THỰC TẠI VÀ HOANG ĐƯỜNG 36

Thứ Năm, tháng 1 01, 2015

THỰC TẠI VÀ HOANG ĐƯỜNG (IV)

ĐẠI CHÚNG

Nguyễn Ngọc Chi

Chi cố
0903 714 111
SG

1970

2011

PHẦN IV: BÁU VẬT

“Lạc vào cõi mộng Tự Nhiên
Thẫn thờ một bóng giữa miền Siêu Linh
Nhặt lên hòn ngọc bí huyền
Mắt ai thăm thẳm đắm nhìn mắt ai.”

Thầy Cãi

CHƯƠNG III: KIM ÂU

“Không một bài toán nào gây băn khoăn sâu sắc cho loài người bằng bài toán về sự vô cùng. Không một ý tưởng nào có tác động mạnh mẽ lên ý thức bằng ý tưởng về sự vô cùng. Và, cũng không có khái niệm nào lại mù mịt như khái niệm vô cùng”.

D. Gilbert

Như đã nói, số học và hình học là hai bộ phận hợp thành toán học. Chúng là hai thể đối ứng tương phản nên độc lập tương đối so với nhau. Nói như thế không có nghĩa là chúng đối lập hoàn toàn với nhau mà thực ra vì cùng xuất thân từ Thực Tại và có chung một nền tảng nên dù có thể phân biệt được, dù “lưỡng phân” thì trong cái này có cái kia và ngược lại (trong âm có dương và trong dương có âm), hay có thể nói một trong những công cụ của số học là hình học và đồng thời một trong những công cụ của hình học là số học. Nói đến lưỡng phân thì phải nói đến lưỡng hợp, nói đến phân biệt được thì phải nói đến không phân biệt được, đó là đặc tính của Tồn Tại. Do vậy số học và hình học phải hòa hợp với nhau (như đại số tuyến tính, hình học giải tích…) mà thành một thực thể toán học thống nhất, sinh động và biến ảo như mọi sự vật - hiện tượng khác trong cái Thực Tại đích thực lẫn Thực Tại hạng hai (mà từ nay chúng ta đặt tên lại cho chúng là Thực Tại thực và Thực Tại ảo), hay có lẽ, để cho đúng hơn, phải nói là trong Thực Tại hòa quyện cả thực lẫn ảo (vì việc phân ra một cách siêu hình Thực - Ảo là không phù hợp với Thực Tại và chúng ta tạm chấp nhận thế để khỏi xuất hiện… mâu thuẫn).

Trong chương này chúng ta sẽ nói về số học (và chỉ có thể nói một cách ngây ngô và thô lậu mà thôi).

Số học bắt đầu từ đâu?

Trả lời một cách chính xác nhất mà cũng mù tịt nhất là: số học có nguồn gốc từ thực tại. Câu trả lời bớt mông lung hơn nhưng cũng kém chính xác hơn là: số học bắt đầu từ sự “giống như” đếm, với sự sắp xếp những hiện vật biểu tượng cho số. Câu trả lời đễ hình dung nhất và kém chính xác nhất là: số học ra đời khi xuất hiện các con số và sự đếm. Còn muốn hoàn toàn rành mạch và hoàn toàn chính xác thì có thể trả lời thế này: Pitago là ông tổ của số học.

Để còn có thể tiếp tục tiến lên phía trước (theo kiểu đi thụt lùi cũng được, hay muốn nói đi lùi về tương lai cũng không sao, miễn là “tiến”!), chúng ta cứ thừa nhận rằng số học bắt đầu từ sự đếm.

Còn sự đếm bắt đầu từ đâu? Không biết! Sao không biết khi số học là cái khó hơn còn biết trả lời? Vì trả lời kiểu như thế thì “nước đôi” quá, một lần cho vui thôi chứ lặp lại e… không tiện. Sao lại không tiện? Vì là, vì là, vì là… chưa… chưa có, có… qui ước, thì, thì không thể… thể… quyết định được.

Ngay cả một mệnh đề toán học, nếu các ký hiệu văn tự trước đó chưa được giải nghĩa (chưa hàm chứa khái niệm), thì cũng “câm nín”, cũng là là “đồ bỏ đi”; ngay cả một tiên đề nếu không không nằm trong những qui ước trước đó, thì cũng trở nên phi lý. Nói to tát ra: toán học chỉ chính xác khi nằm trong qui ước nhưng cũng chỉ chính xác trong một phạm vi nhất định, vì bản chất của Thực Tại là nước đôi.

Vì không có qui ước nên không thể trả lời chính xác được là sự đếm bắt đầu từ đâu. Ngày nay nhiều biểu hiện ở những động vật bậc cao được nuôi dạy hoặc cả trong thiên nhiên hoang dã mà người ta đoán rằng chúng biết đếm. Nhận định đó có thể đúng mà cũng có thể sai và để gọi thế nào là đúng, thế nào là sai thì trước tiên phải qui ước: đếm là gì. Một con chó sủa 1 tiếng khi người dạy nó giơ 1 ngón tay, sủa 3 tiếng khi giơ 3 ngón tay và khi viết lên bảng 3+1 thì nó sủa 4 tiếng. Vậy con chó đó có biết đếm và làm toán cộng (+) chưa? Đó là một câu hỏi không thể trả lời dứt khoát được, hay nói một cách toán học là không thể quyết định được… Tuy nhiên nếu “hỏi” con chó: “Số 3 là gì?” thì nó sẽ chỉ sủa; “3 là 3” và không thể biết được: 3 là 1+1+1 hoặc là 1+2.

Nói dông dài cho vui thế thôi chứ NTT đã có lần dạy chúng ta rằng: sự đếm và những con số tất yếu phải nảy sinh trong thực tiễn hoạt động sống và mưu sinh của con người thời hồng hoang, tối cổ, và là một kết quả của quá trình quan sát, tìm hiểu thiên nhiên để học hỏi, bắt chước thiên nhiên, dựa vào thiên nhiên mà sáng tạo.

NTT dạy chúng ta thế và chúng ta hãy cứ biết thế. Đừng có “này nọ” với NTT làm gì đâm to chuyện! NTT chúa là gàn rở và hay “cáu tiết”. Chúng ta đã có nhiều kỷ niệm “đau thương” với NTT. Xin kể ra đây một kỷ niệm trong số đó:

Xưa kia, có lần chúng ta hỏi NTT (một cách rụt rè):

- Thưa NTT, “sáng tạo” là gì ạ?

- Là làm ra cái mà trước đó thiên nhiên chưa có.

- Thế thì thưa ông, đám mây đang lơ lửng trên bầu trời kia, với hình dạng mà cả tỷ năm trước không có đám mây nào giống thế, thì nó có phải là được sáng tạo không ạ?

NTT cười ruồi:

- Không, không phải. Đó là sự tạo dựng

- Tạo dựng khác sáng tạo ở chỗ nào ạ?

- Tạo dựng là mù quáng, thụ động và không có mục đích, sáng tạo là lý trí, chủ động và có mục đích. Tạo dựng không biết tạo dựng để làm gì còn sáng tạo biết sáng tạo để làm gì. Hiểu chưa?

- Vâng, hiểu rồi ạ! Nhưng xin ông cho hỏi thêm câu nữa: Ngày xưa, Lang Liêu làm ra cái bánh chưng đầu tiên, rõ ràng đó là sáng tạo, vậy thì ngày nay người ta làm ra những cái bánh chưng giống hệt như thế có được gọi là sáng tạo không ạ?

- Không, không thể gọi như thế mà phải gọi là tạo dựng. Hãy nên nhớ rằng những sự lặp lại không thể hiện tý khôn ngoan nào đều không thể được gọi là sáng tạo. Mà này, nói cho cùng ra thì Lang Liêu củng chỉ tạo dựng ra bánh chưng mà thôi và chính vị nữ thần kia mới là kẻ sáng tạo, vì bà là người đã nghĩ ra và chỉ cho Lang Liêu làm… Con người không thể làm ra được điều gì hay ho nếu không biết học hỏi, bắt chước, dựa vào thiên nhiên… Các anh hãy học thuộc điều ấy, nhớ chưa lũ ưa bắt bẻ? - NTT bắt đầu đỏ mặt tía tai.

Trong chúng ta có một đứa vô ý vô tứ cười ré lên:

- Thế thì con người cũng chỉ tạo dựng thôi chứ làm gì có sáng tạo? Và chính sự tạo dựng mù quáng mới là sáng tạo vì nó… không bắt chước cái gì cả, hơn nữa, tạo dựng cũng có tính mục đích, mục đích của nó là tồn tại!

- Cái thằng ngố này, biết một mà không biết hai. Tạo dựng dù không biết bắt chước, dù có mục đích là tồn tại đi chăng nữa thì nó vẫn cứ chỉ là một quá trình tạo dựng vô tình, thụ động và muốn ra sao thì ra. Sáng tạo cần phải học hỏi bắt chước vì sáng tạo trước hết là phải biết tạo dựng một quá trình cố ý để có được kết quả mới mẻ cho ra ngô ra khoai theo ý muốn. Có thể nói sáng tạo là tạo dựng ra cái mới của con người nhằm phục vụ cho danh lợi của mình, là…

- Nhưng thưa, thế nào gọi là “mới mẻ” ạ?

- Ta đang giảng giải cho mà sáng mắt ra, thế mà anh nào lại mở mồm ra nữa thế?... Thật không biết phép tắc lịch sự là gì!... Và cả sự ngớ nga ngớ ngẩn của đám các anh nữa, không biết đến đâu mà lường. Thôi thì ta nói nhanh gọn thế này: sáng tạo thì cũng là bộ phận của tạo dựng nên cứ thoải mái cho rằng trên đời này chỉ toàn là tạo dựng mà thôi, muốn chọn ra thứ nào gọi là sáng tạo cũng được…

- Nhưng Kim Tự Tháp vẫn mãi mãi là niềm tự hào sáng tạo của loài người, không thể phản bác được!

Câu nói đã làm NTT mất bình tĩnh ghê gớm:

- Không có qui ước nào cả mà dám khẳng định thế hả, bọn nhãi ranh?! Kim Tự Tháp là kết quả tạo dựng của nhân dân Ai Cập cổ đại và chỉ có họ mới có quyền tự hào (trong đau thương) về nó. Cố lắm thì cũng chỉ nói vậy được thôi. Biết bao nhiêu sinh linh đã uổng mạng vì Kim Tự Tháp, biết bao nhiêu tội ác còn ẩn chứa trong đó, có biết không hả bọn khốn kia?! Đối với thế hệ loài người ngày nay Kim Tự Tháp, dù là nhân tạo, thì cũng đã thuộc về thiên nhiên, là bộ phận của thiên nhiên rồi, chứ nào phải là sáng tạo của họ đâu mà tự hào? Hơn nữa loài người, xét cho cùng cũng chỉ là tạo vật của Thiên nhiên và nói theo quan điểm của thiên nhiên thì: “Chả có sáng tạo nào ở đây cả!”. Rõ chưa hả những thằng “vô ước”?! Thôi, cút đi cho khuất mắt ta!...

Chúng ta không đi mà… chạy như bị ma đuổi. Từ lần đó, chúng ta đã đại ngộ một điều rằng: đừng bao giờ “chắc như đinh đóng cột” khi chưa có qui ước và cả khi đã có qui ước.

Phải nói rằng nhờ tò mò tọc mạch, lại hay hỏi những câu vặt vãnh mà chúng ta đã học được biết bao nhiêu điều mới lạ (còn đúng hay không thì không quyết định được!) từ NTT, những lúc ông ôn tồn giảng dạy cũng như khi ông chửi bới cho tơi bời.

Có lẽ sự đếm đã manh nha trong thời đại săn bắt hái lượm. Lúc đầu là kiểu đếm “tạm gọi là” trực quan, “người thật, vật thật”, rồi đến kiểu đếm “người thật, vật giả” (vật thay thế, như: sỏi, viên đá, que, vỏ sò, ngón tay… chẳng hạn). Sau đó là dùng khắc vạch giản đơn. Khắc vạch giản đơn cùng với những nhóm khắc vạch biểu diễn số lượng, lâu dần tạo ra những biểu tượng và “bật ra” thành ngôn ngữ qui ước, manh nha hàm chứa khái niệm. Vào thời đại trồng trọt, chăn nuôi và nhất là khi con người lấy định cư lâu dài và sản xuất cây lương thực (lúa nước, lúa mì…) làm phương thức sống chủ yếu thì do đòi hỏi bức thiết mà sự đếm tiến bộ nhanh chóng và cùng với nó là các ký hiệu số, biểu trưng số lượng được cải tiến ngày một hoàn thiện theo hướng tối ưu, nhất là các phép toán.

Xem xét sự đếm theo hướng khác, chúng ta thấy rằng điều kiện hiển nhiên và tiên quyết là phải có đơn vị nhỏ nhất để từ đó mà sự đếm bắt đầu. Nhận thức về số lượng của con người trong lịch sử, chắc chắn cũng phải bắt đầu từ cái đơn vị, cái đơn vị nhỏ nhất, mà sau này gọi là cái “một” hay ký hiệu là “1”. Sự đơn chiếc là hình tượng trực quan nhất và đồng thời cũng là trực giác nhất. Khi đã biết có cái một rồi thì từ đó cũng sẽ có hai cái một, ba cái một… và khi “gom” chúng lại thì cũng là lúc sự đếm bắt đầu.

Sự đếm ra đời từ việc con người mở miệng ra… đếm, và có thể là (theo cách nói hiện đại), lúc đầu từ:

“Một, nhiều”

rồi: “Một, nhiều, nhiều và một, quá nhiều”

…

Cuối cùng, dựa vào cấu trúc bàn tay năm ngón mà họ đếm:

“Một, hai, ba, bốn” và năm là số tối đa còn đếm được.

Nếu giả sử chúng ta chính là những con người tối cổ thời “bập bẹ” tập đếm thì lúc đầu, khi “đếm” mới chỉ là trực quan và được thực hiện bằng tay với việc “bốc, xếp” những viên sỏi thì để đếm từ 1 đến 5, có thể chúng ta đã “viết” như sau:

Sự đếm phát triển và vì có hai bàn tay nên chúng ta “đếm” tiếp:

Theo cái đà ấy, chúng ta có thể tiếp tục đếm nhưng rồi cũng đến lúc quá ư là rối rắm, nhầm lẫn liên miên, quá ư nặng nhọc và mất luôn cả tính ứng dụng thực tiễn.

Tình hình đó, cũng như lúc đột nhiên nảy sinh nhu cầu “đếm” lại không có sỏi để đếm đã làm chúng ta đi đến sáng kiến (không biết NTT có cho đây là hành vi sáng tạo không nhỉ?) dùng que vạch lên mặt đất bằng (vạch dễ hơn vẽ chấm tròn và thấy rõ hơn chấm tròn), như sau:

Nhưng trong thực tiễn, sự đếm đâu chỉ đến 10 đơn vị là hết và nếu cứ thế mà vạch mãi thì cũng lại nảy sinh những vấn nạn đã nêu ở cách đếm sỏi. Vậy phải tiếp tục cải tiến cách viết cho gọn, nhẹ, dễ nắm bắt số lượng hơn, và chúng ta viết lại:

Cách viết này làm chúng ta khoái chí vì thực sự đã tiện lợi hơn nhiều so với những cách trước. Hơn nữa, điều quan trọng nhất là từ đây, trong bộ não còn mù mờ về nhận thức của chúng ta đã bắt đầu hiện lên những biểu tượng của “con số”. Nếu thấy đâu đó có “hình vẽ”

, chúng ta đều biết ngay đó là 5 đơn vị, nếu thấy

, chúng ta sẽ cười khẩy và ngay lập tức “ú ớ”: “Mười lăm” mà khỏi cần… nghĩ ngợi hay đếm lại làm gì cho mệt xác.

Tuy nhiên cách viết này (có thể gọi là cách viết “số” ngang, theo hàng ngang và xuống dòng) có một “phiền phức” là nếu giữ khoảng cách giữa các số không đều (đôi khi nhỏ hơn khoảng cách của các ký hiệu trong “con số”), dễ gây nhầm lẫn tai hại. Cho nên một số người trong chúng ta thích viết kiểu: con số nằm ngang nhưng sắp thứ tự theo cột và vì “xuống dòng” thì họ “sang cột” (phải chăng dấu vết của kiểu viết này chính là lối viết sau này trong cách viết chữ tượng hình của người Hoa Hạ?).

Dù sao thì cách viết vừa rồi vẫn chưa khắc phục được sự “cồng kềnh” một cách dứt khoát được, khi mà chúng ta phải đếm với số lượng ngày một nhiều trong thời kỳ trồng trọt, chăn nuôi và nhất là trong sản xuất nông nghiệp có tính đại trà. Lại xuất hiện sự đòi hỏi phải cải tiến hơn nữa về cách viết các con số! May thay, sự xuất hiện biểu tượng về số lượng đã giúp chúng ta tìm ra cách: nếu ký hiệu

là biểu tượng của 5 đơn vị thì có thể dùng ký hiệu

làm biểu tượng cho 10 đơn vị. Cách đó kể cũng hay nhưng hay… ít thôi, vì chả giải quyết “khủng hoảng” được bao nhiêu. Chúng ta loay hoay tìm hết cách này đến cách khác và cuối cùng là đi đến… bế tắc.

Khi chúng ta đếm thì cũng là lúc hình thành các con số. Các con số đầu tiên ra đời cũng chính là số thứ tự. Có thể nói số thứ tự là kết quả của hành vi “cộng vào” số trước đó 1 đơn vị một cách tự phát (vô ý thức) của chúng ta, để rồi sau đó, trong quá trình thao tác, sử dụng chúng, sự “cộng vào” tự phát đó sẽ chuyển biến thành tự giác (có ý thức) và phép “cộng” (+) đóng vai trò là phép toán đầu tiên gợi mở cho 3 phép toán: trừ (-), nhân (x), chia (:) ra đời và hợp với chúng tạo thành 4 phép toán cơ sở, cốt lõi, mang tính tiên đề của toán học.

Việc sắp xếp thứ tự lần lượt các con số cho chúng ta biết rằng:

Thế

bớt đi

thì còn lại gì? Chúng ta còn có một củ khoai, đói quá, chúng ta ăn luôn củ khoai đó thì chúng ta còn lại gì (qui ước là chỉ nói về khoai của chúng ta thôi!)? Chẳng còn gì cả! Vậy cái con số “chẳng còn gì cả” ấy được viết như thế nào? Rõ là lắm chuyện! Đã không còn gì cả thì còn viết ra thế nào được nữa? Và chúng ta để trống chỗ “không còn gì cả” ấy có lẽ cũng đến ngàn năm chứ không ít!

Khi thế hệ những người tối cổ đã qua đi rất lâu, cũng có nghĩa là chúng ta, với danh nghĩa là những người biết đếm và “đọc số” đầu tiên trên thế giới, đã chết từ tám hoánh nào rồi, thì mới có một câu hỏi lớn được đặt ra: tại sao không dùng một vài nét giản đơn, thậm chí là chỉ một nét, tương tự như cách viết “số

” với sự thể hiện khác nhau để biểu diễn các con số và số “không gì cả”, đóng vai trò như là kết quả thực sự trong một phép toán (trừ) nào đó, tại sao lại không thể hiện được?

Câu hỏi đó chắc rằng đã tiềm tàng qua biết bao nhiêu thế hệ những nhà thông thái cổ xưa, vét cạn trí não của biết bao nhiêu cuộc đời để mà có được cách viết những con số một cách tối ưu như ngày nay.

Trong trạng thái hoang tưởng của mình, chúng ta tin tưởng vào điều này: trong tiến trình lịch sử hình thành nên nền văn minh tiền sông Hồng cho đến khi manh nha xuất hiện nước Văn Lang, viên đá hình tròn (hoặc trụ tròn) có lỗ để xỏ xâu đã đi vào hình họa của người Việt cổ thành biểu tượng của tiền bạc, sự quí giá và sung túc, là hình tròn có chấm giữa (

). Tuy nhiên, có thể nghĩ rằng “tiền thân” của viên đá tròn có lỗ giữa là viên đá tròn không có lỗ giữa và như vậy, tiền thân của biểu tượng

là biểu tượng

. Lúc đầu biểu tượng

cũng hàm chứa ý nghĩa như biểu tượng

Về sau, khi chẳng ai còn nhớ cái gốc gác “phàm phu tục tử” trong thực tiễn của những biểu tượng ấy nữa thì với quan niệm đối ứng tương phản, biểu tượng

còn có thêm ý nghĩa là “có” (có của ăn của để) và biểu tượng

(đã bị biểu tượng

thay thế về mặt ý nghĩa) đã biến thái đi, mang ý nghĩa mới là “không” (không có gì, rỗng tuếch).

Quá trình trăn trở đối với câu hỏi lớn nêu trên đã làm xuất hiện 9 chữ số (ký hiệu số) trong nền văn minh sông Hồng (chắc là vào thời kỳ trống đồng Đông Sơn, sau sự ra đời của trống đồng Ngọc Lũ một thời gian có thể là tương đối dài, nhưng muộn nhất cũng phải ở khoảng nào đó thuộc đời Hùng Vương thứ 18), mà có lần chúng ta đã giới thiệu. Biết đâu chừng 9 chữ số ấy với dạng nguyên thủy của chúng đã xuất hiện trước cả thời đại đồ đồng, trong thời đại đồ gốm cũng nên?

Nếu 9 chữ số ấy, xuất phát từ việc đếm các ngón tay thì rõ ràng là không đầy đủ vì trực quan cho thấy có tất cả những 10 đơn vị và vì vậy phải có thêm một ký số nữa để biểu thị số lượng 10 đơn vị đó. Và biểu tượng

đã hội đủ mọi tiêu chuẩn để ngoài những ý nghĩa về kinh tế, triết học… nó mang thêm ý nghĩa là 10 đơn vị (đồng âm, dị nghĩa). Sau khi ký hiệu

đã đi vào “toán học” một thời gian rồi thì yêu cầu của tính toán sớm muộn gì cũng phải “lôi cổ” ký hiệu

vào theo với ý nghĩa là “số không có một đơn vị nào”.

Như vậy là người Việt cổ đã có 11 ký hiệu số để thể hiện những số lượng khác nhau theo thứ tự tăng dần từng đơn vị một, “từ không đến có” và nếu viết theo cách viết của chúng ta thời tối cổ (có điều chỉnh chút ít cho phù hợp) thì là thế này:

Còn viết theo người Việt cổ thì như sau:

Không, có lẽ chỉ có một khoảng thời gian ngắn ban đầu người ta viết số lượng 100 đơn vị như trên, nhưng sau đó, để tiện lợi hơn, họ đã viết là:

, nghĩa là thêm một vòng tròn ngoài nữa cho chữ số biểu thị 10 đơn vị (

). Chúng ta đoán vậy nhờ vào sự gợi ý của hệ thống họa tiết hoa văn trên mặt trống đồng Ngọc Lũ.

Nếu số 100 đã từng được viết như chúng ta vừa đoán thì phải chăng người Việt cổ đã từng viết số 1000 là

Cuối cùng, nếu người Việt cổ thực sự đã viết số 1000 như trên thì cũng có thể họ viết số 10.000 cũng theo cách đó, nghĩa là thêm một vòng tròn ở phía ngoài nữa. Vậy thì, khi coi hình tròn trung tâm (chứa ngôi sao 14 cánh) là một chấm giữa và 3 vành tròn người - động vật là do 3 đường tròn bằng họa tiết hoa văn hình học tạo thành, thì người Việt cổ thời trống đồng Ngọc Lũ còn lưu giữ được ít nhiều ký ức qua truyền khẩu về tổ tông mình đến những 10.000 năm trước? Chúng ta, có lẽ là những kẻ hoang tưởng bạt mạng nhất trên đời, nói thật lòng, cũng nghi ngờ điều này!

Việc đưa ra ký số

biểu thị số lượng 10 đơn vị là một giải pháp làm thỏa mãn quan sát trực quan (số lượng các ngón tay) và cũng làm tiện lợi đáng kể trong việc ghi chép số lượng, thể hiện được ý đồ dùng ít ký hiệu nhất mà ghi chép được nhiều loại số lượng nhất và đồng thời qua đó, như một tất yếu, sự vận động của số lượng cũng đã phải thể hiện ra cái qui luật tiến triển theo hình xoắn trôn ốc (vừa lặp lại vừa không lặp lại) của sự vật - hiện tượng trong Tự Nhiên. Tuy nhiên chính sự xuất hiện của ký số

trong bộ 11 ký số của người Việt cổ cũng lại làm cho hệ thống đó hoạt động chưa hoàn hảo. Nhược điểm lớn nhất của việc đưa ký số

vào bộ số là hạn chế đến “cay nghiệt” sự “hành hiệp” của ký số

(mà như ngày nay đã thấy, nó tuy chẳng ra gì, nhưng đắc lực đến nỗi không thể hình dung được nếu thiếu vắng nó trong toán học!), gây ra hiện tượng vừa thừa vừa thiếu ký hiệu trong ghi chép số lượng, gây nhiều phiền nhiễu trong việc đọc số và nhất là gây ra những khó khăn không thể khắc phục nổi trong việc tính toán. Chẳng hạn có số

(120), nếu bớt (trừ) đi 10 đơn vị thì làm thế nào? Để có kết quả đúng thì phải loại bỏ ký số

đi và viết

(110). Nhưng trực giác lại chỉ muốn loại bỏ ký số

đi để chỉ còn

(102) và… sai.

Khó khăn to lớn lấn át thuận lợi do ký số

đem lại đã buộc phải có một cuộc… cách mạng. Thế là có một nhà thông thái nào đó thuộc hàng kiệt xuất đã dũng cảm loại bỏ anh chàng

“lợi bất cập hại” kia và quăng vào sọt rác. Nhưng không phải nhà thông thái làm điều đó một cách mù quáng chỉ vì “thấy ghét” mà vì ông ta đã ngộ ra một điều lớn lao hơn nhiều: ký hiệu số lượng không thể là vô hạn trong khi số lượng là vô hạn. Ông ta vừa trầm tư mặc tưởng về cái lẽ ấy, vừa giơ, và xòe hai bàn tay ra đếm. Đếm đến 10 đơn vị thì “hết” ngón tay. Muốn tiếp tục đếm thì phải “dùng lại” các ngón tay và lần đếm thứ hai được thực hiện không khác gì lần đếm đầu, chỉ có điều là phải nhớ trước đó đã đếm được 10 đơn vị. Để khỏi quên lần đếm đầu tiên, nhà thông thái phải khắc vào đâu đó (lên mặt đất chẳng hạn) một vạch hoặc đặt một viên sỏi ở đó tượng trưng rằng đã có 1 lần đếm. Đếm hết lần thứ hai, nhà thông thái thấy rằng đã đếm được 20 đơn vị, gồm 10 đơn vị của lần đếm này, cùng với 10 đơn vị của lần đếm trước, và như vậy, đồng thời cùng thực hiện xong hai lần đếm trọn vẹn. Trước khi đếm lần thứ ba, nhà thông thái vạch thêm một vạch cạnh vạch trước hoặc đặt thêm một viên sỏi cạnh viên sỏi đầu tiên để biểu thị đã có hai lần đếm (vì đã có các ký số nên chúng ta cho rằng nhà thông thái không dùng lối khắc (vẽ) các vạch hoặc dùng sỏi mà xóa hết và viết lại bằng ký số 2 (

). Tương tự, sau khi nhà thông thái đếm xong lần thứ ba, ông ta xóa ký số 2 đi, viết lại bằng ký số 3 (

) và biết rằng mình đã đếm được 30 đơn vị. Cứ thế nhà thông thái tiếp tục đếm và phát hiện ra rằng lần đếm nào cũng đếm giống lần đếm nào, cứ lặp đi lặp lại dù số lượng đếm được ngày một tăng. Lạ lùng hơn nữa là số lượng đã được đếm cũng tăng theo cách như sự đếm nếu coi số lượng 10 đơn vị của mỗi lần đếm là 1 đơn vị gọi là “chục” (nhà thông thái gọi thế!): một chục, hai chục… ký số biểu thị số lượng 10 đơn vị (hay “chục”) là

và để phân biệt giữa hai chục và 2 chẳng hạn thì phải viết

. Thế nhưng nhà thông thái đã kinh ngạc nhận ra một điều khi nhìn vào ký số biểu thị số lần đã đếm (trong trường hợp này là ký số 2). Đó là ký số biểu thị 2 đơn vị nhưng ở đây nó còn ngầm biểu thị số lượng 20 đơn vị (hai lần đếm), dù rằng nó vẫn “đứng một mình”, trước và sau nó đều “chẳng có gì” (không có thêm bất cứ ký hiệu nào khác. Vậy, để phân biệt ký số 2 đã hàm chứa thêm ý nghĩa là “chục” với ký số 2 biểu thị 2 đơn vị, có thể ghi thêm sau nó ký số

theo cách thông thường mà cũng có thể là ký số O (không gì cả). Vì cái ý chí muốn loại bỏ ký số

ra khỏi hệ thống ký số luôn túc trực trong đầu nhà thông thái (do những khó khăn chồng chất mà ký số đó gây ra như đã nói), nên sau khi cân nhắc kỹ mọi bề, ông ta quyết định loại vĩnh viễn ký số

ra khỏi “vòng chiến đấu”. Ngày xưa, đã có lần

đá văng

ra khỏi “vũ đài kinh tế” để chiếm giữ lấy ý nghĩa về sự quí báu, tiền bạc, sung túc, nhiều, và làm cho

trở thành “khố rách áo ôm”, không còn gì. Bây giờ đến lượt

được vời ra thế chỗ

đi vào lịch sử, mang theo đầy đủ những vinh hoa phú quí mà nó có về nghỉ hưu, ngồi gặm nhắm “thời quá khứ oanh liệt” ở đó. Sau khi được vời trở lại “chính trường”,

đã toàn tâm, toàn ý phục vụ một cách vô cùng đắc lực cho nhân loại, trên con đường đi tìm chân lý của số học, với một tinh thần trong sáng nhất, bất cầu danh lợi nhất.

mãi mãi là tấm gương sáng ngời của sự tận tụy và liêm khiết. Cho đến tận ngày nay,

vẫn là một “khố rách áo ôm”, vẫn là “không có gì”, dù uy quyền của nó như “trời cao, đất dày” không thể truất phế được. Nếu coi số 1 là chúa tể của Vũ Trụ thì

là ông vua không ngai của nhận thức.

Có thể coi cuộc cách mạng về ký số có tầm vóc vĩ đại như việc phát hiện ra cái công năng vô giá của ngọn lửa hung tàn, hoặc như việc tìm thấy cái giá trị vô cùng lớn lao của cây lúa nhỏ nhoi lẩn khuất trong muôn ngàn lá cỏ.

Nhưng cụ thể nhà thông thái đã làm cuộc cách mạng tạo ra hệ thống ký số có 10 ký hiệu (trong đó có số 10) mà ngày nay toàn thế giới đang sử dụng là ai?

Chúng ta có niềm tin, nhưng niềm tin của những kẻ hoang tưởng thì cũng “phập phù” như chính những bộ não của họ, và như thế, không bao giờ có thể trở thành niềm tin của cả thế giới được. Vậy thì cách tốt nhất là chúng ta vẫn khư khư giữ ý kiến riêng của mình, đồng thời thừa nhận cả ý kiến của các nhà khảo cứu lịch sử. Dù sao thì cho đến nay, ý kiến của họ vẫn xác tín hơn cả và nếu có một cuộc bầu chọn theo lối “phổ thông đầu phiếu” về lòng tin thì với số phiếu hoàn toàn áp đảo, họ sẽ đè bẹp chúng ta trong nháy mắt. Đừng bao giờ thua chỉ vì sự cực đoan, mù quáng!

Các nhà khảo cổ lịch sử cho rằng người Ấn Độ cổ đại đã sáng tạo ra hệ thống ký số với 10 ký hiệu (trong đó có ký hiệu biểu thị số 0) tạo thành 11 ký số được sắp xếp theo thứ tự tăng dần (số sau hơn số đứng kế trước nó 1 đơn vị) và ký số cuối cùng “mang” số lượng lớn nhất là 10 đơn vị. Hệ thống đó còn được gọi là hệ (đếm) cơ số 10 hay hệ thống số thập phân, và ngày nay được viết đầy đủ như sau:

(0), 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Thời gian ra đời của hệ thống đó được cho là vào khoảng trên dưới 1.000 năm TCN hoặc có thể sớm hơn một chút. Trên các phiến đá thời vua Asôka (khoảng thời gian thế kỷ III TCN) có khắc những ký số của hệ thống số thập phân.

Ký hiệu số 0 lần đầu tiên được sử dụng ở Ả Rập là trong một tài liệu đề năm 873. Nhưng thực ra đó không phải là lần xuất hiện sớm nhất của nó. Dân tộc Maya ở châu Mỹ đã dùng nó lần đầu tiên vào thế kỷ I. Có tài liệu nói rằng trong văn tự cổ xưa nhất Ấn Độ đã thấy xuất hiện ký hiệu số 0. (Chúng ta cho rằng điều này không đúng mà có thể, kể cả sự “sử dụng” số 0 của người Maya chỉ là sự để trống vị trí cần ghi ký số!).

Chúng ta nhắc lại lời của nhà toán học lừng danh Laplace mà có lần chúng ta đã chép:

“Chính nhờ Ấn Độ mà chúng ta học được cái tài tình chỉ dùng có mười chữ mà viết được đủ các số, mỗi chữ vừa có một trị số tuyệt đối, vừa có một trị số tùy theo vị trí của nó; ý đó tế nhị mà quan trọng, ngày nay chúng ta cho là giản dị quá nên không cảm được công lao của người Ấn. Nhưng chính nhờ nó đơn giản mà làm toán hóa ra cực kỳ dễ dàng, và hệ thống số học đáng được kể là sáng kiến ích lợi nhất. Có nghĩa rằng hai bậc thiên tài bậc nhất thời Thượng cổ, Ácximét (Archimède) và Apôlôniux (Apollonius) mà cũng không tìm ra được hệ thống đó thì mới nhận định nổi sáng kiến của người Ấn tài tình ra sao”.

