THỰC TẠI VÀ HOANG ĐƯỜNG 43/a
Chủ Nhật, tháng 3 22, 2015CHƯƠNG III: THỰC - ẢO
“Tự nhiên không làm bất cứ việc gì vô ích”.
Hêrôn
“Ôi, sự tất yếu diệu kỳ (…), mọi hành động tự nhiên đều tuân theo ngươi bằng con đường ngắn nhất”.
Léonard de Vinci
“Vũ Trụ như một trò chơi ảo tượng khổng lồ chứa đầy các ảo ảnh thách thức trí tưởng tượng của chúng ta. Thật nghịch lý, chính một phần nhờ vào những nghiên cứu về các ảo ảnh Vũ Trụ này mà chúng ta hiểu chính xác hơn về hiện thực”.
Trịnh Xuân Thuận
Khó mà hình dung nổi trong Vật lý học ngày nay lại vắng mặt phép tính vi – tích phân.
Có thể nghĩ rằng giả sử như không có vật lý học thì trước sau gì phép tính vi – tích phân cũng được toán học sáng tạo ra do đời hỏi về nhận thức của bản thân nó. Tuy nhiên trong thực tế lịch sử thì chính nhờ có sự đòi hỏi bức thiết của vật lý học mà phép tính vi – tích phân ra đời. Đây cũng chính là sự biểu hiện quá trình tác động ngược trở lại của vật lý học phải mượn những kiến thức “có sẵn” của toán học để biểu diễn định lượng những định luật, quy luật tự nhiên mà nó khám phá được. Dần dần, quá trình đi “khai hóa” tự nhiên của vật lý học gặp phải những hiện tượng có thể lý giải định tính một cách “mông lung” được nhưng không thể đúc kết một cách tổng quát và định lượng được bằng những kiến thức toán học đang có. Điều đó buộc toán học phải đi tìm giải pháp mới, lý thuyết mới nhằm đáp ứng đòi hỏi của vật lý học, giúp cho vật lý học tiếp tục tiến lên, đồng thời toán học cũng nhờ thế mà tự bổ sung, hoàn thiện mình. Toán học không thể không hành động như thế, bởi vì mục đích tối hậu của toán học và vật lý học là cùng nhau phục vụ vô điều kiện cho nhận thức thế giới khách quan của con người. Nhưng trước một nhiệm vụ nào đó đại loại như thế, toán học có bao giờ chịu thất bại không? Không! Không bao giờ, vì một khi vật lý học phát hiện ra một hiện tượng dù lạ lùng đến mấy thì lời giải toán học đã tiềm ẩn trong bản chất của hiện tượng đó rồi và chỉ còn chờ đợi toán học “tóm cổ lôi ra” mà thôi.
Vì tầm quan trọng đặc biệt của phép tính vi – tích phân đối với vật lý học mà chúng ta lại đang kể câu chuyện về vật lý học, cho nên chúng ta đành phải cố gắng kể về phép tính ấy, dù chỉ là qua loa.
Thật lòng, trên bước đường đi tìm “cái gì đó”, chúng ta không bao giờ muốn “dính líu” đến những thứ quá phức tạp, quá cao siêu của toán học và vật lý học. Một phần là do chúng ta tin tưởng rằng nhờ có nguyên lý tương tự mà có thể “mổ xẻ” để tìm hiểu Tự nhiên Tồn tại bằng những công cụ toán – lý đơn giản, thô sơ mang tính Đại Chúng. Phần nữa là do chúng ta dốt quá, không đủ trình độ tiếp thu nổi những kiến thức quá đỗi siêu đẳng cùng với vô vàn những bộ não cực kỳ phi thường. Nếu ai đó nói rằng muốn chiêm ngưỡng được dung nhan của Tự nhiên Tồn tại, hoặc muốn diện kiến được Đấng tạo Hóa thiêng liêng, trước tiên, phải “nuốt” cho hết những kiến thức ấy đã, thì đối với chúng ta… thà chết còn sướng hơn!
