu ký hiệu tổng số tập hợp nghiệm của một phương trình eliptic trong một đồng hồ số học có i vạch là E_i, thì sẽ xác lập được một dãy gồm:

Chẳng hạn dãy E_i của phương trình eliptic:

x³ – x² = y² + y

Là : E₁ = 1

E₂ = 4

E₃ = 4

E₄ = 2

E₅ = 4

E₆ =16

E₇ = 9

…

Dãy E đã tỏ ra là một công cụ tốt nhất để khảo sát các phương trình eliptic, vì nó gói ghém một lượng lớn và chủ yếu thông tin về phương trình eliptíc nào đó, tương tự như chuỗi ADN trong sinh học. Niềm hy vọng là ở chỗ, bằng việc nghiên cứu các dãy E, các nhà toán học cuối cùng cũng sẽ có thể tính được mọi thứ mà từ trước tới nay họ muốn biết về phương trình eliptic.

Sau chiến tranh thế giới thứ hai, các nhà toán học Nhật đã khởi phát một loạt sự kiện cho phép xác lập mối liên hệ khăng khít giữa các phương trình eliptic với Định lý lớn Fecma.

Vào tháng 1-1954, Goro Shimura, một nhà toán học trẻ đầy tài năng của trường Đại học Tôkyô, tới thư viện của khoa như thường lệ. Lần này, ông muốn tìm bài báo của Deuring về lý thuyết đại số của phép nhân phức và tập 14 của một tạp chí toán học. Điều khiến Shimura ngạc nhiên và hơi thất vọng là cuốn tạp chí đó đã có một người tên là Yutaka Taniyama mượn. Shimura có quen láng máng người này và biết anh ta ở đầu kia của khu đại học. Shimura bèn viết một bức thư cho Taniyama giải thích rằng ông đang rất cần cuốn tạp chí để giải quyết một số tính toán rất kho chịu, và lịch sự hỏi khi nào Tanniyama sẽ trả lại thư viện. Ít ngày sau, một tấm bưu thiếp được đặt trên bàn làm việc của Shimura. Đó là trả lời của Taniyama. Ông viết rằng ông cũng đang thực hiện chính những tính toán ấy và cũng đang mắc mứu ở chính điểm lôgic ấy, rồi đề nghị Shimura cùng nhau chia sẻ các ý tưởng và nếu có thể thì cùng cộng tác giải bài toán. Cuộc gặp gỡ có phần định mệnh giữa hai nhà toán học trẻ nhờ cuốn tạp chí của thư viện đã khởi đầu một sự hợp tác góp phần làm thay đổi dòng chảy của lịch sử toán học.

Taniyama sinh ngày 12-11-1927 tại một thị trấn nhỏ, cách Tôkyô vài cây số về phía bắc. Goro Shimura ít hơn Taniyama một tuổi. Khi họ gặp nhau vào năm 1954 thì cả hai người đều mới bắt đầu sự nghiệp toán học của mình. Mặc dù Shimura có tính cách hơi lập dị, thích diễu cợt thiền học, nhưng so với Taniyama thì ông lại là người bảo thủ và chuẩn mực hơn. Trong khi Shimura rất chỉn chu, khó tính, thì Tanitama lại sống thoải mái tới mức có vẻ lười nhác. Có lẽ Taniyama là điển hình của thiên tài đãng trí và điều này được phản ánh ngay trong vẻ bề ngoài của ông. Ông không thể thắt một chiếc nút cho ra hồn và do đó quyết định không thèm thắt dây giày thay vì phải thắt đi thắt lại đến cả chục lần trong ngày. Shimura đã đánh giá rất hay và đầy mến phục về tính cách của Taniyama như sau: “Anh có biệt tài là phạm nhiều sai lầm, mà phần lớn lại theo hướng đúng. Tôi ghen tỵ với anh về điều đó và có bắt chước anh cũng chỉ vô ích mà thôi. Nhưng tôi đã phát hiện ra rằng phạm những sai lầm tốt cũng rất khó”.

Tham gia vào các buổi “diễn đàn” (seminar) của các sinh viên khoa toán, Taniyama bao giờ cũng nổi lên như một người dẫn dắt đầy nhiệt huyết. Ông luôn luôn khuyến khích các sinh viên lớp trên khám phá những vùng còn hoang dã trong toán học, và ân cần đối với các sinh viên lớp dưới như một người cha. Do sự cách biệt với thế giới, các diễn đàn này thường đề cập tới các đề tài mà ở Châu Âu và Châu Mỹ được xem là đã lỗi thời. Với sự ngây thơ thường có ở các sinh viên, họ nghiên cứu các phương trình mà ở phương Tây người ta đã vứt bỏ từ lâu. Một đề tài không còn là thời thượng nữa, nhưng đặc biệt hấp dẫn đối với Taniyama lẫn Shimura là nghiên cứu các dạng modular.

Các dạng modular thuộc nhóm những đối tượng lạ lùng và tuyệt vời nhất, đồng thời cũng là những thực thể bí hiểm nhất của toán học. Đặc điểm then chốt của các dạng modular là mức độ đối xứng thái quá của chúng. Trong đời sống hàng ngày, chúng ta đã quen với khái niệm đối xứng và cũng trực quan thấy những hình tượng đối xứng (qua tâm, qua trục…). Trong toán học, khái niệm đối xứng được phát biểu tổng quát hơn: một đối tượng được gọi là có đối xứng nếu nó có thể được biến đổi theo một cách nào đó, nhưng sau khi biến đổi thì nó lại cứ vẫn như cũ, không thay đổi gì cả.

Để hiểu khái niệm toán học về tính đối xứng, chúng ta có thể lấy hình vuông làm ví dụ. Rõ ràng hình vuông có đối xứng qua trục và đối xứng qua tâm của nó. Nếu chúng ta quay hình vuông qua một trục (ảo) đi qua điểm giữa của hai cạnh đối diện (nghĩa là cũng qua tâm của hình vuông) một vòng (360^o), hoặc quay quanh môt trục (ảo) xuyên tâm và vuông góc với nó một góc 90^o (hoặc

) thì sẽ không thấy hình vuông thay đổi gì cả. Nhưng hình vuông lại không có đối xứng tịnh tiến, vì nếu dịch hình vuông theo bất cứ hướng nào thì nó không còn như cũ nữa vì đã thay đổi vị trí.

Nếu đem vô số hình vuông đó ghép chúng lại thành một mặt phẳng carô cực lớn mà chúng ta chỉ quan sát được một khoảng vuông nhỏ nào đó (gồm một số ít hình vuông) thôi thì cái hình ảnh quan sát ấy, ngoài những đối xứng có thể có nêu trên, còn có đối xứng tịnh tiến nữa. Vì khi dịch cái mặt phẳng ca rô theo hướng trùng với cạnh hình vuông một khoảng bằng độ dài (hoặc bội số của độ dài) của cạnh hình vuông thì hình ảnh mà chúng ta quan sát thấy sẽ không thay đổi gì cả.

Các dạng modular mà Taniyama và Shimura nghiên cứu có thể dịch chuyển, nghịch đảo, phản xạ gương và quay theo vô số cách mà chúng vẫn chẳng hề thay đổi. Điều này cho thấy các dạng modular trở thành các đối tượng đối xứng nhất trong toán học. Khi nhà toán học Henry Poincaré, người Pháp, nghiên cứu các dạng modular ở thế kỷ XIX, ông đã rất khó khăn mới chấp nhận được sự đối xứng của chúng. Sau khi nghiên cứu một loại dạng modular cụ thể, ông đã mô tả cho các đồng nghiệp của mình rằng trong suốt hai tuần, sáng nào thức dậy ông cũng đều thử lại và luôn tìm ra một sai sót nào đó trong tính toán của mình. Đến ngày thứ 15, ông mới nhận ra và thừa nhận rằng các dạng modular thực sự là có tính đối xứng hết cỡ.

Vẽ hoặc ngay cả hình dung các dạng modular thôi cũng là điều không thể làm nổi vì thực ra chúng chỉ tồn tại trong không gian 4 chiều gọi là Vũ trụ hyperbolic. Chúng ta đang sống trong không gian 3 chiều nên cũng rất khó hình dung ra được một không gian 4 chiều. Tuy nhiên chúng ta có thể tạm hiểu “một cách vật lý” không gian 4 chiều như thế này: chúng ta biết rằng vạn vật có thể biến đổi không những theo không gian mà còn theo thời gian nữa (một cách tuyệt đối thì vật đó phải luôn luôn biến đổi!), như vậy có thể coi thời gian là 1 chiều nữa và cùng với 3 chiều không gian, chúng ta xây dựng được một không gian 4 chiều không - thời gian. Một thực thể trong không gian này, sau một cuộc biến đổi “bể dâu” kiểu nào đó về không - thời gian mà vẫn như cũ, nghĩa là không thay đổi gì cả thì chúng ta gọi thực thể đó là có tính đối xứng hoàn toàn hay bất biến trước sự biến đổi về không - thời gian (Sự biến đổi về không - thời gian nhiều khi chỉ là giả tạo, chỉ là sự thay đổi của góc độ quan sát, chẳng hạn: ở những góc độ quan sát khác nhau sẽ nhìn thấy những hinh ảnh khác nhau của một con voi bất động nhưng thực ra con voi đó là bất biến về hình thức. Chúng ta có phân số đơn

, dù có thể biến đổi nó thành

, … thì rốt cuộc vẫn cứ là

. Trong lý thuyết Tenxơ, chúng ta có thể hiểu rõ hơn nữa về không gian 4 chiều, về những khái niệm đối xứng và phản đối xứng. Nhờ có công cụ toán học này mà Anhxtanh mới xây dựng được thuyết tương đối rộng lừng danh của ông).

Các dạng modular tồn tại trong không gian hyperbolic với những kích thước và hình dạng rất khác nhau. Tuy nhiên tất cả chúng đều được xây dựng nên từ cùng những yếu tố cơ bản. Điều làm cho chúng khác nhau là ở số lượng các yếu tố cơ bản mà chúng chứa. Tương tự như dãy E đặc trưng cho các phương trình eliptic, các dạng modular cũng có dãy đặc trưng là M_i với i = 1, 2, 3, … Chẳng hạn một dạng modular nào đó có thể có dãy M gồm:

M₁ = 1

M₂ = 3

M₃ = 2

…

Nếu dãy E được gọi là ADN đối với các phương trình eliptic thì có thể gọi dãy M là ADN của các dạng modular.

Trong khi các phương trình eliptic được phát hiện từ thời Hi Lạp cổ đại và chẳng thấy có liên quan gì tới đối xứng hết, thì các dạng modular chỉ mới được phát hiện vào khoảng giữa thế kỷ XIX. Hình thức bề ngoài của chúng rất khác nhau gây ra cảm nhận rằng chúng tồn tại ở các vùng hoàn toàn khác nhau trong vũ trụ toán học, và chưa một nhà toán học nào cho đến những thập kỷ đầu thế kỷ XX lại nghĩ rằng giữa hai đối tượng toán học đó lại có thể có mối liên quan nào.