***

Tự Nhiên Tồn Tại là một cái gì đó (mà đến các đại hiền triết Ấn Độ cổ đại cũng như thủy tổ của Đạo Gia là Lão Tử cũng chẳng biết đó là cái gì) phân biệt được, mà cũng không phân biệt được, là cả hai mà cũng không phải là cả hai. Chúng ta cũng chẳng biết mô tê ất giáp gì, cứ theo người xưa mà gọi Nó là Vũ Trụ. Vũ Trụ, quan sát và nhận thức theo hướng này thì thấy nó là Không Gian liền lạc, vô thủy vô chung và không thể đếm được; quan sát và nhận thức theo hướng kia thì thấy nó rời rạc, là một khối mạng do những hạt điểm Không Gian tạo thành và có thể đếm được.

Nếu Vũ Trụ không có thuộc tính rời rạc thì quan sát và nhận thức sẽ không được sinh thành và cũng không có mục đích để tồn tại. Đối tượng ưu tiên của quan sát và nhận thức là các sự vật - hiện tượng, tức là mặt rời rạc nổi trội trên cái nền tảng liền lạc chìm khuất của Vũ Trụ.

Số học ra đời vào thời kỳ mà quan sát và nhận thức của con người còn nông cạn, chỉ chú ý đến các sự vật hiện tượng mà không quan tâm tới, thậm chí là không hề hay biết đến cái đại dương nền tảng mà các sự vật - hiện tượng cùng với sự biến hóa sinh diệt của chúng đều lặn hụp trong đó và đều là kết quả từ đó. Trình độ nhận thức phát triển theo con đường kế thừa, nhận thức đi nhận thức lại. Vì thế mà số học (cũng như nhiều ngành khoa học tự nhiên khác) tiến triển theo quĩ đạo tương tự như đường xoắn ốc là một tất yếu. Và tất yếu ấy dẫn đến một tất yếu nữa, là: sớm muộn gì, nhận thức cũng phải đối diện với mặt nền tảng của Vũ Trụ, và trong một thời đoạn còn đầy bảo thủ trong quan niệm do cái di sản thực chứng để lại, nó sẽ bị khủng hoảng trước khi thấy được chân lý đích thực là phải chấp nhận phi lý. Lúc đó, cũng là lúc số học đứng trước một cuộc cách mạng hay có lẽ đúng hơn nên gọi là cải tổ to lớn và có lẽ là cuối cùng trên bước đường hoàn thiện mình.

Vũ Trụ thể hiện ra tính rời rạc làm cho sự ra đời của con số và sự đếm có khả năng. Nhưng nếu không có quan sát và nhận thức thì con số và sự đếm cũng không thể xuất hiện.

Con số, trong vai trò là biểu trưng về mặt số lượng rời rạc của một lực lượng sự vật - hiện tượng nào đó chỉ có thể tồn tại trong thế giới ảo và con số biểu trưng cho sự đơn chiếc, đơn trị cho một số ít nhất có thể (của loại lực lượng nào đó mà vẫn đảm bảo lực lượng đó còn tồn tại) được gọi là số đơn vị hay “số một” (1). Sự đếm đầu tiên không thể bắt đầu được nếu không có số 1. Số 1 là số đầu tiên xuất hiện trong thế giới ảo (thực tại ảo).

Chúng ta gọi hệ thống ký số phổ biến trên toàn thế giới hiện nay là hệ thống cơ số 10, bởi vì nó dựa trên cơ sở 10 đơn vị - là số ngón tay của hai bàn tay. Tuy nhiên sự tồn tại của hệ cơ số không phải là duy nhất, nghĩa là không chỉ có mỗi một Hệ cơ số 10 có thể dùng để đếm và tính toán. Vũ trụ là đầy đủ và đa dạng cho nên cũng có đa dạng hệ cơ số. Nếu cho rằng số lượng đơn vị trong thực tại ảo là vô hạn thì số lượng các hệ cơ số cũng vô hạn. Nếu con người chỉ có 9 ngón tay thì do quá khứ để lại, bây giờ chúng ta đang dùng hệ cơ số 9. Nếu xưa kia con người dừng lại ở sự đếm 5 ngón tay của 1 bàn tay thôi, thì bây giờ chúng ta đang dùng hệ cơ số 5…

Dù có thể là có vô vàn hệ cơ số với vô vàn ký số đi chăng nữa thì một hệ cơ số được cho là hoàn hảo và tối ưu nếu nó thỏa mãn được các yêu cầu sau:

- Có thể dùng nó làm “bảng chữ cái” để ký hiệu được tất cả các số lượng nguyên (số nguyên dương) có thể có trong Thực Tại và cả trong thực tại ảo, nghĩa là phải đếm được nhờ nó.

- Muốn là cơ sở của sự đếm được thì trong hệ cơ số đó bắt buộc phải có ký số biểu thị sự “không có gì” và ký số biểu thị 1 đơn vị; các ký số được sắp xếp sao cho ký số sau biểu thị số lượng hơn ký số đứng kề trước nó 1 đơn vị, và vì khả năng nhớ của con người (và của cả máy tính hiện đại nhất) là có giới hạn nên bản thân nó phải là một đơn vị chu kỳ của một sự đếm lặp đi lặp lại (đến vô tận?), nghĩa là ký số cuối cùng và cũng là ký số biểu thị số lượng lớn nhất của hệ cơ số đó phải bao gồm ký số biểu thị 1 đơn vị và đứng sau nó là ký số biểu thị “không có gì”. Để tránh nhầm lẫn với số 10, chúng ta có thể tạm gọi nó là số “chục”. “Chục” có thể là bất cứ số (nguyên dương) nào có trong thực tại ảo (và khi nó xuất hiện trên tivi thì cũng là trong thực tại thực!), trừ số 0.

- Có thể dùng các ký số của hệ cơ số lớn hơn để biểu diễn (hay thành lập) hệ cơ số nhỏ hơn (mà không gặp trục trặc nào).

Đã có sẵn hệ đếm cơ số 10, chúng ta có thể viết ra đây vài ba hệ cơ số khác theo ký số của nó cho vui mắt:

- Hệ đếm cơ số 9:

(0), 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10 (chục có 9 đơn vị).

- Hệ đếm cơ số 5:

(0), 1, 2, 3, 4, 10

- Hệ đếm cơ số 2:

(0), 1, 10

Chúng ta cho rằng những hệ đếm tuân thủ những yêu cầu nêu trên đều là những hệ đếm hoàn hảo. Trong một hệ cơ số hoàn hảo, bốn phép toán cộng, trừ, nhân, chia (hoặc có thể là mọi phép toán nói chung đều được thực hiện một cách “trôi chảy” theo qui ước, và sự tính toán là có tính thuận nghịch: tính “xuôi” được thì cũng tính “ngược” được). Giữa các hệ đếm hoàn hảo, một quá trình tính toán xảy ra trong hệ này như thế nào thì cũng xảy ra tương tự như thế trong các hệ khác và kết quả của chúng là hoàn toàn tương đương nhau, do đó mà cũng có thể chuyển đổi thành nhau.

Giả sử trong hệ cơ số 10 chúng ta có:

4 + 2 = 6 và ngược lại 6 – 2 = 4

Thì khi phép toán đó nằm trong hệ cơ số 4, sẽ là:

10 + 2 = 12 và ngược lại 12 – 2 = 10

Kết quả của các phép toán ở hệ này là hoàn toàn tương đương với hệ kia; vì: 6 cũng chính là 4 + 2 và 10 cũng chính là 4 và dù có là 6 hay 12; 10 hay 4 thì chúng cũng chỉ biểu thị những số lượng tuyệt đối là 6 (hay “chục” và 2); 4 (hay “chục”) đơn vị mà thôi.

Chúng ta từng nói Vũ Trụ là đầy đủ, vậy có hệ cơ số 0 không? Vì 0 còn có nghĩa là không hiện hữu nên nếu có tồn tại thì thuộc về “không quyết định được”, chẳng ai dùng được nó để đếm cả (thực ra vì phạm vào qui ước nên nó không phải là hệ đếm!). Thế thì có hệ cơ số 1 không? Chúng ta cho rằng có, bởi vì nó thỏa mãn qui ước và lúc này ký số 1 vừa biểu thị 1 đơn vị đồng thời cũng biểu thị số lượng “chục” đơn vị. Chúng ta gọi hệ cơ số 1 là trường hợp đặc biệt của hệ cơ số, hay trường hợp biên và như vậy phải có một trường hợp đặc biệt hay biên nữa, đó là hệ cơ số ∞ (với ∞ là ký số biểu thị một số lượng nguyên (số nguyên dương) nhiều (lớn) vô hạn trong thực tại ảo): Có thể biểu diễn hệ cơ số ∞ dễ dàng, là:

(0), 1, 2, 3, … , ∞ (≡ 10, gọi là “chục” vô hạn!?)

Còn đối với hệ cơ số 1? Thật khó khăn và quá lúng túng! Tuy nhiên chúng ta cũng cố biểu diễn như sau cho nó… đầy đủ:

(0), “chục”, hay có thể viết: (0), a. (với a là bất kỳ số nào!)

Chúng ta biết rằng số 1 là biểu thị số lượng nhỏ nhất, không thể phân chia được nữa về mặt số lượng của một lực lượng nào đó và là yếu tố làm nên tổng số lượng của lực lượng ấy, nhưng đối với một lực lượng khác nó có thể là một tập hợp số lượng nào đó lớn hơn 1. Vì vậy, trong hệ cơ số 1, có thể gán cho ký số a bất kỳ số lượng nào và hiểu rằng đó là đơn vị. Lúc đó có thể chuyển hóa nó sang bất kỳ hệ cơ số nào để mà đếm. Chúng ta có thể sử dụng cách gọi (cách viết) các số của hệ thập phân và nêu vài ví dụ:

Nếu a = 5 và đếm theo hệ cơ số 10 thì:

5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50 (chục) …

xét ở góc độ thứ tự thì nó tương đương với (chia tất cả cho 5):

(thứ) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 …

Nếu a=5 và đếm theo hệ cơ số 8 thì:

5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 50 …

Nếu chia cho 5, ta sẽ có:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10 …

Nếu a = 2 và đếm theo hệ cơ số 10 thì:

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20 (chục) …

… … …

Chính hệ cơ số 1 cũng là một trong những biểu hiện sinh động về một Vũ Trụ có tính phân tầng, phân lớp, phân loại. Bản chất này của Vũ Trụ cũng là 1 nguyên nhân dẫn đến sự khác nhau về chất và lượng của vạn vật.

Khi a = 1 tuyệt đối (1 hạt KG) thì sự đếm trở nên “cơ khổ” và có thể là không hoàn thành được nếu muốn đếm hết số nguyên có trên đời này (và khả năng là tuyệt đối không đếm hết được vì chúng là nhiều vô hạn trong thực tại ảo!). Thế nhưng, khi a = ∞ thì sự đếm bỗng trở nên dễ dàng hơn bao giờ hết. Lúc này nếu ai đó đố chúng ta đếm hết được cả Vũ Trụ này với tiền cá cược là 1 triệu đôla thì chắc là chúng ta sẽ giàu to với một hơi sức bỏ ra không đáng là bao. Vì a bằng ∞ thì cũng là 1 đơn vị nên chúng ta hô: Một, và thế là xong, cuộc đếm toàn Vũ Trụ kết thúc!

Có một câu hỏi là: trong số các hệ đếm thì hệ nào đối với chúng ta là tối ưu nhất? Chúng ta trả lời: đó là hệ đếm cơ số 10. Bởi hệ sơ số đó đã là “phong tục cổ truyền” qua ngàn đời từ tổ tiên đến chúng ta. Nó đã ngấm vào máu thịt, xương tủy chúng ta đến độ có cảm giác như tự nhiên là phải thế, như nếu không có nó thì toán học sẽ chấm dứt tồn tại. Chúng ta sẽ đưa ra thí dụ để xem nếu toán học tự nhiên “dở chứng” đổi sang dùng hệ cơ số khác thì sẽ phải thực hiện một cuộc cải tổ ghê gớm đến cỡ nào, làm cho “lòng người ly tán” đến tận đâu. Giả sử có bài toán;

10 : 2 = ?

Như một thói quen cố hữu, chúng ta lập tức đưa ra lời giải: “Bằng 5 chứ còn bao nhiêu nữa!”, và viết:

10 : 2 = 5

Một nhà toán học “thời cải tổ” đi qua, thấy vậy cười hô hố rồi bảo: “Các anh sao “cổ lỗ sĩ” thế không biết! Toán học bây giờ đã chuyển sang sử dụng hệ đếm cơ số 7 rồi! Thời buổi này, với sự cập nhật thông tin toàn cầu nhanh như chớp mà còn làm toán kiểu đó thì chỉ có họa là người… thượng cổ!... Ha, ha… ha…”.

Nhà toán học bỏ đi, để lại văng vẳng tiếng cười chưa dứt và chúng ta chưa kịp định thần lại thì đã xuất hiện một chú bé đeo cặp sách (quên, cặp sách cũng xưa như… thượng cổ rồi, bây giờ phải là một cái ba lô to tổ chảng như trái núi trên lưng!) đi qua. Chú ta nhìn lời giải bài toán của chúng ta rồi hốt hoảng la lên: “Mấy chú ơi, kết quả tính sai rồi!”.

Dù thế nào thì chúng ta cũng cảm thấy xấu hổ về sự nhanh nhẩu đoản của mình. Đúng vậy, chúng ta đã tính nhẩm bài toán đó một cách theo thói quen gần như bản năng. Con số 5 ấy đúng là kết quả của bài toán với qui ước là bài toán đó được đề ra và thực hiện theo hệ cơ số 10. Vì đã nhiều thế hệ “chỉ” sử dụng duy nhất hệ cơ số ấy trong tính toán nên cái qui ước ấy trở nên không cần thiết nữa, lâu ngày lặn đi và chẳng mấy ai còn nhớ tới nó làm gì cho thêm hao tổn… bộ nhớ.

Khi bài toán nêu trên là được viết theo hệ cơ số 7 thì nó sẽ là bài toán không thể giải được nếu muốn có kết quả là số nguyên và điều thú vị là ký số “10” lúc này cũng đóng vai trò là số nguyên tố (chỉ chia hết cho chính nó và số 1).

Giả sử rằng bài toán nêu trên đúng là viết theo hệ cơ số 10 thì kết quả 5 là xác đáng. Tương ứng với bài toán ấy, trong hệ cơ số 7 là bài toán:

13 : 2 = ?

Và kết quả cũng là 5:

13 : 2 = 5

(số 13 trong hệ cơ số 7 không phải là số nguyên tố!).

Thấy chưa: nếu toán học làm một cuộc cải tổ chuyển đổi hệ cơ số đếm, nó phải đưa tất cả các tài liệu, sách vở đang có của nó vào viện bảo tàng, phải xóa toàn bộ các dữ liệu của nó trên các máy tính… để làm lại từ đầu. Thậm chí, toàn bộ các ngành khoa học kỹ thuật phải ngừng nghiên cứu để chuyển sang “dịch thuật”, xây dựng lại một nền tảng mới. Công việc khổng lồ đó chắc phải “tốn” đến hàng chục thế hệ và để “làm quen” cũng như sử dụng trôi chảy nó, sẽ phải trải qua cả trăm thế hệ cũng nên!

Từ nay về sau, chúng ta vẫn dùng hệ đếm cơ số 10 như một bản năng. Có thể giữa chúng ta với Đônkihôtê - nhà quí tộc xứ Mantra là có mối quan hệ ruột rà xa xôi. Nhưng dù có thế chăng nữa thì cũng đừng cố gắng bắt chước những hành động “không quyết định được” giữa sự cao đẹp và sự quá ư rồ dại của Ngài!

Cần nói thêm chút ít nữa về hệ cơ số 1. Nếu ký số a của nó (cũng) biểu thị “chục” 10 thì viết triển khai nó ra (như một sự đếm) như thế nào, khi mà trong thế giới ảo chỉ có 2 ký số là 0 và 1 (giống hệ cơ số 2) mà thôi? Chỉ còn cách sau đây:

10, 100, 1000, 10000, ...

Vì a đồng thời cũng là số 1 nên có lẽ đúng hơn, phải viết:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

Chúng ta đưa cách viết này trở vào thế giới của hệ cơ số 10:

10^o, 10¹, 10², 10³, 10⁴, … , 10^N (với N có thể là

)

Và lại quay về với qui ước a là một số (nguyên dương) bất kỳ:

a^o, a¹, a², a³, … , a^N (với N có thể là

)

Chúng ta tưởng tượng ra như thế chẳng để làm gì mà chỉ muốn tạo cảm giác về một thế giới số (nguyên dương) thực sự tồn tại trong thực tại ảo. Vì là sự phản ánh của thực tại khách quan nên thế giới ấy cũng thật huyền ảo.

Thực ra không nên gọi một số đếm (được) là số nguyên dương. Chúng ta thấy rằng số đếm (được) cũng chính là số thứ tự nảy sinh ra một cách tự nhiên trong quá trình đếm nên có lẽ vì vậy mà trong toán học, người ta qui ước gọi nó là số tự nhiên.

Khi chúng ta coi Vũ Trụ là một thể khối mạng, là tập hợp của rất nhiều hạt điểm KG thì có nghĩa rằng chúng ta chỉ chú ý tới mặt thể hiện rời rạc của nó.

Trước sự thể hiện về mặt rời rạc của vũ trụ, nếu chúng ta cho rằng trong Vũ Trụ chỉ có một loại “chất” thuần túy là Không Gian thôi và ngoài ra không còn gì khác, vạn vật chỉ phân biệt được với nhau qua sự chênh lệch về số lượng thì đó chính là lúc chúng ta quan sát thế giới bằng “con mắt số học”. Chúng ta còn cho rằng, bằng “con mắt số học”, tùy góc độ và tầng nấc qui mô để từ đó quan sát “ra” thế giới (không thể cùng một lúc “thấy” được vạn vật ở mọi tầng nấc qui mô từ nhỏ nhất đến lớn nhất, từ gần nhất đến xa nhất mà chỉ có thể “suy ra” được điều ấy sau nhiều lần quan sát…), chúng ta có thể thấy được Vũ Trụ đơn thuần là tổng hợp của các hạt KG (ngoài hạt KG ra không thấy bất cứ gì khác!), hoặc thấy được vạn vật đủ loại lớn, bé khác nhau về mặt số lượng, về mặt đơn vị số lượng được chọn để hợp thành chúng (nghĩa là các vật khác nhau bởi qui mô về số lượng của chúng khác nhau và bởi những đơn vị số lượng khác nhau (đơn vị tương đối) làm nên chúng). Những đơn vị số lượng làm nên vạn vật cũng chính là bộ phận số lượng vạn vật (tạm gọi là những vạn vật làm nên vạn vật lớn hơn chúng) của tổng số lượng vạn vật có trong Vũ Trụ. Đến lượt bộ phận vạn vật này cũng lại do những bộ phận số lượng vạn vật có qui mô nhỏ hơn mà chúng nhận làm đơn vị tác thành nên. Cứ thế đến cuối cùng là những đơn vị số lượng do “một chút” lượng Không Gian làm nên, không thể phân ra được nữa (không thể xác định được nữa vì đã vượt ra ngoài giới hạn của quan sát và nhận thức trực quan!), đó chính là hạt điểm KG, đơn vị tuyệt đối nhỏ của Vũ Trụ (mà đơn vị tuyệt đối lớn chính là bản thân Vũ Trụ!).

Cái vũ trụ số lượng, cùng với vạn vật của nó không bất động mà sôi nổi chuyển động và biến hóa không ngừng: những vật này hợp thành những vật kia, những vật kia phân ra thành những vật nọ… một cách không ngừng nghỉ, vô thủy vô chung, đủ mọi kiểu, đủ mọi dạng, đủ mọi quá trình, phóng khoáng, tự do, huyền ảo đến tột bậc nhưng cũng bị ràng buộc đến tột bậc, tuân theo nghiêm ngặt những nguyên lý của Vũ Trụ - là những biểu hiện đa dạng và đặc thù của một nguyên lý vĩ đại và duy nhất như một tiên đề của Tự Nhiên Tồn Tại mà nhiều lần chúng ta đã đề cập đến và đã từng thử phát biểu nhưng có lẽ chưa thành công. Ở đây, chúng ta thử phát biểu lại lần nữa cái nguyên lý vĩ đại và thiêng liêng, vừa như là một tiên đề của mọi tiên đề, vừa không thể quyết định được ấy (và cầu mong cho lần này thành công mỹ mãn!): Tự Nhiên Tồn Tại thì không Hư Vô, nếu có Hư Vô thì vẫn là Tồn Tại; muốn Hư Vô hay Tồn Tại cũng được nhưng phải là Có, cho dù là Không Có thì đó vẫn là Tự Nhiên, Tự Nhiên là Vốn dĩ thế và không thể quyết định dứt khoát bằng khái niệm được nhưng Ngộ được!”.

Cái Vũ Trụ thuần túy số lượng, không mùi vị, không màu sắc, không âm thanh và rời rạc “ghê hồn” có được từ sự quan sát cực đoan bằng “con mắt số học” ấy, đã đi vào nhận thức, tạo nên một thế giới nguyên thủy, có tính nền tảng mà cũng vô tiền khoáng hậu của toán học trong Thực tại ảo, Thế giới ấy được chúng ta đặt tên là Thế giới số tự nhiên và ký hiệu là N.

N vừa là “lôgô” của Thế giới số tự nhiên, vừa đóng vai trò là ký số biểu thị tổng số lượng đơn vị tuyệt đối (chúng ta ký hiệu

) của thế giới ấy. Như vậy, N cũng chính là số đếm lớn nhất một cách tuyệt đối của mọi quá trình đếm (không lặp lại!), hay còn gọi là số thứ tự cuối cùng tuyệt đối có thể có của Thế giới số tự nhiên.

Nếu chỉ quan sát và không nhận thức (có thể là cách nhìn của con bò chẳng hạn) và cũng bằng “con mắt số học” thì trong vũ trụ số lượng, vì không có sự đếm nên cũng không có các con số mà chỉ thấy “rặt” những hạt điểm KG đơn lẻ, biểu thị số

được lấp đầy vào. Không thấy bất cứ cái gì nhỏ hơn nó nữa hoặc “chen chân” vào đó để nhắc đến số 0. Sau khi đã có sự đếm thì trong Vũ Trụ số lượng xuất hiện những biểu tượng khác nhau về con số, nhưng cũng không có biểu tượng nào nhắc đến số 0. Hơn nữa sau khi có sự đếm thì Vũ Trụ số lượng được thấy như một lực lượng hữu hạn (vì số lượng các hạt điểm KG, đơn vị tuyệt đối làm nên số lượng là hữu hạn, hay còn gọi là đếm được). Do đó mà trong buổi đầu nhận thức, cái Thế giới số tự nhiên ấy cũng chỉ là một xứ sở được giới hạn và không có số 0. Tuy nhiên, khi thiên nhiên tạo ra con người và trao cái bảo bối kết tinh từ khí thiêng trời - đất là tư duy cho nó thì đồng thời cũng trang bị cả 2 phép thuật là suy luận và sáng tạo. Nhận thức của con người, nhờ được (hay bị?) thừa hưởng hai thứ vũ khí vô cùng lợi hại đó (vô cùng lợi mà cũng vô cùng hại!), mà thiết lập được một quyền lực vô song, để rồi trở thành tham lam vô độ, cực kỳ hiếu chiến, luôn xông pha chinh Đông rồi lại chinh Tây, đánh Nam chưa xong đã quay sang đòi dẹp Bắc; luôn luôn đòi bành trướng, mở rộng lãnh thổ một cách… mù quáng. Đó chính là nguyên nhân sâu xa nhất làm cho Thế giới số tự nhiên hạn hẹp và “dễ thở” ban đầu bành trướng thành một bà phù thủy khổng lồ đầy ma thuật, rồi từ đó hóa thành Thế giới không phải là “số tự nhiên” nữa mà là “số học” để tiếp tục giãn nở, y hệt Thế giới Big Bang (vụ nổ lớn) của nhận thức vật lý học ngày nay vậy.

Suy luận và sáng tạo của nhận thức đã làm cho N phì đại đến mức… vô hạn. Dù sao thì cũng còn hoài nghi, khó lòng mà tin hết câu chuyện về “Harry Porter” được, cho nên chúng ta đặt câu hỏi: vậy thì N là hữu hạn hay vô hạn?

Trước hết trong Thế giới số tự nhiên phải bao dung cả số 0. Vì nhận thức có thể làm bất cứ điều gì trong Thực tại ảo (chúng ta biết rằng nó có quyền lực vô song rồi!), kể cả việc “tống cổ” một số tự nhiên nào đấy ra khỏi Thế giới số tự nhiên (nhưng vẫn thuộc Thực tại ảo chứ không thể “rơi vào” Thực tại thực vì Cái này vốn dĩ đầy mất rồi!). Lúc đó, ngay lập tức, Thế giới số tự nhiên (dù có thể là vô hạn) vẫn trở nên “thiếu”, “thủng” một chỗ. Không còn bất cứ tên gọi số nào khác để gọi “chỗ” ấy (các số thứ tự là đầy đủ, không thừa mà cũng không thiếu!) nếu không gọi là “số 0” (với nghĩa là “chẳng có gì”, là điểm hoặc phần hư vô của một thế giới nào đó trong Thực tạo ảo).

Câu hỏi N là hữu hạn hay vô hạn là câu hỏi không thể quyết định được, do đó chỉ có thể trả lời một cách nước đôi: N có thể là hữu hạn mà cũng có thể là vô hạn, là cả hai mà cũng không phải cả hai!

Để trả lời chắc chắn câu hỏi đó, thì phải loại bỏ tính không quyết định được (hay còn gọi là tính bất định) của nó. Nhưng loại bỏ bằng cách nào? Rất dễ! Thế giới số tự nhiên (hay gọi tắt là Thế giới N) là hình ảnh phiến diện của thực tại khách quan trong tâm trí con người, được xây dựng nên bằng khái niệm và qui ước chủ quan của con người. Bản chất của Tự Nhiên Tồn Tại khi “đứng trước” nhận thức là nước đôi nên thế giới N cũng mang trong lòng nó tính nước đôi ấy, Nhờ có khái niệm và qui ước làm giảm hiệu ứng nước đôi đi mà con người mới nhận thức được Thực Tại Khách Quan. Một khi qui ước không đầy đủ thì tính nước đôi không hoàn toàn bị loại trừ và làm cho Thế giới N nói riêng và Thực tại ảo nói chung trở nên mập mờ, nhiều lúc nhiều nơi trở nên bất định. Vậy để cho Thế giới N sáng tỏ và phân định được một cách linh hoạt thì phải tăng cường qui ước (một cách phù hợp) cho nó (để tạm ứng dụng) và đừng tin tưởng tuyệt đối vào… logic hình thức và cả logic biện chứng chưa thoát ra được sự mù quáng (chúng ta cho rằng thứ logic xác đáng nhất là phải tạo dựng được cả phi lôgic, nghĩa là phải thỏa mãn được tính nước đôi của tự nhiên!).

Mặt rời rạc của Tự Nhiên Tồn Tại thông báo rằng Vũ Trụ có giới hạn, lúc này hạt KG là nhỏ tuyệt đối và số lượng của nó là đếm được. Mặt liền lạc của Tự Nhiên Tồn Tại lại thông báo rằng Vũ Trụ là vô hạn, lúc này hạt KG không còn là nhỏ tuyệt đối nữa, nó cũng là Vũ Trụ bao hàm những hạt KG trong nội tại nó và như vậy số lượng của hạt KG là không thể đếm được (và thực sự dù có muốn đếm cũng “chịu chết” vì lúc này không còn có thể xác định được đâu là “hạt” KG nữa)

Tình hình đó buộc chúng ta phải tăng cường qui ước nếu muốn trả lời “dứt khoát” được câu hỏi: N hữu hạn hay vô hạn, và Thế giới N là hữu hạn hay vô hạn. Nếu N là gồm toàn bộ những đơn vị nhỏ nhất tuyệt đối

(và có tồn tại những đơn vị như vậy thì nó hữu hạn; Thế giới N bao gồm “vạn vật số lượng” (những con số) được tạo thành từ những cái

cũng hữu hạn vì số lượng N là hữu hạn. Ngược lại, nếu N là gồm những đơn vị nhỏ nhất tương đối là 1, thì nó vô hạn và Thế giới N lúc này cũng trở nên vô hạn.

Có thể chứng minh được tính vô hạn của Thế giới N. Vì N là bao gồm tất cả các đơn vị tương đối có thể có của Thế giới N nên ngoài số lượng cái

hữu hạn, nó còn chứa cả những cái 1 (đơn vị tương đối). Đơn vị tương đối có thể là tất cả những con số khác con số

: có thể cho rằng số 4 được xây dựng nên từ hai đơn vị là con số 2 (hoặc từ một đơn vị là con số 3 với một đơn vị là con số

, số 8 được tạo thành từ một đơn vị là con số 5 và một đơn vị là con số 3 (hoặc cũng có thể từ hai đơn vị là con số 3 và một đơn vị là con số 2, …). Vì chứa cả những cái 1 tương đối nên N trở nên phì đại “quá cỡ thợ mộc”, nhưng nó vẫn hữu hạn nếu không có suy luận này: bản thân N cũng là đơn vị tương đối làm nên Thế giới N nên phải có thêm một cái 1 nữa, để thành ra chẳng hạn là N’, nghĩa là:

N’ = N + 1

Nếu suy luận như thế thì tất nhiên, lại phải có:

N’’ = N’ + 1 = N + 2

Cứ thế tương tự, N sẽ phát triển đến vô hạn và Thế giới N cũng mở rộng đến vô hạn. Khi Thế giới N là vô hạn thì đương nhiên dù số lượng

vẫn hữu hạn, thì số lượng của mọi số khác, kể cả số vô hạn, cũng trở nên vô hạn. Lúc này cái thế giới N khiêm tốn và mạch lạc thuở ban đầu đã biến tướng thành một đế quốc mênh mông vô bến vô bờ và cũng chứa chấp đầy những huyền bí cũng như kỳ quặc.

Tại sao Thế giới N, khi nó vô hạn, lại trở nên kỳ quặc? Tại vì chỉ bằng suy luận và sáng tạo thôi, không có thêm một chút Không Gian nào, dù chỉ là một đơn vị

, Thế giới N cũng thực hiện được một màn trình diễn phi thường: phồng to đến vô hạn độ và các con số, không biết từ đâu ùn ùn xuất hiện nhiều vô kể.

Có một nguyên lý của Tự Nhiên Tồn Tại là: Không Gian không tự nhiên sinh ra và cũng không tự nhiên mất đi, nó chỉ có thể chuyển hóa từ dạng này sang dạng khác. Tuy nhiên do bản chất nước đôi mà nếu không đặt trong qui ước, chắc chắn nguyên lý đó sẽ bị vi phạm. Nhưng chúng ta đã qui ước Vũ Trụ là rời rạc và có giới hạn (dù giới hạn có thể không phải do rời rạc vì chưa được minh chứng) cho nên nguyên lý bảo toàn vừa nói tới ở trên (lúc này) là đúng. Thế giới N vì là sự phản ánh của Vũ Trụ số lượng (và cũng nằm trong qui ước) nên nó cũng phải tuân thủ nguyên lý bảo toàn. Thế thì vì sao Thế giới N, ở trạng thái vô hạn, lại phá vỡ nguyên lý ấy: trong vỏ bọc các con số, Không Gian cứ ùn ùn được sinh ra không làm sao ngăn chặn nổi từ… Hư Vô? Có thể là Thế giới N vẫn tuân theo nguyên lý bảo toàn Không Gian. Chỉ vì cái qui ước N bao gồm cả các đơn vị tương đối đã làm chúng ta bị ngộ nhận chăng?

Xem xét kỹ lại, chúng ta thấy quả là cái qui ước nói trên đã không cho khả năng đếm (hết) được các đơn vị và qua đó mà nó cũng xóa bỏ luôn giới hạn của Thế giới N, “bỏ ngỏ” cho Thế giới N “lan tràn” đến vô hạn. Trong trường hợp nguyên lý bảo toàn vẫn xác đáng và được tuân thủ nghiêm ngặt thì muốn lan tràn đến vô hạn, Thế giới N phải được “cung ứng” liên tục và dồi dào những lực lượng số lượng từ đâu đó bên ngoài nó chứ không thể từ Hư Vô được. Đó chính là vấn đề!

Vậy, phải tìm ra mấu chốt để tháo gỡ vấn đề trên ở đâu?

Khi chúng ta cho rằng số lượng

là hữu hạn, thì Thế giới N là hữu hạn và số N vừa biểu thị là tổng số lượng đơn vị

, vừa là số đếm cực đại của Thế giới N. Dù Thế giới N có làm xuất hiện bất cứ con số nào thì vì chỉ có thể hình thành được từ sự hợp thành của một nhóm (hay bộ phận) số lượng

nào đó, nên số đó không thể lớn hơn N, và cũng vì như thế mà số đó đã “thu hút” một số lượng

nhất định nên số đếm lớn nhất của Thế giới N lúc này phải nhỏ hơn số N với điều kiện không được lặp lại, nghĩa là một đơn vị tương đối nào đó đã được đếm thì các đơn vị nhỏ hơn trong nó không được xuất hiện lần thứ 2 hay lần nào nữa trong quá trình đếm.

Nếu gọi sự tồn tại của Thế giới N bao gồm một số lượng các số đơn vị

và đơn vị 1 (đơn vị tương đối) nào đó là trạng thái của nó thì Thế giới N có tối đa là N trạng thái từ trạng thái có số lượng 1 đơn vị đến trạng thái có số lượng N đơn vị.

Từ đó chúng ta thấy, nhờ có điều kiện không được lặp lại mà Thế giới N, vốn dĩ là hữu hạn, không thể biến hóa thành vô hạn được, dù ở bất cứ trạng thái nào và bị soi mói ở bất cứ góc độ nào thì số đếm lớn nhất của nó cũng không thể vượt qua số N được.