Cũng vì sự “khó quá” như thế cho nên chúng ta chỉ dám nói qua loa về phép tính vi – tích phân được thôi và phải dựa vào sự trợ giúp đắc lực của cuốn “Toán học là gì?” mà tác giả của nó là R. Courant và H. Robbins (“Toán học là gì?” là một tác phẩm rất lý thú, giúp người đọc hiểu sâu một cách giản dị những vấn đề khá trừu tượng của toán. Cách viết cố gắng đạt đến độ trực giác có thể nhẹ nhàng mà lưu loát rất phù hợp với những người bình thường… Vì vậy, nhiều khi chúng ta “mượn” nguyên văn không có một “báo hiệu” nào, như vẫn thường làm từ trước đến nay đồi với nhiều tác phẩm khác mà chúng ta dùng làm tham khảo. Không biết hành động như vậy có xấu xa gì không nhỉ?)
Trước hết, chúng ta nói về… “cái Duy Tồn đầy biến ảo, bất ổn và mông lung”
Không Gian Vũ Trụ là một khối vừa thống nhất và vừa không thống nhất. Tính không thống nhất của Nó thể hiện ở chỗ: tương phản, rời rạc. độc lập… tương đối của vạn vật - hiện tượng. Tính thống nhất của Nó thể hiện ở chỗ: đồng nhất, liên tục, không thể phân định… tuyệt đối được. Có như thế vì Tự nhiên Tồn tại là vốn dĩ chứ không thể khác, là cái gì đó bất di bất dịch, duy nhất, vô thủy vô chung, mà trước quan sát thì thể hiện ra như một sự thực tuyệt đối vô cùng sinh động và biến ảo đến tuyệt cùng. Một Duy Nhất bất di bất dịch, biến ảo đến tuyệt cùng nhưng vẫn luôn là chính nó (nghĩa là vừa là nó lại vừa không phải nó!) một cách vốn dĩ như thế, được (hay bắt buộc?) quan sát và tư duy đặt cho một cái tên, tạm gọi là Tự nhiên Tồn tại với hàm ý rằng Tự nhiên là “vốn dĩ”, Tồn Tại là “như thế”, và hiểu rằng Tự nhiên Tồn tại vừa có nghĩa như một nguyên lý tiền đề duy nhất, vừa có nghĩa như một thực trạng tối hậu. Hay cũng có thể nói, để thể hiện tính vốn dĩ trước quan sát thì Tồn Tại phải sinh động, muốn sinh động thì phải tự thân biến hóa, nhưng dù biến hóa cỡ nào đi chăng nữa thì Tồn Tại vẫn cứ là Tồn Tại, nghĩa là sự biến hóa của Tồn Tại dù tự thân thì cũng buộc phải thỏa mãn, phải tuân thủ tuyệt đối cái yêu cầu của chính Tồn Tại là bảo đảm Tồn Tại. Cái yêu cầu đó được quan sát thấy như là một nguyên lý có tính tiên đề, là nguyên lý cội nguồn của mọi nguyên lý, gọi là nguyên lý Tự Nhiên. Có thể phát biểu (thử lần thứ mấy rồi?): Tồn Tại phải biến hóa để thể hiện sự vốn dĩ của nó, nhưng sự biến hóa đó không thể tùy tiện mà phải theo cách sao cho Tồn Tại là bất diệt.
Thể chất của Tự nhiên Tồn tại là Không Gian, hiện thực của Tự nhiên Tồn tại là Vũ Trụ vận động. Vũ Trụ vận động, do bản chất tự thân của nó, do phải phục tùng để nguyên lý tự Nhiên, nên có tính không ngừng nghỉ, muôn màu muôn vẻ và đầy đủ mà xét về mặt toàn thể thì: cân bằng tuyệt đối, bảo toàn tuyệt đối, bất di bất dịch, xét về mặt bộ phận thì bị mất cân bằng tương đối, bất bảo toàn tương đối và chuyển dời tương đối. Chính vì vậy mà toàn bộ vạn vật - hiện tượng thấy được và không thấy được đều trực tiếp hay gián tiếp có liên quan đến nhau, trực tiếp hay gián tiếp tác động nhau, tồn tại phụ thuộc lẫn nhau.