Tháng 9-1955, một hội nghị toán học quốc tế được tổ chức tại Tôkyô. Tại hội nghị này, Taniyama nêu ra 4 vấn đề và những vấn đề này đều gợi ý về mối quan hệ kỳ lạ giữa các phương trình eliptic và các dạng modular. Taniyama đã tiến hành khảo sát một số số hạng đầu tiên trong dãy M của một dạng modular cụ thể nào đó và nhận thấy nó đồng nhất với danh sách những con số trong dãy E của một phương trình eliptic đã biết. Tiến hành tính thêm một số số hạng nữa thuộc dãy M đó thì vẫn thấy chúng ăn khớp hoàn hảo với những số hạng tương ứng thuộc dãy E. Taniyama tiếp tục xem xét một số dạng modular khác và trong mỗi trường hợp, các dãy M đều tương ứng tuyệt vời với dãy E của các phương trình eliptic. Từ những công trình này, Taniyama đặt nghi vấn: liệu mỗi một dạng modular có thực sự tương ứng với một phương trình eliptic hay không, và phải chăng mỗi dạng modular có cùng một ADN với một phương trình eliptic?

Những câu hỏi mà Taniyama đặt ra trong hội nghị toán học đã làm hình thành nên một giả thuyết, sau này có tên là “Giả thuyết Taniyama - Shimura” và lúc đó không ai ngờ rằng nó sẽ dẫn tới một cuộc cách mạng lớn lao trong lý thuyết số. Theo giả thuyết này thì: ADN được tạo bởi các dạng modular và bởi các phương trình eliptic là hoàn toàn như nhau, hay hai thực thể toán học này thực ra chỉ là một. Phát kiến của Taniyama và đồng minh duy nhất, đồng thời là bạn của ông là Shimura, có ý nghĩa rất sâu sắc về mặt toán học, nó gợi ý rằng ở tầng rất sâu phía dưới có tồn tại một mối quan hệ cơ bản giữa dạng modular và phương trình eliptic.

Giả thuyết của Taniyama và Shimura đã gây sững sờ và choáng váng cho các nhà toán học. Nhiều người không sao nuốt trôi nổi cái ý tưởng cho rằng một phương trình eliptic lại có mối quan hệ khăng khít với một dạng modular. Mặc dù cũng tin Taniyama đã chứng minh được một số các phương trình eliptic có quan hệ với một dạng modular cụ thể, nhưng họ tuyên bố rằng đó chẳng qua chỉ là sự trùng hợp ngẫu nhiên mà thôi. Theo sự hoài nghi chung thì khẳng định của Taniyama về một mối quan hệ tổng quát và phổ biến giữa hai thực thể toán học đó là không có cơ sở.

Sau hội nghị toán học đó, Taniyama cùng Shimura đã nỗ lực phát triển giả thuyết đó, tìm tòi nhiều bằng chứng hơn nữa để hậu thuẫn cho nó. Sự cộng tác giữa hai nhà toán học Nhật Bản phải tạm thời dừng lại vào năm 1957 vì Shimura được mời tới làm việc tại Viện Nghiên cứu khoa học cao cấp ở Priceton. Shimura đã dự định sau 2 năm làm giáo sư thỉnh giảng ở Mỹ, sẽ trở về tiếp tục làm việc cùng với Taniyama. Nhưng dự định đó đã không bao giờ thực hiện được bởi một sự kiện đau buồn.

Vào buổi sáng thứ hai, ngày 7-11-1958, người quản lý chung cư phát hiện Taniyama đã chết trong phòng với một bức thư để lại trên bàn làm việc.

Đoạn đầu của bức thư viết thế này: “Cho đến tận ngày hôm qua, tôi vẫn chưa hề có ý định tự sát. Nhưng chắc nhiều người cũng nhận thấy rằng trong thời gian gần đây, tôi rất mệt mỏi cả về thể chất lẫn tinh thần. Còn về nguyên nhân tự sát thì chính bản thân tôi cũng không hiểu, nhưng nó không phải do một sự cố hay một sự việc cụ thể nào. Có thể nói đơn giản là như thế này: tôi đã bị ám ảnh với ý nghĩ rằng tôi đã mất niềm tin vào tương lai của mình. Có thể việc tự sát của tôi sẽ gây phiền phức hoặc đau đớn cho ai đó. Tôi chân thành hy vọng rằng việc này sẽ không phủ bóng đen lên tương lai của người ấy. Dẫu thế nào thì tôi cũng không thể phủ nhận rằng đây là một sự phản bội, nhưng hãy tha thứ cho nó như là hành động cuối cùng, theo cách riêng của tôi, vì suốt đời tôi đã làm theo cách riêng của mình”.

Bạn bè của Taniyama đều ngỡ ngàng vì ông vừa mới yêu Misako Suzuki và dự định sẽ cưới cô ta vào năm sau. Trong bức thư tuyệt mệnh, Taniyama còn viết: “Tôi muốn để lại các đĩa nhạc và chiếc máy quay đĩa cho Misako Suzuki với điều kiện cô ấy không quá đau buồn về những thứ tôi để lại cho cô ấy:.

Vậy là một trong số những bộ óc toán học tiên phong và xuất sắc nhất của thời đại đã kết thúc cuộc đời theo ý chí riêng của mình. Thật là thương tiếc! Và thương tiếc hơn nữa là chỉ vài tuần sau cái chết của Taniyama, vợ chưa cưới của ông, nàng Misako Suzuki cũng tự kết liễu đời mình. Trong bức thư để lại, Misako Suzuki viết rằng: “Chúng tôi đã hứa với nhau, dù đi bất cứ đâu, chúng tôi cũng không bao giờ tách xa nhau. Giờ đây anh ấy đã ra đi, vậy tôi cũng phải đi để đến với anh ấy”.

Sau này Shimura nhớ lại: “Taniyama luôn ân cần với các đồng nghiệp của mình, đặc biệt là đối với lớp trẻ, ông quan tâm chăm sóc họ hết sức chu đáo. Ông là chỗ dựa tinh thần của đa số những ai đã có quan hệ với ông về mặt toán học, tất nhiên trong số đó có cả tôi. Rất có thể là ông chưa bao giờ ý thức được vai trò đó của mình. Nhưng ngay bây giờ đây tôi vẫn cảm thấy sự nhân hậu cao cả của ông còn mạnh mẽ hơn cả khi ông đang còn sống. Thế mà khi ông cần tới một chỗ dựa tinh thần đến mức tuyệt vọng thì lại chẳng ai có thể cho ông một chút nương tựa. Ngẫm nghĩ về điều đó, trong lòng tôi lại tràn ngập một nỗi đau chua chát nhất”.

Cùng với năm tháng, dù chưa thể chứng minh được giả thuyết của Taniyama, thì Shimura cuối cùng rồi cũng thu thập đủ bằng chứng để giả thuyết đó được chấp nhận rộng rãi.

Tiếp đến, André Wril, một trong số những người cha đỡ đầu của lý thuyết số thế kỷ XX, đã chấp nhận giả thuyết đó và phổ biến nó ở phương Tây. Weil đã nghiên cứu ý tưởng của Taniyama và Shimura, đồng thời tìm thêm được những bằng chứng vững chắc hơn cho nó.

Vào cuối những năm 60 của thế kỷ XX, cả một đội quân các nhà toán học tiến hành kiểm tra một cách có hệ thống giả thuyết Taniyama - Shimura. Rất nhiều bằng chứng nữa xuất hiện và đều củng cố thêm cho giả thuyết này. Tuy nhiên điều đó không có nghĩa là giả thuyết đã được chứng minh. Chừng nào chưa có ai chứng minh được một cách chặt chẽ về mặt logic thì sự khẳng định về mối quan hệ khăng khít và nhất quán giữa các dạng modular và các phương trình eliptic vẫn chỉ đơn thuần là một giả thuyết.

Vào những năm 1970, mặc dù vẫn chưa được chứng minh nhưng giả thuyết Taniyama - Shimura đã được nhắc tới trong hàng trăm bài báo khoa học bàn về những điều gì sẽ xảy ra nếu như nó được chứng minh. Những bài báo này thường bắt đầu với dòng chữ: “Giả sử rằng giả thuyết Taniyama - Shimura là đúng…”, và sau đó tiếp tục là sự trình bày lời giải của một bài toán vẫn chưa giải được nào đó. Kết quả thu được, dựa trên cơ sở một giả thuyết, cũng chỉ mang tính giả thuyết. Đến lượt những kết quả mới thu được đó lại là cơ sở cho những kết quả mới khác nữa. Vô hình dung, giả thuyết Taniyama - Shimura trở thành nền tảng của một tòa lâu đài mới của toán học và tòa lâu đài này có nguy cơ sụp đổ bất cứ lúc nào một khi giả thuyết nền tảng bị chứng thực là sai.

Andrew Wiles khi đó còn đang là nghiên cứu sinh của trường đại học Cambridge và sau này ông vẫn còn nhớ rõ nỗi lo lắng đè nặng lên cộng đồng các nhà toán học: “Chúng tôi ngày càng xây dựng nhiều giả thuyết cứ trải dần mãi vào tương lai, nhưng tất cả chúng sẽ trở nên lố bịch nếu như giả thuyết Taniyama-Shimura không đúng. Vì vậy, chúng tôi cần phải chứng minh được giả thuyết đó để chứng tỏ rằng toàn bộ thiết kế mà chúng tôi hoạch định một cách đầy hy vọng cho tương lai là hoàn toàn đúng đắn”.

Mùa thu năm 1984, một nhóm chọn lọc các nhà lý thuyết số tổ chức một hội nghị tại một thị trấn ở giữa “Khu đồng đen” của nước Đức để bàn luận về những đột phá mới trong việc nghiên cứu các phương trình eliptic và chứng minh giả thuyết Taniyama-Shimura. Một trong số những báo cáo tham luận là của Gerhard Frey. Mặc dù Frey không đưa ra được một ý tưởng mới nào giúp chứng minh giả thuyết, nhưng đã nêu một khẳng định rất đáng chú ý. Khẳng định này nói rằng nếu ai chứng minh được giả thuyết Taniyama-Shimura thì người đó cũng ngay lập tức chứng minh được Định lý lớn Fecma.

Theo sự trình bày của Frey thì ông đã giả định rằng phương trình:

xⁿ + yⁿ +zⁿ, trong đó n > 2

Có ít nhất một nghiệm là A, B, C và viết được đẳng thức:

A^N + B^N = C^N

Sau đó Frey tiến hành một quá trình biến đổi phương trình một cách hết sức chặt chẽ về mặt toán học và đạt được một hình thức biểu hiện mới của phương trình gốc:

y² = x³ + (A^N – B^N)x² – A^NB^N

Điều này có nghĩa: nếu phương trình Fecma có nghiệm (Định lý lớn Fecma là sai) thì phương trình trên phải tồn tại.

Nếu đặt:

a = A^N – B^N

b = 0

c = -A^N.B^N

Thì phương trình trên cũng là một phương trình eliptic.