Có một điều rất lý thú là nếu “đứng” bên trong Thế giới N để quan sát và đếm các đơn vị thì không bao giờ chúng ta có thể thấy được hiện tượng là chỉ có một đơn vị duy nhất. Tối thiểu chúng ta cũng phải đếm được 2 đơn vị: một đơn vị là

và đơn vị được cấu thành từ các

còn lại. Bởi vì khi tất cả

hợp lại thành một đơn vị duy nhất thì vì chúng ta quan sát từ bên trong nên cũng thấy N đơn vị

. Đây chính là hiện tượng chồng chập trạng thái và tổng số trạng thái của Thế giới N không thể lớn hơn N. Nếu quan sát và đếm số đơn vị từ bên ngoài, chúng ta cũng thấy điều tương tự, không bao giờ thấy được trạng thái có 1 đơn vị duy nhất. Vậy tổng số các trạng thái luôn luôn chỉ gồm N-1 trạng thái. Còn nếu chúng ta cứ cố tình cho rằng bản thân cái Thế giới N ấy cũng là một đơn vị thì… cũng được thôi, nhưng chỉ được đếm đến… một, vì điều kiện không lặp lại đã không cho phép đếm tiếp các đơn vị trong nội tại nó. Cũng có khi nó thực sự là một đơn vị hẳn hoi và tham gia vào sự đếm ở một thế giới khác lớn hơn nó mà nó góp phần tạo nên.

Vậy N tự dưng tăng lên N+1 là một trò ảo thuật tinh vi? Đúng thế! Một phần vì còn mập mờ giữa cái tuyệt đối và cái tương đối, một phần vì bất chấp nguyên lý bảo toàn Không Gian, đòi hỏi cho được rằng đã là đơn vị thì phải được đếm, một phần nữa là tưởng rằng có thể “nhìn thấy” được Thế giới N đồng thời từ bên trong lẫn bên ngoài và hòa lẫn những điều thấy được từ hai góc độ ấy với nhau, cho nên sự nhận thức đã vô tình đếm lặp đi lặp lại những số lượng đã được đếm để rồi làm cho cái hữu hạn phình trướng thành cái vô hạn. Hành động đó cũng tương đương với hành động lén lút tuồn ồ ạt những con số không mang nội dung KG, nghĩa là có nội tại trống rỗng, hay nói khác đi là những số 0 được gắn nhãn mác, mạo danh những con số khác, vào Thế giới N. Tuy nhiên, không nên “trách cứ” hoàn toàn sự nhận thức vì ngay Tự Nhiên Tồn Tại cũng không thể mách bảo cho nó được là nên “đặt” các số đếm (số thứ tự) vào đâu, bên trong hay bên ngoài Thế giới N. Vì chúng là những con số không hàm chứa Không Gian nên phải nằm ngoài Thế giới N, đồng thời chúng đúng là các số tự nhiên nên lại phải thuộc về thế giới ấy.

Cuối cùng, chúng ta lặp lại câu hỏi: N là hữu hạn hay vô hạn và thế giới N là hữu biên hay vô biên? Trong tình thế rời rạc của Thực tại khách quan thì N phải hữu hạn, còn không trong tình thế ấy thì chẳng có đâu N để mà bàn luận về nó. Đối với Thế giới N: dù N có hữu hạn thì cũng không quyết định được; nếu quẳng được lũ số đếm (thuần túy) ra ngoài thì Thế giới N là hữu biên, nếu để chúng “lũng đoạn” nội tại thì Thế giới N là vô biên. Chọn thế nào? Có thể nói Thế giới N vô biên hay hữu biên là tùy thuộc vào “ý thích” của sự nhận thức, nhưng hãy nghe lời khuyên này để cân nhắc: Không thể không lựa chọn nếu còn muốn tiếp tục nhận thức và làm cho công việc nhận thức dễ dàng hơn; để rồi sau khi đã nghiên cứu thấu suốt các mặt đã lựa chọn, sẽ ngộ được rằng muốn nhận thức xác đáng một thế giới nào đó thì không nên lựa chọn nữa.

Tự Nhiên Tồn Tại là duy nhất. Nhờ tính phân định được của Nó mà nhận thức có thể “thấy” thông qua khái niệm và qui ước nhiều Tự Nhiên Tồn Tại khác nhau, hay tạm gọi là những Thế giới ảo. Vì những Thế giới ảo là những hình ảnh của một Thế giới thực duy nhất nên chúng có tính chung, cùng tuân theo (những) nguyên lý duy nhất của Tự Nhiên; cùng qui mô, vì giữa chúng có thể phân biệt được với nhau nên chúng cũng mang tính đặc thù, nghĩa là có nhiều nguyên lý (đóng vai trò như là những hệ quả được suy ra ở nhiều cấp độ nhưng xét cho cùng là đều từ Nguyên Lý Tiên Đề) chuyển hóa thành đặc trưng của mỗi Thế giới ấy. Thực tại ảo được cho là tổng thể, là tập hợp của tất cả các Thế giới ảo nên nó phải có qui mô lớn hơn từng thế giới ấy, nhưng đồng thời bản thân Thực tại ảo cũng là một hình ảnh - một Thế giới ảo của Tự Nhiên Tồn Tại cho nên qui mô của nó cũng không thể lớn hơn các Thế giới ảo khác.

Sự suy luận đó dẫn chúng ta đến quan niệm rằng: có hiện tượng chồng chập (hòa vào nhau) giữa các Thế giới ảo và tất cả phải chồng chập vào nhau để hợp thành Thực tại ảo, đồng thời do đặc tính phân thành tầng nấc qui mô của Tự Nhiên Tồn Tại biểu hiện ra trước nhận thức nên giữa các Thế giới ảo có sự bao hàm, dung túng của một Thế giới đối với (một vài) Thế giới khác, làm cho hiện tượng chồng chập trở nên “nửa vời” (chồng mà không chập!), và Thực tại ảo trở thành có qui mô cực đại, “chứa đựng” tất cả các Thế giới ảo còn lại.

Có thể qui ước rằng:

- Khi chúng ta nói về một Thế giới ảo nào đó và chỉ nói về nó thôi thì nó có qui mô “y hệt” như một Thực tại ảo và được “lấp đầy” các phần tử thuộc về nó và làm nên nó theo định nghĩa (nghĩa là cũng theo qui ước nốt!); chỉ khi cần so sánh Thế giới ấy với (những) Thế giới khác thì mới phải điều chỉnh mức độ qui mô cho phù hợp để đặt nó đúng vào vị trí “dành sẵn cho nó” trong sự phân định theo “lớp lang, tầng nấc” (với điều kiện nội tại của nó là bất biến, tất cả các phần tử vốn có của nó vẫn còn “y nguyên” trong suốt quá trình điều chỉnh đó).

- Sự vận động và chuyển hóa nội tại của một Thế giới ảo độc lập không thể làm mất đi hoặc thêm ra đối với tổng lực lượng (số lượng) của Thế giới ấy (vì đó là một đại lượng bất biến).

- Khi trong lòng một Thế giới ảo xuất hiện ít nhất một “vật thể lạ” (một phần tử không thuộc thế giới ấy theo định nghĩa), thì Thế giới ấy được coi là đã biến đổi thành một Thế giới khác và có thêm ít nhất một đặc thù.

- Khi một Thế giới mất đi ít nhất một phần tử thì nó bị thu hẹp lại về mặt qui mô và coi như biến đổi thành một Thế giới khác. Đồng thời Thế giới nào có phần tử đó “lạc” vào cũng biến đổi như đã nói ở trên.

- Một Thế giới vốn dĩ là đầy đủ thì nó chứa tất cả các phần tử thuộc về nó (do đó mà sẽ không thể tìm thấy một phần tử nào như thế ở bên ngoài Thế giới ấy).

- Có thể nói, số đếm (số thứ tự, số liệt kê) được sáng tạo ra từ sự kết hợp giữa sự biểu hiện ra về mặt số lượng của Thực tại khách quan và sự quan sát, nhận thức chủ quan về biểu hiện khách quan ấy cho nên nó cũng có tính hai mặt: ở góc độ nhìn nhận này thì số đếm thuộc về Thực tại ảo; ở góc độ nhìn nhận kia thì nó không thuộc về Thực tại ấy, nằm ngoài Thực tại ấy và như thế nó cũng không thuộc bất cứ Thế giới ảo nào (mà thuộc về Thế giới khách quan?). Khi chúng ta quan sát, nghiên cứu, tính toán các quá trình vận động, chuyển hóa của nội tại Thế giới ảo, nếu qui ước “bản thân mình” là ảo, thì chúng ta phải thực hiện công việc đó ở bên trong thực tại ấy cùng với các số đếm và các công cụ dùng tính toán cũng phải được qui ước là ảo. Lúc đó, chúng ta đã (vô tình) làm cho Thực tại ảo bị mở rộng và biến dạng một cách “nhân tạo” (có thể là tới vô hạn), các quá trình quan sát và tính toán vì thế mà bị nhiễu loạn, đưa đến những kết quả sai lạc, không phản ánh đúng thực chất Thực tại ảo vốn dĩ ban đầu, lúc chưa bị “vi phạm”. Hơn nữa khi đã nói đến quan sát và nhận thức thì mặc nhiên, chúng đã phân định ra chủ quan và khách quan, ra cái quan sát nhận thức và đối tượng của nó là cái “bị” quan sát, nhận thức. Do đó, để “thấy được” một cách chân xác Thực tại ảo, chúng ta phải đứng bên ngoài nó, đừng “nhúng mũi” chạm vào nó, coi nó như một Thực tại khách quan, để quan sát và nhận thức. Lúc này, vì chúng ta ở ngoài Thực tại ảo, nên các số đếm, quá trình và các kết quả tính toán cùng với những công cụ dùng để thực hiện việc quan sát và nhận thức cũng ở ngoài, không thuộc Thực tại ảo. Nói gọn lại, chúng ta qui ước rằng: vì các số đếm là những số trống rỗng (không thực chất là những số lượng, hay lực lượng), những “bóng ma” được gắn nhãn mác để biểu diễn tính số lượng, nên chúng không thuộc Thực tại ảo và có thể cho phép số lượng của nó là vô hạn (vô hạn cái trống rỗng cũng chỉ là trống rỗng!) đồng thời có cả số 0. Điều này dẫn đến một “hay ho”: không có bất cứ Thế giới nào, dù thực hay ảo, có thể tự đếm và tính toán về bản thân nó mà phải “nhờ” quan sát và nhận thức từ bên ngoài “làm giúp” việc đó cho nó (để rồi nó cũng chẳng biết làm gì với những thứ “vớ vẩn” ấy!).

Đến đây, chúng ta đã viết xong được “một đống” qui ước. Không biết như thế có đúng không và đã đủ chưa? Chúng ta không quyết định được. Tuy nhiên, có một điều mà chúng ta dám chắc là lúc này, sau khi đã tạo dựng nên cái đống qui ước kia, chúng ta bỗng thấy mệt mỏi rã rời, có thể như tan ra thành các phần tử rời rạc.

Thôi, kệ! Tất cả là nhờ Trời, vì:

“Ngẫm hay muôn sự tại Trời

Trời kia đã bắt làm người có thân

Bắt phong trần, phải phong trần

Cho thanh cao mới được phần thanh cao…”.

(Nguyễn Du)

***

Lại tiếp tục nói đến Thế giới các số tự nhiên, vì câu chuyện… triết học (nửa mùa), kể về nó chưa hết.

Nếu dàn trải Thế giới N ra, chúng ta sẽ có một mặt (phẳng) được tạo nên (và cũng là lấp đầy) bởi các điểm

. Mặt ấy luôn biến hóa, và qua các trạng thái của sự biến hóa ấy, chúng ta thấy có mặt đầy đủ và dồi dào các loại số (lượng) đơn vị và đồng thời cũng là các số (lượng) có thể có của Tự nhiên (biểu hiện ra thành số đếm từ

đến N)…

Nếu chúng ta có thể kéo sợi được Thế giới N, thì chúng ta sẽ có được một sợi dây số tự nhiên dài “mút mùa Lệ Thủy”, cũng có đủ những “phẩm chất” chung về Thế giới N tương tự như mặt (phẳng) số tự nhiên, và làm chúng ta lưu luyến nhớ về dây thắt nút; mà dạng nguyên thủy, (gọi là) cơ sở, được viết tượng trưng như sau:

, …,

Vì đơn vị tuyệt đối là bộ phận của đơn vị tương đối và cho rằng các phép toán đúng với đơn vị tuyệt đối thì cũng đúng với đơn vị tương đối nên để cho tổng quát hơn, chúng ta tạm loại bỏ ký hiệu

để dùng ký hiệu 1 (và hiểu ngầm rằng tùy lúc tùy nơi mà nó có ý nghĩa tuyệt đối hay tương đối). Thêm nữa, khi đã ký hiệu là 1 thì coi như ký hiệu này đã ở ngoài Thế giới N, do đó có thể tùy ý cho phép số lượng ký số 1 (cũng như các ký số khác) là hữu hạn hay vô hạn. Cuối cùng, để xác định được số lượng

thực sự là bao nhiêu, chúng ta phải thực hiện công việc đếm đơn vị. Đếm đơn vị là quá trình liên tục của việc thêm vào 1 đơn vị cho số lượng đã được đếm ngay trước đó; và nếu chúng ta gọi sự thêm vào là phép toán “cộng” (ký hiệu: +) thì cũng gọi đếm đơn vị là “cộng đơn vị”.

Sau khi đã thỏa thuận như trên, chúng ta viết sợi dây số tự nhiên (đã thông qua quan sát và nhận thức!) cùng với dãy số đếm (số thứ tự) của nó như sau:

1, 1, 1, 1, 1, …, 1

(0), 1, 2, 3, 4, 5, …, N, (…)

(Số đếm có thể là hữu hạn hoặc vô hạn!).

Đếm đơn vị thì đồng thời cũng là cộng đơn vị, nên có thể biểu diễn:

Chú ý:

- Dù chúng ta có đếm, có cộng hoặc làm đủ mọi thứ phép toán về Thế giới N thì cũng không hề làm xáo trộn thế giới ấy, nó vẫn hồn nhiên sống động theo cách của nó, vì chúng ta có “thò mũi” vào nó đâu!

- Vì hàm chứa sự trống rỗng nên dãy các số đếm chỉ có tính hình thức tượng trưng về số lượng, do đó các số đếm cũng tuyệt đối không có thứ nguyên. Sự biểu hiện có vẻ tầm thường và buồn tẻ của các số đếm đã che khuất vai trò tối quan trọng của chúng trong toán học. Chúng quan trọng đến nỗi nếu không có chúng thì tất cả các quá trình tính toán đột nhiên trở nên “ngốc nghếch”, phi lý và nhiều khi là không thể thực hiện được.

Thế giới N được cho là lấp đầy các số tự nhiên, ngoài số tự nhiên ra, không còn cái gì khác nữa, và cũng không có số tự nhiên nào lại ở ngoài Thế giới ấy. Chúng ta nói Thế giới N tuân theo luật đầy đủ. Thế nhưng như chúng ta đã đề cập, ở hầu hết các trạng thái, Thế giới ảo nói chung lại biểu hiện sự không có mặt đầy đủ của các loại đơn vị (về mặt số lượng), nghĩa là không đầy đủ. Vậy phải giải quyết mâu thuẫn này như thế nào? Luật đầy đủ bảo rằng một Thế giới muốn thực sự đầy đủ thì nó phải bao hàm cả thiếu thốn. Trong khi đó các Thế giới cũng phải tuân theo triệt để nguyên lý bảo toàn lực lượng. Để đồng thời đảm bảo hai yêu cầu đó, Tự Nhiên Tồn Tại đã trao cho các Thế giới một “bảo bối”, đó là đặc tính trội - lặn. Có thể dùng đặc tính trội - lặn để giải quyết mâu thuẫn nói trên: Thế giới luôn luôn đầy đủ, nhưng không thể quan sát đầy đủ Thế giới mà chỉ quan sát được một bộ phận gọi là nổi trội của Thế giới đó, những cái bị cho là thiếu, vắng thực ra là đã tạm thời lặn đi.

Còn một cách giải thích nữa nghe rất vui vẻ và không phải là không có lý: Vì không xảy ra trong thời gian (nãy giờ chúng ta có chú ý đến thời gian đâu và trong toán học thuần túy cũng đâu có thời gian), nên cần phải cho rằng các trạng thái của Thế giới N xuất hiện đồng thời, tạo ra hiện tượng chồng chập trạng thái và như vậy là luôn thấy nó… đầy đủ (ở đây, tính trội lặn không được đặt ra nữa!).

Vì lúc nào cũng thấy thế giới N là đầy đủ nên trong thế giới ấy, xét trong thế cô lập của nó, là không có hiện tượng sinh - diệt, các số tự nhiên, trong quá trình vận động, tương tác lẫn nhau, chỉ có thể là làm biến hóa lẫn nhau, từ số này thành số khác.

Sự vận động nội tại của Thế giới N được mô tả bằng những phép toán. Yêu cầu tiên quyết đối với những phép toán đó là có tính thuận nghịch và đảm bảo được kết quả là số tự nhiên.

Dù là tưởng tượng nhưng cũng hoàn toàn tự nhiên và chính sự đếm đơn vị đã làm cho chúng ta hình dung ra rằng: Thế giới N “thuở ban sơ”, khi nó chưa có đơn vị số lượng nào khác ngoài những đơn vị tuyệt đối, thì hành động đầu tiên của nó là kết hợp các đơn vị tuyệt đối thành những đơn vị tương đối khác nhau, và hành động đó được mô tả là phép toán cộng. Phép toán cộng là phép toán đầu tiên, có tính hiển nhiên, tất yếu, tiên đề và là cơ sở của mọi phép toán của thế giới N nói riêng và của Thực tại ảo nói chung.

Phép toán cộng được nảy sinh ra một cách hiển nhiên từ vận động của Thế giới N nên nó cũng thỏa mãn mọi yêu cầu của thế giới ấy, nghĩa là:

- Dù cộng bất cứ các số tự nhiên nào với nhau, kết quả tính toán luôn là số tự nhiên, là một số nào đó trong dãy số đếm.

- Nó có tính thuận nghịch, nghĩa là nếu có:

2 + 5 = 7 thì cũng phải có 7 – 5 = 2

và không bao giờ có (hai vế không bằng nhau):

2 + 5 = 8 (nên cũng không có 8 – 5 = 2)

Bắt đầu là phép toán cộng đơn vị (đếm xuôi) rồi đến phép toán trừ (-) đơn vị (đếm ngược). Tổng quát hơn là phép toán cộng và nghịch với nó là phép toán trừ.

Trong quá trình làm toán cộng, nhiều lúc xuất hiện hiện tượng một số, cộng liên tiếp nhiều lần với bản thân nó làm xuất hiện phép toán nhân và phép toán lũy thừa. Chẳng hạn cho a là 1 số tự nhiên và có:

a + a + a + … + a, nghĩa là có n số a cộng với nhau. (Có thể coi số a là đơn vị và n là số đếm lớn nhất đồng thời cũng chính là số lượng phải cộng của a). Để đơn giản hóa tính toán, người ta quy ước:

Phép nhân là sự suy diễn ra từ phép cộng nên kết quả tính toán của nó bao giờ cũng cho ra số tự nhiên.

Khi n = a thì người ta qui ước:

a x a = a²

Và gọi vế phải là phép toán lũy thừa.

Phép toán lũy thừa được suy diễn ra từ phép nhân nên kết quả của nó cũng luôn là số tự nhiên.

Có thể gọi ba phép toán: cộng, nhân, lũy thừa là ba phép toán cơ sở, hiển nhiên của Thế giới N. Chúng cũng là ba phép toán thuận.

Tương phản với ba phép toán trên là ba phép toán: trừ, chia, khai căn. Nếu gọi ba phép toán trên là quá trình thuận, có trước thì ba phép toán này được gọi là quá trình nghịch, có sau, hợp với quá trình thuận làm nên một thể thống nhất thuận - nghịch. Trong thế giới N, điều kiện tồn tại của ba phép toán sau lệ thuộc vào sự tồn tại của ba phép toán trước, nghĩa là ba phép toán sau phải là nghịch của ba phép toán trước, chứ không thể tùy tiện xuất hiện một cách độc lập được.

Có thể kết luận: Mọi phép toán trong thế giới N chỉ được cho là đúng nếu thỏa mãn tính thuận nghịch và có kết quả là số tự nhiên.

Thí dụ:

- Nếu có phép cộng (thuận): 2+1=3 (hoặc 1+2=3) thì cũng có phép trừ (nghịch): 3–1=2 (hoặc 3-2=1).

- Không có phép cộng: 3+5=3 nên cũng không có phép trừ: 3-5.

- Cũng không có phép trừ: 2-3 vì kết quả không phải là số tự nhiên.

- Không có số tự nhiên nào nhân với 3 bằng 2 nên rõ ràng cũng không thực hiện được phép chia: 2:3 (hoặc có thể viết

- Không có số nào bình phương lên bằng 2 cả nên

(ký hiệu của khai căn:

) không thực hiện được trong Thế giới N.

Trong Thế giới N không tồn tại số 0 (mà cũng không có cả các số đếm), nhưng trong quá trình tính toán (được coi như là sự mô tả về sự vận động, biến hóa trong nội tại Thế giới N) lại không thể không xuất hiện số 0. Điều đó quả là ngạc nhiên!

Các số tự nhiên trong Thế giới N không phải là trống rỗng như số đếm mà chúng “thực sự” hàm chứa số lượng (lực lượng) để tạo nên một Thế giới hẳn hoi, nghĩa là chúng phải có thứ nguyên và thứ nguyên đó phải có tên gọi. Một cách hình tượng, có thể coi các số tự nhiên là “vạn vật” của Thế giới N. Chẳng hạn trong Thế giới loài gà, thì thứ nguyên của các số lượng là: “con gà”: 3 con gà, 6 con gà, 1 con gà… Trong thế giới ấy không bao giờ có số đếm 1, 3, 6 hoặc số 0. Khi trong Thế giới gà xuất hiện số 5 thì chúng ta phải lập tức hiểu rằng đó là sự viết tắt và số 5 đó chính là 5 con gà. Đơn vị nhỏ nhất tuyệt đối của Thế giới gà là j con gà và Thế giới gà là một Thế giới hoàn toàn rời rạc nhưng chứa đầy ắp gà.

Trong quá trình quan sát Thế giới loài gà, tất yếu nảy sinh ra sự đếm để nhận thức số lượng. Trong thực tế đời thường, nhiều khi chúng ta vẫn quen miệng đếm:

1 con gà, 2 con gà,…

Đếm như thế có đúng không? Đúng mà cũng không!

Như đã nói: đếm đơn vị thì cũng đồng thời là làm phép toán cộng đơn vị, mà trong đó, bài toán đầu tiên, sơ khai nhất, đơn giản nhất và hiển nhiên nhất là:

1 con gà + 1 con gà = ?

Đứa con nít cũng biết rằng kết quả là 2 con gà. Thật là hiển nhiên và không thể chối cãi được! Nhưng có một kẻ gàn rở vẫn đòi cãi, đó là… Thầy Cãi.

Ông ta cho rằng nếu bài toán đó chưa được qui ước thì không giải được. Không thể hiểu nổi: 1 con gà thêm (hoặc: “và”) 1 con gà là 2 con gà, có ý nghĩa gì. Trong thế giới loài gà, vì không có số đếm nên phải hiểu 1 con gà có nghĩa là “vật” thuộc loại nhỏ nhất trong vạn vật làm nên Thế giới ấy. Nếu có vật như thế, thêm vào đó vật như thế nữa (nghĩa là quan sát thấy vật như thế nữa!) thì hiện tượng chỉ là… như thế thôi, hay có thể biểu diễn:

Con gà + Con gà = Con gà + Con gà

Nếu qui ước lúc này số 1, 2… chỉ là tên gọi các vật để phân biệt trong thế giới gà, thì có thể diễn giải:

Vật 1 (con gà) + Vật 1 (con gà) = Vật 1 (con gà) + Vật 1 (con gà)

Hay gọn hơn:

“2 con gà” là một vật có tên là “2”, có thứ nguyên là “con gà”.

Quá trình chuyển hóa từ (những) vật này thành vật khác là quá trình không thuộc về phép cộng, và vì chỉ thông qua quan sát để dựng nên bài toán cộng ở trên chứ không ai có quyền “thò mũi” vào Thế giới gà nên bài toán trở thành vô nghiệm.

Để cho bài toán có nghiệm thì phải ứng dụng số đếm. Số đếm là số tự nhiên khi nó có thứ nguyên (và thuộc về Thế giới N), và là số “ma” khi không có thứ nguyên (và ở ngoài Thế giới N). Vậy, khi quan sát Thế giới loài gà, thấy:

1 con gà, 1 con gà,…

Và đếm: 1 , 2 ,…

Lúc này bài toán cộng đơn vị, có vai trò là bài toán đầu tiên của mọi bài toán được đặt ra:

1 + 1 = ?

Đó là bài toán của những số đếm, biểu trưng, đơn thuần về những số lượng đơn vị, rời rạc không thứ nguyên. Kết quả bài toán hiển nhiên là 2 đơn vị (rời rạc), và nếu áp dụng cho Thế giới loài gà thì ngầm hiểu đó là 2 con gà (rời rạc), không cần quan tâm tới 2 con gà đó làm gì, ở đâu, có hòa hợp với nhau hay không (dù có thể 2 con gà đó đã “hòa vào nhau” trong một cái nồi thì về mặt số lượng vẫn được coi là 2 con gà!).

Vì phép cộng xuất phát từ phép cộng đơn vị mà phép cộng đơn vị chính là sự đếm số lượng đơn vị có khi là gồm những loại đơn vị khác nhau (các đơn vị hàm chứa số lượng khác nhau thì thứ nguyên của chúng cũng bộc lộ những nét sai biệt nhau, ví dụ: 1 con gà

1 cặp gà

1 nhóm gà…), cho nên đòi hỏi của một phép cộng “sáng sủa” là các số đếm tham gia vào quá trình cộng phải là những số biểu diễn số lượng đơn vị đồng thứ nguyên.

Thí dụ:

Có: 1 + 1 = 2

(Hiểu là: 1 đơn vị cộng 1 đơn vị bằng 2 đơn vị)

Điều đó đúng khi hai đơn vị tương đối ở vế trái là đồng thứ nguyên. Nếu hai đơn vị đó không đồng thứ nguyên, chẳng hạn đối với đơn vị đứng đầu, nó có thứ nguyên là 2 KG (Không gian) và đơn vị thứ hai có thứ nguyên là 5 KG thì kết quả bài toán trên không còn đúng nữa. Muốn có kết quả đúng, phải chuyển đổi hai đơn vị tương đối đó về đồng thứ nguyên, nghĩa là:

2 + 5 = 7 (đơn vị KG)

Qua những điều vừa trình bày, chúng ta đã thấy tầm quan trọng đến mức độ không thể thay thế được của số đếm trong tính toán. Vai trò quyết định của chúng thể hiện rất rõ rệt trong phép nhân. Tương tự như ở phép cộng, chúng ta cũng có bài toán đơn giản nhất của phép nhân:

1 con gà x 1 con gà = ?

Theo định nghĩa, kết quả phải là: 1² (con gà)²

Không thể hiểu được kết quả đó nói về cái gì. “1²” có nghĩa là gì và hơn nữa “(con gà)²” đóng vai trò như một thứ nguyên là cái quái gì?

“1²” còn có thể cố mà hiểu được đó là số đếm, chứ:

(con gà)² = con gà x con gà, thì không làm sao hiểu nổi. (Thực ra (con gà)² là kết quả của phép toán tích hợp, phải thông qua môi trường và chịu sự tác động từ bên ngoài. Chúng ta cho rằng phép toán này mô tả Thực Tại chính xác hơn, và được thể hiện rõ ràng trong các quá trình lý - hóa… Có thể chính quá trình tích hợp đã làm nên những đơn vị tương đối. Thưc ra, trong Thế giới N, không có những đơn vị tương đối thực sự mà chỉ có tính giả hợp).

Tuy nhiên nếu dùng số đếm, bài toán nhân sẽ được hiểu rõ đến không ngờ:

1 x 1 = 1 lần 1 = 1 con gà

(Một lần con gà thì bằng 1 con gà).

Tương tự với:

2 x 1 = 2 con gà

Có thể hiểu hai cách:

- Đếm 1 lần được 2 con gà nên có 2 con gà

- Đếm 2 lần 1 con gà nên có 2 con gà

Có thể biểu diễn 2 x 1 bằng cách:

Như vậy, theo cách hiểu này thì dù có n lần nhân số 1 với nhau thì cũng chỉ bằng 1.

1 x 1 x … x 1 = 1ⁿ = 1

(Và đừng cho Thầy Cãi biết điều này!)

Trong Thế giới N, có thể thấy được những biểu hiện gợi nên số đếm, nhưng không bao giờ thấy được những biểu hiện gợi nên số 0. Vì không có số 0 nên không có biểu hiện.

0 + 1 = 1,

do đó cũng không có biểu hiện:

1 – 1 = 0

Số 0 chỉ xuất hiện trong quá trình tính toán bằng số đếm ở bên ngoài Thế giới N, nhờ sự suy luận và sáng tạo (tự do) của quan sát và nhận thức. Việc làm đó tất yếu làm mở rộng Thế giới N thành một Thế giới ảo khác, bao hàm nó.

Tóm lại: phép toán cộng (với việc sử dụng các số đếm để tính toán) là phép toán cơ sở, tiên đề; là giềng mối của mọi phép toán toán học, không chỉ của Thế giới N mà là của tất cả các Thế giới ảo khác, nghĩa là của toàn bộ Thực tại ảo.

Cuối cùng, chúng ta có một chú ý nhỏ: mọi bài toán đều có quyền được tồn tại, dù có thể là vô nghiệm, và không có bài toán nào là không giải được nếu được tăng cường qui ước, hoặc bỏ bớt qui ước.

***

Khi quá trình tính toán làm xuất hiện số 0 thì rồi nó cũng làm xuất hiện số âm.

Chúng ta là những kẻ bảo thủ và cực đoan, nên khi tính toán làm xuất hiện số 0, chúng ta cố ép bằng được Thế giới N chấp nhận nó. Thế là giờ đây, Thế giới N được lấp đầy không phải bởi các số tự nhiên nữa, mà còn cả các số “chẳng có gì”. Từ đây, do bị những thứ “đồ bỏ” được thổi vào, Thế giới N bắt đầu phình ra như một cái bong bóng. Cái “vỏ bao” N của nó ngày càng căng, đòi hỏi phải có một cái tên khác, “oách” hơn, cho phù hợp với “quyền hạn” và “công lao” mới.

Thế nhưng chúng ta không “quyết”, vẫn khư khư cố giữ lấy cái tên “N” của một thời “xuân sắc” cho Thế giới số tự nhiên. Sự “cố chấp” mù quáng đó đã làm nảy sinh nhiều “vấn nạn” buộc chúng ta phải cố gắng “giải phẫu thẩm mỹ”, giữ gìn cái vẻ đẹp ban sơ cho Thế giới N.

Vì Thế giới N đã có thêm số tự nhiên là số 0 nên hiển nhiên là có các đẳng thức:

Không thể có đẳng thức:

1 x 0 = 0,

vì nó không thỏa mãn qui ước là phải có tính thuận nghịch. Lấy “không có gì” đem chia cho bất cứ cái gì cũng đều “không có gì”; huống hồ là đem “nó” chia cho “không có gì” (chắc chắn là càng không có gì!). Đằng này, muốn cho đẳng thức 1 x 0 = 0 tồn tại thì phải có đẳng thức:

0 : 0 = 1

Thế nhưng trực giác cũng mách bảo rằng “một lần 0 bằng 0” là một hiển nhiên.

Để giải quyết mâu thuẫn đó, và để cho Thế giới N vẫn “tròn trịa”, đẹp đẽ thì chúng ta phải qui ước bài toán 0:0 có hai nghiệm là 0 và 1, nghĩa là:

Có thể qui ước được như vậy không?

Trên bước đường quan sát và nhận thức Thực tại khách quan, con người nhất quyết phải xây dựng hệ thống khái niệm và qui ước. Tự Nhiên Tồn Tại cho phép con người tự do, tha hồ mà đặt điều này nọ, tha hồ mà qui ước lung tung, tha hồ mà vẽ vời lung tung đến bạt mạng. Tuy nhiên, dù có được tự do đến cỡ đó thì con người cũng không thể qui ước cái mà Tự Nhiên Tồn Tại không có (nếu còn muốn tiếp tục nhận thức!); dù có qui ước là Hư Vô đi nữa thì cứ vẫn là Tồn Tại.

Khi chúng ta qui ước số 0 có nghĩa là “không có gì cả” thì cái ý nghĩa ấy chỉ mang tính tương đối, nhất là khi chúng ta cố nhét nó vào Thế giới N và đặt nó đứng trong hàng ngũ các số tự nhiên.

Thế giới N là một tồn tại cho nên nó không bao giờ chấp nhận Hư Vô, dù là ở tận chân tơ kẽ tóc. Khi các số 0 bị đẩy vào Thế giới ấy, thì chúng phải được coi là những số lượng thực sự, bị gắn nhãn mác là “0”. Chúng ta gắn nhãn mác “0” vì tưởng rằng chúng trống rỗng, vì chẳng thấy gì ở những chỗ mà chúng “trú ngụ” cả. Chúng ta không thấy được chúng, dù sau này có ngộ ra được sự tồn tại của chúng (vì thấy Thế giới N “béo” ra!), thì cũng khó lòng xác định được những số lượng mà chúng “chứa đựng”. Do đó, ngoài tên gọi là “số 0” thuở ban đầu, chúng ta còn đặt cho chúng cái tên là “số bất định”. Số bất định cũng là số tự nhiên nhưng không “thấy” được, nên nó có tính lặn, không hiện hữu và tổng số của chúng hợp thành nền tảng của Thế giới N; khi đã có bộ phận nền tảng thì trong Thế giới N cũng xuất hiện quá trình sinh - diệt, hiện ra (thành số tự nhiên “thấy” được) và biến mất (thành số 0, không “thấy” hoặc thấy như “không có gì”, bất định trong cái nền tảng mênh mông và có vẻ liền lạc như… không gian trống rỗng).

Vậy là số 0 có hai nghĩa: không có gì và bất định. Có thể nói: số bất định có thể là bất cứ số nào, từ số 0 (trống rỗng) đến số N.