Vũ Trụ vận động có thể có vô vàn trạng thái, song vẫn là Tồn Tại vốn dĩ như “thuở nào”, cho nên thể chất của nó - lực lượng Không Gian là không thể thêm hay bớt mà luôn được bảo toàn. Dù là bảo toàn nhưng tuân theo nguyên lý Tự Nhiên, Không Gian phải tự chuyển hóa, và muốn thế, nó phải phận lập thành những lực lượng Không Gian có tính đặc thù tương đối khác nhau, tương tác nhau, chuyển hóa lẫn nhau. Tình hình đó dẫn đến toàn thể lực lượng Không Gian là bảo toàn nhưng những bộ phận Không Gian đặc thù lại không được bảo toàn, có thêm có bớt, có sinh có diệt.
Vũ Trụ vận động đại loại là như thế cho nên cũng xuất hiện vô vàn các quá trình tồn tại, hiện hữu, chuyển hóa, vận động, hủy diệt, tạo dựng và những quá trình ấy rõ ràng là dù gián tiếp hay trực tiếp đều có quan hệ phụ thuộc lẫn nhau, là nguyên nhân và kết quả của nhau, “bù trừ” nhau, theo cách sao cho nếu trong cùng một thời điểm mà “tổng hợp” chúng lại thì về mặt thể chất sẽ có kết quả là bằng tổng lượng Không Gian bất biến và về mặt vận động thì sẽ có kết quả bằng 0. Chúng ta nói Vũ Trụ luôn cân bằng trong vận động hay Vũ Trụ là một hệ thống cân bằng động vĩ đại là vì thế.
Cần phải thấy rằng cân bằng và duy trì cân bằng là một trong những nguyên lý cơ bản và phổ quát của Vũ Trụ. Xét trên góc độ này thì mọi thực thể tồn tại trong Vũ Trụ luôn ở trạng thái cân bằng nhưng luôn bị đe dọa làm mất cân bằng nên luôn phải vận động để duy trì cân bằng vốn có của nó. Khi một vật thể phải luôn vận động để duy trì cân bằng cho nó thì đồng thời nó cũng đe dọa làm cho (những) vật thể liên quan trực tiếp tới nó bị mất cân bằng. Tình hình đó làm cho toàn thể vật chất trong Vũ Trụ đều vận động và vận động không ngừng. Khi một vật thể ngừng vận động thì nó cũng chất dứt tồn tại nghĩa là nó không còn là nó nữa, và vì Không Gian là bảo toàn nên thay vào đó là sự tồn tại của một hay nhiều thực thể mới, có tổng lượng thể chất Không Gian và vận động sao cho không xâm phạm đến sự bảo toàn Không Gian và vận động của Vũ Trụ.
Ngoài nguyên lý cân bằng Vũ Trụ vận động còn bộc lộ ra một nguyên lý cơ bản và có tính phổ quát nữa là nguyên lý nhân - quả. Xét về mặt toàn thể thì Vũ Trụ vận động là tự thân (tự nhiên như thế, vốn dĩ như thế), không có nguyên nhân nên cũng không có kết quả, hoặc có thể nói Vũ Trụ vận động là nguyên nhân và kết quả của chính Nó. Xét về mặt bộ phận thì trong Vũ Trụ, mọi thực thể vận động, mọi quá trình chuyển hóa đều có thể được sinh ra, tồn tại và mất đi một cách tự nhiên, nhưng “tự nhiên” ở đây phải được hiểu theo nghĩa là “có nguyên nhân”. Bất cứ một tồn tại nào hay không tồn tại nào (không phải không Tồn Tại!) đều là sự “hun đúc” nên của một hay nhiều tồn tại và không tồn tại khác, là kết quả của một hay nhiều nguyên nhân mà đầu tiên là có tính khách quan và sau đó có thêm tính chủ quan. Hơn nữa, cách thức tồn tại của kết quả như thế nào, biểu hiện ra sao là do (những) nguyên nhân sinh ra kết quả ấy quyết định.