Bằng cách biến phương trình Fecma thành một phương trình eliptic, Frey đã kết nối được Định lý lớn Fecma với giả thuyết Taniyama-Shimura.

Tiếp theo Frey chỉ ra rằng phương trình eliptic mà ông xây dựng nên từ nghiệm giả định của phương trình Fecma là rất kỳ quặc, đến nỗi nó không thể chấp nhận giả thuyết Taniyama-Shimura và nếu giả thuyết này được chứng minh thì phương trình không thể tồn tại (nghĩa là Định lý lớn Fecma cũng được chứng minh).

Có một sai lầm sơ đẳng trong logic của Frey. Sai lầm đó nhỏ thôi nhưng vẫn làm cho công trình xuất sắc của Frey chưa hoàn chỉnh, chưa đủ kỳ quặc để không thể là một dạng modular.

Sau hội nghị, các nhà toán học đã hối hả tìm cách sửa sai sót đó của Frey. Nhưng một tuần, một tháng rồi thời gian cứ thế trôi qua mà chẳng có động tĩnh gì. Sai lầm dường như sơ đẳng của Frey đã thực sự làm bối rối các nhà toán học. Fecma vẫn còn chọc tức, hành hạ đám hậu thế.

Một trong những người lao tâm khổ trí để chứng minh phương trình của Frey quá ư kỳ quặc, tới mức không thể là modular, là nhà toán học Ken Ribet, giáo sư trường Đại học California ở Berkeley. Sau 18 tháng nỗ lực, ông vẫn chưa đi đến đâu cả. Vào mùa hè năm 1986, một đồng nghiệp của Ribet là giáo sư Barry Mazur tới Berkeley để tham dự một hội nghị toán học quốc tế. Hai người bạn gặp nhau bên ly cà phê. Chuyện phiếm qua lại rồi họ cũng quay sang bàn luận về những vấn đề toán học nóng hổi nhất. Ribet nhớ lại: “Tôi ngồi xuống cạnh Barry và kể cho ông nghe về cái mà tôi đang làm. Tôi nói rằng tôi đã chứng minh được một trường hợp rất đặc biệt nhưng chưa biết tổng quát hóa nó như thế nào để nhận được chứng minh hoàn chỉnh”.

Giáo sư Mazur ngồi nhấm nháp cà phê và lắng nghe Ribet trình bày ý tưởng của mình. Đột nhiên Mazur nhìn chằm chằm Ribet một cách ngạc nhiên: “Lẽ nào anh không thấy sao? Thì chính anh đã làm được rồi đó! Tất cả công việc mà anh còn phải làm bây giờ chỉ là thêm một không điểm gamma của cấu trúc M trong chứng minh của anh là xong. Nó sẽ cho anh mọi thứ anh cần”.

Ribet hết nhìn Mazur rồi nhìn lại ly cà phê của ông với vẻ kinh ngạc. Đó là thời điểm quan trọng nhất trong sự nghiệp của Ribet. Sau này ông nói: “Tôi đã hết sức kinh ngạc bởi vì tôi chưa bao giờ nảy ra trong đầu ý định thêm vào một không điểm gamma nữa của cấu trúc M, một điểm xem ra quá ư đơn giản.”, và: “Đó là một mắt xích rất quan trọng mà tôi còn thiếu, mặc dù nó sờ sờ ở ngay trước mắt tôi. Tôi lâng lâng như đi trên mây trở về căn hộ của mình, lòng vẫn băn khoăn tự hỏi: lạy Chúa, liệu điều này có thực đúng như thế không? Tôi hoàn toàn như mê, ngồi vào bàn và bắt đầu tính toán. Sau một hai giờ gì đấy tôi đã viết tất cả ra giấy và xác nhận được rằng tôi đã biết tất cả những bước then chốt và tất cả đều ăn khớp với nhau. Tôi đã kiểm tra lại toàn bộ chứng minh và thấy rằng mọi chuyện đều ổn cả…”.

Cũng cần lưu ý rằng việc thêm vào một không điểm gamma của cấu trúc M, nghe tưởng đơn giản thế nhưng chỉ đơn giản đối với Ribet thôi, chứ đây là cả một bước lôgic rất phức tạp mà chỉ một số ít nhà toán học trên thế giới mới có thể hình dung được bên ly cà phê.

Như vậy, Định lý lớn Fecma giờ đã gắn liền không thể tách rời khỏi giả thuyết Taniyama-Shimura. Trong hơn ba thế kỷ Định lý lớn Fecma chỉ là một bài toán biệt lập, một câu đố lạ lùng và “cô đơn” trong toán học. Nhưng giờ đây, nhờ Gerhard Frey truyền cảm hứng mà Ken Ribet đã đưa nó về vị trí trung tâm. Bài toán hóc búa nhất ra đời từ thế kỷ XVII giờ đây đã gắn kết với một bài toán có tầm quan trọng bậc nhất của thế kỷ XX.

Nhưng làm sao chứng minh được giả thuyết Taniyama-Shimura khi sau 30 năm làm việc cật lực của các nhà toán học, nó vẫn chưa được chứng minh và tình hình có vẻ vẫn dậm chân tại chỗ, hơn nữa lịch sử đã để lại bài học rằng bất kỳ cái gì có thể dẫn tới lời giải của bài toán Fecma đều là không thể làm được?

***

Sau khi hoàn thành luận án tiến sĩ, Andrew Wiles trở thành giáo sư của trường Đại học Princeton ở Mỹ.

Khi tình cờ nghe được tin Ribet đã chứng minh được mối liên hệ giữa giả thuyết Taniyama-Shimura và Định lý lớn Fecma, Wiles đã như bị điện giật: “Tôi biết rằng từ thời điểm này dòng đời của tôi sẽ thay đổi, bởi vì để chứng minh được Định lý cuối cùng của Fecma thì tất cả những gì cần làm là phải chứng minh được giả thuyết Taniyama-Shimura. Những điều này có nghĩa là ước mơ thời thơ ấu của tôi giờ đây đã là một điều hết sức nghiêm túc mà tôi phải thực sự làm”.

Wiles đã ý thức được rằng ông có rất ít cơ may để thành công. Ông nói: “Tất nhiên, giả thuyết Taniyama-Shimura đã để mở nhiều năm. Chưa ai có một ý niệm gì về cách tiếp cận nó, nhưng ít nhất nó cũng thuộc dòng chính của toán học. Bởi vậy, tôi cứ thử chứng minh những kết quả mà ngay cả khi không nhận được chứng minh tổng thể, thì những kết quả ấy cũng quí giá về mặt toán học. Tôi không hề cảm thấy mình tiêu phí thời gian. Và như vậy là bản tình ca của Fecma vốn đã ám ảnh tôi suốt cả cuộc đời, nay lại được kết hợp với một bài toán có thể chấp nhận được về mặt nghề nghiệp”.

Từ thời điểm bắt tay vào chứng minh, Wiles đã quyết định là sẽ làm việc đơn độc và bí mật hoàn toàn. Wiles giải thích rằng một phần nguyên nhân dẫn đến quyết định đó là do ông không muốn bị phân tán tư tưởng, “tôi nhận thấy rằng bất cứ điều gì có liên quan đến Định lý cuối cùng của Fecma đều gây ra rất nhiều sự chú ý”. Nhưng một động cơ khác khiến ông quyết định như vậy có lẽ là niềm khao khát vinh quang.

Trong những năm tiếp sau, Wiles sẽ phải làm một loạt những phát minh xuất sắc, nhưng không có cái nào được đưa ra thảo luận hoặc công bố trước khi chứng minh được hoàn tất. Ngay cả những đồng nghiệp gần gũi của Wiles cũng không hề hay biết về các nghiên cứu của ông. Người duy nhất được biết về bí mật của Wiles là bà Nada, vợ ông.

Sau một năm nghiền ngẫm, Wiles quyết định chọn chiến lược là dùng phép qui nạp làm cơ sở cho những chứng minh của mình. Chứng minh bằng qui nạp toán học về cơ bản là chứng minh đối với một trường hợp được cho là đơn giản đã chọn; rồi sau đó lập luận rằng nếu trường hợp đầu là đúng thì trường hợp thứ hai cũng đúng và suy ra trường hợp bất kỳ cũng đúng.

Thách thức đối với Wiles là phải xây dựng được lập luận qui nạp chứng tỏ được rằng, mỗi phương trình eliptic trong số vô hạn các phương trình đó phải tương ứng với một dạng modular (cũng có số lượng vô hạn). Rồi bằng cách nào đó, ông phải phân ra các trường hợp và tiến hành chứng minh trường hợp đầu tiên. Khi trường hợp đầu tiên bị đánh đổ thì các trường hợp tiếp theo cũng sẽ đổ một cách dây chuyền giống như những quân cờ đôminô. Quá trình tư duy toán học rốt cuộc đã đưa Wiles đến sự phát hiện bước đột kích đầu tiên trong phép chứng minh bằng qui nạp của mình đang ẩn giấu trong công trình của một thiên tài toán học có cuộc đời rất ngắn ngủi nhưng đầy bi kịch của nước Pháp ở thể kỷ XIX.

Galoa (Evariste Galois) sinh tại Bourg-la-Reine, một làng nhỏ ở phía nam Pari, vào ngày 25-10-1811. Năm 12 tuổi, Galoa vào học tại trường trung học Louis-le-Grand, một trường rất có uy tín nhưng kỷ luật cũng rất khắc nghiệt. Ban đầu chưa được học toán, thành tích học tập của ông cũng cao, nhưng không thật xuất sắc. Chỉ đến năm 16 tuổi, Galoa mới ghi danh theo học lớp toán đầu tiên. Dưới con mắt của các thầy giáo thì chính lớp toán này đã biến Galoa từ một học sinh rất có ý thức thành một học sinh vô kỷ luật. Galoa bỏ bê tất cả những môn khác, chỉ tập trung vào toán học, môn học đã làm bộc phát nên niềm đam mê mãnh liệt trong ông. Nhận xét của nhà trường còn ghi lại: “Học sinh này chỉ học những lĩnh vực cao cấp nhất của toán học. Sự điên rồ toán học đã chiếm lĩnh hoàn toàn cậu bé này. Theo tôi, tốt nhất là bố mẹ cậu bé nên cho phép nó không phải học gì khác ngoài môn toán. Nếu không chỉ làm phí thời gian của nó ở đây và nó sẽ chẳng làm được điều gì khác ngoài việc tra tấn các thầy giáo và làm khổ mình vì những hình phạt”.