Vai trò của toán học là phục vụ cuộc sống, do đó mục đích cao cả của nó là nhận thức thế giới khách quan, công việc thực tiễn của nó là đi tìm ẩn số bằng cách đề ra và giải đáp các bài toán. Khi số 0 đóng vai trò là số bất định thì nó cũng chính là một ẩn số và là ẩn số tự nhiên trong Thế giới N (đã mở rộng).

Suy luận lung tung như thể để chúng ta đạt được điều này: nếu x và y là hai ẩn số thì từ:

0 : 0 = 1,

chúng ta có thể viết x : y = 1; và đây là một bài toán.

Lời giải hiển nhiên là khi x = y thì có kết quả bằng 1, và khi x = y = 0 (hoặc khi x = 0; y = 1) thì sẽ có:

0 : 0 = 0

Hay 0 : 1 = 0

Vậy 0 : 0 = 1 là có thể qui ước được, nhưng là một qui ước đặc biệt. Trong thực tiễn, không thể chia sự trống rỗng của túi bên trái cho sự trống rỗng của túi bên phải để có được một… tòa lâu đài nguy nga tráng lệ. Nhưng dù sao thì nếu đem chia cái túi trống rỗng cho ai đó, chắc chắn người đó sẽ có được (thêm), ít ra là 1… cái “túi” chứa đầy Không Gian.

Trong quá trình khảo sát Thế giới N, có những khi chúng ta chỉ quan tâm đến một phần (hoặc là toàn bộ) số lượng “vạn vật” trong Thế giới ấy mà không cần quan tâm tới số lượng cụ thể của một vật là bao nhiêu. Điều đó dẫn đến việc phải đếm các vật và các vật đó dù to nhỏ, ít nhiều có thể khác nhau thì cũng đều được coi là những đơn vị đếm. Các đơn vị đếm được coi là bình đẳng với nhau, cho nên có thể “sắp xếp” chúng theo thứ tự nào để đếm cũng được, không nhất thiết phải đặt đơn vị đếm theo cách tăng dần (hoặc giảm dần) số lượng nội tại của chúng.

Giả sử chúng ta quan sát được:

1 vật, 1 vật, 1 vật, …

và đếm:

1 , 2 , 3 , …

rồi gọi tên các vật đó là:

vật thứ nhất, vật thứ nhì, vật thứ ba, …

hay tiện lợi, đơn giản hơn:

vật 1, vật 2, vật 3, …

Như vậy, ta cũng sẽ lập được những phép cộng, chẳng hạn như:

1 (vật) + 3 (vật) = 4 (vật)

và: 4 (vật) – 3 (vật) = 1 (vật)

Thật là chí lý! Những qui ước toán học vẫn được tuân thủ làm chúng ta hài lòng.

Đang định “xếp bút nghiên” lên đường… đi nhậu (để tự tưởng thưởng cho mình), thì NTT bỗng hiện ra, cười mỉm:

- Đừng có vội sướng nhé! Nếu viết được như thế thì cũng phải viết được:

(vật) 1 + (vật) 3 = vật (4);

Nghe thế, chúng ta bật cười hô hố. Lần đầu tiên chúng ta có cảm nhận rằng NTT, người mà xưa nay chúng ta tôn thờ, nhận làm thầy, lúc này đây, thật là ngoan cố và dốt nát, và cũng là lần đầu tiên, chúng ta có cảm nhận rằng quan hệ thầy - trò giữa chúng ta và NTT đã đổi ngôi. Vì thế mà chúng ta nghếch mũi lên, “dạy” NTT rằng:

- Ôi dào! Viết kiểu gì mà không được! Viết kiểu gì thì kiểu, kết quả toán học vẫn hiển nhiên:

1 + 3 = 4 và 4 – 3 = 1

Thưa NTT, có thể ngài là một nhà am tường trên lĩnh vực triết học, đã khôn ngoan nhặt nhạnh được những “đơn vị” tinh túy nhất trong các học thuyết triết học từ cổ chí kim để tạo nên một thế giới mới về quan niệm, dù chỉ như là bình mới chứa (nhiều và đủ loại)… rượu cũ, nhưng phải cho rằng cũng khá hay ho. Tuy nhiên trong lĩnh vực toán học, hình như ngài còn “ngơ ngác” quá. Có lẽ ngài đã là một chứng minh hùng hồn rằng: đã là nhà triết học thì đừng nên nói chuyện toán học, còn muốn nói chuyện toán học một cách nghiêm túc, có độ chính xác cao thì nên rời bỏ con đường triết học duy tồn, đầy mông lung đi. Chúng tôi có suy nghĩ này, không biết ngài có thừa nhận không: trong thế giới triết học, ngài giống như HTB (Hoàng Tử Bé), trong thế giới lịch sử, ngài giống như BĐ (Ba Đá - Đá cá lăn dưa), trong thế giới toán học, ngài giống như TC (Thầy Cãi - chỉ chăm chăm chờ cơ hội để “thọc gậy bánh xe”).

Trước thái độ và lời nói “trẻ người non dạ” đó (mà sau này chúng ta nhận ra là quá ư xấc xược để rồi xấu hổ và ân hận vô cùng!). NTT, ngạc nhiên thay, chẳng nổi đóa như thường tình, mà trái lại, cứ nhe răng ra cười lặng lẽ, nhìn ra đâu đó xa xôi. Một lúc sau, ông mới ôn tồn bảo:

- Chúng ta, ai cũng vậy, trên bước đường nhận thức khoa học, luôn có quyền được tự cho mình đúng, có quyền hoài nghi và phản biện, vì chính “cái tôi” cũng đòi hỏi như thế. Nhưng dù có tự tin, xác quyết rằng mình đúng đến mấy chăng nữa thì cũng đừng vội “chắc như đinh đóng cột” rằng kẻ khác đã sai. Vì xử sự như thế sẽ dẫn đến những nguy hại khó lường, chẳng hạn trong một cuộc cãi vã đúng - sai xùi bọt mép đến cao độ mà không giải quyết được vấn đề (luôn luôn xảy ra như thế trong đời thường!), có thể do bức xúc quá độ mà những kẻ bị chúng ta “bắt phải sai” nổi điên, nện cho chúng ta một trận “hội đồng” đến tan tác hoa lá cành. Nhưng nguy hại nhất là nếu xử sự như thế, chúng ta sẽ làm cho Tự Nhiên Tồn Tại nổi giận, đá văng chúng ta ra khỏi con đường nhận thức hướng về chân lý đích thực, để rồi không lưu lạc trong cuồng tín dị đoan thì cũng “ngủ” mê man trong “Thái bình Thiên quốc” (nhà thương điên Biên Hòa). Đừng bao giờ cho rằng mình đã thấy hết bầu trời vì rất có thể mình đang ngồi ở đáy giếng nào đó như một… con ếch! Đối với vấn đề cụ thể vừa rồi, ta nói thế không phải vì ta khoe mình giỏi toán mà vì với thói quen bới móc, tìm nhặt những viên ngọc ẩn dấu đâu đó hoặc cũng có thể là những “đơn vị còn xài được” nhưng đã bị lãng quên trong lịch sử, ta đã thấy chính các anh tự làm khó mình khi đưa ra những lập luận kiểu hết sức… trời ơi đất hỡi. Ta chỉ muốn nói thế thôi! Còn các anh có tin hay không tin thì tùy!... Xin chào tạm biệt các nhà toán học “lôm ca lôm côm”! Ta đi đây!...

NTT vụt biến mất, làm chúng ta chưng hửng.

Dù sao thì cũng phải coi kỹ lại mới được. Ở đâu thì cũng có thể đùa được, nhưng không nên đùa với những vấn đề thuộc nền tảng!

Xem xét đi, xem xét lại một hồi, chúng ta bất chợt: “À! Ra thế đấy!”. NTT nói đúng, chúng ta đã tự đưa mình vào một nan đề.

Cả 2 cách viết (của chúng ta và của NTT) đều đúng và chỉ đúng trong phạm vi tính toán số lượng vạn vật của Thế giới N. Còn nếu cùng lúc, chúng ta cũng quan tâm đến số lượng nội tại của mỗi vật và dùng luôn sự tính toán đó để xác định số lượng nội tại của vạn vật, thì cả 2 cách viết đó đều sai. Tuy nhiên, cách viết của NTT sai “ít hơn” cách viết của chúng ta. Cụ thể hơn, chúng ta viết lại cách viết của NTT và phân tích nó:

(vật) 1 + (vật) 3 = (vật) 4

Để tiện lợi hơn cho công việc, chúng ta sửa một chút:

(vật) 1 + (vật) 2 = (vật) 3

Dễ thấy là cách viết trên xác định rõ ràng những “vật” nào được tham gia vào phép toán (chúng đã được định vị thông qua sự đếm bằng tên gọi: thứ nhất, thứ nhì, thứ ba…)

Theo nguyên tắc: đếm là cộng đơn vị nên chúng ta phải có (về mặt số lượng):

(vật) 2 = 2 x (vật) 1

(vật) 3 = 3 x (vật) 1

Tuy nhiên, lúc đầu chưa quan tâm tới số lượng nội tại của 3 vật đó (để đơn giản, chúng ta qui ước lúc này: số lượng nội tại là tuyệt đối, nghĩa là bằng tổng của số

) thì như thế là đúng cả, không có vấn đề gì, còn bây giờ, khi chúng ta quan tâm tới cả số lượng nội tại của từng vật nữa thì thấy viết như thế có vẻ là sai. Giả sử rằng trong thực tế, số lượng nội tại của các vật 1, 2, 3 lần lượt là 2, 5, 3 thì thấy:

Điều đó dẫn chúng ta đến nhận định rằng trước khi đếm số lượng vạn vật, chúng ta đã “sắp xếp” sai vị trí cho chúng. Vậy muốn cho phép toán tìm số lượng vạn vật nào đấy cũng được ứng dụng được trong việc xác định cả số lượng nội tại của chúng thì phải “sắp xếp” lại (qui ước lại tên gọi các vị trí trong Thế giới N) sao cho thỏa mãn điều kiện nếu vật ở vị trí thứ k (gọi là x) bằng:

X = k x a

Khi chỉ đếm một bộ phận vạn vật nào đó thì có thể sẽ có hiện tượng thiếu vắng vật tương ứng với vị trí thứ tự nào đó. Chúng ta trước hết cứ sắp xếp theo trình tự các vật có số lượng nội tại từ ít đến nhiều. Xong đâu đó, chẳng còn cách nào khác, chúng ta phải qui ước lại số lượng đơn vị nội tại (không còn tuyệt đối nữa) của các vật cho phù hợp với điều kiện nêu trên.

Bây giờ đến lượt cách viết của chúng ta. Có thể viết lại là:

1 (vật) + 2 (vật) = 3 (vật)

Cách viết này, nhìn kỹ, thật “vô ý, vô tứ”. Nó chỉ quan tâm tới số lượng vật nên tự do chọn bất cứ vật nào trong thế giới N để làm đơn vị đếm, biểu diễn bài toán mà không vi phạm luật. Chẳng hạn, chúng ta chọn vật đầu của vế trái có số lượng nội tại là 2 đơn vị, các số lượng nội tại của 2 vật kế tiếp lần lượt là 2 và 3 đơn vị, 3 vật vế phải mỗi vật đều có số lượng nội tại là 1 đơn vị. Nếu thể hiện đẳng thức trên bằng số lượng nội tại của các vật đã chọn thì nó không còn đúng nữa:

2 (đơn vị) + 5 (đơn vị)

3 (đơn vị)

Trong thực tiễn, nghịch lý trên không phải là không phổ biến. Trong thế giới loài vật, chúng ta có thể viết:

1 (con vật) + 1 (con vật) = 2 (con vật)

Vì con vịt, con gà, con chó… cũng là con vật nên cũng viết được, dù hơi gượng ép:

1 (con vịt) + 1 (con chó) = 2 (con gà)

Tuy nhiên, nếu chúng ta chỉ quan tâm tới chân của chúng thôi và chúng ta viết:

2 (chân) + 4 (chân) = 4 (chân)

thì thật là… buồn cười

Thí dụ vừa rồi thô thiển quá. Chúng ta đưa ra thí dụ khác tinh tế hơn:

Có bài toán (quen thuộc rồi!):

1 con gà + 1 con gà = ? con gà

Biết rồi, khổ lắm, nói mãi!... Bằng 2 con gà chứ mấy nữa! Và chúng ta viết:

1 con gà + 1 con gà = 2 con gà

Nhưng 4 con gà mang ra làm minh họa cho lời giải bài toán là số kg (Kilôgam – đơn vị khối lượng) khác nhau và nếu biểu diễn lời giải bài toán bằng kg thì có thể chẳng hạn là:

2 kg + 3 kg = 1 kg + 1 kg = 2 kg

và hoàn toàn sai

Tất cả những điều trình bày “nhảm nhí” ở trên chỉ muốn nói lên rằng cấu trúc tầng nấc, phân định qui mô từ nhỏ đến lớn, từ hẹp tới rộng, từ thấp đến cao… cũng là một đặc tính của Tồn Tại. Vì lẽ đó mà phép toán cộng vừa có tính phổ quát vừa có tính đặc thù. Một phép cộng cho kết quả đúng đối với những đối tượng nào đó ở tầng nấc thể hiện này thì dưới một quan sát ở góc độ khác, ở tầng nấc qui mô khác, cùng với những đối tượng ấy, sẽ cho ra kết quả khác. Từ đó cũng thấy rằng: quan niệm về sự tồn tại những đơn vị tương đối và tuyệt đối trong Thực Tại khách quan là có thể chấp nhận được. Đơn vị tuyệt đối của một thế giới là đơn vị nhỏ nhất (hoặc lớn nhất), không thể phân chia của thế giới ấy, là lực lượng làm nên thế giới ấy. Thế giới tuyệt đối của mọi thế giới chính là Tự Nhiên Tồn Tại , cho nên đơn vị tuyệt đối của mọi đơn vị là hạt điểm KG (và cũng chính xác là Vũ Trụ - một trong hai thể hiện của nó!).

Quan niệm trên đã cho thấy rằng đến ngay cả phép toán hiển nhiên nhất, đóng vai trò như tiên đề của mọi tiên đề toán học là:

0 + 1 = 1

1 – 1 = 0

cũng không thể chắc chắn được nếu không có qui ước ràng buộc nó. Đứng trước một hiện tượng “hai mang” nào đó, người dân Nam Bộ - Việt Nam thường nói: “Coi dzậy chớ hổng phải dzậy”, nghe… “thiệt đã”!

Từ đẳng thức:

1 – 1 = 0,

nếu số 0 lúc này mang ý nghĩa là “không có gì” thì phải hiểu hiện tượng đó là như thế nào trong thế giới N (mở rộng)? Hai hiện hữu tương tác với nhau và cùng biến mất, để lại một sự trống không!

Hiện tượng trên được Triết học duy tồn giảng giải rằng: khi hai lực lượng giống hệt nhau nhưng tương phản nhau (trái nghịch nhau), tác động đối kháng nhau thì tính tương phản giữa chúng bị triệt tiêu. Chúng được cho là lặn đi, “hòa nhập vào nền tảng (không ai chú ý tới, thậm chí là thấy chúng nữa) trong cái thế giới mà hiện hữu (sự nổi trội) được qui ước là sự thể hiện của tính tương phản. Hai chiếc bong bóng xà phòng “đâm sầm” vào nhau và cùng biến mất, nếu có “gửi gắm” lại được điều gì thì có thể may ra là sự ngơ ngác mang chút tiếc nuối những sắc màu lung linh dưới ánh đèn sân khấu trong lòng những khán giả thơ ngây.

Toán học giải thích khác: trong một khu vực nào đó của thế giới N đang được “đặt dưới” sự quan sát, nếu có một đơn vị (hiện hữu) mà bị (trừ) bớt đi một đơn vị thì có nghĩa là đem đơn vị đó ra khỏi khu vực quan sát, và khi đó quan sát chỉ còn thấy một khu vực trống rỗng (số 0)

Biểu diễn hiện tượng “biến mất” của một lực lượng là điều không hề dễ dàng chút nào. Tóan học đã phải trăn trở trong một thời gian dài đằng đẵng, hết cả thời văn minh cổ đại hoặc lâu hơn nữa, mới nhìn thấy được biểu tượng của sự rỗng rang ở ký hiệu “0”. Có thể rằng, một trong những bài toán nan giải nhất của nhân loại đã là:

1 – 1 = ?

Sự “so kè” nhau trong chia chác miếng ăn (và quyền lợi) sẽ làm xuất hiện khái niệm “bằng” (nhau) để rồi sau đó là ký hiệu về sự bằng nhau ấy, gọi là “dấu bằng” và ngày nay được viết thống nhất là “=”. Nếu có 2 đơn vị bằng nhau thì biểu diễn toán học là:

1 = 1

Viết như thế là đã phân định hai đơn vị ấy thành đối ứng tương phản nhau qua dấu bằng, thuộc về hai “cõi” trái nghịch nhau gọi là âm - dương cách trở. Nếu hai đơn vị ấy là một đôi nam nữ yêu nhau tha thiết thì đó là mối tình tuyệt vọng và bất hạnh vì họ chẳng bao giờ đoàn tụ hạnh phúc được. Họ đã bị ông Trời đày ải bàng cách phải chia lìa đôi lứa, mỗi kẻ một bờ của hai bờ thương nhớ, đứng đó nhìn nhau mà đau xót vì không thể đến với nhau được, dù giữa hai bờ vẫn có đó một chiếc cầu (dấu =) nối liền. Sự liên tưởng làm chúng ta ngậm ngùi nhớ lại mối tình đẫm lệ nhất trong truyền thuyết - mối tình Ngưu Lang - Chức Nữ.

Yêu nhau tha thiết đến cùng cực mà không được phép đoàn tụ. Hàng năm, chỉ vào dịp tháng 7 (âm lịch) họ mới được ngắm nhìn nhau ở cầu Ô Thước, được “gần nhau trong tấc gang, mà đất - trời cách biệt”. Và cứ mỗi độ như thế, tủi hờn cho số phận mình, hai người vừa nhìn nhau vừa khóc lóc tơi bời (dai dẳng hơn nhiều so với cuộc khóc của Biện Hòa trong chuyện “Hòa thị bích”!). Nước mắt của họ tuôn xối xuống trần gian thành những trận mưa dầm dề mà dân gian gọi là mưa Ngâu.

Xưa kia, chúng ta cứ thắc mắc hoài vì sao sông Ngân đã có cầu Ô Thước bắc qua mà ông Trời lại cấm cản, không cho Ngưu Lang - Chức Nữ được hưởng cái quyền thiêng liêng mà trong Tuyên ngôn của nước Mỹ cũng có ghi là “…được mưu cầu hạnh phúc”. Hồi đó, chúng ta đã viết vào nhật ký thế này:

“Lạ thay Chức Nữ - Ngưu Lang

Muôn năm khóc mãi dở dang vuông tròn

Đố ai ngăn được nguồn cơn

Cho Thu ráo hoảnh không còn mưa Ngâu”

Còn bây giờ, nhờ đẳng thức 1 = 1 mà chúng ta đã thấu tỏ được nỗi tuyệt vọng khôn cùng của đôi vợ chồng Ngâu ấy.

Khi chưa có cầu Ô Thước, Ngưu Lang và Chức Nữ đâu phải chịu cảnh chia lìa. Khi cầu Ô Thước đã được một công ty “vô trách nhiệm, vô hạn” nào đó cho “hợp long”, nối hai bờ sông Ngâu, thì cũng là lúc nó (tưởng là làm cho giao thông thuận tiện hơn, nhưng té ra lại) phân tách hai bờ thành hai cõi âm, dương cách biệt, làm cho Chức Nữ và Ngưu Lang vĩnh viễn ai ở cõi nấy, chỉ còn có thể ngóng trông nhau “ở hai đầu nỗi nhớ” và… khóc sướt mướt.

Thật vậy, khi không có dấu bằng thì hai số 1 trong đẳng thức nói trên là cùng một xứ sở và có thể mô tả:

1 1

Nếu cộng chúng với nhau, sẽ cho ra kết quả là 2:

1 + 1 = 2

Khi giữa chúng xuất hiện dấu bằng thì chúng không còn ở chung một xứ sở nữa mà ở hai thế giới trái nghịch, gọi là âm, dương của nhau:

1 = 1

Nếu cố tình đưa số 1 ở bất cứ bên nào sang phía bên kia dấu bằng thì lập tức số 1 ấy phải xuất hiện thêm một dấu hiệu nào đó biểu thị sự trái nghịch đối với số 1 (đang) ở xứ sở của nó. Người ta ký hiệu sự trái nghịch đó bằng dấu “-” và gọi là “âm” (cũng gọi là trừ, bớt đi), và nếu cộng chúng lại, rồi diễn tả một cách toán học thì:

1 + (-1) = 0

(Rõ ràng là cả hai số 1 lúc đầu, đến đây lập tức biến mất!)

Có thể phát biểu: khi 1 đơn vị cộng với 1 đơn vị thì sẽ có 2 đơn vị; khi 1 đơn vị cộng với 1 đơn vị âm thì sẽ có 0 đơn vị (số 0), đã có đơn vị âm thì đương nhiên cũng phải có số âm.

Để thấy rõ hơn nữa sự xuất hiện số âm trong quá trình tính toán là điều hiển nhiên, chúng ta nói thêm:

Từ 1=1 mà có 1+(-1)=0 (hay 1-1=0) và nếu làm được như thế thì từ 1-1=0 cũng có thể viết được -1=-1. Số -1 đứng một cách độc lập như thế thì chỉ có thể quan niệm là… số âm.

Nhưng nếu viết như thế thì sao không viết được +1, với ý nghĩa là đối lập, là thể tương phản của -1 mà thực tại vật lý đã xác nhận là thực sự có hiện tượng 2 yếu tố đối nghịch của 2 vật nào đó tác động (tương tác) nhau thì cả 2 yếu tố đó cùng bị triệt tiêu? Nếu thế, cũng phải có diễn tả toán học:

+1 – 1 = 0

Với qui ước +1 là thể tương phản đối kháng của -1 và gọi thể ấy là “dương” (ký hiệu là: “+”).

Có thể ký hiệu âm, dương bằng cách khác để phân biệt với cộng và trừ, nhưng chúng ta tuân theo… tập quán cổ truyền.

Vậy +1 có khác 1 không khi: 1-1 cũng bằng 0.

Toán học truyền thống cho rằng không khác và có thể viết:

+1 = 1

Còn chúng ta, như đã từng “thổ lộ” trước đây, cho rằng giữa chúng là có sự khác biệt. Khi Thế giới N được mở rộng bằng việc thêm cho nó số 0, thì Thế giới ấy sẽ tiếp tục được mở rộng vì nó đương nhiên có thêm số âm rồi số dương. Lúc này, trong Thế giới N cùng tồn tại số tự nhiên, số không, số âm và số dương. Sự xuất hiện số âm, dương đã làm cho Thế giới N mở rộng biến đổi “ghê gớm” so với Thế giới N thuở ban đầu, cho nên để dễ dàng hơn trong quá trình nghiên cứu toán học, cần phải đặt cho nó một cái tên khác, hay có thể nói là gắn cho nó một nhãn mác mới nhằm mục đích phân biệt với Thế giới N nguyên thủy. Chúng ta gọi Thế giới N mở rộng, có thêm số âm, dương là Thế giới số nguyên (ký hiệu là Z).

Khi chúng ta viết 2 – 1 = 1 thì có nghĩa rằng chúng ta đang “nói về” Thế giới N; khi chúng ta viết +2 – 1 = +1 thì có nghĩa rằng chúng ta đang nói về Thế giới số nguyên.

Thực ra số âm hay số dương đều là số tự nhiên. Thực tại khách quan đã trình hiện ra trước quan sát tính phân lập tương phản của nó. Vì vậy mà trong thực tại ảo cũng phải “tiếp thu” tính chất ấy. Điều đó dẫn đến việc: dưới “cái nhìn” của nhận thức, số tự nhiên cũng phải bị phân lập ra thành 3 lực lượng số âm, số dương và số tự nhiên (3 lực lượng này là bằng nhau về số lượng khi N được cho là vô hạn). Lúc này lực lượng số tự nhiên được cho là vừa dương vừa âm, hay không dương không âm, đứng giữa hai lực lượng âm và dương, “ở đó” cho sự phân biệt âm, dương có khả năng.

Với cách nhìn như thế thì các số âm, dương và số tự nhiên là có thể phân biệt được một cách tương đối. Để biểu diễn sự khác biệt đó chúng ta ký hiệu:

Giả sử a là một số tự nhiên trong Thế giới N thì:

trong Thế giới Z. Tuy nhiên vì Thế giới N vừa là bộ phận vừa là nền tảng làm nên Thế giới Z cho nên a và a^o có bản chất như nhau. Khi chỉ nói vế thế giới Z thôi thì dùng ký hiệu a để biểu thị là một số tự nhiên cũng được.

Khi quan sát của nhận thức chỉ chú tâm tới số âm và số dương thôi ngoài ra không còn thấy cái gì khác nữa thì tính âm, dương trở nên nổi trội, hiện hữu. Lúc đó các số tự nhiên (không âm, không dương) lặn vào nền tảng cùng với các số 0 của chúng trong Thế giới N: Chẳng hạn, nếu có 2 đơn vị tương phản cộng với nhau, chúng ta sẽ có kết quả là 0, và có thể biểu diễn điều đó bằng toán học:

Thực ra, không phải hai đơn vị tương phản đó khi cộng với nhau sẽ bị triệt tiêu hoàn toàn, làm xuất hiện Hư Vô, mà chúng chỉ mất tính tương phản (âm, dương), tính nổi trội, do đó mà không còn hiện hữu nữa, biến thành hai đơn vị tự nhiên bình thường, “lặn xuống” nền tảng. Vậy, để biểu diễn quá trình đó cho tường minh, chúng ta có thể viết:

Thế giới Z cũng nhận phép cộng làm phép toán tiên đề cho nó và như vậy các phép toán có thể có của Thế giới Z cũng nhận hệ thống 4 phép toán cộng, trừ, nhân, chia làm cơ sở cho chúng. Tương tự như đối với Thế giới N, một bài giải toán đúng của Thế giới Z phải cho ra kết quả nguyên và bài toán phải có tính thuận nghịch.

Có thể thấy các phép toán trong Thế giới N là trường hợp riêng của các phép toán trong Thế giới Z.

Giả sử có số 1 trong Thế giới Z, thì đó là số tổng quát, nó có thể là số

. Do vậy, khi chúng ta viết 1 + 0 = 1 thì có thể có 3 trường hợp xảy ra là:

Nếu có hai số 1, thì chúng ta cũng đặt ra được những “lời giải” toán từ “lời giải” tổng quát: 1 + 1 = 2, chẳng hạn:

Ở đây có một biểu hiện rất đáng chú ý là vì có quyền được ưu tiên lựa chọn thực - ảo mà có thể qui ước số dương (hoặc số âm) cũng là số tự nhiên và có thể xóa hai ký hiệu dương (+) (hoặc ký hiệu âm (-)) và tự nhiên (0) trên đầu các con số đi mà không làm suy suyển các kết quả bài toán. Do toán học đã chọn số dương cũng là số tự nhiên nên mới có cách viết tương đương với +2 – 2 = 0 là 2 – 2 = 0. Dù rằng chúng là những bài toán khác nhau về bản chất, vì:

và

(hoặc không triệt tiêu hoặc không xác định được (!), hoặc cũng sẽ bằng 0 nếu là sự mô tả hiện tượng là có một số 2 (tự nhiên) trong khu vực đang quan sát và mang nó ra khỏi vùng quan sát đó.

Bài toán 2 – 3 = ? là vô nghiệm trong Thế giới N (vì nó không có quá trình thuận). Nhưng bài toán đó sẽ giải được trong Thế giới Z vì nó chính là bài toán thuận:

Và quá trình nghịch của nó là:

hoặc:

(số

đứng “một mình ên” thì tương phản với “ai” nữa (?), cho nên nó cũng chính là 2 (!).Đùa thế thôi chứ chúng ta đã qui ước ngầm trong bài toán là 2 =

Chúng ta tiếp tục nói đến phép nhân và chia (và cả lũy thừa, khai căn) trong Thế giới Z.

Bài toán tổng quát: 1 x 1 = 1 sẽ làm xuất hiện các bài toán cụ thể sau:

Để có thể trả lời câu hỏi này, chúng ta hãy nghĩ đến trường hợp:

1 (con gà) x 1 (con gà) = ?

Và chúng ta đã thấy rằng phép toán đó biểu diễn hai hiện tượng khác nhau về bản chất, do đó cho ra hai kết quả là:

- 1² con gà (là số đếm về con gà chứ không phải là con gà!).

- 1² (con gà)² (là một đơn vị mới được tích hợp từ hai con gà!).

Ở góc độ khác, trong một thế giới toàn dương, sẽ không nhìn thấy sự tương phản nữa, do đó những đơn vị nguyên dương hiện nguyên hình là số tự nhiên và kết quả phép tính chính là

. Chỉ khi so sánh nó với số âm, kết quả đó mới trở về là một số dương (

Tương tự, đối với phép tính

, cũng không thể phân biệt được sự tương phản nên kết quả của nó có thể được coi là

và chỉ khi so sánh nói với số dương, mới thấy được tính âm của nó (

Từ suy nghĩ đó chúng ta thấy rằng hai bài toán vừa nêu, mỗi bài đều phải có 2 kết quả, tùy điều kiện thể hiện mà kết quả nào đó được lựa chọn cho phù hợp:

Toán học ngày nay không đồng ý như vậy mà vẫn khăng khăng là:

Một câu hỏi vô cùng “ác hiểm” được đặt ra: chúng ta có dám đối đầu với một nền toán học hùng vĩ, được xây dựng nên từ những bậc trưởng lão danh bất hư truyền như Ơle, Gauxơ, Canto, Côhen… không?

Dĩ nhiên là chúng ta không dám làm điều đó rồi vì dù có “cứng đầu cứng cổ” đến mấy chăng nữa thì làm sao mà đọ nổi khối khổng lồ đó khi nó đã được thực chứng xác nhận là đã hóa kim cương? Chúng ta không làm điều đó được còn vì một điều hết sức thiêng liêng: Chúng ta vốn dĩ là những học trò thuộc dạng tầm thường của toán học, nhờ toán học dạy dỗ mà may ra được nên người. Có thể chúng ta đã là những học trò ngỗ nghịch nên mới có những suy tư kỳ quặc như vậy chăng?

Không! Chúng ta luôn kính nể toán học nhưng nghe theo Tự Nhiên Tồn Tại. Toán học ngày nay nói chung là phù hợp với Tự Nhiên Tồn Tại theo cách thể hiện đặc thù của nó vì nó đã được nhận thức đi, nhận thức lại một cách sâu sắc qua hàng ngàn năm, bởi những bộ não thuộc hàng uyên bác nhất của loài người mà thiên nhiên đã hun đúc nên được. Thế nhưng, dù sao thì toán học chưa đến được tuyệt đích trên con đường của nó và vì thế nó vẫn còn đôi chút vấn đề chưa phù hợp với chân lý khách quan hoặc phù hợp một cách nửa vời! Cần thấy rằng thế hệ sau, nói chung, vẫn nhìn được bao quát hơn thế hệ trước trong quá trình tư duy để nhận thức thực tại, vì đã được thế hệ trước chỉ bảo, dạy dỗ, nâng niu trên đỉnh cao sự nghiệp của họ. Có thể nói rằng “hậu sinh khả úy” cũng là một qui luật của tư duy nhận thức. Và nếu đúng như vậy thì có sự uyên bác nào lại không bắt đầu từ sự khờ khạo, có cái vĩ đại nào lại không có nền móng là từ những cái tầm thường?

Lời tâm sự chí lý của Trương Khải Siêu còn văng vẳng bên tai chúng ta, và lúc này đây nó có tác dụng làm cho chúng ta bớt đi nỗi hoang mang và sợ hãi.

Rất có thể trong trường hợp này, toán học đã đúng và chúng ta cũng… đúng. Vậy thì cần phải có một sự thỏa thuận!