Khi chúng ta nói vạn vật - hiện tượng trong Vũ Trụ đều có mối quan hệ ràng buộc, phụ thuộc lẫn nhau, đều là nguyên nhân và kết quả của nhau, thì đó chỉ là cách nói khái lược, tương đối, không nên hiểu một cách máy móc cực đoan. Chẳng hạn, không nên hiểu một thực thể tồn tại và vận động đang trong vai trò là nguyên nhân thì đồng thời cũng đóng vai trò là kết quả của một thực thể tồn tại và vận động khác, theo kiểu: “Mẹ tôi sinh ra tôi thì đồng thời mẹ tôi cũng được tôi sinh ra”! Không có nguyên nhân thì không có kết quả, do đó, nguyên nhân bao giờ cũng là cái có trước để tạo ra kết quả chứ không thể ngược lại, và trình tự đó là luật bất biến. Chỉ có thể nói, một sự vật là kết quả của sự vật này và đồng thời là nguyên nhân của sự vật khác. Có một hiện tượng đơn giản, thường thấy trong thực tế, nhưng nếu suy nghĩ không kỹ dễ dẫn chúng ta đến quan niệm sai lầm về mối quan hệ nhân - quả. Giả dụ rằng có quả cầu 
chuyển động đến tác động vào quả cầu 
đang đứng yên làm cho quả cầu này chuyển sang trạng thái chuyển động. Vậy nguyên nhân làm cho quả cầu chuyển từ đứng yên sang chuyển động là do quả cầu tác động. Tuy nhiên khi bị tác động, quả cầu phản ứng trở lại, làm cho quả cầu cũng bị biến đổi trạng thái chuyển động, thậm chí là từ chuyển động chuyển sang trạng thái đứng yên. Rõ ràng sự tác động trở lại của quả cầu đã là nguyên nhân làm biến đổi trạng thái chuyển động của quả cầu . Hay có thể cho rằng sự tác động của quả cầu vào quả cầu là nguyên nhân làm quả cầu biến đổi từ đứng yên sang chuyển động và đồng thời cũng là nguyên nhân (sâu xa) làm cho chính quả cần biến đổi trạng thái chuyển động. Phải chăng như thế là quả cầu tự tạo ra nguyên nhân làm biến đổi chuyển động của bản thân nó, và phải chăng sự chuyển động của quả cầu vừa là kết quả, vừa là nguyên nhân của sự biến đổi chuyển động của quả cầu ? Trong một chừng mực nào đó thì câu trả lời là khẳng định. Nhưng muốn khẳng định được thì phải có qui ước. Giả dụ, chúng ta phải qui ước rằng, một vật luôn vẫn là nó cho dù có bị biến dạng, biến màu, thay đổi trạng thái chuyển động… Với qui ước như vậy thì quả cầu và quả cầu trong suốt quá trình trước va chạm, va chạm và sau va chạm, vẫn luôn là chúng chứ không bị biến đổi thành những cái khác cho dù trạng thái chuyển động của chúng đã biến đổi. Cần thấy rằng qui ước đó không phải được đặt ra một cách tùy tiện, mà có nguồn gốc từ trực giác và được trực giác xác nhận như một sự thật hiển nhiên. Có thể gọi những qui ước kiểu như thế là loại qui ước tự phát, “có sẵn”, “ngấm ngầm” được mặc định. Một con gà dù đứng hay đang bươi đất thì lúc nào cũng là chính nó chứ không thể là con gà khác được, và đó là một hiển nhiên.