Sự khao khát toán học của Galoa chẳng bao lâu đã vượt ra ngoài khả năng đáp ứng của các thầy giáo nên ông phải học trực tiếp từ những cuốn sách mới nhất do các bậc thầy của thời đại đó viết ra. Mới 17 tuổi, ông đã có công trình công bố trên tạp chí Annales de Gergone. Con đường phía trước tưởng như rộng mở đối với cậu bé thần đồng này, nhưng oái oăm thay, chính sự xuất sắc kỳ lạ của Galoa lại là trở ngại lớn nhất cho sự tiến bộ của ông. Mặc dù các kiến thức về toán của Galoa thừa sức để vượt qua các kỳ thi ở trường Louis-le-Grand, nhưng các lời giải của ông thường là mới mẻ và tinh xảo tới mức các vị giám khảo không đánh giá hết được giá trị của chúng. Tình hình còn tồi tệ hơn nữa vì Galoa thường thực hiện quá nhiều những tính toán trong đầu, nên ông không bận tâm tới việc phải trình bày rõ ràng những lập luận của mình trên giấy, làm cho các vị giám khảo lúng túng và thậm chí là thất vọng. Ngoài ra, tính khí nóng nảy và hấp tấp của thiên tài trẻ tuổi này đã làm cho ông không được lòng các thầy giáo cũng như bất kỳ ai đã từng có quan hệ với ông.

Khi Galoa nộp đơn thi vào trường Đại học Bách khoa Pari, một trường có uy tín nhất nước Pháp thời bấy giờ, những câu trả lời ngắn ngủn, thiếu giải thích rõ ràng trong kỳ thi vấn đáp của Galoa đã khiến ông không được nhận vào trường. Galoa khao khát vào được trường Đại học Bách khoa không phải chỉ bởi vì danh tiếng của nó mà còn bởi vì niềm say mê toán học của ông nữa. Một năm sau, Galoa lại nộp đơn thi lại, nhưng lần này, cũng vẫn những suy luận được trả lời kiểu nhảy cóc của ông đã làm cho vị giám khảo tên là Dinét phải bối rối. Khi cảm thấy mình chắc chắn bị rớt lần thứ hai, do bản tính nóng nảy cộng thêm nỗi uất ức và tuyệt vọng, Galoa đã mất hết bình tĩnh, cầm chiếc giẻ lau bảng ném thẳng vào mặt Dinét. Từ đó, Galoa vĩnh viễn không bao giờ trở lại những căn phòng đầy tôn kính của trường Đại học Bách khoa Pari nữa. Ông hướng tới trường Sư phạm, một trường có uy tín chỉ kém trường Đại học Bách khoa đôi chút, và trở thành sinh viên ở đó.

Vào thời Galoa, người ta đã tìm được công thức tính nghiệm của các phương trình đa thức bậc 1, 2, 3, 4, và các nhà toán học đang đua nhau đi tìm công thức để tính nghiệm cho phương trình đa thức bậc 5 mà dạng tổng quát của nó là:

ax⁵ + bx⁴ + cx³ + dx² + ex + f = 0

(Thực ra dạng nguyên thủy của nó là:

(x – x₁)(x – x₂)(x – x₃)(x – x₄)(x – x₅) = 0

với x₁, x₂, x₃, x₄, x₅ là những biến số độc lập, và “ông tổ” của nó là phương trình đa thức tổng quát bậc n!).

Đây là một thách thức rất lớn của các nhà toán học thời đó và nó đã ám ảnh Galoa để vào tuổi 17, ông đã gửi hai bài báo nghiên cứu cho Viện Hàn lâm khoa học Pháp. Cauchy, người được chỉ định làm phản biện hai bài báo đã đánh giá rất cao về công trình của Galoa và xem nó đáng được tham gia cuộc thi giành Giải thưởng lớn về toán học của Viện Hàn lâm. Để qua được vòng loại, hai bài báo của Galoa phải được viết và trình bày dưới dạng một tiểu luận, vì vậy Cauchy đã gửi trả lại cho Galoa và chờ ông nộp lại.

Đến đây thì một sự kiện xảy ra vừa là bi kịch, vừa là một trong những nguyên nhân chủ yếu gây nên những bi kịch sau này của Galoa. Vào tháng 7-1829, một linh mục mới thuộc dòng Jesuit đã tới làng Bourg-le-Reine, nơi mà cha của Galoa đang làm thị trưởng. Bực tức trước sự cảm tình của những người có tư tưởng cộng hòa đối với ngài thị trưởng, viên linh mục này ngấm ngầm mở chiến dịch tung tin đồn bôi nhọ uy tín ngài thị trưởng nhằm làm mất chức ông. Đặc biệt, linh mục hèn hạ này đã viết một loạt những bài thơ thô tục, chế nhạo các thành viên của cộng đồng và tất cả đều ký tên ngài thị trưởng. Cha của Galoa đã không thể chịu nổi sự xấu hổ và đã tự sát. Galoa về chịu tang cha, đã tận mắt chứng kiến cảnh chia rẽ trong làng do gã linh mục gây ra và có thể cũng đã biết chính xác nguyên nhân cha của ông tự sát. Việc chứng kiến cảnh hệ thống nhà thờ đã hạ nhục và hủy hoại cha mình đã củng cố thêm tinh thần ủng hộ nhiệt thành của Galoa với sự nghiệp của những người cộng hòa mà ông vốn đã có cảm tình.

Trở lại Pari, Galoa đã viết gộp hai bài báo thành một tiểu luận và gửi đi trước thời hạn khá lâu. Joseph Fourier, thư ký của Viện Hàn lâm, đã nhận được bài tiểu luận này và cũng đã chuyển nó cho ban giám khảo. Ý tưởng xuất sắc của bài tiểu luận được nhiều nhà toán học và cả Cauchy cho rằng nó đáng nhận được giải thưởng. Nhưng điều oái oăm lạ lùng nhất đã xảy ra. Fourier qua đời một ít tuần trước khi xét giải, và mặc dù chồng các tiểu luận dự thi đã được chuyển cho Hội đồng, nhưng trong đó lại không có tiểu luận của Galoa. Bài tiểu luận này đã không bao giờ được tìm thấy nữa. Một nhà báo Pháp đã ghi lại: “Bài tiểu luận này lẽ ra đã tham gia cuộc thi giành Giải thưởng lớn về toán học. Nó xứng đáng được giải vì đã giải quyết được một số khó khăn mà nhà toán học Lagrange đã không làm được. Ông Cauchy đã có những đánh giá rất cao về tác giả của tiểu luận này. Nhưng điều gì đã xảy ra? Bản tiểu luận bị mất và giải thưởng cũng đã được trao mà không có sự tham gia của nhà toán học trẻ tuổi”.

Galoa cảm giác rằng bài tiểu luận của ông bị thủ tiêu vì sự thiên kiến về chính trị. Cảm giác này càng được củng cố khi năm sau, Viện Hàn lâm lại từ chối một bản thảo tiếp theo của ông với khẳng định rằng “những lập luận của ông không đủ rõ ràng cũng như chưa được phát triển đầy đủ để cho phép chúng tôi có thể đánh giá được sự chặt chẽ của nó”.

Sự kiện đó đã làm cho Galoa phẫn uất, cộng với tính khí nóng nảy và có phần bộp chộp của tuổi trẻ, ông đã bỏ bê, sao lãng việc nghiên cứu toán học, quay sang giành thời gian và sức lực làm những việc kích động mà ông cho là ủng hộ và phục vụ phái cộng hòa. Sự quá khích đó đã làm cho Galoa bị đuổi khỏi trường Sư phạm, phải ra tòa nhưng được xử trắng án, để rồi lại bị bắt giam một tháng vì bị buộc tội đe dọa tính mạng nhà vua, và rồi lại bị kết tội 6 tháng tù giam vì những hành vi chống đối.

Nhà nữ toán học Sophia Germain lúc đó đã nói với một người bạn: “Quả thật là có sự bất hạnh liên quan tới tất cả những gì có dính líu đến toán học. Cái chết của Fourier đã là đòn kết thúc giáng xuống chàng sinh viên Galoa này, người mà mặc dù tính tình rất bướng bỉnh, nhưng đã tỏ ra là có tài năng thực sự. Cậu ấy đã bị đuổi khỏi trường Sư phạm và hiện trong túi không có một xu. Mẹ cậu ấy rất nghèo, vì vậy cậu ấy hiện vẫn đang tiếp tục thói quen hay xúc phạm của mình. Người ta nói rằng cậu ấy sắp điên đến nơi. Tôi sợ rằng điều đó sẽ là sự thật”.

Tháng 3-1832, một nạn dịch tả bùng phát ở Pari và các tù nhân ở Sainte-Pélagic đều được thả, trong đó có Galoa. Điều gì đã xảy ra đối với Galoa trong những tuần tiếp theo thì cho đến nay vẫn còn chưa rõ ràng. Không ai biết chắc chắn mối quan hệ giữa Galoa và Stéphanie, cô con gái của một bác sĩ đáng kính ở Pari, là một thiên tình sử thực sự hay chỉ là một cái bẫy tình đối với Galoa. Theo dư luận công khai thì Stéphanie trước đó đã có hứa hôn với Herbinville, một xạ thủ cừ khôi vào loại nhất nhì nước Pháp. Phát hiện vợ chưa cưới không chung tình, người đàn ông này đã thách Galoa đấu súng.

Trong buổi tối trước ngày ra đấu trường, ông đã viết thư cho bạn bè giải thích hoàn cảnh của mình: “Tôi đề nghị những người yêu nước, các bạn bè của tôi, đừng nên trách móc tôi vì đã chết không phải cho Tổ quốc. Tôi chết vì là nạn nhân của một mụ đàn bà bỉ ổi và hai cú lừa của nó. Tôi đã kết liễu cuộc đời mình trong một trò vu cáo khốn nạn. Trời ơi! Tại sao tôi phải chết vì một thứ vớ vẩn và ghê tởm thế này? Cầu trời chứng giám cho là tôi phải chấp nhận khiêu khích chẳng qua chỉ là do sự thúc ép, một sự khiêu khích mà tôi đã cố gắng lảng tránh bằng mọi cách”.

Cũng trong đêm định mệnh đó, Galoa đã hối hả làm việc suốt đêm, viết lại các định lý mà ông tin là đã giải thích đầy đủ câu đố về các phương trình bậc 5, những ý tưởng mà ông đã gửi cho Cauchy. Vào lúc tàn đêm thì những ghi chép toán học của Galoa hoàn tất, ông vội viết tiếp một bức thư cho bạn mình để gửi gắm:

“Bạn thân mến.

Tôi đã có một số phát minh mới trong giải tích. Phát minh đầu tiên có liên quan tới lý thuyết các phương trình bậc 5 và những phát minh khác có liên quan tới các hàm tích phân.

Trong lý thuyết các phương trình, tôi đã nghiên cứu những điều kiện khả giải bằng căn thức. Điều đó đã cho phép tôi đào sâu lý thuyết này và mô tả tất cả những phép biến đổi khả dĩ trên một phương trình ngay cả khi nó không giải được bằng căn thức. Tất cả đều có thể tìm thấy ở đây trong ba tiểu luận…

Trong đời tôi, tôi thường mạnh dạn đưa ra những mệnh đề mà tôi chưa thật tin chắc lắm. Nhưng tất cả những gì tôi viết ra ở đây đều hết sức rõ ràng trong đầu tôi hơn một năm nay. Vì lợi ích của mình, tôi không muốn để lại một mối nghi ngờ nào cho rằng tôi phát biểu các định lý mà lại không có một chứng minh hoàn chỉnh.