Sự thỏa thuận đã đến rất nhanh vì chúng ta sực nhớ lại điều này: toán học đã ngấm ngầm lựa chọn và qui ước rằng:

Nếu theo qui ước trên thì cách viết của chúng ta chả khác gì cách viết của toán học; khi bỏ qua nội dung trong dấu ngoặc đơn:

Tuy nhiên, về mặt nhận thức thì giữa chúng ta và toán học có chút khác biệt. Chúng ta quan niệm rằng, trong một điều kiện, hoàn cảnh nào đó thì

là một sự thực của Thế giới Z. Trong khi đó, toán học lại cho rằng i² = -1 là một “đơn vị ảo”. Để giải được bài toán:

x² + 1 = 0

toán học đã phải xây dựng nên một cách khiên cưỡng khái niệm “số ảo” và bài toán có nghiệm là x² = -1. Còn cách giải của chúng ta thì đơn giản hơn mà cũng có thể là triệt để hơn; như sau:

Vì có:

Và cũng có:

Nếu có ẩn số x thỏa mãn

thì x phải bằng

. Chúng ta có thể nhìn bài toán x²+ 1 = 0 ở góc độ như là một bài toán tổng quá trong thế giới Z:

- Bài toán đó là vô nghiệm trong Thế giới N (không có số âm)

- Trong thế giới thuần âm (toàn số âm):

Trong khu vực thuần âm, các số âm trong bài toán sẽ mất dấu tương phản và được coi như (hay trở về thành) số tự nhiên, do đó

(Khi so sánh với số dương kết quả đó sẽ hóa thành

)

Trong thế giới âm - dương, dấu âm không thể mất, do đó:

Có thể gọi đây là bài toán của các số âm trong Thế giới Z. Chúng ta nói đến vấn đề cuối cùng nảy sinh từ bài toán tổng quát 1 x 1 = 1:

Tại sao:

Chúng ta quan niệm rằng, khi phép toán là biểu diễn của một sự tích hợp nào đó thì đó là quá trình tích tụ từ 2 đơn vị tương phản nhau nhỏ hơn, thành 1 đơn vị mới lớn hơn. Có thể hình dung quá trình đó như quá trình hội tụ của hai nguyên tử ion thành một phân tử, hoặc giai đoạn cuối của quá trình hai hợp chất trao đổi gốc ion cho nhau để biến thành chất mới, trong các phản ứng hóa học. Đơn vị mới hình thành trong hóa học rõ ràng là trung tính do nội tại trong nội tại nó dù vẫn tồn tại nhưng đã hòa hợp với nhau, “rủ nhau lặn đi”. Một vật được gọi là trung tính khi nó biểu hiện không âm, không dương, dù nội tại nó vừa âm vừa dương (đề huề!). Chính vì vậy mà kết quả của phép toán trên là một số tự nhiên (

). (Và để mô tả tính vừa âm vừa dương của nó chúng ta dùng ký hiệu * với qui ước là không xác định được, nghĩa là

có thể là

hay

, hay cũng có thể là

Trong trường hợp phép toán trên được suy ra từ phép cộng (mà phép cộng lại được suy ra từ sự đếm) thì một trong hai số

và

phải đóng vai trò số đếm: Có 4 trường hợp đếm có thể xảy ra:

- Một (dương) lần của

bằng

- Một (âm) lần của

bằng

- Một (không âm không dương) lần của

(hoặc

) bằng

(hoặc

Tuy nhiên, nếu qui ước số đếm (hay số “lần”) nào cũng là số tự nhiên thì chúng ta có thể viết lại 4 trường hợp đếm ở trên dưới dạng toán học:

Toán học qui ước:

, do đó có thể viết:

Qui ước như vậy có lẽ cũng đúng vì trong hệ thống bài toán đã có một trường hợp

thay thế được cho

. Dù sao, theo chúng ta nghĩ, bài toán:

không phải có duy nhất một nghiệm

Như vậy, bốn phép toán cộng, trừ, nhân, chia của Thế giới N cũng là bốn phép toán cơ sở của Thế giới Z, nhưng vì Thế giới Z, tuy được xây dựng nên từ Thế giới N, vẫn bộc lộ những tính chất riêng, đặc thù, nên bốn phép toán đó cũng chịu chung “số phận” đó, nghĩa là chúng cũng phải có tính riêng (mà ở đây có thể gọi là tính “mở rộng”).

Trong Thế giới Z, phép trừ trở nên hoàn toàn độc lập với phép cộng, hay nói đúng hơn là sự xuất hiện hai phép toán đó là “tự do”, không lệ thuộc vào nhau và cũng đồng thời là thuận, nghịch của nhau. Giả sử có 2 số nguyên bất kỳ là a, b và một số nguyên được chọn là c, thì:

Và khi qui ước

thì có thể nói phép trừ trong Thế giới Z đã lặn đi, vẫn tồn tại mà không hiện hữu nữa. Theo qui ước đó, chúng ta có thể viết lại sự diễn tả toán học phía trên như sau:

Sự xuất hiện phép nhân trong việc biểu diễn số lượng và sự vận động nội tại của Thế giới Z cũng là một tất yếu. Phép nhân được cho là xuất phát từ phép cộng, đồng thời từ hiện tượng tạo dựng sự vật - hiện tượng “mới” trong Thế giới ảo, Thực tại ảo của Thực tại Khách quan.

Đối với Thế giới Z, phép chia và phép khai căn vẫn còn phải chịu lệ thuộc vào sự tồn tại của phép nhân và phép lũy thừa (là phép toán xuất hiện từ phép nhân và lệ thuộc vào phép nhân). Có thể viết:

Đó là một hiển nhiên, nhưng để có thể hiểu được vì sao như thế đôi khi cũng lúng túng ra phết. Có thể hiểu ba lần

là bằng

, nghĩa là

. Nhưng cũng có thể nói âm hai lần 3 là bằng

được không? Được, dù trái với quan niệm thông thường một chút, và có thể biểu diễn:

Tương tự, trường hợp cả a và b đều âm thì:

Còn đối với phép lũy thừa thì:

Từ đó, phép toán nghịch:

là một hiển nhiên.

Mặt khác, chúng ta cho rằng:

Nghĩa là lũy thừa của một số âm luôn là một số âm, không cần biết n là chẵn hay lẻ. Điều này trái ngược với toán học.

Đối với thế giới N, chúng ta thấy có hiện tượng hiển nhiên là:

a + b = b + a và a x b = b x a

Hiện tượng đó được gọi là sự giao hoán

Đối với thế giới Z, phép cộng vẫn thỏa mãn triệt để tính giao hoán, nhưng phép nhân lại chỉ thỏa mãn tính giao hoán một cách có điều kiện.

Hay chúng ta nêu thí dụ cụ thể:

1 x 4 = 4 x 1 = 4

(một lần bốn thì cũng như bốn lần một vì đều bằng bốn)

Thế nhưng 1 x 0 có thể giao hoán thành 0 x 1? Nếu cho rằng một lần 0 cũng như không lần 1 vì đều cho kết quả là 0 (hoặc có thể nói sự tích hợp giữa 1 và 0, không làm kết quả xuất hiện cái mới và kết quả vẫn là một), thì chúng có thể là giao hoán của nhau:

1 x 0 = 0 x 1 = 0 (hoặc bằng 1)

Còn nếu cho “0” là một cái gì đó được xác định là trống rỗng (nghĩa là hiện hữu một hư vô (tương đối) thì 1 x 0 không có tính giao hoán. Không lần 1 nào thì rõ ràng cũng bằng 0, nhưng một lần (cái) 0 thì phải là một cái “không” (số đếm). Vì vậy:

…

Mê man suy nghĩ và rồi chúng ta đột nhiên giật mình kinh hoàng. Cứ theo cái đà hoang tưởng đó thì cũng có ngày mất hết phương hướng, không còn biết đâu là bến bờ nữa. Mới đến đây thôi mà thế giới Z của chúng ta đã quá xa lạ so với Thế giới Z của toán học. Cần phải tìm cách quay về, cho dù bắt đầu từ lúc này, chúng ta đã thấy rất rõ ràng mặt trái đầy phi lý của số học nói riêng và cả nền toán học đương đại nói chung. Có thể nói rằng, nghịch lý “vĩ đại” nhất của toán học là nó biểu hiện một cách chính xác và sáng tỏ khi nó không mô tả đúng thực tại và khi nó mô tả hợp lý, đúng đắn thực tại thì nó hoàn toàn mất chính xác và mù tịt. Vì lẽ đó mà toán học không thể là một công cụ nhận thức vạn năng như xưa kia Pitago đã hằng tin tưởng. Chúng ta chợt nhớ lại câu nói của nhà vật lý thiên tài Anhxtanh: “Chừng nào toán học chắc chắn, thì toán học lại không liên quan đến thực tại”.

Anhxtanh đã đúng! Thế giới số học là một thế giới ảo, phản ánh về mặt số lượng và sự chuyển hóa giữa các số lượng của Thực Tại khách quan một cách phiến diện và siêu hình. Thế giới số học được xây dựng bắt đầu từ những quan sát trực quan về những biểu hiện số lượng rời rạc trong Thực Tại khách quan. Nhận thức thuở ban đầu đã “thấy được” một thế giới mà trong đó sự vận động biến hóa của những số lượng rời rạc và hoàn toàn xác định chắc chắn, như một cộng với một là hai chứ nhất quyết không thể là cái gì khác. Ấn tượng đó đi vào “xương tủy” của nhận thức, làm cho nhận thức tin tưởng tuyệt đối vào tính chính xác, tính chân lý của thế giới số học. Nhận thức đã không thể ngờ rằng mô tả chính xác một cách số học nói riêng và toán học nói chung về một Thực Tại khách quan có tính nước đôi là điều không thể (nếu muốn mô tả đúng). Do đó mà trong tiến trình đi lên của số học khi xuất hiện những nghịch lý, những “phản bác” về sự chính xác về tính chặt chẽ lôgic của nó (và không thể không xuất hiện được), thì nhận thức buộc phải nhận thức lại theo hướng đảm bảo cho số học luôn luôn thỏa mãn được tính chính xác của nó. Việc đó vừa mở đường cho số học tiến lên, vừa dẫn đến những bế tắc mới. Cứ thế để rồi đến một ngày nào đó, số học phải thừa nhận rằng nó vừa chính xác, vừa không chính xác, là cả hai mà không phải cả hai. Số học không thể cùng một lúc chính xác hết mọi thứ, khi mặt này của nó chính xác thì mặt kia của nó không chính xác và ngược lại.

Cũng như sự nhận thức nói chung, nhận thức số học phải thông qua khái niệm và qui ước. Thực tại khách quan đích thực là không qua khái niệm, qui ước, nhưng không qua khái niệm, qui ước thì không thể nhận thức được cái “đích thực” ấy. Tuy nhiên, vì cái “đích thực” thông qua nhận thức là hình ảnh của cái “đích thực” phản chiếu lên, nên cái hình ảnh đó tròn trịa, giống cái “đích thực” đến mức nào, là do trình độ của nhận thức. Điều nghịch lý lạ lùng là nhận thức số học càng muốn nhận thức thực tại trong khi vẫn bảo vệ đến cùng quan niệm số học là phải chính xác, thì càng phải “ra sức” tạo ra khái niệm và qui ước, nhưng càng có nhiều khái niệm, tạo ra khái niệm và qui ước, nhưng càng có nhiều khái niệm và qui ước (chưa kể những qui ước bất hợp lý) thì càng làm giảm khả năng mô tả thực tại của nó để “đổi lấy” sự chính xác. Chính vì vậy mà số học, trong giai đoạn phát triển cao trào của nó, trở nên hoang mang dao động, trở thành một thế giới ảo vừa kỳ dị, vừa kỳ diệu.

Dù sao thì chúng ta cũng phải kéo Thế giới Z của chúng ta về hòa hợp với Thế giới Z của toán học và nhìn nó ở góc độ kỳ diệu (chứ không phải kỳ dị!). Muốn thế, chúng ta phải nhớ lại những qui ước.

- Thế giới Z là một thế giới ảo và chúng ta nhận thức nó chứ không phải là nhận thức trực tiếp Thực Tại khách quan. Đó là một Thế giới số lượng rời rạc, được xây dựng nên từ các số nguyên và đơn vị tuyệt đối làm nên các số nguyên khác số 0 là các số

- Số lượng các số nguyên (khác 0) được phân chia thành 2 lực lượng bằng nhau gọi là âm (-) và dương (+). Nếu có một số

thì trong Thế giới Z cũng phải có một số là

. Hai số đó chỉ khác dấu nhưng bằng nhau về số lượng, sao cho:

(chúng ta không đồng tình với qui ước số âm nhỏ hơn (ký hiệu là <; và > là ký hiệu sự lớn hơn) số dương vì như thế là mâu thuẫn với ngay qui ước

)

- Nguyên tắc ưu tiên lựa chọn thực - ảo (mà trước đây chúng ta đã từng nói tới) cho phép chúng ta coi số dương cũng là số tự nhiên, nghĩa là:

và viết gọn là: a

- Do chỉ quan sát, so sánh sự chuyển biến của các số lượng và xác định các số lượng đó nên các quá trình tính toán đều được thực hiện “bên ngoài” và không ảnh hưởng gì đến thế giới Z. Điều đó có nghĩa các phép toán chỉ liên quan đến sự đếm, các số nguyên đều không có thứ nguyên; quá trình tình toán vì thế mà không mang ý nghĩa vật lý nào và cũng không cần đến thời gian lẫn không gian. Hơn nữa, số đếm phải là số nguyên dương.

- Kết quả của mọi bài toán đều là số nguyên và các phép toán đều tuân thủ nguyên tắc thuận nghịch, trong đó, phép cộng là cơ sở, là giềng mối của mọi phép toán.

Với những qui ước như thế và cho rằng nếu phép toán đúng cho số 1 thì cũng đúng cho mọi số nguyên (khác 0), chúng ta sẽ đề ra một hệ thống tính toán có tính chất cơ sở của Thế giới Z, như sau:

(bởi vì trong 2 số tham gia phép nhân, có 1 số là số đếm có tính nguyên dương. Nếu coi số (-1) là số đếm thì số tương phản với nó phải biến dấu từ dương sang âm)

(tương tự như trên, ở đây, trong 2 số tham gia phép toán, phải có ít nhất 1 số đếm (nguyên dương). Vì 2 số đó là cùng dấu nên khi chọn một số làm số đếm thì số kia cũng là số đếm (nguyên dương)).

Nếu n là số đếm chẵn thì từ qui ước 9 suy ra:

Nếu n là số đếm lẻ thì từ qui ước 8 suy ra:

Đến đây, “công trình xây dựng” Thế giới Z của chúng ta coi như đã hoàn tất. Thế giới ấy đã quang đãng rất nhiều sau lần tỉa tót dọn dẹp vừa rồi và chúng ta cho rằng nó đã hầu như trùng khớp với Thế giới Z của toán học, chỉ còn một vài tiểu tiết sai biệt không đáng kể.

Một trong số những tiểu tiết ấy là phép toán:

1 : 0

Toán học cho rằng nó không giải được hoặc có thể nói kết quả của nó là bất định. Trong khi đó, chúng ta lại cho rằng bài toán đó là giải được và có kết quả bằng 1. Nhưng nếu bất định thì cũng có thể bằng 1.

Giả sử số lượng Vũ Trụ là I và Hư Vô là 0, thì:

Nghĩa là: Vũ Trụ lần “cái” Hư Vô thì bằng Vũ Trụ Hư Vô, nhưng Hư Vô thì vẫn cứ là Tồn Tại cho nên Vũ Trụ Hư Vô thì cũng chính là Vũ Trụ; và Vũ Trụ đem chia cho Hư Vô thì có nghĩa Hư Vô được “sở hữu” Vũ Trụ, nhưng Hư Vô thì cũng là Tồn Tại nên Vũ Trụ cũng thuộc về Tồn Tại như Vũ Trụ lúc đầu, trước khi bị chia (chia cho Hư Vô thì cũng như chẳng chia chác gì cả!)

Giả sử có bài toán:

Toán học cho rằng:

Còn chúng ta, để “giết bớt” thời gian, giải:

Cuối cùng, giả sử có bài toán:

Đối với Toán học, bài toán đó không giải được.

Nhưng chúng ta giải được vì có nguyên tắc thuận nghịch, nghĩa là:

Vì có:

nên suy ra:

Kể ra cũng còn một chút ít kỳ dị, nhưng Thế giới Z của chúng ta cũng tuyệt cú mèo đấy chứ? Ha, ha, ha!...

¯¯¯

Trong thế giới Z, chúng ta thấy rằng trong 4 phép toán cơ bản là cộng, trừ, nhân, chia thì đã có 3 phép toán là cộng, trừ và nhân đã trở nên hoàn toàn độc lập so với nhau. Điều đó có nghĩa là chọn bất cứ số nguyên nào và với bao nhiêu số nguyên cũng được để thiết lập bài toán với 3 phép toán đó mà không cần một điều kiện ban đầu nào. Riêng chỉ còn có phép chia là vẫn lệ thuộc vào phép nhân, là bài toán nghịch của bài toán nhân (thuận). Chẳng hạn, nếu có bài toán chia:

3 : 4 = ?

thì đây là bài toán không giải được (vô nghiệm), vì không thể tìm ra bất cứ số nguyên nào để nhân với 4, cho ra kết quả là 3.

Tuy nhiên, việc đặt ra những bài toán như vậy là một yêu cầu tự nhiên khách quan. Nghĩa là sự đòi hỏi được tồn tại bình đẳng, độc lập của phép chia như 3 “người anh em” của nó là chính đáng. Nhưng Thế giới Z “chuyên chế và lạc hậu” đã không thể dung chứa được cái “quyền lợi” chính đáng đó của phép chia. Mâu thuẫn đó tất yếu dẫn đến cuộc cách mạng mà phép chia là phía “ca khúc khải hoàn”.

Khi tính độc lập của phép chia được đảm bảo thì một thế giới mới, có vẻ là rộng lớn hơn Thế giới Z (nhưng thực ra không phải thế!) ra đời và có tên gọi là Thế giới số hữu tỷ, ký hiệu là Q.

Trong thực tại khách quan, có thể quan sát thấy những hiện tượng dẫn dắt tư duy toán học đến khái niệm số hữu tỷ. Giả sử có hai chồng gạch, một chồng có 60 viên, một chồng có 30 viên. Muốn biết được số lượng của mỗi đống gạch nhiều hơn nhau bao nhiêu lần, người ta dùng phép chia: Gọi chồng gạch có 60 viên là A, chồng có 30 viên là B, chúng ta có thể viết:

A : B = ?

Nếu chúng ta chưa biết thông tin gì (trước đây) ngoài hai nhãn mác đó, nghĩa là chỉ biết:

A là A và B là B,

thì đó là bài toán không giải được, hay cũng có thể gọi là giải được kiểu “nửa vời”:

Phân số đó có thể là một số nguyên (khi A “chia hết” cho B) và cũng có thể gọi là số không nguyên - hay còn gọi là số thập phân (khi A không chia hết cho B).

Toàn bộ số nguyên và số không nguyên hợp thành nên một thế giới ảo gọi là Thế giới số hữu tỷ (có tỷ số hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn).

Nếu chúng ta có thêm thông tin rằng A là một chồng gạch và B cũng là một chồng gạch thì kết quả bài toán trên sẽ là:

Số 1 đó có ý nghĩa gì? Nó “mách” rằng người ta đã “chia cho” B chồng gạch A, cho phép bắt đầu từ đây A “thuộc về” (ký hiệu

) B, hay B được quyền sở hữu A theo “luật định” (qui ước). (Tuy nhiên, chúng ta chỉ mới biết “luật định” đó là do kẻ làm toán đưa ra chứ chưa biết được nó có hợp pháp không, hay ông ta lại làm điều phi pháp: ngấm ngầm “chôm” của người khác đem chia cho B, cũng có khi đơn giản chỉ là sự “lừa dối hào nhoáng”, hứa suông hão huyền? Cần phải biết rằng những người làm toán, dù sở hữu được cả một thế giới vô hạn những con số, nhưng đó chỉ như là một thứ vàng mã, cho nên họ vẫn thường là những kẻ nghèo mạt rệp!).

Số 1 đó còn chỉ ra rằng, tuân theo lôgíc toán học thì một chồng gạch là bằng một chồng gạch, do đó phải có:

(Nghĩa là A (hoặc B) là A (hoặc B) và bằng B (hoặc A), mà nói theo triết lý của nhạc sĩ tài hòa Trịnh Công Sơn thì: “Tôi là em và em cũng là tôi!”.

Kết quả đó có đúng không? Hoàn toàn đúng!

Nhưng nếu chúng ta biết thêm thông tin: Chồng gạch A lớn hơn (nhiều hơn) chồng gạch B thì kết quả đó hoàn toàn sai. Cụ thể, khi chúng ta biết đích xác số lượng viên gạch của mỗi chồng gạch thì lời giải bài toán là:

Đó là một kết quả đúng. Nhưng có thể hiểu nó như thế nào?

Thật là một câu hỏi hay ho, xứng đáng với những cái đầu “tưng tửng” của chúng ta! Và chúng ta “dựng đứng” hiểu như thế này:

- Nếu chúng ta chỉ quan tâm tới số lượng và chỉ số lượng thôi thì:

nghĩa là số lượng viên gạch của A nhiều hơn 2 lần số lượng viên gạch của B.

- Nếu quan tâm tới cả từng viên gạch của A và của B thì chúng ta phải hiểu rằng, về mặt hình thức, sau khi chia, mỗi viên gạch của B được “sở hữu” 2 viên gạch của A. Hơn nữa, nếu cho rằng kết quả đầu tiên đến lúc này vẫn đúng (và rõ ràng là luôn đúng nếu chọn đơn vị đếm là “chồng gạch”) thì có thể viết:

Suy ra: 1 viên gạch B = 2 viên gạch A,

(nghĩa là: 1 viên gạch B “tương đương” (có thể ký hiệu “

” với 2 viên gạch A).

Điều đó dẫn đến hình dung: nếu chọn đơn vị làm nên số lượng nội tại của A gồm 2 viên gạch thì xét ở góc độ số lượng đơn vị của A và số lượng đơn vị của B (vẫn gồm 1 viên gạch), hai số lượng đó là bằng nhau, hay là:

A = B

Trong thực tế đời sống có người nào nghĩ ngợi như chúng ta không? Chắc là không! Vì làm gì có ai vô công rỗi việc và tưng tửng như chúng ta!

Bây giờ, vì vẫn còn “rỗi hơi” và cũng để cho đỡ buồn, nên chúng ta “lộn ngược” bài toán. Việc đó làm xuất hiện một bài toán khác như sau:

Lần này, chúng ta không suy nghĩ “vớ vẩn” nữa mà chỉ quan tâm tới vấn đề số lượng thôi, và viết:

Trong Thế giới Z, bài toán trên chỉ thực hiện được đến

và… vô nghiệm vì kết quả đó không phải là số nguyên, thậm chí không thể gọi là “số”. Vậy kết quả đó là cái gì? Rõ ràng nó vẫn tồn tại dưới dạng một bài toán (do một anh chàng hồ đồ nào đó, “điếc không sợ súng” đặt ra làm chuyện trò cười thiên hạ) và bài toán đó là không giải được.

Tuy nhiên, khi các nhà thông thái toán học kinh viện, “mài đũng quần” trong Thế giới Z, hạ cố bước ra khỏi thế giới ấy, trở về thăm lại Trần thế sống động một phen thì thấy đầy rẫy những hiện tượng thể hiện bài toán nan giải ấy và lạ lùng hơn nữa là ngay cả những gã nhà quê khờ khạo nhất, chưa từng biết đến “một chữ bẻ đôi” (đại loại như gã “Trời sinh ra thế”), cũng giải quyết được bài toán “đau đầu” ấy bằng cách rất ổn thỏa mà cũng có khi vui vẻ đến không ngờ. Chúng ta xin tóm lược vài ba dạng biểu hiện thực tế của bài toán cũng như cách giải của người trong cuộc.

- Chồng chung vợ chạ: điển hình là chuyện ông Táo, hai ông “chiếm hữu” một bà. Hai ông Táo đã “chia hai” bà Táo bằng cách… dùng chung (tức là bà Táo trở thành công hữu!). Như thế thì đâu có thấy bài toán “chia hai” được giải quyết? Không, bài toán thực sự đã được giải quyết, chỉ có điều chúng ta khó thấy: hai ông Táo đã “qui” bà Táo ra thời gian và “chia đôi” thời gian… sử dụng.

- Có hai anh em nhà nọ đã ra ở riêng, khi cha mất họ được chia gia tài là 1 con trâu cày. Con trâu là sức cày chủ yếu nên không thể giết nó mà xẻ thịt. Hai anh em bèn bán nó đi, lấy tiền mua 2 con trâu khác nhỏ hơn và chia nhau, mỗi người một con.

- Một người có 1 chiếc đũa tre không làm sao gắp thức ăn được, ông ta bèn lấy dao chẻ chiếc đũa ra làm hai và được một đôi đũa mới, vừa ăn uống ngon lành, vừa gật gù đắc chí: “Một nửa thì cũng là 1”.

Quá trình quan sát thực tế đã làm cho các nhà toán học kinh viện sáng mắt ra: bài toán 1 : 2 là thực sự có nghiệm ở Trần thế:

Và phép toán nghịch của nó cũng được thực hiện mỹ mãn:

1 “nửa” x 2 = 1 “nguyên”

Vì thông thái hơn những gã nhà quê, nên các nhà toán học (đã từng mê muội Thế giới Z), trên cơ sở đó đã đi xa hơn nhiều trong tư duy trừu tượng. Họ xác định rằng vì có 2 lần số 1 “nửa” mới bằng số 1 “nguyên” nên rõ ràng nó nhỏ hơn số 1 “nguyên”. Nhưng vì số 0 (sự trống vắng vĩ đại!) được cho là chẳng ra gì cả nên nó cũng là số nhỏ nhất tuyệt đối của số nguyên. Vì số 1 là đơn vị nhỏ nhất của số nguyên và số 0 là cơ sở để số 1 xuất hiện nên khoảng giữa số 0 và số 1 sẽ là nơi tồn tại của các số không phải số nguyên, nhỏ hơn 1 và là lực lượng (cũng vô hạn như các lực lượng số nguyên khác như số 2, số 3…) hợp thành vô hạn số 1. Từ đây, kết luận đầu tiên và đương nhiên của các nhà toán học đó, là: tương tự như phải chấp nhận sự xuất hiện của số 0, số âm và số dương làm cho Thế giới N “lớn lên” thành Thế giới Z, cần phải chấp nhận những tồn tại ở giữa khoảng số 0 và số 1 là những con số phục vụ tính toán, nếu muốn cho toán học sát thực, hoàn hảo hơn. Người ta tạm gọi chúng là những số không nguyên nhỏ hơn 1 và số 1 “nửa” là một loại thuộc về chúng.

Đẳng thức toán học cho biết rằng số 1 “nguyên” là gấp 2 lần số 1 “nửa” cho nên có thể nói: 1 “nửa” là một phần hai của số 1 “nguyên” và ký hiệu là ½ (

). Nếu đã có đẳng thức:

1 “nửa” x 2 = 1 “nguyên”,

thì cũng có thể viết được một cách tổng quát hơn:

1 “không nguyên” x z = 1 “nguyên”

(với z là một số nguyên nào đó)

Nghĩa là đã có số không nguyên ½ thì cũng sẽ có vô vàn các số không nguyên khác, như:

…

Và luật đầy đủ cũng cho phép suy tưởng rằng đã có

thì cũng phải có

đến

, chẳng hạn là:

Sự suy tưởng của con người hầu như là vô hạn độ. (Nhưng không phải vì con người có quyền năng vô hạn độ mà vì Tự Nhiên Tồn Tại là đầy đủ và vì thế mà đồng thời Tự Nhiên Tồn Tại cũng vô hạn độ. Con người có ngông cuồng đến mấy thì cũng không bao giờ suy tưởng ra được cái mà Tự Nhiên Tồn Tại không có. Tự Nhiên Tồn Tại có tất cả, kể cả “không có gì”!). Do vậy, đã suy tưởng ra số không nguyên nhỏ hơn 10 thì con người cũng đặt vấn đề về số không nguyên lớn hơn 1 (rồi lớn hơn 2, lớn hơn 3…).

Đã có số không nguyên trong khoảng giữa 0 và 1 thì cũng có số không nguyên ở trong khoảng giữa 1 và 2, giữa 2 và 3, giữa 3 và 4… Vì 1 phải thêm 1 nữa mới có 2, cho nên giữa 1 và 2 cũng tồn tại các số không nguyên. Tuy nhiên chúng luôn lớn hơn 1 và nhỏ hơn 2. Vậy có thể coi số không nguyên giữa 1 và 2 là một hợp số gồm hai thành phần là số 1 và số không nguyên nhỏ hơn 1. Giả sử có số không nguyên nhỏ hơn 1 là ½, thì số không nguyên có thành phần ½ trong khoảng giữa 1 và 2 là:

(Đọc là một và một phần hai và gọi thành phần sau là phân số)

Trong Thực tại ảo có “bằng chứng” nào xác nhận rằng những con số không nguyên sinh ra từ sự suy tưởng là thực sự tồn tại không? Không những có mà té ra lại là một hiện tượng có tính tổng quát. Nếu chúng ta lấy 3 đem chia cho 2, sẽ có:

Tương tự:

Điều đó cho thấy nếu lấy 2 số nguyên bất kỳ chia cho nhau, chúng ta đều có kết quả (hoặc nguyên hoặc không nguyên), đồng nghĩa với việc bài toán chia nào giữa các số nguyên với nhau cũng đều được thực hiện.

Các nhà toán học đã gọi chung số nguyên lẫn số không nguyên là số hữu tỷ và xây dựng nên Thế giới Q với qui ước rằng phép chia trong thế giới ấy cũng mang tính độc lập.

Khi có một phân số là :

thì người ta gọi b là “mẫu số” và a là “tử số”. Mẫu số chính là tổng số phần mà 1 đơn vị (hay một số nguyên nào đó) bị phân chia ra, và tử số là số (đơn vị) phần được chú ý, quan tâm (được lấy ra, rút ra…) tới. Chẳng hạn, một ông bạn hảo tâm có một con heo quay đem chia làm 3 phần bằng nhau (chắc là phải dùng dao thôi, mà có lẽ cũng khó ra phết đấy nhé!) và tặng cho chúng ta một phần để còn lại hai phần thì về mặt toán học, đó chính là thực hiện bài giải:

3 phần – 1 phần = 2 phần

Và tổng số 3 phần đó vẫn bằng một con heo quay nên lúc này 1 con heo quay là 3/3, do đó:

Tuy nhiên sau khi chia con heo quay ra làm 3 phần bằng nhau, ông bạn của chúng ta thấy một phần (

) của con heo quay đó nhiều quá, có ý tiếc, bèn tuyên bố: “Thôi, tao chỉ cho chúng mày

con heo quay thôi. Nhưng tao mệt quá rồi! Chúng mày tự chia lấy đi!”.

Con heo quay đã bị phân làm 3 phần rồi, biết tiếp tục phân sao đây để có được

con heo quay mang về nhậu cho bõ tức mà không làm “bầy nhầy” thịt heo: Chúng ta đành phải làm toán cho chắc chắn trước khi phân chia lại con heo quay:

Ngay từ đầu, nếu chia con heo đó ra làm 7 phần và chúng ta lấy 1 phần thì ông bạn sẽ còn lại

con heo, nghĩa là:

Nhưng làm sao bài toán trừ trên cho ra kết quả đó? Làm sao có thể chia 3 phần đã lỡ thành 7 phần (tương đối) bằng nhau để khỏi mang tiếng là ăn gian hoặc dốt nát?

Nói chia 3 phần bằng nhau ra làm 7 phần bằng nhau đồng nghĩa với việc phân chia lại 3 phần đó thành những phần bằng nhau nhỏ hơn sao cho có một số lượng “phần” mới chia “hết” được cho 7. Chúng ta biết có nhiều số chia hết cho 7 bắt đầu từ 3 trở đi, ví dụ như 7, 14, 21, 28, 35, 42,…

Chia 3 phần thành 7 phần mới là tốt nhất, đỡ “nát” miếng thịt, nhưng làm sao chia? Tương tự như vậy, làm sao chia cho 14 để rồi lấy 2 phần của 14 đó đem về

Có thể chia 3 phần ra làm 42 phần không, vì nếu được như thế, chúng ta sẽ lấy 6 phần từ 42 phần đó đem về

? Có thể chia được vì:

42 : 3 = 14

(nghĩa là có thể chia mỗi phần của 3 phần thành 14 phần bằng nhau để rồi lấy đi 6 phần).

Có thể thấy rằng bài toán đã được giải quyết. Chúng ta có thể lấy 1 phần của 3 phần đã lỡ chia, đem chia thành 14 phần (tương đối đều nhau) rồi lấy 6 phần trong số đó đem về đánh chén.

Tuy nhiên, nghĩ lại, chúng ta thấy cách giải đó chưa tối ưu vì:

nghĩa là chỉ cần chia 1 phần của 3 phần cũ thành 7 phần như nhau rồi lấy 3 phần đem về (vừa đỡ tốn nhiều công sức vừa có những miếng thịt “nguyên lành” hơn).

Chia 1 phần cũ thành 7 phần mới thì một cách toán học, chúng ta đã phân chia con heo quay ra làm:

3 x 7 = 21 phần.

Khi lấy đi 3 phần trong số đó, cũng coi như chúng ta đã lấy đi:

Vậy:

Từ thực tế đó mà toán học đưa ra qui tắc: Khi cộng (trừ) các phân số, nếu chúng có cùng mẫu số thì chỉ việc cộng (trừ) các tử số như bình thường, trong trường hợp chúng không cùng mẫu số thì trước khi thực hiện cộng (trừ) các tử số, phải thực hiện “qui đồng mẫu số”, nghĩa là tìm một số chia hết được cho các mẫu số, để làm mẫu số chung rồi điều chỉnh các tử số sao cho các phân số vẫn không bị thay đổi tỷ số (vẫn mang giá trị ban đầu). Trong các số có thể làm mẫu số chung có một số nhỏ nhất được gọi là “mẫu số chung nhỏ nhất”. Thí dụ:

Trong bài toán trên, mẫu số chung là 48, thế nhưng nó chưa phải là mẫu số chung nhỏ nhất vì vẫn có số 12 nhỏ hơn nó chia hết cho 2, 4 và 6. Có thể chọn số 12 làm mẫu số chung và vì nó là số nhỏ nhất chia hết cho 2, 4, 6 nên cũng được gọi là mẫu số chung nhỏ nhất:

Đối với việc nhân một số nguyên với một phân số thì thật dễ dàng, vì chẳng hạn có:

Nhân các phân số với nhau cũng dễ dàng không kém ví chẳng hạn:

Đối với phép chia thì chúng ta đã qui ước là trong Thế giới Q, nó có thể tồn tại độc lập, nghĩa là lấy bất cứ hai số hữu tỷ nào chia cho nhau cũng cho kết quả là số hữu tỷ. Nhưng có cần phải qui ước như vậy không, hay hỏi khác đi: phải chăng đó chính là một qui luật của Thế giới Q?

Chúng ta thấy thế này:

- Nếu có 2 chia cho 1 bằng 2 lần thì vì 1 bằng 2 lần ½ nên cũng phải có 2 chia cho ½ bằng 4 (lần):

hay tổng quát:

- Vì có

nên cũng có:

Hay tổng quát là:

…

- Tóm lại: Một số hữu tỷ nhân với một số hữu tỷ sẽ có kết quả là số hữu tỷ. Một phép nhân số hữu tỷ nào cũng có phép toán chia tương xứng với nó. Phép nhân được thực hiện trọn vẹn với bất cứ cặp số hữu tỷ nào nên phép chia cũng được thực hiện trọn vẹn với bất cứ cặp số hữu tỷ nào. Chính vì điều đó mà phép chia trong Thế giới Q mang tính độc lập, có thể xuất hiện và được thực hiện trọn vẹn mà không cần đến một điều kiện cho trước nào.

Có thể cho rằng cách viết:

là cách viết tổng quát của số hữu tỷ. Nếu a chia hết cho b (cho ra số nguyên c) thì đó là số hữu tỷ nguyên, nếu không chia hết thì đó là số hữu tỷ phân số. Bất cứ số nguyên nào cũng viết được dưới dạng phân số vì có thể chia nó cho 1 (vẫn bằng chính nó). Cũng từ đây mà thấy rằng số hữu tỷ cũng bao gồm số nguyên, số dương và số âm, tuy nhiên với qui ước số nguyên cũng là số dương thì có thể nói số hữu tỷ bao gồm số dương, số âm và số 0.

Đối với các nhà toán học đi tiên phong thì cách viết số hữu tỷ như trên vẫn làm cho họ “ấm ức” vì sự thể hiện không dứt khoát, vẫn rất “ỡm ờ” của nó. Về mặt suy luận, đã phải thừa nhận nó là một “con số”, nhưng trực quan thì vẫn thấy nó là một phép chia chưa được thực hiện (đến cùng), mà đã là phép chia thỏa mãn Thế giới Z thì cũng có nghĩa phải “chia hết” để cho ra một kết quả thực sự được gọi là “số” (hữu tỷ). Sự trăn trở đó của các nhà toán học đã thai nghén và cho ra đời một dạng số mới làm cho Thực tại hạng hai, dù là… hạng hai, về mặt nào đó, kỳ ảo hơn cả thực tại “hạng nhất” - Vũ Trụ. Loại số không nguyên được thực hiện khi phân số được chia hết đó, được gọi là số “thập phân” (số có thành phần nhỏ hơn 1 trong hệ cơ số 10).

Họ đã làm như thế nào để có số thập phân?

Chúng ta hãy nêu ví dụ:

Chẳng hạn có phân số 5/4. Đó cũng là bài toán chia và người ta có kết quả:

Một phân số muốn chia hết thì điều kiện tiên quyết là tỷ số phải lớn hơn mẫu số và điều kiện thứ hai là có kết quả thỏa mãn Thế giới Z (số nguyên). Để thỏa mãn 2 điều kiện đó, chúng ta có thể nhân kết quả trên cho 4 rồi chia cho 4:

và về chốn cũ, quê xưa. Đúng là suy nghĩ thì khôn ngoan nhưng hành động thì “gà què ăn quẩn cối xay”.

Các nhà toán học giỏi hơn, họ không nhân và chia cho 4 mà cho 10:

Nhìn kết quả có phần rườm rà và “xấu xí” hơn cả dạng ban đầu làm chúng ta phì cười, có ý chê bai. Nhưng các nhà toán học, vì đã biết chắc được tương lai tươi sáng nên họ bình tĩnh, tiếp tục nhân và chia kết quả đó cho 10 nữa, và được:

Được kết quả đó, các nhà toán học suy ra, chính là họ đã vô tình qui ước 1 là 100. Muốn vừa thể hiện sự qui ước đó, vừa báo rằng 100 đó thực ra chỉ là 1, các nhà toán học đã nghĩ ra dấu “phẩy” (ký hiệu “,”) ngăn cách giữa số 1 và hai số 0:

1,00

và thỏa thuận rằng những số sau dấu phẩy là nhỏ hơn 1, lớn hơn hoặc bằng 0, nghĩa là nếu có số a đứng sau dấu phẩy thì:

0 ≤ 0,a < 1

(Người Anh không dùng dấu phẩy mà là dấu chấm (“.”). Dám chơi ôtô tay lái ngược thì chuyện đó đối với họ chả có gì phải ầm ĩ!)

Đến đây bài toán chia được các nhà toán học giải như sau:

Sự xuất hiện số thập phân là một tất yếu khách quan trong quá trình nhận thức Thế giới ảo. Nó làm cho Thế giới Q, tưởng hoàn toàn chắc nịch hóa ra không chắc nịch; làm cho tính rời rạc đến minh bạch của thế giới ấy không còn có thể “dấu diếm” nổi cái “mặt trái” của nó là tính liền lạc và liên tục. Khi chúng ta chia 3 cho 2, sẽ có kết quả hữu hạn là 1,5 và gọi quá trình đó là sự chia hết một cách triệt để. Nhưng khi chúng ta chia 2 cho 3 thì theo qui ước cho thế giới Q, đó cũng phải là một sự chia hết để cho ra số hữu tỷ. Thế mà chúng ta lại nhận được một kết quả lạ lùng là:

Theo định nghĩa thì đó là một số hữu tỷ, chỉ có điều phần thập phân của nó lặp lại vô hạn vì chia hoài không bao giờ hết. Nếu loại những số có phần thập phân kiểu như trên ra (người ta gọi là phần thập phân vô hạn tuần hoàn) khỏi Thế giới Q (với qui ước rằng chúng không phải số hữu tỷ) thì phép chia của Thế giới ấy là không hoàn toàn độc lập và vì vậy, sẽ trái với sự thỏa thuận ban đầu.

Để hòa giải sự xung đột, nhằm bảo vệ Thế giới Q cùng với tính nhất quán của nó, chúng ta phải làm một điều khôn ngoan duy nhất là công nhận những số thập phân loại đó là số hữu tỷ, và chúng cũng là kết quả của sự chia hết (dù không triệt để). Những số thập phân vô hạn tuần hoàn cũng nhiều vô kể như các số hữu tỷ khác. Chúng ta ngay lập tức và dễ dàng viết ra đây vài số:

Hiện tượng hai số lượng rời rạc (nên cũng hữu hạn) chia cho nhau, tạo ra một số liên tục, vô hạn nhưng luôn nhỏ hơn một số hữu tỷ khác 0 nào đó được gọi là giới hạn không thể đạt tới của nó, là một sự kiện gây ra sự nghi ngờ ghê gớm. Thật khó mà hình dung nổi một Vũ Trụ giới hạn vì không biết cái gì tồn tại sau giới hạn đó. Đành phải nghĩ đến một Vũ Trụ vô hạn. Nhưng nếu coi Vũ Trụ là vô hạn thì cũng không hình dung nổi thế nào là nhỏ vô hạn. Phải chăng nhỏ vô hạn là nhỏ đến không còn gì cả? Nếu vậy thì dù sao nhỏ vô hạn vẫn có giới hạn là nhỏ không còn gì cả. Còn nếu không phải vậy thì như thế nào gọi là nhỏ hơn cái nhỏ không còn gì cả? Hay Vũ Trụ là hữu hạn ở vô cùng nhỏ và vô hạn ở vô cùng lớn? Quan niệm như thế sẽ thấy một điều kỳ quặc hơn nữa: đó là một Vũ Trụ rời rạc và lớn đến không có bên ngoài, được tạo thành từ vô số những cái nhỏ không có gì cả! Không có gì cả thì làm sao mà có chúng ta… ở đây? Rốt cục thì tư duy phải đi đến sự nhận thức cuối cùng rằng: nhìn ở góc độ này thì Vũ Trụ hữu hạn, ở góc độ kia thì Vũ Trụ vô hạn, đồng thời là cả hai mà có lúc không phải cả hai.

Thực tại ảo là hình ảnh của Thực Tại khách quan được nhận thức “chung” lại (một cách không hoàn hảo bằng “công cụ” có đặc tính máy móc, siêu hình không khắc phục nổi là hệ thống các khái niệm và qui ước), nên sớm muộn gì nó cũng phải phản ánh ra đặc tính nước đôi của Tự Nhiên Tồn Tại. Thế giới số học là thuộc về Thực tại ảo, cho nên dù lúc đầu nó được nhận thức xây dựng trên cơ sở của sự rời rạc và hữu hạn thì rồi sớm muộn nó cũng phải bộc lộ ra tính liên tục và vô hạn.

Biết trước là phải như thế rồi, tuy nhiên lúc này đây, chúng ta vẫn hoàn toàn bị bất ngờ trước sự “xử sự” giữa các số hữu tỷ với nhau. Thật khó lòng mà hiểu nổi từ sự “tương tác” của hai số hữu tỷ hữu hạn (hoàn toàn được xác định về số lượng) lại sinh ra một số hữu tỷ vô hạn (không thể xác định chính xác số lượng), và ngược lại, hai số hữu tỷ vô hạn “tương tác” nhau lại cho ra một số hữu tỷ hữu hạn. Kỳ quặc quá phải không? Nhưng biết làm sao được khi những hiện tượng đó chính là sự phản ánh của tồn tại (dù là ảo) và chúng ta không còn cách nào khác là phải cố mà “nuốt trôi” chúng?

Chúng ta quan niệm rằng Thực tại ảo cũng là một hình thức tồn tại và đồng thời là bộ phận của Tồn Tại. Do đó nó cũng là bộ phận Không Gian vận động, chuyển hóa một cách đặc thù dưới dạng tạm gọi là Nhận Thức (đã trở thành) khách quan, biểu hiện ra trước nhận thức chủ quan, và được hình thành tương tự như cách thức hình thành của Thời Gian. (Cầu mong Thầy Cãi đừng có lảng vảng ở đâu đây để rồi lại sinh chuyện lôi thôi!).

Nghĩ như thế để chúng ta đừng hốt hoảng nữa và tin đây là một niềm an ủi lớn lao cho mình: Vì thuộc về Thực tại ảo nên thế giới Q chỉ tồn tại trong Thực tại ấy và không thể tồn tại ở Thực tại khác (nhưng không phải hóa thành Hư Vô đâu đấy nhé!). Con voi mà để “trần truồng” quăng ra khỏi Thế giới Trái Đất (lên Mặt Trăng chẳng hạn) thì nó phải chấm dứt tồn tại, có thể trở thành hư vô của loài voi (và của chính con người quan sát) nhưng vẫn là tồn tại của Tự Nhiên.

Trong quá trình đi tìm bằng chứng hiển nhiên cho cái quan niệm “vừa hữu hạn, vừa vô hạn”, chúng ta đã phát hiện ra một hiện tượng “không chê vào đâu được” và qua hiện tượng này, sự hoang mang và choáng ngợp trước cái vô hạn của chúng ta đã được xoa dịu đến hầu như là… thản nhiên. Hiện tượng đó là như thế này:

Trước hết chúng ta viết lại:

Đó là sự chia hai số nguyên (dương) hữu hạn cho ra kết quả là một số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Chúng ta sẽ chuyển đổi hai số nguyên đó sang cơ số khác, theo ký số thập phân. Chẳng hạn chúng ta cho số 11 là “chục” (hệ cơ số 11), thì số 13 phải viết là 12. Xong đâu đó, chúng ta thực hiện phép chia:

Kết quả là một số hữu hạn!

Nếu đổi vị trí tử số và mẫu số cho nhau thì phép chia lại có kết quả là một số thập phân vô hạn tuần hoàn trong hệ cơ số 11:

Tuy nhiên kết quả này sẽ lại hữu hạn trong cơ số 13 vì:

Lấy thêm một thí dụ khác, có:

Đổi sang hệ cơ số 9 sẽ có:

Vậy: một số hữu tỷ thể hiện như một số thập phân vô hạn tuần hoàn ở hệ cơ số này có thể lại là một số hữu hạn ở hệ cơ số khác, và ngược lại. Hóa ra sự thể hiện ra vô hạn hay hữu hạn là chẳng đáng tin tý nào! Hay có thể nói vô hạn thì cũng bình thường như… hữu hạn, và cả hai cái đó đều phù phiếm như nhau.

Sự ngạc nhiên thú vị làm chúng ta quá phởn chí và bật ra một câu hỏi khác: trong thế giới Q có số thập phân vô hạn nhưng không tuần hoàn không?

Đó là một câu hỏi hóc búa và cần đến có thể là nhiều thời gian để tìm câu trả lời. Chúng ta thì lại quá bận rộn nên… thôi, chắc là phải bỏ qua…

- Nói là dốt mẹ nó đi cho rồi!

Ai văng tục thế nhỉ? A! Thầy Cãi! Lão này đáo để thật, té ra là từ nãy giờ vẫn lảng vảng quanh đây! Chúng ta đang mộng mơ ở lưng chừng núi Tu Di huyền thoại mà lão cũng mò tới quấy rầy được thì kể cũng… đại tài.

- Cứ cho là chúng tôi dốt thì ông trả lời đi! - Chúng ta vặc lại.

Thầy Cãi trợn mắt… cãi:

- Nếu không có ai trả lời trước thì tôi hơi sức đâu phải trả lời? Tôi chỉ thích trả lời trong khi… cãi thôi!

- Được!... Nếu chỉ là phán đoán thì chúng tôi tin tưởng sắt đá rằng trong Thế giới Q không thể có số thập phân vô hạn không tuần hoàn…

- Có nhẽ đâu lại thế được! Khi chúng ta coi Thế giới Q là vô hạn, thì có thể “nhặt” từ đó ra vô hạn số đếm và sắp xếp chúng một cách vô hạn nhưng không tuần hoàn để không những làm xuất hiện số thập phân vô hạn không tuần hoàn mà cả số nguyên vô hạn không tuần hoàn.

Thầy Cãi nói xong hếch mũi của lão lên làm mũi chúng ta nóng rực:

- Làm sao mà ông thò được cái mũi hếch của ông vào Thế giới ấy để đánh hơi chứ chưa cần nói là thò tay vào đó mà bốc hốt các con số? Hơn nữa ông làm sao có đủ thời gian để sắp xếp vô hạn số? Xin nói cho ông biết thế này: Cứ cho ông là thánh đi và có đủ thời gian sắp xếp, nhưng một khi ông xác định được số đó là vô hạn thì đồng thời nó cũng trở nên hữu hạn mất rồi…

- Ôi dào ơi! Đừng hiểu kiểu… thực dụng và máy móc như thế chứ!... Trí tưởng tượng có thể thực hiện sự sắp xếp đó một cách hoàn hảo. Một Thế giới Q vô hạn sẽ tạo ra được một số hữu tỷ vô hạn, hiểu chưa mấy cha?!...

- Chúng con hiểu rồi, thưa cha! - chúng ta cười nhạo - Nhưng cha thì chưa hiểu Thế giới Q, cha ạ! Thế giới Q được xây dựng nên từ Thế giới Z với qui ước độc lập cho phép chia, và số thập phân vô hạn được sinh ra từ phép chia ấy chứ không thể từ sự sắp đặt khiên cưỡng được…

- Ái chà! Ha, ha, ha… - Thầy Cãi cười vang - Cũng lôgíc ghê gớm đấy chứ nhỉ?... Để thỏa mãn yêu cầu đó của các anh thật chẳng khó khăn gì. Luật đầy đủ không những cho phép mà còn bắt buộc phải có những số vô hạn không tuần hoàn, chỉ cần “phẩy” đâu đó trước một số thành phần nào đó của nó (nghĩa là chia nó cho 10ⁿ nào đó) thì sẽ làm xuất hiện ngay một số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

Chúng ta đớ họng và ngượng nghịu thực sự vì dù sao thì Thầy Cãi cũng có lý. Tuy nhiên, chúng ta cố vớt vát với một nụ cười gượng gạo:

- Cứ cho rằng có những số nguyên vô hạn không tuần hoàn như thế nhưng đó chỉ là sự sắp xếp nhân tạo, giả tạo vì Thế giới Q không thể tự sắp xếp được một cách tự nhiên ra như thế. Vì vậy mà những số thập phân vô hạn sinh ra từ chúng không được coi là số hữu tỷ… Cũng có thể cho rằng sự xuất hiện số thập phân vô hạn không tuần hoàn là trường hợp đặc biệt, vừa có tính chất của số hữu tỷ vừa có tính chất khác số vô tỷ. Để phân biệt thì phải đặt tên mới cho loại số này và coi như là sự mở rộng Thế giới Q…

- Lập luận như thế thì thật là… “lỏng lẻo”. Đuối lý rồi phải không?... Dù sao thì các anh đã phải thừa nhận sự tồn tại của những số không phải hữu tỷ, được sinh ra từ hữu tỷ… Thế cũng đã là quá đủ!... Thôi nhé, tôi về đây. Các anh cứ ở lại mà “leo núi”. Sự “công cốc” vĩ đại đang chờ các anh ở chót vót ấy đấy…

Thầy Cãi bỏ đi với cái mũi hếch cao hơn bao giờ hết vì nghĩ rằng đã có được một cuộc “thọc gậy bánh xe” thắng lợi.

Sau khi ông ta đi khỏi, chúng ta bần thần rất lâu mới trấn tĩnh lại được. Ngẫm nghĩ kĩ lại cuộc “cãi nhau” vừa qua, chúng ta vẫn thấy có một cái gì đó rất không tự nhiên trong lý lẽ của Thầy Cãi. Ừ nhỉ, có thể rằng theo nguyên lý về sự đầy đủ, cần phải tồn tại những số hữu tỷ vô hạn không tuần hoàn, nhưng chúng ta không làm sao xác định được nó một cách chắc chắn khi sự hiện hữu của nó là không trọn vẹn. Chúng ta không thể biết được những thành phần số của nó ở những nơi “xa xôi” nào đó mà quan sát không “với tới” được, chẳng hạn như ở vùng “lân cận” của vô hạn, gồm những con số gì và được sắp xếp như thế nào. Trái lại đối với các số hữu tỷ, dù là vô hạn thì nhờ vào tính tuần hoàn của chúng (tính bất biến) mà chúng ta phán đoán, xác định được điều đó một cách chắc chắn, và như vậy thì số hữu tỷ coi như có thể hiện hữu một cách hoàn toàn trước quan sát. Vậy thì số hữu tỷ là có tính xác định. Dù là ở dạng vô hạn thì nhờ vào tính tuần hoàn mà một số thập phân hữu tỷ đều có thể viết được dưới dạng một phân số hữu hạn. Còn đối với số gọi là thập phân vô hạn không tuần hoàn thì trái lại, vì không thể xác định được nên cũng không thể biểu diễn nó dưới dạng một phân số hữu hạn nào đó được.

Như vậy, sự khác biệt cơ bản giữa số hữu tỷ và số vô hạn không tuần hoàn là ở tính xác định được hay không của chúng: Và từ nay, chúng ta gọi những số không xác định được là số “vô tỷ” (không nên lầm lẫn giữa hai khái niệm “số không xác định được” và “ẩn số”!). Số vô tỷ cũng có thể tồn tại dưới dạng nguyên, âm, dương và thập phân.

Có một điều đặc biệt đối với số vô tỷ là: vì chúng bất định nên không thể chuyển đổi qua lại giữa các hệ số đếm để làm mất sự biểu hiện về tính vô hạn của chúng. Điều này được thấy rõ nhất ở số thập phân vô tỷ: vì chúng không thể được định dạng bằng một phân số hữu hạn nên không thể dùng cách chuyển đổi hệ cơ số để xuất hiện dưới dạng số hữu hạn (nghĩa là biến thành số hữu tỷ!?).

Sự xuất hiện số vô tỷ đã buộc chúng ta mở rộng nội hàm của Thế giới Q, làm cho thế giới ấy chuyển hóa thành một thế giới khác, rộng mở hơn, gọi là Thế giới số thực (ký hiệu của số thực là R, và dù có “thực” thì cũng ở trong Thực tại ảo).

Thực ra sự hình thành nên Thế giới R là một tất yếu khách quan trong Thực tại ảo, nghĩa là sự tồn tại số vô tỷ là hiển nhiên, là biểu hiện của nguyên lý về tính đầy đủ, nguyên lý về tính nước đôi, về tính tương phản của Tự Nhiên Tồn Tại. Không thể hình dung nổi một thế giới hoàn hảo lại phiến diện. Đã hoàn hảo thì phải gồm cả không hoàn hảo, đã có âm thì phải có dương, đã có nguyên thì phải có không nguyên, đã có hữu hạn thì phải có vô hạn, đã có tuần hoàn thì phải có không tuần hoàn, đã có hữu tỷ thì phải có vô tỷ… Một khi quan sát còn chưa thấy được một Thế giới biểu hiện ra như vậy thì sự nhận thức vẫn chưa thể đạt tới “đại ngộ”.

Có thể nói nguyên nhân sâu xa làm cho sự nhận thức toán học khám phá ra Thế giới R là sự kiện nó công nhận quyền được tồn tại độc lập đối với các phép tính khác của phép toán khai căn. Chúng ta biết rằng Thế giới Q xuất hiện ra được là do bốn phép toán cộng, trừ, nhân, chia trở nên độc lập tương đối so với nhau. Trong số bốn phép toán đó, phép cộng là phép toán khởi thủy, cho nên nó có tính độc lập một cách “không thể bàn cãi” trong tất cả các thế giới số. Phép nhân là trường hợp riêng, là bộ phận của phép cộng cho nên đương nhiên nó cũng mang đặc tính ấy của phép cộng. Và phép lũy thừa, vì là trường hợp riêng, là bộ phận của phép nhân, nên đến lượt nó, cũng mang đặc tính độc lập đương nhiên của phép cộng. Trong Thế giới số N, phép trừ là được suy ra từ phép cộng cho nên nó mang tính lệ thuộc. Khi phép trừ “trưởng thành” đòi quyền độc lập trước phép cộng, và chắc chắn nó sẽ giành được độc lập, thì Thế giới N sẽ phải chuyển hóa thành Thế giới Z. Tương tự như vậy, khi phép chia giành được độc lập trước phép nhân thì Thế giới Z chuyển hóa thành Thế giới Q. Cũng tương tự như vậy nữa, khi phép khai căn giành được độc lập trước phép lũy thừa thì Thế giới Q sẽ phải chuyển hóa thành Thế giới R.

Trong Thế giới Q, phép khai căn vẫn còn hoàn toàn lệ thuộc vào phép lũy thừa, nghĩa là nếu có 3 số hữu tỷ a; b; c mà:

c = a^b

(c được gọi là số chính phương bậc b của a; a^b được gọi là số lũy thừa bậc b của a);

thì phép khai căn bậc b đối với c mới được thực hiện một cách có kết quả là một số hữu tỷ. Chúng ta có thể viết:

(Để tỏ rõ phép lũy thừa là trường hợp riêng của phép nhân, chúng ta cũng có thể viết quá trình toán học trên dưới dạng:

Khi c là một số hữu tỷ không phải là chính phương bậc b của bất cứ số hữu tỷ nào, nghĩa là:

thì khai căn bậc b của c là không thực hiện được, hay:

Khi phép khai căn “giành được quyền sống” độc lập thì bài toán khai căn nêu trên sẽ có nghiệm. Tuy nhiên nghiệm đó không phải là một số hữu tỷ và vì vậy, chúng ta gọi nó là số vô tỷ. Lúc này, thế giới Q chuyển hóa thành Thế giới R (bao gồm số hữu tỷ và vô tỷ).

¯¯¯

Bắt đầu từ sự đếm, chúng ta đã hình dung ra Thế giới N. Rồi từ Thế giới N, sự tò mò như một định mệnh không thể cưỡng nổi đã “dắt mũi” chúng ta hình dung ra hết thế giới này đến thế giới số khác, cuối cùng là Thế giới R.

Mỗi lần hình dung ra một thế giới số mới, chúng ta vẫn thường quen miệng nói: đó là sự mở rộng của thế giới trước, chẳng hạn, chúng ta nói: Thế giới Q là sự mở rộng của Thế giới Z.

Nói như vậy, trong một chừng mực nào đó là không sai, nhưng cũng không đúng hẳn. Chúng ta cho rằng thực tại ảo là thực tại chủ quan của nhận thức quá khứ phản ánh những biểu hiện của một Thực tại khách quan duy nhất, vừa vô cùng đa dạng, phong phú, vừa cực cùng biến ảo. Do đó mà về qui mô, Thực tại ảo với danh nghĩa là bộ phận của Tự Nhiên Tồn Tại thì nó phải luôn “nhỏ hơn” Thực tại khách quan, nhưng với chức năng phản ánh hiện thực thì nó không hề “thua kém” Thực tại khách quan. Tuy nhiên, do năng lực nhận thức quá khứ còn hạn chế mà Thực tại ảo hiện ra một cách thiếu sót, không đầy đủ và thậm chí là sai lệch nhiều (so với Thực tại khách quan một cách vừa tất nhiên, vừa ngẫu nhiên), trước nhận thức lại của thế hệ sau. Hiện tượng đó chỉ nói lên rằng nhận thức quá khứ đã chưa thể quan sát thấy, chưa “lôi ra được trước ánh sáng ban ngày” biết bao nhiêu thứ, biết bao nhiêu điều còn lẩn khuất, lặn chìm trong cái nền tảng mênh mông và được gọi là hư vô của Thực tại ảo, nghĩa là nhận thức quá khứ đã bó hẹp sự hiện hữu trong Thực tại ảo chứ không phải thu nhỏ qui mô của Thực tại ảo.

Khi nhận thức chỉ quan tâm tới số lượng và những vấn đề của số lượng, thì Thực tại ảo biến tướng thành Thế giới số. Với quan niệm như đã trình bày ở trên thì có thể thấy Thế giới số cũng có qui mô bằng Thực tại ảo. Lúc đầu, trước nhận thức còn thấp, nông cạn thì trong Thế giới số chỉ hiện hữu loại số N. Trình độ nhận thức ngày một cao sâu đã làm xuất đầu lộ diện những loại số khác để rồi cuối cùng thì tất cả các loại số đều bị phát hiện và được gọi một cái tên chung là số R.

Như vậy, chúng ta thấy rằng nếu hiểu một cách chắc chắn sự phát triển từ Thế giới N đến Thế giới R là một quá trình liên tục mở rộng, thì e rằng rất dễ dẫn đến những suy nghĩ lầm lạc đáng tiếc. Dù có thể nói là “mở rộng” thì cũng nên quan niệm rằng qui mô của Thế giới số luôn luôn không đổi, nó chỉ hiện ra ngày một đầy đủ trước quan sát và nhận thức ngày một thâm hậu mà thôi.

Vậy có thể hỏi Thế giới R đã hoàn toàn đầy đủ chưa? Hỏi thế mà cũng hỏi! Đối với chính nó thì nó còn thiếu cái gì nữa?!... Có lẽ nên hỏi thế này: R đã hàm chứa được tất cả các loại số mà thế giới số có thể có chưa?

Sự xuất hiện và hiện hữu một cách rời rạc của vạn vật, hiện tượng trong thiên nhiên đã gây ấn tượng làm hình thành nên khái niệm “số lượng” ở con người. Những khái niệm về số lượng ra đời lần đầu tiên vào thời sơ khai của loài người có thể là “một cái”, “ít”, “nhiều”. Sự đòi hỏi phải xác định rõ rằng được “ít” hay “nhiều” là “bao nhiêu” “cái một” đã làm hình thành nên việc đọc tên những số lượng nhiều hơn “một”. Từ đó, sự đếm giản đơn ra đời và nhờ có 10 ngón tay mà hệ đếm cơ số 10 chiếm thượng phong, trở nên phổ biến và được duy trì đến ngày nay.

Sự đếm, cùng với quá trình hoàn thiện đã dẫn đến một cách đếm tối ưu, phù hợp với khả năng nhớ của trí não con người, qua đó mà cũng phù hợp với tự nhiên và vì thế mà bản thân sự đếm cũng hàm chứa một cấu trúc phổ quát của tự nhiên là tính tầng nấc, lớp lang: cũng như, một cách thức vận động phổ quát của tự nhiên là tính phát triển từ ít đến nhiều, từ thấp lên cao, có trước có sau, trình tự tăng trưởng theo luật tuần hoàn…

Có thể nói con người đã sáng tạo ra những con số nhưng là do sự mách bảo, gợi ý và thúc ép của thiên nhiên. Sự đếm cùng với 10 ký hiệu số đã giúp con người có một khả năng kỳ diệu là có thể đếm được tất cả các số lượng có thể có trong tự nhiên (nếu bỏ qua thời gian!) và cũng có thể viết ra một cách tường minh bất cứ một số lượng nào có thể có của tự nhiên (nếu thời gian cho phép!).

Điều không thể chối cãi được là trong Thế giới R, nếu không chú ý đến ký hiệu âm - dương và dấu phẩy, thì tất cả các loại số, đều được viết ra bằng cách sử dụng các ký số của 10 ký số đã biết và không có một số lượng xác định nào lại không thể viết ra được bằng những ký số đó.

Tính tối ưu của sự đếm theo hệ cơ số (ở đây là cơ số 10), qua những biểu hiện kỳ diệu nói ở trên thôi cũng là đủ để thấy rằng không cần và cũng không thể tìm kiếm một cách đếm tối ưu hơn nữa. Đây phải chăng là nguyên nhân sâu xa dẫn đến việc cho phép chúng ta nhận định rằng: không có một số nào là không có nguồn gốc từ tự nhiên; là không thể biểu diễn được với chỉ bằng những con số cơ sở của hệ đếm?

Nhờ có những biểu hiện rời rạc của Thực Tại Khách Quan mà con người mới có thể xây dựng được Thế giới N và nhờ biết suy diễn ra từ những biểu hiện ấy (có thể là bằng con đường gián tiếp, thông qua Thế giới N), từ những lần vấp váp, bế tắc của quá trình tiếp tục nhận thức không mệt mỏi mà con người đã xây dựng được một thế giới số có tầm khái quát cao, đó là Thế giới R. Có một điều rất đáng chú ý là quá trình chuyển hóa từ thế giới số hạn hẹp hơn thành thế giới số có tầm bao quát hơn chính là vì các phép toán bị lệ thuộc là trừ, chia, khai căn lần lượt được “giải thoát”. Nếu phép trừ không có được sự tự do (tự do thì cũng tương tự như độc lập, ở đây chúng ta qui ước như vậy vì về mặt chính trị - xã hội chưa hẳn đã như vậy: một con dân độc lập thì chưa hẳn đã có tự do nhưng một con dân tự do thì trước tiên phải có độc lập, và một đất nước độc lập đã chắc gì bầu không khí trong nó tỏa ra hương thơm tự do - dân chủ (?)) thì không thể có Thế giới Z (với sự xuất hiện của số âm, số dương và đặc biệt là số 0 một cách tất yếu). (Nói thêm: việc “nhét” số 0 vào Thế giới N để mở rộng thế giới đó ra là một khiên cưỡng… Nhưng số 0 xuất hiện trong Thế giới Z lại là một sự đương nhiên. Vì khi phép trừ đã được tự do trong Thế giới Z thì: 1 - 1 phải có nghĩa, và nghĩa là gì nếu không phải là “0”?).

Tuy nhiên, đối với Thế giới R, vì 6 phép toán cơ bản đều đã độc lập - tự do nên, nếu theo cách thức “thông thường” nói trên, nó không còn khả năng chuyển hóa để thành một thế giới số nào đó bao quát hơn.

Thế thì còn phương thức nào khác, hay còn phép toán lệ thuộc nào khác mà chúng ta chưa phát hiện ra có thể tạo điều kiện cho Thế giới R tiếp tục chuyển hóa không? Đây cũng lại là một câu hỏi hóc búa nhưng rất dễ trả lời nên chúng ta… không trả lời! (Lạy trời! Thầy Cãi ở đâu thì cứ ở đó, đừng “phi” tới đây!).

Khó lòng mà bịa thêm một phép toán nào nữa để có phép toán lệ thuộc mà giải thoát cho nó đối với thế giới số. Nhưng còn hay không còn một phép toán như thế, là điều chúng ta mù tịt, không thể quyết định được. Tuy nhiên, có một con đường đầy tính suy lý hình thức, vừa ngây thơ vừa nực cười, dẫn dắt chúng ta đến kết luận: Thế giới R chưa phải là thế giới số bao quát nhất.

Dựa vào nguyên lý đầy đủ và nguyên lý thể hiện tương phản của Tự Nhiên chúng ta nói nôm na thế này:

Lúc đầu là Thế giới N, nhưng đã có số tự nhiên thì phải có số phi tự nhiên, do đó mà Thế giới Z xuất hiện. Thế giới Z xuất hiện nghĩa là xuất hiện số nguyên. Nhưng đã có số nguyên thì phải có số không nguyên, do đó mà xuất hiện Thế giới Q. Xuất hiện Thế giới Q có nghĩa là có số hữu tỷ. Nhưng có số hữu tỷ thì phải có số vô tỷ và làm cho Thế giới R xuất hiện. Thế giới R xuất hiện có nghĩa là có số thực. Nếu đã có số thực thì làm sao lại không có số không thực, còn gọi là số ảo, được? Khi đã tồn tại số ảo thì nó sẽ cùng với số thực tác thành nên một thế giới mới được gọi theo tên mà toán học đã đặt cho từ lâu, đó là Thế giới số “phức hợp”, ký hiệu là C.

Tiện đà, chúng ta làm tới: nếu đã có số phức thì đương nhiên phải có số không phức chứ? Đương nhiên là thế! Nhưng số không phức là gì nếu không phải là số phức? Trên đời này không còn số nào khác ngoài số thực và thể tương phản của nó là số ảo. Nếu Tự Nhiên “muốn” tạo ra một loại số “lạ”, có tính đặc thù một chút thì chỉ có thể là tập hợp hai số thực và ảo lại mà thôi cho nên số không phức là số thực hoặc số ảo chứ không thể là một loại số nào khác nữa. Tính “qui căn”, “phản phục” có đi thì phải có về của Tự Nhiên chỉ có thể phởn chí đến Thế giới C là hết. Thế giới C thực sự là thế giới số bao quát nhất, hàm chứa tất cả các thế giới số có thể có trong Thực tại ảo.

Có thể quan chiêm quá trình hình thành số phức trong toán học. Đó là lựa chọn của những người khôn ngoan. Vì chúng ta không muốn bị gọi là khờ khạo nên cũng đã làm điều đó (nhờ thế mà chúng ta mới có được cái tên “số phức” để đặt cho Thế giới số mà chúng ta mới “tìm ra”!). Tuy nhiên “sự hoang tưởng không biết dừng lại” vẫn không thỏa mãn và “lôi kéo” chúng ta “đi bước nữa” trên con đường khác.

Trước hết, cần phải hỏi: số ảo là gì? Và trả lời: số ảo là số không thực! Vậy số thực là gì? Là số có thực trong Thực tại và là số ảo trong Thực tại khách quan. Nếu nói được như vậy thì phải chăng cũng có thể nói số ảo là số không có thực trong Thực tại ảo và là biểu hiện số có thực trong Thực tại khách quan?