Hãy yêu cầu một cách công khai các ông Jacobi hoặc Gauxơ cho ý kiến của họ, không phải chuyện đúng sai, mà là về tầm quan trọng của các định lý đó. Sau hết, tôi hy vọng một số người sẽ tìm thấy trong mớ lộn xộn này những điều hữu ích cho mình.

E. Galoa”

Bình minh sáng hôm sau, ngày 30-5-1832, trên một cánh đồng vắng vẻ, Galoa và tay thiện xạ đứng đối diện cách nhau 25 bước chân. Tay thiện xạ đi với người làm chứng còn Galoa thì đi một mình. Ông không hề cho ai hay biết trước về cuộc đấu súng này.

Hai khẩu súng phát hỏa. Galoa bị bắn trúng bụng, ngã xuống đất. Tay thiện xạ không hề hấn gì đã cùng người làm chứng bình thản bỏ đi. Vài giờ sau, nghe được hung tin, anh trai của Galoa là Alfred vội lao tới hiện trường và đưa em mình tới bệnh viện Cochin. Nhưng đã quá muộn, màng bụng Galoa đã bị viêm. Ngày hôm sau thì Galoa qua đời.

Mặc dù người bạn của Galoa đã làm tròn bổn phận mà ông gửi gắm là gửi các bản thảo toán học mà ông đã ghi chép cho Jacobi, Gauxơ và nhiều người khác, nhưng hơn mười năm sau. Công trình của Galoa vẫn không được công nhận. Mãi tới năm 1846, khi bản thảo đó rơi vào tay Joseph Liouvilie thì ông này mới hiểu ra được những phát kiến toán học có tính cách mạng của một thiên tài, bèn bỏ ra nhiều tháng để cố gắng giải thích hết ý nghĩa của nó, rồi biên soạn lại và cho công bố trên tạp chí “Toán học thuần túy và ứng dụng” rất có uy tín của ông. Tuy nhiên, phải đợi đến năm 1870, công trình của Galoa mới được giải thích đầy đủ trong tác phẩm “Nghiên cứu các phép thế” của nhà toán học xuất chúng C. Jordan (1838-1922).

Công lao của Galoa đóng góp cho toán học là rất lớn lao. Kể từ thời Phục Hưng, đã hình thành một trào lưu các nhà toán học xuyên qua nhiều thế kỷ đi tìm công thức tính nghiệm phương trình bậc 5. Đến những năm đầu thế kỷ XIX, hầu như cùng lúc định mệnh đã làm xuất hiện hai thiên tài toán học trẻ tuổi nhưng yểu mệnh là Galoa và N. Abel (1802-1829). Bằng hai hướng tiếp cận khác nhau, cả hai ông đều đạt tới kết luận: không thể tìm được công thức tính nghiệm cho các phương trình đa thức tổng quát có bậc lớn hơn 4.

Thành quả của Galoa là xây dựng được một lý thuyết nhằm xác định được:

- Khi nào thì một phương trình đa thức tổng quát giải được bằng căn thức.

- Phương thức tìm nghiệm của phương trình giải được.

- Xác định những bài toán dựng hình được bằng thước kẻ và compa.

Trung tâm lý thuyết Galoa là lý thuyết nhóm, công trình tạo dựng nên những cấu trúc mà ông gọi là “Nhóm các phép thế”.

Chúng ta có thể hiểu “loáng thoáng” cách lập luận để xác định một phương trình đa thức tổng quát là không giải được như thế này: Từ một trường E cho trước, qua một số hữu hạn phép khai căn, cộng, trừ, nhân, chia, tạo ra một trường mới F, rồi chỉ ra cấu trúc nhóm Galoa của các nghiệm của phương trình đa thức tổng quát trên E khác với cấu trúc nhóm Galoa của F. Đây là một dấu hiệu phân biệt vô cùng độc đáo.

Lý thuyết nhóm của Galoa là một kỳ tích trong lịch sử toán học. Chính vì vậy mà ông đã được mệnh danh là người sáng lập ra Đại số hiện đại. Vì phát kiến của Galoa đi trước thời đại quá xa, cùng với việc ông từ bỏ thế giới này quá sớm nên những nhà toán học thời kỳ đó chưa cảm nhận được tư tưởng toán học thiên tài của ông.

Một tính chất quan trọng trong định nghĩa của Nhóm là: khi hai phần tử của một nhóm tổ hợp với nhau thông qua phép toán thì kết quả là một phần tử cũng thuộc nhóm đó và nhóm được gọi là “đóng” đối với phép toán đó. Chẳng hạn có thể nói “Tập hợp các số nguyên là đóng đối với phép cộng”, vì tổng của 2 hay nhiều số nguyên bao giờ cũng là một số nguyên.

Một thế kỷ rưỡi sau, Wiles đã dùng công trình của Galoa làm nền tảng cho chứng minh giả thuyết Taniyama-Shimura của ông.

Bước đầu tiên, Wiles đã đạt được khi ông nhận thấy sức mạnh của các nhóm Galoa. Một số các nghiệm của mỗi phương trình eliptic có thể được dùng để tạo nên một nhóm. Sau nhiều tháng phân tích, Wiles đã chứng minh được rằng nhóm này dẫn tới một kết luận không thể phủ nhận được: phần tử đầu tiên của mỗi dãy E đều thực sự kết đôi với phần tử đầu tiên của mỗi dãy M.

Đó là một đột phá toán học xuất sắc, nhưng để đạt được điều đó, Wiles đã phải mất đứt hai năm rưỡi.

Ngày 8-3-1988, Wiles đã điếng người khi đọc thấy những hàng tít lớn trên trang nhất các báo loan tin rằng Định lý lớn Fecma đã được chứng minh, và giải được bài toán hóc búa này là một người Nhật tên là Yoichi Miyaoka. Tuy nhiên vào thời điểm đó Miyaoka còn chưa công bố chứng minh của mình, mà mới chỉ mô tả những đường nét chính của nó. Đó là cách tiếp cận bài toán một cách hoàn toàn mới: Hình học vi phân.

Hai tuần sau khi mô tả đường nét chính, Miyaoka đã chính thức công bố 5 trang tính toán đại số trình bày chi tiết chứng minh của ông. Sự săm soi của các nhà lý thuyết số và hình học vi phân bắt đầu và chỉ sau ít ngày, một số nhà toán học đã tìm ra mâu thuẫn trong chứng minh.

Một đội quân các nhà lý thuyết số đã ra sức giúp nhà hình học vi phân sửa lại sai sót, nhưng mọi nỗ lực của họ đều dẫn đến thất bại.

Cũng như một số chứng minh khác đã thất bại trong quá khứ, chứng minh của Miyaoka đã cho nhiều kết quả toán học mới và lý thú. Một số đoạn riêng rẽ trong chứng minh đó vẫn được công nhận và được xem là những ứng dụng của hình học vi phân trong lý thuyết số, và nhiều năm sau, dựa trên kết quả đó, các nhà toán học đã chứng minh được những định lý khác.

Sự xôn xao quanh Fecma rồi cũng lắng xuống. Wiles cũng thở phào nhẹ nhõm và lại tiếp tục cuộc chiến đấu của mình.

Sau 3 năm nỗ lực không ngơi nghỉ, Wiles đã có được một loạt các đột phá mới.

Năm 1990, Wiles có cảm giác như mình đang ở trong một căn phòng tối tăm nhất. Ông nhớ lại: “Tôi thực sự tin rằng tôi đã đi đúng hướng, nhưng điều đó không có nghĩa là tôi nhất thiết sẽ đạt được mục đích. Rất có thể những phương pháp cần thiết để giải bài toán này còn là điều bí ẩn đối với toán học hiện tại. Có thể 100 năm nữa những phương pháp mà tôi cần để hoàn chỉnh chứng minh cũng còn chưa được phát minh ra. Vì vậy, ngay cả khi tôi đã đi đúng hướng, tôi vẫn có thể rơi vào cảnh sống nhầm thế kỷ”

Vào năm 1991, trước sự bế tắc, Wiles đã tiến hành một cuộc săn lùng rộng khắp trên các sách báo khoa học để may ra tìm được một kỹ thuật nào đó có thể giúp ông thực hiện một cú đột phá mà ông cần, nhưng chẳng được gì. Sau suốt 5 năm ròng miệt mài làm việc một cách biệt lập, lúc này, ông thấy cần phải quay trở lại cuộc sống với cộng đồng các nhà toán học để có thể nắm bắt được những thông tin mới nhất, vì biết đâu chừng có người đã tìm ra một kỹ thuật mới mà vì một nguyên nhân nào đó chưa công bố. Có một cuộc hội nghị lớn về các phương trình eliptic mở ra ở Boston, và Wiles đã tới đó dự.

Wiles đã được các đồng nghiệp trên khắp thế giới chào đón. Họ rất vui mừng được gặp lại ông sau một thời gian dài ông vắng mặt ở hầu hết các hội nghị. Nhưng họ vẫn không hề hay biết tí gì về điều ông đang nung nấu khi ông hỏi những thông tin mới nhất có liên quan đến các phương trình eliptic. Trong số các thông tin đó, không có thông nào làm ông quan tâm. Cuộc gặp gỡ của Wiles với người thầy cũ của mình là giáo sư Coates có lẽ đã là một tình cờ mang tính định mệnh. Wiles kể: “Coates có nhắc với tôi rằng một nghiên cứu sinh của ông là Matheus Flach đang viết một bài báo rất hay, trong đó có phân tích về các phương trình eliptic. Flach dựa trên một phương pháp mới do Kolyvagin đề xuất và có vẻ như phương pháp của anh ta đã “dọn đường” sẵn cho vấn đề của tôi. Dường như đó chính là cái tôi đang cần, mặc dù tôi biết rằng sẽ còn phải phát triển hơn nữa phương pháp Kolyvagin-Flach đó. Tôi đã vứt bỏ hoàn toàn cách tiếp cận cũ và giành nhiều ngày đêm để mở rộng phương pháp này”.

Wiles trở lại Princeton và giành hẳn vài tháng để làm quen với kỹ thuật mà ông vừa mới phát hiện, rồi sau đó bắt tay vào một nhiệm vụ khổng lồ là áp dụng và thực hiện nó. Chẳng bao lâu sau, ông đã thực hiện được chứng minh bằng qui nạp đối với một phương trình eliptic. Thật không may là phương pháp Kolyvagin-Flach chỉ áp dụng đúng đối phương trình eliptic đó chứ không đúng với phương trình eliptic khác. Cuối cùng Wiles nhận thấy rằng các phương trình eliptic có thể phân loại thành những họ khác nhau. Một khi đã được sửa đổi để đúng với phương trình này thì phương pháp cũng đúng với phương trình khác trong cùng một họ. Thách thức ở đây là phải cải tiến sao cho phương pháp đó luôn đúng đối với tất cả các họ.