Dù sao thì “giảng giải” về số ảo như trên không những ngay lập tức trưng ra một khối đáng ngờ quá lớn mà còn giăng ra cả một bức màn đen thui đến mức… mù tịt. Nếu trước đây các nhà toán học không gọi là số thực mà là số “chúa” thì không biết gọi số ảo là gì cho tương xứng, và giải thích ra sao cho phải phép nữa?

Chúng ta thấy rằng tất cả các số thực hiện hữu đều có thể được gọi tên theo số lượng của chúng một cách dứt khoát được, thí dụ như: số năm, số bảy, số một phần tám, số một phẩy hai lăm, số căn hai của hai…, và đều có một số trị duy nhất. Thêm nữa, xem xét quá trình phát triển Thế giới số này thành thế giới số khác, chúng ta còn thấy: số ảo là số tồn tại trong một thế giới số mà không thuộc về thế giới ấy, và chính sự xuất hiện “bất hợp pháp” thuở ban đầu của số ảo mà thế giới số bị nó “lũng đoạn” đã phải chuyển hóa thành thế giới số bao quát hơn để tính “bất hợp pháp” của số ảo trở thành “hợp pháp”. Chẳng hạn số 1,5 xuất hiện trong Thế giới số nguyên là số ảo của thế giới ấy và làm cho thế giới ấy chuyển hóa thành Thế giới hữu tỷ. Trong Thế giới hữu tỷ, số 1,5 trở thành số “có thực”, hay số thực.

Từ suy nghĩ như trên và cũng “ăn theo” sự diễn giải về số phức trong toán học, đồng thời đã từng tham khảo ý kiến của NTT, chúng ta phán đoán rằng số ảo trong Thế giới R là gồm một nhóm từ 2 hay nhiều số thực nào đó liên kết với nhau lập thành những phép toán, với qui ước là không thực hiện được. Giả sử có 3 số thực là a, b, c và ký hiệu “*” là phép toán, ta sẽ có một số ảo trong Thế giới R là:

- Không thể gọi tên số ảo theo số lượng của nó là gì vì nó có hình thức là một phép toán.

- Tuy biết chắc nó phải có một số trị thực sự, nhưng vì phép toán không được thực hiện, nên không thể xác định được.

- Trong Thế giới R có hiện tượng một số cũng là một phép toán thì tại sao ở đây lại không có thể có một số cũng là một phép toán?

- Trong Thế giới R, bất cứ phép toán nào cũng được thực hiện (theo quan niệm của chúng ta thì ngay cả bài toán

cũng được thực hiện một cách triệt để, cho ta kết quả là

), ấy vậy mà phép toán “số ảo”, dù có thể chỉ là phép cộng thông thường, cũng không thể giải được, chính vì vậy mà nó mang tính ảo.

Nói tóm lại: sự tồn tại số ảo trong Thế giới R là một yêu cầu khách quan nhằm thỏa mãn nguyên lý đầy đủ, tính thể hiện thống nhất nhưng tương phản của Tự Nhiên Tồn Tại. Con người không sớm thì muộn cũng phải “đụng chạm” đến nó, phải tìm cách mà nhận dạng được nó, để tháo gỡ những bế tắc, những chướng ngại gặp phải trên con đường nhận thức thực tại khách quan thông qua thế giới số. Chúng ta cho rằng phép toán nêu ra làm thí dụ ở trên, với qui ước là không giải được, đã thỏa mãn những đặc tính cần có của một số ảo của Thế giới R.

Một khi đã tồn tại số ảo như là một tương phản của số thực thì để cho đầy đủ phải có số không thực, không ảo. Để đảm nhận được vai trò đó, chỉ có thể là “ông vua không ngai”: số 0. Nhưng đã có số không thực mà cũng không ảo thì tất nhiên cũng phải có số vừa thực vừa ảo. Vai trò đó được giao cho “ông bạn mới” của chúng ta, đó là số phức.

Tương tự như số hữu tỷ có hai thành phần là số nguyên và số thập phân, số phức cũng gồm hai thành phần là số thực và số ảo. Số hữu tỷ, khi “chưa có” Thế giới Q thì trong Thế giới Z, phần nguyên của nó được gọi là số thực và phần thập phân được gọi là số ảo. Khi số hữu tỷ đã “làm nên” được Thế giới Q (bao quát hơn Thế giới Z) thì trong thế giới ấy nó lại là số thực. Tương tự như vậy, số phức sẽ tạo ra Thế giới C và trở thành số thực trong thế giới ấy.

Để định dạng một số phức phục vụ cho ghi chép toán học, chúng ta giả sử rằng có các số là A, B, C, D, và ký hiệu phép toán là “*” (dấu hoa thị); với C là số phức còn A, B, D là số thực, trong đó D, A, và “*” lập thành số ảo:

(D * A)

thì có thể viết:

(Dấu

có nghĩa: “bao hàm trong”. Ở đây, có thể đọc là “B bao hàm trong (D * A)”. Hiểu cách viết trên là: B là lực lượng (số lượng) thực của C; (D * A) là biểu hiện ảo của C).

Như một tiền lệ hiển nhiên, số ảo trong Thế giới R đóng vai trò như là bài toán không giải được, thì trong Thế giới C, bài toán ấy phải được giải quyết ổn thỏa. Nói “ổn thỏa” không có nghĩa là triệt để vì bài toán đó nếu được giải triệt để thì sẽ cho ra kết quả là một số thực trong sự biểu hiện ảo của số phức C. Có thể thấy số thực trong biểu hiện ảo ấy không chỉ là kết quả của một phép toán duy nhất của số thực mà là của rất nhiều phép toán. Nếu ta có một số thực là 2, thì nó có thể là kết quả của các bài toán:

Tình hình đó làm cho số phức C mất đi sự biểu hiện của nó, lâm vào tình trạng bất ổn, không còn “biết đâu” là chính nó nữa, thậm chí là biến thành số phức khác. Do đó cần phải hiểu sự ổn thỏa ở đây là: bài toán đó có thể được giải quyết triệt để, nhưng sau khi đã giải quyết triệt để thì phải khôi phục lại phép toán cuối cùng (dù là hình thức), coi như là không giải được nữa.

Chúng ta thấy rằng ở mỗi thế giới số N, Z, Q, R đều có những phép toán lệ thuộc (vừa giải được vừa không giải được), lần lượt là phép trừ, phép toán chia, và phép khai căn, đồng thời luôn nhận phép cộng là phép toán khởi thủy của mọi phép toán. Vậy thì phép toán lệ thuộc trong Thế giới C là phép toán nào trong 6 phép toán cơ sở đã nói của số học? Vì phép nhân và phép lũy thừa chỉ là dạng đặc thù của phép cộng mà thôi nên sự không giải được của chúng là do phép cộng quyết định và do đó câu hỏi trên chỉ còn liên quan tới 4 phép toán là cộng, trừ, chia, khai căn. Điều rõ ràng là phép trừ chỉ giải được và không giải được ở Thế giới N; phép chia chỉ giải được và không giải được ở Thế giới Z; phép khai căn giải được và không giải được ở Thế giới Q. Còn ở Thế giới R? Là bài toán gồm những phép toán trong 6 phép toán, thực ra là giải được nhưng vì qui ước nên không giải được. Cuối cùng là Thế giới C, vì không còn khả năng chọn lựa phép toán giải được và không giải được ngoài phép toán còn lại là phép cộng nên cũng không còn cách nào khác là phép cộng phải đóng vai trò là phép toán đó trong Thế giới C. Phép cộng giải được vì nó là phép toán khởi thủy của mọi phép toán trong Thế giới C; không giải được vì phải đảm bảo cho số phức tồn tại để duy trì Thế giới C.

Đừng tưởng rằng việc chọn phép cộng làm phép toán vừa giải được vừa không giải được trong Thế giới C là hoàn toàn chủ quan, khiên cưỡng. Chính các nguyên lý của Tự Nhiên Tồn Tại đã làm cho thế giới số phải vận động theo những qui luật và sự biểu hiện của chúng đã gợi ý, mở đường cho sự lựa chọn duy nhất đó: phép cộng, cũng không ngoại lệ, trong Thế giới C, nó trở thành lệ thuộc đối với chính nó. Khi triệt tiêu tính lệ thuộc của phép cộng trong Thế giới C (nghĩa là phép toán trong phần ảo của số phức được giải đến triệt để) thì kết quả vẫn là số phức (hoặc số thực) thuộc về Thế giới C (hoặc Thế giới R). Rốt cuộc, sự toàn năng của Chúa cũng phải đến giới hạn, vẫn phải nằm trong sự phán quyết của các bậc hiền triết cổ đại phương Đông: Tất cả đều qui căn, phản phục, ra đi có nghĩa là trở về. Thế giới C đã là thế giới bao quát tuyệt đối của các thế giới số.

Vì phép toán cộng là phép toán cuối cùng phải giữ lại của số ảo nên đến đây, chúng ta có thể viết số phức rõ ràng hơn, là:

Có một con đường khác cũng dẫn dắt nhận thức đi đến việc làm… hình thành nên số phức. Trong hiện thực vạn vật, khi đã qua quan sát và nhận thức, vật nào cũng được đặt tên để phân biệt với vật khác. Trước một hiện thực mà vạn vật được phân ra theo tầng, theo lớp, theo loại nhưng đồng thời những tầng, lớp loại đó cũng hòa quyện, đan xen vào nhau, thì càng muốn tăng khả năng phân biệt chúng, nhận thức càng phải đặt nhiều tên gọi và để không dẫn đến sự rối loạn, mất khả năng “nhận diện” trước một số quá đông “vạn vật” của một bộ não chỉ có khả năng nhớ hạn chế, thì sớm muộn gì nhận thức cũng phải sắp xếp lại, chỉnh sửa lại các tên gọi thành những hệ thống có tính chất phân tầng, phân lớp, phân loại “y hệt” như sự biểu hiện của “cấu trúc” hiện thực vạn vật mách bảo.

Để phân biệt vật có rễ, thân, cành, lá đối với những vật khác như thế, người ta gọi nó là “cây”. “Cây” là cả một thế giới đa dạng và phong phú như có cây thân mềm thì cũng có cây thân cứng, có cây cho quả thì cũng có cây cho củ… Rồi trong loại cây thân cứng thì có cây thân tre, cây thân gỗ…, trong loại cây thân gỗ thì có cây táo, cây lê, cây mít…, trong loại cây táo thì có loại cây táo “ta”, cây táo “tây”… Từ đó mà ở một chừng mực qui ước nào đó, nhận thức có thể phân loại vạn vật, sắp xếp chúng thành những lực lượng đồng loại, riêng biệt một cách tương đối, phù hợp với biểu hiện về “chất” và “lượng” của hiện thực khách quan, đồng thời cũng tạo điều kiện thuận lợi hơn trong việc khảo sát, nghiên cứu để tiếp tục… nhận thức.

Về mặt số lượng, hiển nhiên rằng những lực lượng “vạn vật” ấy đều được hình thành nên từ những vật đơn chiếc được tập hợp lại, hay nói nôm na là gom lại. Khi gom lại mà không có được loại vật mà chúng ta cần để xây dựng nên lực lượng loại vật đó thì rõ ràng là không có lực lượng đó, hay chúng ta nói rằng lực lượng đó bằng không. Khi chỉ gom được một vật, loại chúng ta cần thôi thì chúng ta sẽ xây dựng được một lực lượng chỉ có một vật, hay có thể nói lực lượng đó bằng một đơn vị. Như vậy, để có được một lực lượng thì ít nhất phải có được một vật và lực lượng một đơn vị là lực lượng nhỏ nhất của mọi lực lượng có thể có, gồm loại vật mà chúng ta đang quan tâm đến. Cũng có thể nói đơn vị của một lực lượng là lực lượng nhỏ tuyệt đối làm nên lực lượng đó. Đơn vị tuyệt đối của một rừng cây là một cái cây. Chúng ta có thể chọn 2 cây làm đơn vị đếm và như chúng ta đã nói, đó là đơn vị tương đối của rừng cây đó. Nếu rừng cây là “lẻ” thì đếm theo đơn vị 2 cây sẽ không đếm hết được vì luôn bị dư một cây (nửa đơn vị), nhưng nếu rừng cây là hữu hạn thì sẽ luôn luôn đếm hết được khi dùng đơn vị tuyệt đối của nó. Trong cuộc đời chúng ta, chưa nghe thấy ai nói nửa cái cây là một cái cây hay một cái cây là sáu cái cây cả. Nếu chúng ta chọn nửa cái cây là đơn vị đếm thì chúng ta sẽ có một “đống” nửa cái cây chứ không phải một rừng một cái cây. Một con chim én có thể làm nên cả một mùa xuân, nhưng hai nửa con chim én may ra chỉ có thể làm nên… một chầu nhậu.

Một cái cây là đơn vị tuyệt đối của rừng cây và chỉ… thế thôi, chứ nó không thể là đơn vị tuyệt đối của những vật khác. Nếu chỉ quan tâm đến cái cây và về mặt số lượng thôi thì một cây cỏ hay một cây đa cổ thụ đều là đơn vị tuyệt đối của lực lượng cây và có thể viết:

1 cây cỏ = 1 cây đa cổ thụ

Hay bây giờ chúng ta không quan tâm tới cây nữa mà chỉ quan tâm tới những rừng cây. Muốn biết có bao nhiêu rừng cây, chúng ta phải đếm và vô hình chung, chúng ta đã chọn một rừng cây làm đơn vị để đếm chứ không bỗng dưng nổi cơn điên khùng chọn nửa rừng cây làm đơn vị. Đơn vị một rừng cây chính là đơn vị đếm nhỏ nhất tuyệt đối của lực lượng rừng cây. Khi đã có được tất cả các số đếm về lực lượng rừng cây (các số nguyên) rồi chúng ta có thể thực hiện các phép toán cộng, nhân (hoặc các phép toán lệ thuộc là trừ và chia) về những số lượng của rừng cây và nếu không phạm vào những sai lầm kỹ thuật trong quá trình tính toán thì đều có được những kết quả đúng đắn, chẳng hạn:

1 rừng cây + 1 rừng cây = 2 rừng cây

Không ai có thể cãi được kết quả tính toán đó, kể cả… Thầy Cãi. Tuy nhiên, nếu chúng ta muốn đồng thời quan tâm tới số lượng của cả rừng cây lẫn cái cây thì, vì mỗi rừng cây có một số lượng cây khác nhau nên kết quả ở trên mới chỉ đáp ứng được “một nửa” yêu cầu. Để biết được tổng số lượng cái cây sau khi cộng hai rừng cây thì chúng ta phải đếm số cây của mỗi rừng cây đó rồi làm bài toán cộng thứ hai nữa. Để đồng thời thấy được hai kết quả ấy, chúng ta tìm cách gộp hai bài toán đó làm một: Nếu a và b là số lượng của cây trong mỗi rừng cây thì chúng ta có thể viết:

1 rừng cây (có a cây) + 1 rừng cây (có b cây) = 2 rừng cây (có a + b cây)

Giả sử a = 1; b = 2, ta có:

1 rừng cây (1 cây) + 1 rừng cây (2 cây) = 2 rừng cây (3 cây)

Dân tộc Việt Nam có một câu tưc ngữ ví von rất hay:

Một cây làm chẳng nên non,

Ba cây chụm lại nên hòn núi cao.

Tuy nhiên, theo kết quả bài toán trên, 3 cây chụm lại chỉ nên được có… 2 rừng cây và nếu có cố lắm thì cũng chỉ nên được 3 rừng cây mà thôi.

Một yêu cầu nữa được đặt ra là làm sao cho bài toán trên gọn nhẹ hơn nữa để thuận tiện cho việc tính toán và mang tính tổng quát để có thể áp dụng cho vạn vật.

Giả sử chúng ta có lực lượng là một đống quả táo. Chúng ta muốn bán đống táo đó đi để mong thu được số tiền là T. Khách hàng là những người nội trợ, chẳng ai lại “rước” nguyên cả đống táo như núi đó về nhà mà ăn cả. Họ chỉ mua “lẻ” 5, 7 hay “chục” quả thôi. Để phục vụ cho yêu cầu chính đáng đó và đồng thời có thể bán được đống táo, chúng ta phải đếm đống táo đó (có lẽ bằng cách ước lượng!) rồi đem chia số tiền T cho số lượng táo đếm được, để có giá tiền của một quả và bán theo cách ấy. Thí dụ một quả có giá là 2 đồng, một khách hàng mua 7 quả, người đó phải trả cho chúng ta số tiền là:

7 quả x 2 đồng/quả = 14 đồng

Cách bán theo quả nảy ra một bất lợi là dù các quả táo có chất lượng như nhau thì cũng có độ to nhỏ (nặng, nhẹ) khác nhau. Những người mua trước sẽ chọn những quả to nhất để mua. Rốt cuộc còn lại toàn quả táo nhỏ và với giá như thế, những người mua sau cho là đắt và không mua nữa. Chúng ta không thể thu được số tiền T, thậm chí lỗ vốn vì bị ế quá nhiều.

Để khắc phục tình trạng có thể xảy ra đó, chúng ta chọn cách bán theo “ký” (kilôgam - một đơn vị tính khối lượng). Chúng ta nhẩm tính và xác định được giá tiền của 1 ký táo, giả dụ là: 6 đồng / một ký táo: Nếu có khách hàng mua 3 ký táo, họ sẽ không cần chọn quả to nữa mà chỉ muốn chọn quả “đẹp” theo ý thích (nghĩa là trong số quả táo họ chọn mua có cả quả to lẫn quả nhỏ), và họ phải trả số tiền là:

3 kg táo x 6 đồng/kg = 18 đồng

Để rút kinh nghệm cho những lần sau ước lượng chính xác hơn nhằm buôn bán tốt hơn, chúng ta phải quan tâm tới một đống táo to cỡ nào thì có bao nhiêu quả táo và một quả táo cỡ nào thì nặng bao nhiêu. Nếu một người nông dân có một đống táo cần bán “sa cạ” (bán “mão”, áng chừng mà bán), chúng ta sẽ phải nhờ đến kinh nghiệm để biết được đống táo ấy có bao nhiêu quả, (chẳng hạn 2.000 quả) và mỗi quả táo nặng bình quân là bao nhiêu (0,1 kg chẳng hạn) để biết được đống táo đó nặng bao nhiêu kg. Cụ thể ở đây là:

2.000 quả x 0,1 kg/quả = 200 kg

Nếu giá bán của chúng ta là 6 đồng/kg thì để kiếm lời và giả sử rằng bỏ qua mọi chi phí phụ (phí lưu thông, thuế…), chúng ta phải mua của người nông dân đống táo đó với giá thấp hơn 5,5 đồng/kg). Nghĩa là chúng ta mua được đống táo với số tiền 1.100 đồng, lãi 100 đồng. (Nếu trong suốt quá trình mua bán đó, chúng ta cũng phải xài tiền ăn uống để mà sống và số tiền đó là đúng 100 đồng thì rõ ràng là không “bõ công”. Thế nhưng nếu không biết kiếm tiền nhiều hơn bằng những công việc lương thiện nào khác thì thà cứ như vậy vẫn hơn đi ăn cướp hoặc đục khoét dù ban đêm hay ban ngày!).

Để đảm bảo mua đống táo của người nông dân mà không bị “hớ” (dẫn đến bán lãi ít hơn 100 đồng hoặc thậm chí là lỗ), tốt nhất là chúng ta biết được đống táo đó có chính xác bao nhiêu quả táo và mỗi quả táo cụ thể nặng chính xác là bao nhiêu. Gọi khối lượng đống táo là B, gọi khối lượng của mỗi quả táo là a_i (với i là số đếm quả táo), thì chúng ta sẽ có một đẳng thức:

Như vậy, để cùng một lúc viết được thông tin cả về khối lượng của đống táo, lẫn số lượng quả táo của nó cũng như khối lượng của từng quả táo, chúng ta có thể viết:

Và nếu viết như thế, thì để mô tả được số lượng quả táo của đống táo, mặc nhiên chúng ta thừa nhận rằng phép toán trong ngoặc đơn là không thể thực hiện được.

Ai cũng biết chúng ta đang nói về đống táo và chỉ táo thôi nên có thể ngầm hiểu bỏ thứ nguyên “đống táo” và cả “táo” ở trong ngoặc đơn đi. Ngoài ra, chúng ta có thể qui đổi đơn vị khối lượng từ kg sang “gam” hoặc “tấn” chẳng hạn thì đẳng thức toán học trên vẫn đúng. Tổng quát hơn, chúng ta đã quan niệm rằng “chất” cội nguồn của mọi “chất” làm nên vạn vật đều là Không Gian (KG) và có thể qui đổi về Không Gian nên có thể thay thế thứ nguyên kg thành KG và tương tự như đối với thứ nguyên “táo”, chúng ta loại luôn thứ nguyên KG khỏi đẳng thức trên mà không hề làm “tổn hại” đến nó, thậm chí nó còn được “tôn vinh” lên tầm cỡ là đẳng thức của vạn vật. Bất cứ “vật” nào cũng có thể được mô tả (về số lượng) như thế: B là lực lượng của vật, a_i là lực lượng những phần tử “bên trong” vật, làm nên thế giới nội tại của vật. Vì tổng lượng a_i luôn bằng tuyệt đối với lượng B nên a_i không bao giờ được lớn hơn B.

Có một điều kỳ lạ, khó phát hiện trong quá trình quan sát, liên quan đến nguyên lý bất định của Tự Nhiên (không phải nguyên lý Heisenberg trong Cơ học lượng tử, mà phổ quát hơn nhiều, đóng vai trò là một nguyên lý cơ bản của Tự Nhiên Tồn Tại, có thể phát biểu nôm na là: không thể cùng một lúc quan sát được ở mọi góc độ) là không thể trong cùng một thời điểm, có thể quan sát rõ ràng, chính xác được cả một phần tử lẫn tập hợp mà phần tử đó góp phần tạo nên, nghĩa là muốn thấy rõ ràng một cái cây thì không thấy rừng và muốn thấy rõ được rừng thì không thể thấy được một cái cây. Muốn thấy rõ được cả hai thứ ấy thì cần phải có thời gian đủ cho ít nhất là hai lần quan sát rồi “chập” chúng lại trong Thực tại ảo và có thể gọi phương thức quan sát như vậy là “Cái nhìn hồi ức” (Platon, hiền triết Hi Lạp cổ đại, có lẽ là người đầu tiên “đụng chạm” đến vấn đề này).

Nếu chúng ta chăm chú nhìn quả táo thì chẳng thấy hạt táo, ngược lại, nếu chúng ta chăm chú nhìn hạt táo (dù quả táo có trong suốt như pha lê chăng nữa) thì chúng ta không thấy được quả táo. Chỉ có thể thấy rõ được hai thứ đó “cùng một lúc” trong thực tại ảo bằng “cái nhìn hồi ức”. Không thể thấy rõ được trong thực tại hai mặt của tấm huy chương cùng một lúc. Bởi vậy mới có một trò chơi trên truyền hình là chiếu một đoạn phim ngắn trong một khoảng thời gian đủ ngắn và những người dự thi phải liệt kê hết được các vật hiện hữu trong đoạn phim đó. Người thắng cuộc là người liệt kê được nhiều vật nhất và rõ ràng là người đó đã có tốc độ quan sát nhanh nhất cũng như “cái nhìn hồi ức” tốt nhất. Còn nếu chiếu đoạn phim đủ chậm thì ai cũng thắng cuộc hoặc chẳng ai thắng cuộc cả vì trò chơi mà không có “thắng, thua” thì chả phải… trò chơi.

Chính vì thế mà ở biểu thức:

nếu coi B là thực thì

là ảo của B (và ngược lại). Và khi chúng ta tước bỏ thứ nguyên của biểu thức đó thì cũng đồng nghĩa với việc chúng ta đưa nó vào thế giới số (của Thực tại ảo) và ngắm nhìn nó, lúc này đã trở thành bà hoàng của các con số, bằng “cái nhìn hồi ức”. (Các nhà toán học đã không thấy được toàn bộ vẻ đẹp lộng lẫy và hồn nhiên, cũng như cái quyền uy cao vọi của “vị nữ hoàng” này đối với “thần dân” của “bà” trong thế giới số, nên cứ tưởng đó là một “mụ phù thủy” và đặt cho “bà” một cái tên hơi có phần phàm tục: số phức!).

Số phức được viết dưới dạng như trên đã là một bước nhảy vọt của nhận thức toán học trong việc mô tả số lượng và mối quan hệ của những số lượng biểu hiện ra trong hiện thực vạn vật. Tuy nhiên, hiện thực vạn vật không chỉ biểu hiện ra một cách hoàn toàn rời rạc đến “khủng khiếp” như thế mà còn biểu hiện ra tính liền lạc thống nhất của nó nữa. Nếu “nói về” một lực lượng gồm một số vật nào đó khác nhau hợp thành như đống táo, chồng gạch, đạo quân, động vật, bầu trời sao… thì biểu thức nói trên được áp dụng “không chê vào đâu được”. Nhưng nếu nói về những lực lượng mà nội tại của chúng “dưới tầm quan sát” được thấy như một khối liền lạc, thống nhất, không thể phân biệt được giữa các phần tử như một khối không khí, một khối nước, một viên gạch…, thì việc sử dụng biểu thức đó để diễn đạt e có phần khiên cưỡng, giả tạo. Đối với những lực lượng mà nội tại của chúng là không phân biệt được (đồng chất), hoặc tổng quát hơn, khi chúng ta qui tất cả thành Không Gian thì một cách tự nhiên phép tổng trong dấu ngoặc đơn phải được giải quyết đến triệt để, và có kết quả là B. Lúc này, số phức:

Một số phức như thế thì cũng là… số thực! Và nếu đưa nó ra khỏi thế giới số và quăng trả lại hiện thực vạn vật thì nó hiện nguyên hình là một vật B nào đó có nội tại như một khối liền lạc, không phân biệt được hoặc không thấy được nội tại của nó.

Ngay từ thời cổ đại xa xưa, con người đã nhận thức được đặc tính tương phản của thực tại khách quan. Họ đã coi đó như là đặc tính cơ bản nhất, đóng vai trò như một động lực làm xảy ra sự hình thành cũng như tiêu vong của vạn vật - hiện tượng, làm cho vạn vật - hiện tượng tồn tại được, vận động và biến hóa được. Nếu không có nóng thì cũng không có lạnh, không có sáng thì cũng không có tối, không có cứng thì cũng không có mềm, không có cao thì cũng không có thấp…, nói chung là không có tương phản thì không có phân biệt, do đó mà cũng không có “cái tôi”, không có Vũ Trụ, có nghĩa là không có gì cả. Suy nghĩ về sự vô hạn từng làm chúng ta choáng váng nhưng dù sao cũng không làm chúng ta “rợn tóc gáy” như khi suy nghĩa về sự “không có gì cả”!

Để diễn tả cái thế giới khách quan phô diễn đầy những “trái ngang” trong cái thân thể thống nhất của nó, người cổ đại Á Đông thuở ban sơ đã xây dựng nên một quan niệm tuy ngây thơ nhưng tuyệt đích: vạn vật - hiện tượng luôn được phân định thành đối ứng tương phản, lưỡng phân ra rồi lưỡng hợp lại, cứ thế mà vận động, xoay vần đến bất tuyệt. Trên cơ sở sơ khai ấy, Triết học cổ đại Trung Hoa đã đề ra những triết thuyết về một thế giới lưỡng nghi tương phản Âm - Dương, Thái cực - Bát Quái, Ngũ Hành tương khắc tương thành, hợp tình hợp lý pha trộn với khiên cưỡng dị thường. Dù sao thì cái quan niệm về một thế giới tương phản âm - dương, lưỡng phân lưỡng hợp đã như một chân lý sáng ngời, tồn tại xuyên suốt hàng mấy nghìn năm đến tận ngày nay.

Hai từ “âm” và “dương” đã trở thành không thể thay thế được trong triết học phương Đông và trong toán học thế giới. Nói đến âm - dương chúng ta lại nhớ đến AUM và lúc nào cũng có một ý nghĩ không cưỡng nổi rằng AUM chính là gốc xuất phát của tiếng “âm” nhưng cội rễ của cả hai tiếng ấy phải là ÂU. Khi ÂU được hiểu như một thể (một vế) trong mối tương phản đối ứng thì cũng xuất hiện một từ nào đó có âm hưởng là “dương” đóng vai trò như thể (vế) thứ hai trong mối tương quan đó. Nhiều người cho rằng âm “dương” trong tiếng Việt là phiên âm ra từ tiếng Hoa. Chúng ta không tin điều đó. Từ xa xưa, trên đất nước người Việt cổ đại đã có âm “dương”. Trong khoảng 200 năm TCN ở Bắc Bộ đã vang lên tiếng “An Dương Vương” và sâu tít mù tắp hơn nữa trong quá khứ, vào khoảng 3.000 năm TCN có thể cũng đã vang lên tiếng “Kinh Dương Vương”. Nếu thực sự vào khoảng 3.000 năm TCN, một thủ lĩnh bộ lạc tự đặt cho mình tên hiệu như vậy thì tiếng “dương” phải có ý nghĩa không bình thường chút nào và hơn nữa, trước đó nó đã được hiểu khá sâu rộng trong cộng đồng dân cư. Vậy thì phải chăng đã có một giai đoạn trước cả thời Kinh Dương Vương, tiếng ÂU đã có nghĩa là Đất (mặt đất) và Dương có nghĩa là Trời (mặt trời). Sau này nếu ÂU hàm nghĩa chung là tĩnh, tối, mềm, thấp… thì DƯƠNG hàm nghĩa chung là động, sáng, cứng, cao… Ở nhiều dân tộc thiểu số ở Việt Nam ngày nay, người ta vẫn gọi trời là Giàng, ở đồng bằng Bắc Bộ, có những nơi vẫn gọi là Giời (và gọi Trăng là Giăng). Trong tiếng Việt hiện đại, vẫn còn rất nhiều âm “ương” (hoặc “ang”) mang đầy “dương tính”. Chúng ta liệt kê một “mớ” ra đây cho vui:

Giường (nằm), dương (cung), tương (ném), vương (vua chúa).

Cường (mạnh), cương (cứng), giàn(g) (treo), nương (thời mẫu hệ là dương tính), lang (thời phụ hệ là dương tính), hướng (nhìn về), vượng (sung túc lên, trội lên), (bức) tường, đường (đi), sướng, vướng (víu), tướng (quân), (thần) tượng, cưỡng (chế), gượng (dậy), (phần) thưởng, đương (đầu), (dưới) trướng, bướng (bỉnh), chướng (ngại vật), ngưỡng (cửa), nướng (thịt)…

Theo quan niệm về một thế giới âm - dương tương phản, tương hợp thì vạn vật - hiện tượng được sinh thành từ tác động lẫn nhau của các lực lượng âm và dương, một vật tồn tại và sống động là vì nó có một nội tại gồm 2 lực lượng tương phản âm dương tương tác nhau, chuyển hóa qua lại nhau, hòa quyện quấn quýt vào nhau. Khi sự liên kết âm dương trong nội tại vật bị phá vỡ thì vật đó chấm dứt tồn tại (để rồi từ đó mà sinh thành ra (những) vật khác). Dựa trên quan niệm này, một khi không cần quan tâm tới hoặc chưa xác định được số lượng phần tử trong nội tại một vật, chúng ta có thể biểu diễn (về mặt lực lượng) vật đó với nội tại gồm 2 lực lượng âm, dương. Nếu một vật có tổng lực lượng là B, có nội tại gồm hai lực lượng âm - dương là

và

thì chúng ta có thể biểu diễn:

Đưa biểu diễn đó vào thế giới số, chúng ta sẽ có được một số phức “tuyệt cú mèo” với:

B là một số thực biểu diễn lực lượng toàn phần:

là lực lượng dương trong nội tại của B

là lực lượng âm trong nội tại của B

+ là biểu diễn sự tương hợp của hai lực lượng nội tại, nhưng vì hai lực lượng đó đồng thời cũng tương phản, phân biệt được như là hai thể của một mối quan hệ lưỡng nghi thống nhất nên coi như phép cộng không thực hiện được.

Chúng ta có thể nêu ví dụ về hai dạng biểu diễn của số phức. Đối với dạng thứ nhất, chẳng hạn có 1 kg gà, 2 kg lợn, 5 kg bò, 8 kg voi, 7 kg bánh mì và gom chúng thành một lực lượng, chúng ta sẽ có một tổng lượng là:

và nội tại của lực lượng đó là:

1kg gà + 2kg lợn + 5kg bò + 8kg voi + 7kg bánh mì

Để cùng một lúc có thể quan sát được cả thực lẫn ảo (cả bên trong lẫn bên ngoài của lực lượng B, chúng ta phải dùng cách viết số phức (C):

C ≡ B (1 gà + 2 lợn + 5 bò + 8 voi + 7 bánh mì) kg

Thấy ngay rằng phép cộng trong dấu ngoặc (phần ảo) là không thực hiện được. Nhưng trong thế giới số, các thứ nguyên bị loại bỏ và nếu không có sự “cưỡng bức” của qui ước thì việc không cộng được của bài toán cộng giản đơn trong dấu ngoặc sẽ trở nên cực kỳ phi lý, do đó phải có:

B (1 + 2 + 5 + 8 + 7) = B (23) = 23 (23)!

Hay viết cho trường hợp tổng quát:

C ≡ B (B)

Có ai chịu nổi cách viết một số nguyên như thế không? Chắc là không rồi cho nên chúng ta tiếp tục suy nghĩ. Giả sử rằng lực lượng B được đem đi xay nhuyễn rồi cho tất cả vào một cái nồi và nấu nhừ. Lúc đó chúng ta mất khả năng phân biệt đâu là gà, đâu là lợn,… nữa. Nhưng chúng ta vẫn biết được rằng dù thế nào chăng nữa thì nội tại của B cũng phải do hai lực lượng âm và dương tương phản tương hợp, tạo dựng nên, hơn nữa, vì B là một số (nguyên) trung tính (không âm không dương hoặc âm dương triệt tiêu nhau) cho nên hai lực lượng âm và dương đó phải bằng nhau. Đến đây, chúng ta đã có thể biểu diễn lực lượng B theo dạng thứ hai của số phức:

Nếu cho rằng các dấu “+”, “-“ trên đầu mỗi số trong phần ảo cũng là những thứ nguyên thì phép cộng trong đó là không thể thực hiện được, còn nếu không thì sẽ phải thực hiện được. Khi phép cộng được thực hiện thì phần ảo của C sẽ là:

và:

Đó là một số nguyên thực thụ và từ đây chúng ta thấy, khi xuất hiện số phức thì việc qui ước cách viết số nguyên cũng là một số dương thật là “lọng ngọng”. Giả sử có 2 con số 8, nếu chưa thấy được nội tại của chúng thì chúng ta cũng không thể xác định được chúng mang tính gì, âm, dương hay trung tính, bởi vì nếu biểu diễn chúng dưới dạng số phức, chúng có khả năng là một trong những số sau đây:

Rõ ràng, cũng là số 8 thôi nhưng nếu ở dạng:

C₁ thì nó toàn âm (thuần âm)

C₅ thì nó trung tính (không âm không dương, âm dương bằng nhau)

C₉ thì nó toàn dương (thuần dương)

C₂ hay C₃ thì nó lưỡng tính (vừa âm, vừa dương), nhưng nếu so sánh giữa chúng thì C₂ được gọi là âm hơn C₃ (hoặc C₃dương hơn C₂)

Sự xuất hiện ra một cách tự nhiên những khái niệm “âm hơn”, “dương hơn”, “lưỡng tính”, “vô tính” (trung tính) chắc chắn sẽ làm cho thế giới số xích gần hơn nữa trong việc mô tả những biểu hiện về mặt số lượng của Thực tại Khách quan. Và ngay cả ở đây nữa, khi so sánh C₁ với C₉, chúng ta cũng thấy là khác dấu nhưng chúng bằng nhau về lực lượng. Việc quan niệm số âm nhỏ hơn số dương là một sai lầm “quá cỡ thợ mộc”, và khi cứ khăng khăng rằng số -3 nhỏ hơn số -2 thì đó là một sự “kỳ thị đồng chủng tộc” hết sức “đau thương”

Khi chúng ta cộng hai số 8 đó với nhau, chúng ta sẽ có một lực lượng thực là 16. Tuy nhiên chúng ta không thể xác định được nó mang tính gì (đực, cái hay vừa đực vừa cái hoặc có thể nào đực mà như cái và cái mà như đực?). Điều đó cho thấy khi số phức đứng một mình, không tham gia vào quá trình tính toán nào (tương tự như một vật trong Thực tại được coi như bị cách ly hoàn toàn với xung quanh) thì sẽ không bao giờ biết được “giới tính” của nó hoặc “giới tính” của nó là mang dấu của lực lượng trội hơn trong nội tại tương phản âm - dương của nó. Khi “giới tính” bộc lộ ra từ nội tại (phần ảo) của số phức không được môi trường chứa nó (thế giới số) qui ước, chấp nhận thì “giới tính” đó chỉ có hiệu lực trong thế giới nội tại, còn đối với thế giới bên ngoài thỉ chỉ là “đồ bỏ đi”. Chẳng hạn, chúng ta có: C₁+ C₉ thì:

Nếu chúng ta cho rằng tính âm, dương trong nội tại các số phức đó là đồng thuận với qui ước âm, dương của môi trường chứa nó thì theo toán học:

(Hai lực lượng tương tác nhau và cùng biến mất khỏi “đấu trường”)

Tuy nhiên, Tồn Tại luôn là Tồn Tại, dù vạn vật có tương tác nhau làm cho nhau “te tua” đến mấy, “đày đọa” nhau qua bao nhiêu “lận đận bể dâu” đi chăng nữa thì về mặt lực lượng, chúng vẫn phải “chịu phép” nguyên lý bảo toàn Không Gian. Do đó, kết quả cũng phải là:

Số 16 đó là trung tính trong môi trường chứa nó và được môi trường qui định dấu tương phản.

Như chúng ta đã biết, biểu hiện tương phản trong Thực tại khách quan rất đa dạng, nào là cao - thấp, tiến - lui, nóng - lạnh…, nào là hút - đẩy, công - thủ…, và cũng có vô vàn mức độ như nóng thì có: nóng rực, ấm…, lạnh thì có: lạnh toát, lạnh cóng, lành lạnh, mát… Do đó mà tính tương phản trong thế giới nội tại của một vật (phần ảo của một số phức) chưa chắc đã đồng thuận với tính chất tương phản và sự qui ước dấu tương phản của môi trường (khu vực số chứa số phức). Biểu hiện tương phản của Thực tại khách quan là phong phú và đa chiều như thế, nhưng khi chúng ta qui ước sự tương phản lại chỉ bằng một cách chung nhất là âm - dương, rồi đưa nó cùng với những biểu hiện của vạn vật - hiện tượng dưới dạng số lượng cũng như những biến hóa của số lượng vào thế giới số, thì đó là một việc vô hình dung đã làm cho tính tương phản trong thế giới số trở nên đơn điệu, siêu hình và gây ngộ nhận. Chẳng hạn nếu không có qui ước thì không thể viết được:

hoặc:

Chỉ khi đã thông qua một hệ thống qui ước nào đó cho phép dấu âm, dương trong thế giới nội tại cũng là dấu âm, dương của thế giới bên ngoài hoặc ngược lại thì mới có thể viết được như trên hoặc trường hợp ngược lại thì phải đổi dấu:

Nhưng đối với

trong trường hợp qui ước trùng dấu và trái dấu thì phải viết như thế nào? Phải chăng là thế này:

hoặc:

Để thuận tiện, từ nay chúng ta theo qui ước trùng dấu và làm lại bài toán cộng

với

Nếu không tuân theo nguyên lý bảo toàn ( nghĩa là tuân theo luật trội - lặn, những lực lượng trung tính đều lặn xuống, bị loại khỏi thế giới tương phản) thì kết quả sẽ là:

Nếu tuân theo nguyên lý bảo toàn thì kết quả sẽ phải là:

Đó là dạng một số phức vô tính (trung tính).

Chúng ta cho rằng cách tính sau thỏa đáng hơn cách tính trước, mô tả Thực tại chính xác hơn và số phức trở thành tổng quát bao hàm tất cả các số tự nhiên, nguyên, hữu tỷ, vô tỷ và số thực. Quá trình tính toán ở cách thứ hai cũng cho thấy rằng khi N là một số “tự do” (nguyên, hữu tỷ, vô tỷ, thực) thì nó cũng bao hàm cả số phức, nghĩa là:

Và hiện tượng này đã làm bộc lộ một tính chất rất kỳ lạ của Thế giới số: trong những “điều kiện và hoàn cảnh” nhất định nào đó, thế giới số nào cũng bao hàm thế giới số nào, nghĩa là có một thế giới số duy nhất nhưng cũng có vô vàn thế giới số. Vô vàn thế giới số hòa quyện vào nhau thành một thế giới làm cho quan sát khó lòng phân định được một cách dứt khoát và chỉ có thể phân định được tương đối một cách có qui ước và lựa chọn thành những “cương vực lãnh thổ”, chẳng hạn như: khu vực số nguyên, khu vực số lũy thừa, khu vực số thập phân nhỏ hơn 1…

Vì một thành phần ảo của một số phức cũng có thể là một số phức và một số phức có thể là thành phần ảo của một số phức lớn hơn, cho nên số phức nhỏ nhất tuyệt đối và lớn nhất tuyệt đối mà Tự Nhiên Tồn Tại có thể biểu hiện ra được trước quan sát (nghĩa là vẫn còn tính lực lượng) là

(hạt KG) và

(Vũ Trụ).

Vậy, nếu

là số phức chỉ Vũ Trụ thì có thể viết:

Thì có thể biểu diễn số lượng tuyệt đối của Vũ Trụ là:

Với hai biểu thức trên, chúng ta cho rằng công việc xây dựng một thế giới số của mình đã tạm coi như xong. Nhưng đó có phải là công trình của một lũ điên không khi toán học chắc rằng sẽ không thừa nhận nó? Xung quanh vắng lặng như tờ. Loài người đã ở cách chúng ta quá xa, có lẽ bằng khoảng nửa chiều cao của ngọn núi Tu Di, và vẫn đang bận tâm với những vấn nạn thường nhật còn nhiều đau thương trong thế giới của họ. Chúng ta đành tự trả lời rằng: có thể lắm!

Ừ nhỉ, nói đến độ cao thì một cách hồn nhiên, phải nghĩ ngay đến một độ cao bằng 0. Ở Trái đất, loài người thường qui ước độ cao bằng 0 là mặt nước biển. Như vậy đã làm xảy ra hiện tượng có số đo độ cao nhỏ hơn 0, trong khi chúng ta quan niệm rằng không thể có “số” nào nhỏ hơn 0 được và trực giác cũng mách bảo rằng độ cao nhỏ hơn 0 dù sao cũng là một lực lượng có thực (số thực) hẳn hoi chứ không nhỏ hơn 0 một cách tuyệt đối. Vậy thì phải hiểu điều đó như thế nào và thể hiện nhỏ hơn 0 một cách tương đối như thế nào? Ôi, hệ thống khái niệm của con người sao mà nghèo quá và nghịch lý trên con đường nhận thức toán học sao mà ngổn ngang, nhiều thế! Biết làm sao được khi đó cũng là một “vốn dĩ thế” của Tự Nhiên, và con người không còn cách nào khác là phải cố gắng mà vượt qua nếu còn muốn đi tìm chân lý. Xét cho cùng thì nghịch lý có thể “có hại” cho người này, người kia nhưng hoàn toàn có lợi cho nhận thức của loài người. Nhà bác học nổi tiếng người Mỹ là C. J Davisson (1881 - 1958) đã từng nói một câu bất hủ: “Ở tất cả mọi thời đại, mọi thời điểm của quá trình tiến hóa, mỗi khi toán học lâm vào khủng hoảng là y như rằng một ý tưởng mới lại xuất hiện để cứu vãn nó. Cho nên, xin đừng sợ hãi các nghịch lý, bởi lẽ, từ những nghịch lý hóc búa nhất sẽ nảy sinh những lý thuyết tuyệt diệu nhất”.

Toán học qui ước rằng độ cao trên mực nước biển là dương (lớn hơn 0) và độ cao dưới mực nước biển là âm (nhỏ hơn 0). Có thể qui ước như thế nhưng không nên hiểu rằng âm là nhỏ hơn 0. Độ cao “thấp” hơn 0 không phải vì nó nhỏ hơn 0 mà vì trở thành một lực lượng tương phản với độ cao qua mực 0 và có tên gọi riêng là “độ sâu”. Lực lượng nhỏ nhất của độ cao và độ sâu đều là đơn vị tuyệt đối của chúng và khi so sánh hai đơn vị đó thì chúng tương phản với nhau qua mực 0 và luôn lớn hơn 0 (do sự quan sát qui ước!).

Sự ra đời của số phức cho chúng ta thấy được một điều hay ho nữa là tất cả các bài toán số học và lời giải của chúng đều có thể được coi như xuất hiện và xảy ra trong phần ảo của một số phức nào đó (trong nội tại của một lực lượng nào đó). Chẳng hạn có bài toán:

Chúng ta có thể viết:

Nếu ai đó viết:

hay:

Nhưng nếu viết:

thì đó là một số phức có nội tại (phần ảo) gồm hai lực lượng thập phân:

Trong thế giới số của chúng ta , nhờ có qui ước

và sự xuất hiện của số phức mà việc giải toán (có thể) là được cải thiện ít nhiều. Chẳng hạn có phương trình bậc hai tổng quát sau:

với a, b, c là những số thực

Chúng ta đã biết có thể biến đổi nó thành dạng:

là hai nghiệm của phương trình bậc hai tổng quát.

Cũng có thể viết:

Nếu coi vế trái là thành phần ảo của một số phức nào đó, thì có thể viết:

Cho dù

có là số dương, số âm hay số 0 thì cũng chỉ có 2 nghiệm trên mà thôi và nhớ rằng x luôn trái dấu với lực lượng hợp với nó để thành một hệ lưỡng nghi.

Đối với bài toán

thì vì có thể viết:

Nên không “oong đơ” gì hết,

phải bằng

và đó cũng là nghiệm duy nhất của phương trình. Còn nếu viết được

thì khi đó sẽ có 2 nghiệm là

và

, vì:

Trước đây chúng ta không bao giờ giải được bài toán:

một cách tường minh, nhưng bây giờ thì thật là quá đỗi dễ dàng:

¯¯¯

Thế giới số C không những mách bảo cho chúng ta về một Thực tại khách quan tương phản về tính chất (âm - dương) mà còn tương phản về qui mô lực lượng (nghịch đảo).

Đối với hai số lượng bằng nhau về qui mô lực lượng nhưng tương phản âm - dương thì khi tổng hợp chúng lại, chúng sẽ mất tính tương phản (làm xuất hiện kết quả bằng 0). Nếu có hai lực lượng âm dương bất kỳ là a và b và có a + b = c thì chúng ta nói a, b tương phản âm - dương qua c. Mọi mối tương phản âm - dương đều có thể qui về tương phản âm - dương qua mốc O và còn gọi đó là tương phản âm - dương cơ sở: chẳng hạn có a + b = c suy ra cũng có a + (b – c) =…= 0.

Đối với hai số lượng có qui mô trái ngược nhau trong mối tương phản nghịch đảo, cùng dấu âm - dương (hoặc khác dấu) thì khi tích hợp chúng với nhau, sẽ cho ra lực lượng đơn vị, nghĩa là cho ra kết quả bằng 1 (hoặc

Nếu có a x b = 1 thì phải có

hoặc

và chúng ta nói a (hoặc b) là lực lượng nghịch đảo qua mốc 1 của b (hoặc a). Khi nhân chúng với nhau, bao giờ cũng có kết quả là 1.

Nếu có a x b = c thì a (hoặc b) là lực lượng nghịch đảo của b (hoặc a) qua mốc c. Tất cả các mối tương phản nghịch đảo đều có thể chuyển về mối tương phản nghịch đảo qua mốc 1 và chúng ta nói đó là mối tương phản nghịch đảo cơ sở của thế giới tương phản nghịch đảo. Có:

Nếu có một lực lượng là B, chúng ta có thể biểu diễn nó dưới dạng số phức:

Vì

là phần tử trong nội tại của B, góp phần làm nên B, nên về mặt giá trị tuyệt đối (giá trị không âm không dương, ký hiệu

luôn nhỏ hơn

và chỉ bằng

khi nó là phần tử duy nhất.

Như vậy ở bên ngoài B (trong môi trường chứa B) sẽ có một lực lượng các phần tử tương ứng với

và lớn hơn

, gọi là

, sao cho:

Nghĩa là

và

tương phản nghịch đảo với nhau qua B.

Vì có thể viết

, nên cũng có thể viết:

là tương phản nghịch đảo của

qua mốc B. Từ mối tương phản nghịch đảo này, có thể chuyển về mốc tương phản nghịch đảo cơ sở (qua mốc 1):

Giả sử có:

Đơn giản hơn, giả sử có:

thì luôn có:

, nghĩa là không thể chọn a, b một cách tùy tiện.

Từ đó có thể suy ra là khi

(hằng số) thì:

là điều kiện tiên quyết.

Nếu đó là phần ảo của số phức đơn vị thì x=6, do đó

Trong thế giới số, chúng ta có thể chọn bất cứ lực lượng nào làm đơn vị (gọi là đơn vị tương đối). Nếu có:

với a_i là những phần tử nội tại của B nên luôn nhỏ hơn B và

luôn nhỏ hơn 1 (hoặc chỉ bằng 1 khi a_i là phần tử duy nhất của B).

Trong thế giới số, phần ảo của số phức đơn vị có thể có số phần tử hữu hạn hoặc vô hạn tùy theo qui ước. Tuy nhiên trong Thực Tại khách quan, dưới góc độ nhìn Vũ Trụ là hữu hạn nhưng vô biên thì đơn vị nhỏ nhất tuyệt đối của nó chính là

(hạt KG) và đơn vị lớn nhất tuyệt đối của nó chính là

(bản thân Vũ Trụ).

Trong mối tương phản nghịch đảo thì

dù đã là đơn vị nhỏ nhất tuyệt đối thì nó vẫn có nội tại khác 0 và

, dù đã là đơn vị tuyệt đối lớn nhất thì vẫn phải có một lực lượng bên ngoài nó (môi trường chứa nó), tương phản qua gốc

với lực lượng trong lòng nó. Hiểu như thế nào về nghịch lý này và “đạp bằng” nó như thế nào?

Một Vũ Trụ hữu hạn nhưng vô biên thì cũng là một Vũ Trụ vô hạn nhưng hữu biên. Một Vũ Trụ nước đôi như thế là một Vũ Trụ không có trong mà cũng chẳng có ngoài, đồng thời vừa có trong vừa có ngoài, trong và ngoài của Vũ Trụ trong vai trò là tương phản thực và ảo của nhau, “chập” vào nhau, bộc lộ ra trước quan sát và nhận thức đặc tính tương phản đối ứng của Tự Nhiên Tồn Tại. Nếu Tự Nhiên Tồn Tại không có đặc tính tương phản thực - ảo và sự đan xen, lồng vào nhau, chồng chập nhau của hai thể Thực và Ảo ấy thì chắc chắn không bao giờ có sự quan sát và nhận thức, nghĩa là cũng chẳng bao giờ xuất hiện được loài người biết tư duy trừu tượng.

Nếu gọi số lượng

là N, chúng ta có thể dùng số phức để biểu diễn Vũ Trụ số lượng:

Khi đem

chia cho chính nó thì sẽ thu được kết quả là j (số 1 tuyệt đối). Do đó có thể viết:

Đến đây, một hiện tượng vô tiền khoáng hậu và có lẽ là điều kỳ diệu nhất của Tự Nhiên Tồn Tại đã hiện ra trong hoang tưởng của chúng ta. Chúng ta viết lại hai biểu thức:

và

rồi nhận xét:

- Nếu có môi trường chứa

thì môi trường đó phải tập hợp thành một lực lượng tương phản nghịch đảo với lực lượng nội tại của

qua mốc

, nghĩa là phải có:

suy ra:

chính là lực lượng của môi trường chứa

(hạt KG chứa Vũ Trụ!).

Hạt KG lớn bằng Vũ Trụ (và trùng với Vũ Trụ). Hoặc nếu đứng trong nội tại hạt KG mà “nhìn ra” ngoài nó thì sẽ thấy bản thân nó chính là Vũ Trụ, còn Vũ Trụ chính là vô vàn các hạt KG (bằng

) !

Tự Nhiên Tồn Tại quả là chứa chấp quá nhiều nghịch lý vĩ đại. Nhưng đó lại là vốn dĩ thế. Nguyên lý đầy đủ và bản chất tương phản của Tự Nhiên Tồn Tại chỉ ra rằng đã có cái lôgíc thì cũng có cái không lôgíc, đã có không nghịch lý thì cũng phải có nghịch lý, và chúng là hai thể tương phản nhau trong một sự thống nhất lưỡng nghi. Sống trong một môi trường thiên nhiên “chật hẹp” đã làm cho con người bị lừa mị bởi trực giác “thiển cận” của họ, để rồi đã có một thời gian dài trong lịch sử họ đã phân vân và thậm chí là hoang mang trước câu hỏi: “con gà có trước hay trứng gà có trước?”.

Hãy đừng sợ một thế giới nghịch lý vì chính một thế giới không nghịch lý mới đáng sợ bởi tính đơn điệu, nghèo nàn và buồn chán của nó. Cũng đừng nghĩ rằng thế giới nghịch lý là bấp bênh, và gây ra sự đỗ vỡ lòng tin, vì rất may là quan sát và nhận thức không thể cùng một thời điểm thấy rõ cả cây và cả cánh rừng. Ở mỗi góc độ quan sát nhất định, cùng với những qui ước thỏa đáng, nhận thức vẫn gặt hái được những thành quả mỹ mãn, phi nghịch lý.

Chúng ta nghĩ rằng, con đường nhận thức là con đường mà con người phải cố gắng hiểu được Thiên nhiên để sống còn. Trên con đường ấy, con người không thể không nhận thức một cách toán học những biểu hiện về mặt số lượng và những chuyển hóa về số lượng của Thiên nhiên. Không có toán học, triết học trở nên “đáng ngờ”. Nhưng bản thân toán học là “gã đắc lực nhưng chưa hoàn hảo” cho nên mới xuất hiện những ngành khoa học tự nhiên khác. Có thể nói, nếu không có toán học thì không những triết học “lạt như nước ốc” mà các ngành khoa học tự nhiên khác như vật lý học, hóa học, địa lý học… không thể tồn tại được. Toán học, bản thân nó không thể giải thích được mọi hiện tượng Thiên nhiên, nhưng là bà đỡ cho mọi ngành khoa học tự nhiên cũng như khoa học kinh tế - xã hội ra đời. Chính điều đó làm cho chúng ta cảm tác:

Ta viết bài ca ngàn năm thương người

Mang nặng đẻ đau ra bầu trời Toán học

Trong sáng lắm mà mịt mờ cũng lắm

Nghịch lý giăng mây làm chân lý lung linh…

Thế giới số là cả một vườn mênh mông đến vô hạn những kỳ hoa dị thảo, cho nên chúng ta tiếp tục vui lạc trong thế giới ấy để quên đi nỗi nhọc nhằn của công cuộc leo trèo chinh phục núi Tu Di.

Cho đến đây thì vì đã phát hiện ra loại tương phản nghịch đảo trong Thế giới số, nên tương phản âm - dương đã không thể đóng vai trò như một khái niệm có tính tổng quát để nói về những biểu hiện đa dạng của tương phản trong Thực tại khách quan nữa. Để đỡ lầm lẫn và ngộ nhận, chúng ta đưa ra khái niệm tương phản thực - ảo để nói một cách tổng quát về đặc tính tương phản của Tự Nhiên Tồn Tại. Nghĩa là từ nay, mọi dạng (hay loại) tương phản của Tự Nhiên hay trong Thế giới số đều là tương phản thực - ảo và chúng hợp thành nội hàm của khái niệm tương phản thực - ảo.

Khi có hai lực lượng tương phản nhau, nếu chúng ta qui ước một lực lượng là thực thì lực lượng kia là ảo. Do qui ước có tính tự do nên nhận thức có thể chọn bất cứ số lượng nào làm mốc tương phản thực - ảo và thông thường đều cho rằng lực lượng tương phản ảo là nhỏ hơn (ít hơn) lực lượng tương phản thực. Nhận thức đó không phải lúc nào cũng đúng.

Khi chọn mặt nước biển có độ cao bằng 0 thì rõ ràng dưới mặt nước biển có độ cao nhỏ hơn 0 và với bất kỳ một trị số nhỏ hơn 0 nào cũng có một trị số lớn hơn 0 tương ứng với nó (có trị số tuyệt đối bằng nhau), khi đem tổng hợp với nó thì gây ra hiện tượng bù trừ, đưa đến kết quả bằng 0. Có thể tưởng tượng 0 là một trị số vừa có độ cao

(lớn hơn 0) vừa có độ cao

(nhỏ hơn 0) và mặt biển chính là “ranh giới” phân chia hai lực lượng độ cao ra thành hai bộ phận hợp thành mối quan hệ tương phản lưỡng nghi là âm và dương. Tưởng tượng ra như vậy sẽ không gây ra nghịch lý nếu coi mặt biển là phẳng tuyệt đối (có độ cong bằng 0) còn nếu không (chẳng hạn mặt biển là mặt cầu!) thì sẽ gây ra những ảo tưởng kỳ quặc (và dẫn đến những suy tư kỳ diệu trong toán học!!!).

Tuy nhiên nếu chúng ta không quan tâm tới độ cao nữa mà chỉ chú trọng đến độ sâu thôi thì rõ ràng độ cao nhỏ hơn 0 nói ở trên sẽ thành độ sâu lớn hơn 0 và độ cao lớn hơn 0 trở thành độ sâu nhỏ hơn 0. Điều này cho thấy một lực lượng tương phản trong mối tương phản âm - dương, nhỏ hơn hay lớn hơn lực lượng tương phản đối ứng với nó chỉ là do qui định, quan điểm, cách nhìn nhận chủ quan của (hệ) quan sát; chứ thực ra, chúng bằng nhau về lực lượng một cách tuyệt đối.

Thế nhưng tình hình sẽ khác đi đối với hiện tượng tương phản nghịch đảo. Lực lượng này luôn lớn hơn (hay nhỏ hơn) lực lượng kia trong hai lực lượng làm nên mối tương phản đối ứng nghịch đảo là một hiện tượng trong thế giới số (hiện tượng của thực tại ảo!).

Biểu hiện của Thực tại khách quan đã cho phép Thế giới số được tự do lựa chọn giữa hữu hạn và vô hạn cũng như tự do lựa chọn bất cứ một lực lượng (số đếm) nào làm mốc trong mối quan hệ tương phản âm - dương, hoặc mốc trong mối tương phản nghịch đảo. Những mốc lựa chọn chủ quan ấy được chúng ta gọi là những mốc tương phản tương đối. (Về vấn đề này, chúng ta đã có lần “vui vẻ” đề cập đến nên có lẽ cũng không nên nói nhiều nữa!).

Bây giờ, chúng ta nêu ra vài thí dụ cụ thể để… cũng chỉ cho vui mà thôi:

- Đối với tương phản âm - dương, giả sử rằng chúng ta chọn số đếm 3 làm mốc tương phản thì một cách tự nhiên sẽ có những lực lượng lớn hơn 3 là (tính số đếm thôi): 4, 5, 6… và kéo theo phải có những số tương phản để khi tổng hợp với chúng sẽ có kết quả là 3. Do đó, dễ dàng viết được (với dấu

biểu thị là mốc tương phản):

Nếu chọn

làm mốc tương phản âm dương thì phải chọn rằng những lực lượng lớn hơn

là

… và ta viết:

Đó là những mốc tương phản tương đối hay như chúng ta từng nói trước kia là mốc tương phản không hoàn toàn.

Nếu ta cho rằng mốc 3 (hoặc

) là mốc O thì các lực lượng 4, 5, 6… (hoặc

, …) phải biến thành 1, 2, 3 … (hoặc

…), để rồi phải có những lực lượng tương phản với chúng là

… (hoặc 1, 2, 3…). Chúng ta đã gọi mối tương phản âm - dương qua gốc O là tương phản hoàn toàn (hoặc có thể gọi là mối tương phản âm - dương tuyệt đối, trong qui ước).

Chúng ta có thể viết mô tả cùng một lúc sự biểu hiện của 3 mối tương phản vừa nêu để thấy được sự “chằng chịt” tương phản trong thế giới âm – dương, như sau:

Từ gốc O, nếu chúng ta đi theo chiều âm thì trong Thế giới số, sẽ đi đến âm vô hạn (hay nhỏ vô hạn theo qui ước), và tương tự, nếu chúng ta đi theo chiều dương, sẽ đi đến dương vô hạn (hay lớn vô hạn theo qui ước). Trong mối quan hệ tương phản âm - dương, nếu qui ước nhỏ vô hạn là nhỏ hơn O thì đó là một qui ước sai lạc hoàn toàn, mà chỉ có thể qui ước nhỏ vô hạn là so với chiều dương (hay lớn vô hạn là so với chiều âm) được thôi. Cho nên nhỏ vô hạn theo qui ước trong mối tương phản âm - dương, cũng như trong bất cứ mối quan hệ nào khác thì một cách tuyệt đối, vẫn luôn phải nhận mốc O làm giới hạn. Vậy từ O đi theo chiều âm đến nhỏ vô hạn thì chính là đi “một vòng” về lại gốc O. Mặt khác, đối với thế giới tương phản âm - dương thì chiều âm - dương là do quan sát qui định, nên quan sát có thể tùy tiện đổi chiều âm - dương cho thế giới ấy. Như vậy, tùy theo quan điểm của quan sát mà một chiều tương phản có thể là lúc thì tiến tới âm vô hạn, lúc thì tiến tới dương vô hạn, hay có thể nói tiến tới vừa âm vô hạn vừa dương vô hạn; Vừa âm vô hạn vừa dương vô hạn chỉ có thể là 0, vì thế đi theo chiều âm hay dương vô hạn thì rút cục cũng phải “qui căn” về gốc O, nhận O làm giới hạn (rồi muốn đi tiếp như “đèn cù” thì cứ việc và cuộc đi vĩnh cửu chỉ có thể là sự lặp lại một cách “định kỳ” mà thôi!).

- Đối với tương phản nghịch đảo, đầu tiên, chúng ta cũng chọn số 3 làm mốc tương phản, và lập luận tương tự như đã trình bày ở trên, chúng ta cũng xây dựng được mối tương phản nghịch đảo sau:

Nếu số 3 đó là dương thì hai vế tương phản là đồng dấu, nếu là âm thì hai vế đó khác dấu, và đó là những sự tương phản nghịch đảo không hoàn toàn (hay tương đối).

Còn nếu chúng ta cho rằng mốc 3 đó là mốc 1 thì mối tương phản trên sẽ phải chuyển hóa thành mối tương phản nghịch đảo sau đây:

Chúng ta đã từng gọi sự tương phản nghịch đảo qua 1 là tương phản nghịch đảo hoàn toàn (hay gọi cách khác nữa là tương phản nghịch đảo tuyệt đối theo qui ước).

Đối với một mối tương phản nghịch đảo qua gốc 1, nếu ta nhân tất cả các giá trị tương phản đối ứng cho một số a bất kỳ, còn gốc 1 với a², thì sẽ có được một mối nghịch đảo qua a². Chẳng hạn chúng ta chọn số a là 3, sẽ có mối tương phản nghịch đảo qua gốc 3² là:

Nếu ta nhân gốc 1 của mối tương phản nghịch đảo hoàn toàn với a³ và các số của một trong hai vế trương phản với a² và của vế kia với a thì ta được mối tương phản nghịch đảo qua a³.

Nói chung, nhìn ở góc độ Vũ Trụ là hữu hạn nhưng vô biên, thì đơn vị nhỏ nhất tuyệt đối của tổng lực lượng Vũ Trụ là hạt KG hay

. Hạt KG là thực thể tuy nhỏ cùng cực nhưng vẫn lớn hơn

(ký hiệu chỉ số 0 tuyệt đối, nhưng không đồng nghĩa với Hư Vô!), do đó nó có một nội tại và nội tại đó cũng lớn hơn

.Vì Vũ Trụ là hữu hạn nhưng vô biên nên nó cũng có bản chất tương phản thực - ảo tuyệt đối (cũng có thể nói ngược lại!) và thể hiện ra thành vô vàn và đa dạng hiện tượng tương phản tương đối (hay cả những tương phản tuyệt đối theo qui ước). Nếu gọi lực lượng của nội tại hạt KG là ảo thì lực lượng Vũ Trụ ngoài nó là thực. Chúng ta có thể gọi hai lực lượng đó là ảo tuyệt đối và thực tuyệt đối, đồng thời coi mối quan hệ giữa chúng là mối quan hệ thực - ảo tuyệt đối ngoài qui ước (tuyệt đối đích thực!).

Vì Vũ Trụ là hữu hạn nhưng vô biên nên tận cùng của thực là không thực (hoặc ảo), tận cùng của ảo là không ảo (hoặc thực), và hai tận cùng ấy là trùng nhau. Cái “lằn ranh” tận cùng của hai lực lượng Vũ Trụ tương phản thực - ảo ấy, thể hiện ra trong mối tương phản âm - dương là số

và trong mối tương phản nghịch đảo là số

và có thể biểu diễn tượng trưng:

Với N là số tự nhiên lớn nhất tuyệt đối và j có ý nghĩa như 1².

Có thể cho rằng tương phản âm - dương là tương phản theo phép cộng và tương phản nghịch đảo là tương phản theo phép nhân. Trong tương phản theo phép cộng thì ở vế nào cũng thế, khi cộng hai số với nhau bao giờ cũng có kết quả là số lớn hơn và như thế, tất nhiên sẽ có những số vô cùng lớn (VCL). Trong tương phản theo phép nhân thì có hơi khác. Nếu chuyển vế ảo thành thực thì các số ảo sẽ hiện nguyên hình là lớn hơn hay cùng lắm là bằng j. Nhưng ở trạng thái ảo thì chúng luôn phải nhỏ hơn

(ở đây coi

). Do đó nếu phép nhân được thực hiện ở vế thực sẽ luôn cho kết quả là số lớn hơn tất cả các số tham gia tích hợp và đương nhiên sẽ xuất hiện những số VCL, còn nếu phép nhân thực hiện ở vế ảo thì kết quả luôn là số nhỏ hơn bất kỳ số nào tham gia tích hợp và tình hình đó cũng đương nhiên làm xuất hiện những số vô cùng bé (VCB).

Với những số VCL và VCB, chúng ta thấy rằng:

- Trong tương phản âm – dương:

- Trong tương phản nghịch đảo:

Nếu N là vô hạn (được hình dung như sự đếm lặp lại đến vĩnh cửu!) và ký hiệu về vô hạn là

thì:

Nghĩa là

dù nhỏ đến mấy thì cũng phải lớn hơn 0, cho nên

dù vô hạn đến mấy thì cũng phải… hữu hạn!

Mời xem:

Bạn Trỗi K6

Thứ Năm, 1 tháng 1, 2015

THỰC TẠI VÀ HOANG ĐƯỜNG 36

THỰC TẠI VÀ HOANG ĐƯỜNG (IV)

PHẦN IV: BÁU VẬT

CHƯƠNG III: KIM ÂU

LỜI PHÂN TRẦN

PHẦN I: CÓ MỘT CÁI GÌ ĐÓ

PHẦN II: NỀN TẢNG

PHẦN III: NGUỒN CỘI

PHẦN IV: BÁU VẬT

Người đăng bài

0 comments:

DS Bạn Trỗi

Lưu trữ Blog

Bài đăng gần đây

Tin buồn: bạn Nguyễn Xuân Lộc mất

Bài đăng phổ biến

Chuyên mục

Thứ Năm, 1 tháng 1, 2015

THỰC TẠI VÀ HOANG ĐƯỜNG 36

THỰC TẠI VÀ HOANG ĐƯỜNG (IV)

PHẦN IV: BÁU VẬT

Người đăng bài

0 comments:

Tìm trong Bạn Trỗi K6

DS Bạn Trỗi

Lưu trữ Blog

Bài đăng gần đây

Bài đăng phổ biến

Chuyên mục