Sau 6 năm nỗ lực không mệt mỏi, Wiles tin rằng mình đã nhìn thấy đích. Tuần nào ông cũng tiến bộ hơn. Ông đã chứng minh được rằng những họ phương trình eliptic mới và lớn hơn đều phải là modular, và việc ông chinh phục được những phương trình eliptic còn lại chỉ là vấn đề thời gian. Trong giai đoạn chứng minh cuối cùng này, Wiles chợt nhận ra rằng phương pháp Kolyvagin-Flach mà ông sử dụng là chưa được kiểm tra chặt chẽ. Điều đó làm ông rất lo lắng: “Trong năm đó tôi đã làm việc cực kỳ căng thẳng, cố để làm cho phương pháp Kolyvagin-Flach vận hành được. Nhưng phương pháp này lại liên quan đến cả một bộ máy rất tinh xảo mà tôi thực sự chưa thông thạo lắm. Có rất nhiều vấn đề đại số rất khó, đòi hỏi tôi phải học thêm nhiều kiến thức toán học mới. Sau đó, vào khoảng tháng 1-1993, tôi quyết định phải tiết lộ với một ai đó là chuyên gia của những kỹ thuật hình học mà tôi đang sử dụng. Tôi muốn chọn một cách cẩn thận người mà tôi sẽ tiết lộ bởi vì người đó phải giữ bí mật mọi chuyện. Và tôi đã chọn sẽ nói với Nick Katz”. Giáo sư Katz cũng làm việc ở khoa toán trường Đại học Princeton và quen biết Wiles đã vài ba năm.

Vậy là sau 6 năm làm việc độc lập hoàn toàn, Wiles đã đành phải tiết lộ bí mật của mình. Bây giờ công việc của Kátz là phải đào bới trong cả núi những tính toán đồ sộ dựa trên phương pháp Kolyvagin-Flach. Thực sự, tất cả những điều mà Wiles đã làm được đều có tính cách mạng và Kátz đã phải suy nghĩ rất lâu để tìm cách kiểm tra tốt nhất: “Cái mà Andrew cần phải giải thích là rất lớn và dài, do vậy không thể thông qua những cuộc nói chuyện không chính thức trong phòng làm việc của anh ấy được. Đối với một cái gì đó lớn lao như vậy cần phải có một chuyên đề giảng dạy chính thức, có lịch làm việc hẳn hoi mỗi tuần, nếu không, mọi chuyện không thể thành công được. Điều này giải thích tại sao chúng tôi đã quyết định lập một lớp chuyên đề”.

Thế là họ thông báo mở một lớp chuyên đề cho các nghiên cứu sinh trong khoa. Wiles sẽ giảng và Kátz ngồi nghe chung với sinh viên. Lớp chuyên đề thực chất là đề cập tới phần chứng minh cần phải kiểm tra, nhưng các sinh viên tới nghe sẽ không biết gì về chuyện đó. Cách ngụy trang như thế cũng sẽ không gây một chút nghi ngờ nào trong khoa.

Kátz đã xác nhận rằng phương pháp Kolyvagin-Flach vận hành tốt.

Sau khi kết thúc lớp chuyên đề, Wiles tập trung tất cả sức lực để hoàn tất chứng minh. Vào tháng 5-1993, Wiles tin chắc rằng ông đã có một chứng minh trọn vẹn Định lý lớn Fecma trong tay.

Cuối tháng 6 năm ấy một hội nghị toán học được tổ chức tại Viện Isaac Newton, ở thành phố Cambridge, quê hương của Wiles. Tại hội nghị này Wiles đã đọc 3 báo cáo về công trình chứng minh đồ sộ của mình.

Coates nhớ lại: “Ngày 23-6-1993, Andrew bắt đầu bản báo cáo thứ ba và cũng là cuối cùng. Điều thú vị là tất cả những người đã có đóng góp cho những ý tưởng nằm sau chứng minh này đều có mặt trong phòng hội nghị: “Mazur, Ribet, Kolyvagin và nhiều, nhiều người khác nữa”. Còn Ken Ribet thì nói: “Tôi tới tương đối sớm và ngồi ngay hàng ghế trước với Mazur. Tôi có mang theo cả camera để ghi lại thời điểm lịch sử này. Có một không khí náo nức, mọi người rất hồi hộp chờ đợi. Chắc chắn chúng tôi đều có cảm giác rằng mình đang được tham gia vào một thời điểm lịch sử…”. Mặc dù đã có bản photocopy chứng minh của Wiles trong tay, nhưng Mazur lúc đó vẫn cảm thấy ngạc nhiên: “Tôi chưa bao giờ được chứng kiến một báo cáo vẻ vang như vậy, một bản báo cáo đầy những ý tưởng tuyệt vời…”.

Sau 7 năm nỗ lực và căng thẳng, Wiles đã thông báo chứng minh của ông cho toàn thế giới. Sau này Wiles không nhớ được chi tiết những thời điểm cuối cùng của buổi báo cáo mà chỉ nhớ bầu không khí lúc đó: “… Nhưng có rất nhiều người trong phòng hội nghị mang theo máy ảnh và họ đã chụp tới tấp vào lúc gần kết thúc… Có một sự im lặng đầy trang trọng khi tôi đọc chứng minh và khi tôi viết lên bảng phát biểu Định lý cuối cùng của Fecma. Đoạn tôi nói: “Có lẽ, tôi xin phép dừng ở đây” và sau đó là những tràng vỗ tay không ngớt”.

Câu chuyện về Định lý lớn Fecma đến đây tưởng đã hết, nào ngờ (mấy ai thuộc được chữ ngờ?) vẫn… chưa hết.

Cũng như với bất cứ một bộ môn khoa học nào khác, mỗi một công trình toán học đều phải được kiểm tra một cách kỹ lưỡng trước khi được công nhận là chính xác. Thủ tục học thuật đòi hỏi rằng bất kỳ một nhà toán học nào gửi bản thảo hoàn chỉnh tới một tạp chí có uy tín, thì biên tập viên của tạp chí đó phải gửi nó cho một nhóm những người phản biện để kiểm tra kỹ lưỡng từng dòng một. Chứng minh của Wiles cũng phải đưa cho phản biện kiểm tra một cách gắt gao. Ông đã phải trải qua một mùa hè chờ đợi đầy lo âu với hy vọng cuối cùng ông cũng sẽ nhận được sự tán đồng của họ.

Wiles đã gửi bản thảo cho tạp chí Inventions Mathematicae. Biên tập viên của tạp chí đó là Barry Mazur bắt đầu chọn lọc, tổ chức nhóm phản biện. Theo thông lệ thì chỉ cần chọn hai hoặc ba phản biện, nhưng lần này Mazur quyết định chọn sáu phản biện. Bản chứng minh của Wiles gồm 200 trang, chia ra làm 6 phần, mỗi phản biện chịu trách nhiệm một phần.

Phản biện chương III của bản chứng minh là Kátz, người đã tiến hành kiểm tra phần này cùng với Wiles một năm trước.

Thật bất ngờ, trong phần chứng minh mà Kátz chịu trách nhiệm phản biện xuất hiện một lỗi mà lúc đầu ông nghĩ chỉ là một vấn đề nhỏ và thông tin cho Wiles biết để sớm sửa chữa. Wiles cũng nghĩ như vậy nhưng khi xem xét lại một cách nghiêm túc thì: “Tôi không thể trả lời được ngay lập tức cái câu hỏi có vẻ đơn giản này. Một thời gian tôi nghĩ nó cũng đại loại như những câu hỏi khác thôi. Nhưng rồi đến tháng 9, tôi bắt đầu nhận ra rằng nó không chỉ là một khó khăn tầm thường, mà còn là một lỗi rất cơ bản. Đó là một sai lầm trong phần quan trọng của hệ thống suy diễn có liên quan tới phương pháp Kolyvagin-Flach, nhưng do nó khá tinh tế nên tôi không nhận ra…”.

Khi Kátz nhận ra tầm quan trọng của sai sót mà ông phát hiện ra, ông đã tự trách móc mình là tại sao vào hồi mùa xuân, khi Wiles giảng cho lớp chuyên đề với mục đích duy nhất là nhằm phát hiện ra những sai sót, thế mà ông đã để lọt qua.

Chỉ mới ít tuần trước, báo chí trên toàn cầu còn ca ngợi Wiles như một nhà toán học xuất sắc nhất thế giới, nhưng lúc này, Wiles đang đối mặt với sự nhục nhã, và sự thừa nhận sai lầm. Không chấp nhận ê chề, lại một lần nữa Wiles tập trung mọi nỗ lực để vá lại vết thủng đó: “Tôi không thể đầu hàng được. Tôi đã bị ám ảnh bởi bài toán này và tôi vẫn còn tin rằng phương pháp Kolyvagin-Flach chỉ cần một sửa đổi nhỏ là nó sẽ lại vận hành tốt”.

Wiles hy vọng rằng có thể sửa chữa được sai lầm trước khi cộng đồng các nhà toán học ý thức được rằng đã có sai lầm. Đối với Kátz, đó cũng là một thời kỳ rất căng thẳng: “Vào tháng 10, về nguyên tắc, chỉ có tôi, Illusie (phó phản biện của Kátz) những người phản biện các chương khác của Andrew, là tất cả những ai biết về sai sót này”.

Việc chờ đợi sự công bố bản thảo chứng minh của Wiles khá lâu khiến cho tình hình dư luận ngày một căng thẳng, nhiều tin đồn, nhiều nghi vấn theo hướng bất lợi cho Wiles dần được tung ra. Người ta nhớ lại thất bại của Miyaoka năm 1988 và nghĩ rằng lịch sử có thể đã lặp lại… Tuy nhiên cũng có rất nhiều nhà lý thuyết số trên khắp thế giới rất thông cảm với tình thế của Wiles.

Vào giữa mùa đông, những hy vọng về một đột phá mới đã tàn dần, và ngày càng có nhiều nhà toán học lý sự rằng Wiles phải có trách nhiệm công khai hóa bản thảo. Những tin đồn thổi vẫn tiếp tục và có một bài báo thậm chí còn khẳng định rằng Wiles đã đầu hàng và chứng minh của ông đã sụp đổ không thể cứu vãn nổi. Chính Wiles cũng đã thừa nhận với người bạn thân và cũng là đồng nghiệp tên là Peter Sanark rằng tình hình đang ngày một tuyệt vọng và ông sắp đến lúc phải chấp nhận thất bại. Sanark gợi ý rằng Wiles hãy tìm một người tin cẩn để thử khắc phục sai sót một lần nữa xem sao. Cân nhắc khá lâu, Wiles đã quyết định mời Richard Taylor, giảng viên thuộc trường Đại học Cambridge, tới Princeton để cùng làm việc với mình.

Vào tháng giêng, với sự trợ giúp của Taylor, Wiles một lần nữa lại xông vào khám phá phương pháp Kolyvagin-Flach, cố gắng tìm ra con đường để đưa bài toán ra khỏi bế tắc.

Mùa hè đó, Wiles và Taylor không tiến bộ được một chút nào. Sau 8 tháng nỗ lực và bị ám ảnh liên tục, Wiles lại chuẩn bị chấp nhận đầu hàng. Vì Taylor đã có kế hoạch ở Princeton cho đến hết tháng 9, nên anh đề nghị Wiles hãy cố thêm một tháng nữa. Dù rất thất vọng, Wiles cũng đồng ý.

Trong khi Taylor xem xét lại các phương pháp thay thế khác thì Wiles quyết định dùng trọn tháng 9 để nhìn lại một lần nữa cấu trúc của phương pháp Kolyvagin-Flach để thử chỉ ra một cách chính xác tại sao nó lại không vận hành như ông mong muốn. Wiles vẫn còn nhớ rất rõ ngày định mệnh đó: “Một buổi sáng thứ hai, ngày 19 tháng 9, tôi đang ngồi bên bàn làm việc, kiểm tra lại phương pháp Kolyvagin-Flach. Mặc dù không còn tin nó có thể vận hành tốt nữa, nhưng tôi nghĩ rằng ít ra tôi cũng phải biết được tại sao lại như vậy. Tất nhiên, tôi biết việc này cũng chẳng khác gì mò kim đáy bể, nhưng tôi muốn lấy lại sự tự tin cho mình. Và rồi đột nhiên, hoàn toàn bất ngờ, tôi đã có được sự phát hiện huyền diệu đó. Tôi chợt nhận ra rằng, mặc dù phương pháp Kolyvagin-Flach vận hành không tốt một cách hoàn chỉnh, nhưng đó là những gì tôi cần để làm cho lý thuyết Iwasawa mà tôi thử dùng 3 năm về trước, giờ đây trở nên áp dụng được. Như vậy là từ đống tro tàn của phương pháp Kolyvagin-Flach đã xuất hiện câu trả lời đích thực cho bài toán”.

Lý thuyết Iwasawa là một phương pháp phân tích các phương trình eliptic. Riêng bản thân nó cũng như riêng bản thân phương pháp Kolyvagin-Flach thôi thì không đủ. Kết hợp lại, chúng sẽ bổ sung tuyệt vời cho nhau. Sự phát hiện này đã làm cho Wiles vô cùng hứng khởi: “Nó đẹp đến mức không sao mô tả nổi, mà lại đơn giản và tao nhã nữa. Tôi không hiểu tại sao mà trước kia tôi lại không nhìn ra. Tôi chằm chằm nhìn vào nó trong hơn 20 phút mà vẫn tưởng mình mơ…”.

Lần này thì không ai có thể nghi ngờ gì về chứng minh của Wiles được nữa. Hai bài báo, cả thảy gồm 130 trang, là những bản thảo toán học được săm soi kỹ lưỡng nhất trong lịch sử và cuối cùng đã được công bố trên tạp chí Annals of Mathematics vào tháng 5-1995.

Ngày 27-6-1997, Andrew Wiles đã được trao Giải thưởng Wolfskehl với giá trị khoảng 50 ngàn đôla Mỹ.

Chứng minh của Wiles là một tuyệt phẩm của toán học hiện đại. Nó đồng thời đáp ứng được một cách mỹ mãn đòi hỏi cấp bách của nền toán học đương đại và khát vọng cháy bỏng đầy cảm tính của con người.

Rốt cuộc thì rồi Định lý lớn Fecma cũng đã được chứng minh dù rằng bằng một con đường có vẻ kỳ quặc, ít ai có thể ngờ tới. Thế nhưng đó cũng có thể là một minh chứng tốt cho tính thống nhất, liền lạc, không thể tách rời được của một Vũ trụ số rời rạc, có thể phân loại, tạo nhóm được.

Tuy nhiên, câu chuyện về Định lý lớn Fecma có thể vẫn chưa kết thúc vì chứng minh nó là một chuyện còn đi tìm chứng minh mà Fecma cố tình làm cho thất lạc lại là chuyện khác.

Không thể chối cãi được rằng về mặt kỹ thuật, chứng minh của Wiles, dựa trên những phát kiến toán học mà nền toán học của thế kỷ XX có được, không thể tương đồng với chứng minh của Fecma, chỉ dựa trên nền tảng toán học “lạc hậu” của thế kỷ XVII.

Thế nhưng, vì chẳng thấy hồn vía chứng minh của Fecma ở đâu cả nên cũng có thể đặt câu hỏi: phải chăng thực sự Fecma đã chứng minh được nó hay là đã có một chứng minh nhưng hoàn toàn sai lầm mà ông không biết? Và sau 350 năm vật lộn với Định lý lớn Fecma, đám hậu bối dù đã chiến thắng nó thì vẫn làm cho rất nhiều người còn băn khoăn. Phải chăng đó cũng là một biểu hiện thiên tài của Ông hoàng nghiệp dư?

***

Có thể nói Vũ trụ số là hình ảnh toán học của Vũ Trụ khách quan. Vũ Trụ khách quan là một thực thể không phải thực thể và biến đổi tận chân tơ kẽ tóc một cách diệu kỳ đến bất tận nhưng hóa ra cũng bất biến. Vì vậy mà Vũ Trụ số cũng chính là một Modular vĩ đại?

Chúng ta đã định kể xong Định lý lớn Fecma thì sẽ hướng bộ não đầy hoang tưởng của mình đến những vấn đề khác với những câu chuyện hay ho khác. Thế nhưng chính nội dung câu chuyện này đã để lại dư âm quá đỗi ồn ào khiến chúng ta vẫn không thể từ bỏ được Vũ Trụ số, và còn thôi thúc chúng ta phải ngoái lại để nhìn ngắm nó một lần nữa.

Nền tảng của Vũ Trụ số, biểu hiện ra một cách rời rạc, là tập hợp những con số 1 và chúng ta có thể biểu diễn thành một dãy những con số đó:

1, 1, 1, …

Khi quan sát một số lượng như thế thì yêu cầu tự nhiên của nhận thức là phải định lượng nó, nghĩa là phải đếm, phải tổng kết:

1 + 1 + 1 + …

Nếu Vũ Trụ số là vô hạn thì nó gồm có vô hạn (

) số 1. Nếu Vũ Trụ số là hữu hạn thì nó chỉ gồm N số 1 (với N là số tự nhiên cực đại). Khi nhận thức đã tạo được ra số N thì có nghĩa là trước đó nó đã tạo được ra dãy số đếm. Cũng vì xuất hiện dãy số đếm mà từ cách viết:

có thể chuyển sang cách viết:

1 + 1 + 1 + … + 1 = N

và cách viết:

Nếu những số 1 ở trên là đơn vị tuyệt đối của Vũ trụ số thì khoảng cách giữa hai số đếm liên tiếp là số 1 tuyệt đối. Nếu những số 1 đó là tương đối thôi thì khoảng cách đó cũng là số 1 tương đối và bằng một tổng nào đó của số 1 tuyệt đối. Tổng đó sẽ vô hạn độ nếu Vũ trụ số là vô hạn.

Biểu hiện của Vũ trụ khách quan có tính nước đôi nên hình ảnh toán học của nó là Vũ trụ số cũng có tính nước đôi. Một trong những biểu hiện về tính nước đôi của Vũ trụ số là lúc thì thấy nó hữu hạn, lúc lại thấy nó vô hạn. Chính vì vậy mà dãy tổng các số đếm dù có thể là kết thúc bằng số đếm n nào đó thì vẫn cứ hàm chứa sự vô hạn. Cũng chính vì thế mà dù n là số đếm cực đại thì vẫn tồn tại một số tự nhiên N > n không thuộc dãy tổng các số đếm nhưng đồng thời cũng là số đếm.

Có thể biện luận để từ dãy các số đếm, với số 1 chỉ là đơn vị tương đối, qua sự biến đổi nào đó bằng các phép toán cơ bản, xuất hiện một dãy gồm tất cả các loại số thực. Tuy nhiên, ở đây chúng ta chỉ nói về các số tự nhiên và số nguyên.

Từ đẳng thức

, thông qua 4 phép toán cộng, trừ, nhân, chia, chúng ta có thể viết:

với

là một số nguyên nào đó.

Vì Vũ trụ số có hằng hà sa số các dãy số đếm nên có thể viết:

Chúng ta cho rằng

là dạng thức nguyên thủy, sơ khai nhất và cũng tổng quát nhất của tất cả các đa thức, các phương trình đa thức được tạo dựng nên một cách tự nhiên (hợp lý!).

Viết được

thì cũng sẽ viết được:

với A, B là số nguyên.

Vế trái của

được biết với một cái tên nổi tiếng là “Nhị thức Niutơn” và có thể khai triển:

Có thể biểu diễn các thừa số k_i theo qui ước của toán tổ hợp:

với p = 1, 2, …, n+1

Và viết lại:

Nếu đặt A (hoặc B) bằng X (ẩn số), còn các số còn lại coi như đã biết và đặt lại ký hiệu các thừa số thì chúng ta sẽ có phương trình đa thức tổng quát của tự nhiên:

với k_n = Bⁿ - Nⁿ

Nếu chúng ta tùy tiện thay đổi trị số của các thừa số k_i thì sẽ được vô số kể các phương trình đa thức của tự nhiên lẫn nhân tạo mà trong đó chỉ có những phương trình thỏa mãn k hoặc l mới có nghiệm nguyên hoặc có thể nói những phương trình có nghiệm nguyên là những phương trình có thể đưa được về dạng tổng lũy thừa của 2 số nguyên bằng một số nguyên có lũy thừa cùng bậc

Thí dụ:

1- Có phương trình bậc 2:

. Có thể phân tích thành:

Do đó xuất hiện:

Nghiệm của nó là 1 số nguyên, x = 2. Điều này chỉ đúng trong Thế giới số hữu tỷ (vì xuất hiện số thập phân) chứ không đúng trong Thế giới số nguyên. Tuy nhiên, nếu nhân 2 vế của phương trình lên 4 lần thì nghiệm x = 2 lại đúng trong thế giới số nguyên:

2- Từ phương trình bậc 2:

, có:

Thí dụ này ủng hộ cho nhận định trên!

3- Từ phương trình

, chúng ta cũng thiết lập được:

Vì 24 không phải là một số chính phương nên không thỏa mãn

và do đó mà:

là một số không nguyên

Hay có thể nói trong Thế giới số nguyên, bài toán này không có nghiệm.

Ở đa thức

, nếu chúng ta đặt:

thì ngay lập tức chúng ta biết được rằng M ắt hẳn phải là số nguyên.

Trước hết chúng ta viết lại

theo ký hiệu mới:

Nếu x, k, z là những số chẵn thì chúng ta có thể chia 2 vế của (bây giờ gọi là) phương trình

cho

. Và nếu vẫn còn hiện tượng 3 số đều chẵn thì tiếp tục thực hiện việc ước lược như thế cho đến khi đạt kết quả cuối cùng là lũy thừa của tổng một số lẻ và một số chẵn bằng một số lẻ có lũy thừa cùng bậc. Không thể có trường hợp cả ba số cùng lẻ vì tổng của hai số lẻ là một số chẵn.

Triển khai

và đưa ký hiệu

vào, chúng ta được

Nhìn lại

chúng ta thấy: luôn luôn chọn được một số D để cho:

Do đó có thể viết lại:

Chúng ta thấy rằng vì M luôn là một số chẵn nên M + 1 phải là số lẻ. Do tính chất của phép cộng số chẳn lẻ mà dãy khoảng cách của một dãy lũy thừa bất kỳ, luôn là dãy số lẻ, và khi viết như

thì rõ ràng M + 1 chính là khoảng cách của hai số lũy thừa liên tiếp xⁿ, zⁿ (với z = x + 1) trong dãy số lũy thừa n.

Một câu hỏi lớn đặt ra là có khi nào tồn tại:

để nghiệm đúng được:

Đó cũng chính là thách đố của Fecma!

Khi n=0 thì

tồn tại, khi n ≥ 1 thì

luôn tồn tại (nhưng chưa chắc là có nghiệm nguyên). Khi n = 2 thì:

và phương trình này luôn có nghiệm khi khoảng cách giữa hai số bình phương là một số lẻ bình phương, hay có thể nói khi n = 2 thì phương trình

có vô số nghiệm nguyên.

Khi n = 3:

Giải phương trình này, đối với trình độ toán học còn ở thời cổ đại của chúng ta, là một công việc quá kinh khủng, cho nên cần phải tìm một con đường khác, có thể là “xấu xí” và thực dụng hơn, nhưng may ra còn có thể vớ được chút gì đó. Đi đâu đây? Hình như các nhà toán học đã xục xạo mọi nơi trong Vũ trụ số rồi. Thôi thì cứ quay lại con đường mà chúng ta đã đi và cho rằng con đường đó chưa bị “cày nát” bởi các nhà toán học cổ kim. Chúng ta hãy viết lại dãy số đếm lập phương cùng với các dãy số khoảng cách của nó để ngắm nghía lại và “dò dẫm” nó:

Chúng ta gọi b là khoảng cách của 2 số lập phương liên tiếp x³ và z³, thì:

x³ + b = z³

Nếu chứng minh được có một số lẻ y nào đó để cho b = y³ thì phương trình Fecma với n = 3 sẽ có nghiệm nguyên.

Đầu tiên, chúng ta nhận thấy rằng nếu tồn tại một số b = y³, với ràng buộc z = x + 1 thì nó phải nhỏ hơn x³, nghĩa là nó phải là một số lập phương lẻ nằm đâu đó trước x³ trong dãy số đếm lập phương.

Ở dãy số đếm bình phương, dãy số khoảng cách của nó là dãy số lẻ cơ bản, nên dãy này cũng chứa chấp toàn bộ các loại số lẻ lũy thừa các cấp và riêng các số lẻ bình phương thì đều có mặt trong dãy số bình phương nên không những có thể viết:

x² + y² = z²

mà còn viết được:

x² + y^m = z², với m = 1, 2, 3, …

để cho ra vô số bộ nghiệm nguyên

Với ràng buộc z = x + 1 thì y^m < x² cũng là một tất yếu. Nói thêm, khi n = 2, nếu có bộ ba số x’, y’. z’ với x’ chẵn và z’

x + 1 là nghiệm đúng của phương trình thì cũng có bộ ba số x, y, z với z = x + 1 là nghiệm đúng của nó và ngược lại, nếu x, y, z với z = x + 1 là nghiệm đúng của phương trình Fecma thì cũng có ít nhất một bộ số x’, y’, z’ với z’

x + 1 và x’ + y’ = z, là nghiệm đúng của nó. Điều đó đúng luôn khi n > 2.

Có thể lấy một thí dụ cho n = 2:

- Cho y² = 2x + 1 = 13², suy ra x = 84 và z = 84 + 1 = 85. Vậy có ba số x = 84, y = 13, z = 85 là nghiệm đúng của phương trình Fecma khi n = 2.

84² + 13² = 85²

Vì có nghiệm là bộ ba số như trên (với điều kiện z = x + 1) nên cũng sẽ có bộ 3 số khác (với z’

85 và x’ + y’ = 85) là nghiệm đúng của phương trình Fecma khi n = 2, và chúng ta đã dò dẫm được:

60² + 25² = 65²

- Nếu có: 20² + 21² = 29², thì vì:

(40 + 1)² = 41²

nên cũng có:

402 + 2 x 40 + 1 = 40² + 9² = 41²

Qua quan sát trực quan, chúng ta còn thấy điều nữa là trong khi dãy khoảng cách của dãy số đếm bình phương là dãy số lẻ tăng dần đều (cấp số cộng) với số lượng (công sai) là 2 đơn vị, thì dãy khoảng cách của dãy số đếm lập phương là dãy số lẻ tăng dần một cách có “gia tốc” (nhanh dần).

Như chúng ta đã biết, trong vật lý học, vận tốc của một chuyển động nhanh dần đều được tính theo công thức:

v_t = v_o + at

với: v_o là vận tốc ban đầu

v_t là vận tốc sau khoảng thời gian t

a là gia tốc

Ở đây, chúng ta cho rằng:

v_o là số trị khoảng cách ban đầu và bằng 1

v_t là số trị khoảng cách nào đó cần tìm

a là bằng 6

t là tổng số thứ tự nào đó để có v_t;

thì có thể áp dụng công thức vật lý trên để tính ra bất kỳ số hạng nào trong dãy khoảng cách của dãy số đếm lập phương.

Chẳng hạn với t₂ = 1 (tổng số thứ tự là 1) thì số hạng thứ hai của dãy khoảng cách là:

V₂ = v_o + at = 1 + 6 x1 = 7

Trong trường hợp t₂ = 3 (tổng số thứ tự là 1 + 2) thì:

V₂ = vo + at = 1 + 6 x 3 = 19

Trong trường hợp t₃ = 1 + 2 + 3 = 6, thì:

V₃ = vo + at = 1 + 6 x 6 = 37

…

v_t chính là số trị b của một khoảng cách nào đó giữa hai số lập phương liên tiếp x³ và z³ (với z = x + 1) mà x³ + b = z³.

Chúng ta cho rằng nguyên nhân sâu xa gây ra sự không có nghiệm nguyên đối với phương trình Fecma khi n > 2 là hiện tượng phát triển có gia tốc trong nội tại dãy khoảng cách của dãy số đếm lũy thừa. Nếu chứng minh được phương trình Fecma với n = 3 vô nghiệm (nguyên) thì những phương trình Fecma với n > 3 “càng” vô nghiệm.

Từ phương trình: y³ = 3x² + 3x + 1, có thể viết thành:

y³ = (x + 1)² + x(x + 1) + x²

Vì z = x + 1, nên chúng ta có phương trình bậc hai đối với ẩn số z:

z² + xz +x² – y³ = 0

Nghiệm của phương trình này là:

Muốn có nghiệm nguyên thì trước hết

phải cho kết quả là một số nguyên chẵn t nào đó, và có thể viết:

(Đây chính là một dạng của phương trình eliptic).

Cộng và trừ vế trái cho 3x² thì có:

Suy ra:

Vì x là một số chẵn nên x² không thể thuộc dãy khoảng cách của bất cứ dãy số đếm lũy thừa nào và trong trường hợp đã qui ước ở đây, nó phải là thành viên của dãy số đếm bình phương.

Vì y³ là một số lẻ nên nó luôn thuộc về dãy khoảng cách của dãy số đếm bình phương (dù cũng có thể có mặt trong dãy khoảng cách của nhiều dãy số đếm lũy thừa khác). Nếu biểu thức:

tồn tại một cách chân lý thì z’ phải là một số lẻ e² nào đó thuộc dãy các số đếm bình phương. Lúc này, có thể viết:

Muốn thế, vế trái phải viết được:

Từ đó:

Một số lẻ sẽ không bằng một số chẵn được nên kết quả vừa xuất hiện là một “kỳ quái”. vậy thì z’ không bao giờ hiện hữu được trong dãy các số đếm bình phương.

Nhưng z’ có hiện hữu được trong dãy số đếm lập phương không? Rất có thể! Tuy nhiên phải cho rằng vì lúc này nó thỏa mãn biểu thức:

cho nên nó vẫn “chính thức” đang là thành viên thực sự của thế giới số đếm bình phương. Sự xuất hiện của nó trong dãy số đếm lập phương chỉ được coi như một sự “tình cờ thú vị”.

Muốn khẳng định z’ là thành viên chính thức, “không chê vào đâu được” trong dãy số đếm lập phương thì cả biểu thức

cũng phải thuộc về thế giới số lập phương, nghĩa là x² phải chuyển biến thành x³, và vì thế:

để có:

Vì

là điều kiện tiên quyết của bài toán nên nó phải được ưu tiên thỏa mãn và cũng vì:

Và:

không thể cùng đồng thời tồn tại một cách chân lý, cho nên biểu thức:

là sai, phải bị loại trừ.

Vậy, phương trình Fecma với n = 3 vô nghiệm. Hơn nữa, tất cả các phương trình Fecma với n > 3, do bị chi phối bởi hiện tượng “gia tốc” trong dãy khoảng cách của chúng, nên cũng đều không có nghiệm nguyên.

Sự biện giải một cách “nhanh nhảu” ở trên có làm cho chúng ta trở thành một nhà toán học có chút tài của thế kỷ XXI không? Chắc là không thể hy vọng vào điều đó được rồi vì khi xem lại, chúng ta đã thấy toàn ngù ngờ, mù mờ và một lỗ hổng kiến thức quá lớn phơi bày ra rành rành, không có cách gì “lấp liếm” nổi.

Thôi, “ba mươi sáu chước, chước chuồn là hơn cả” (tam thập lục kế, dĩ đào thượng sách), chúng ta nên rời khỏi đây để… thò mũi vào chuyện khác.

Mời xem:

Bạn Trỗi K6

Chủ Nhật, 4 tháng 1, 2015

THỰC TẠI VÀ HOANG ĐƯỜNG 37

THỰC TẠI VÀ HOANG ĐƯỜNG (IV)

PHẦN IV: BÁU VẬT

CHƯƠNG IV: DỊ THẢO

LỜI PHÂN TRẦN

PHẦN I: CÓ MỘT CÁI GÌ ĐÓ

PHẦN II: NỀN TẢNG

PHẦN III: NGUỒN CỘI

PHẦN IV: BÁU VẬT

Người đăng bài

0 comments:

DS Bạn Trỗi

Lưu trữ Blog

Bài đăng gần đây

Tin buồn: bạn Nguyễn Xuân Lộc mất

Bài đăng phổ biến

Chuyên mục

Chủ Nhật, 4 tháng 1, 2015

THỰC TẠI VÀ HOANG ĐƯỜNG 37

THỰC TẠI VÀ HOANG ĐƯỜNG (IV)

PHẦN IV: BÁU VẬT

Người đăng bài

0 comments:

Tìm trong Bạn Trỗi K6

DS Bạn Trỗi

Lưu trữ Blog

Bài đăng gần đây

Bài đăng phổ biến

Chuyên mục