chuyển động đến tác động vào quả cầu đang đứng yên làm cho quả cầu này chuyển sang trạng thái chuyển động. Vậy nguyên nhân làm cho quả cầu chuyển từ đứng yên sang chuyển động là do quả cầu tác động. Tuy nhiên khi bị tác động, quả cầu phản ứng trở lại, làm cho quả cầu cũng bị biến đổi trạng thái chuyển động, thậm chí là từ chuyển động chuyển sang trạng thái đứng yên. Rõ ràng sự tác động trở lại của quả cầu đã là nguyên nhân làm biến đổi trạng thái chuyển động của quả cầu . Hay có thể cho rằng sự tác động của quả cầu vào quả cầu là nguyên nhân làm quả cầu biến đổi từ đứng yên sang chuyển động và đồng thời cũng là nguyên nhân (sâu xa) làm cho chính quả cần biến đổi trạng thái chuyển động. Phải chăng như thế là quả cầu tự tạo ra nguyên nhân làm biến đổi chuyển động của bản thân nó, và phải chăng sự chuyển động của quả cầu vừa là kết quả, vừa là nguyên nhân của sự biến đổi chuyển động của quả cầu ? Trong một chừng mực nào đó thì câu trả lời là khẳng định. Nhưng muốn khẳng định được thì phải có qui ước. Giả dụ, chúng ta phải qui ước rằng, một vật luôn vẫn là nó cho dù có bị biến dạng, biến màu, thay đổi trạng thái chuyển động… Với qui ước như vậy thì quả cầu và quả cầu trong suốt quá trình trước va chạm, va chạm và sau va chạm, vẫn luôn là chúng chứ không bị biến đổi thành những cái khác cho dù trạng thái chuyển động của chúng đã biến đổi. Cần thấy rằng qui ước đó không phải được đặt ra một cách tùy tiện, mà có nguồn gốc từ trực giác và được trực giác xác nhận như một sự thật hiển nhiên. Có thể gọi những qui ước kiểu như thế là loại qui ước tự phát, “có sẵn”, “ngấm ngầm” được mặc định. Một con gà dù đứng hay đang bươi đất thì lúc nào cũng là chính nó chứ không thể là con gà khác được, và đó là một hiển nhiên.Tuy nhiên còn có một hiển nhiên khác nữa là một khi còn phân biệt được con gà đó lúc nó đứng yên và lúc nó bươi đất, thì một cách tuyệt đối, không thể nói con gà bươi đất cũng chính là con gà đứng yên được. Thậm chí con gà đứng yên ở thời điểm này không thể là chính nó ở thời điểm “vừa qua” được nếu xét trên bình diện tuyệt đối.
Quay lại trường hợp hai quả cầu va chạm. Chúng ta qui ước rằng một quả cầu luôn là chính nó khi trạng thái chuyển động của nó không đổi. Khi quả cầu đến va chạm với quả cầu thì quả cầu biến đổi từ trạng thái đứng yên (gọi là trạng thái chuyển động đặc biệt, có vận tốc bằng 0)sang trạng thái chuyển động (có vận tốc khác 0). Lúc này, theo qui ước, quả cầu không còn tồn tại nữa mà xuất hiện một quả cầu khác giống nó và tạm gọi là ’. Sự va chạm cũng làm cho quả cầu biến đổi trạng thái chuyển động và do đó sau va chạm, quả cầu không còn tồn tại nữa mà xuất hiện một quả cầu mới giống nó (nhưng khác trạng thái chuyển động) gọi là ’. Có thể nói quá trình biến đổi từ sang ’ là kết quả và đồng thời cũng là nguyên nhân của quá trình biến đổi từ sang ’ được không? Có thể lắm chứ! Và đó cũng là sự biểu hiện đặc tính tương đối của chuyển động trước một hệ quan sát: Cùng một chuyển động, trước những hệ quan sát khác nhau, có thể được thấy khác nhau. Vì thế, nếu nói quả cầu va chạm vào quả cầu thì cũng có thể nói quả cầu va chạm vào quả cầu , tùy theo nhận định chủ quan của hệ quan sát. Mà sự lũng đoạn của chủ quan đến nhận định của hệ quan sát là có tính bản chất, không thể khắc phục tuyệt đối được.
đến va chạm với quả cầu thì quả cầu biến đổi từ trạng thái đứng yên (gọi là trạng thái chuyển động đặc biệt, có vận tốc bằng 0)sang trạng thái chuyển động (có vận tốc khác 0). Lúc này, theo qui ước, quả cầu không còn tồn tại nữa mà xuất hiện một quả cầu khác giống nó và tạm gọi là ’. Sự va chạm cũng làm cho quả cầu biến đổi trạng thái chuyển động và do đó sau va chạm, quả cầu không còn tồn tại nữa mà xuất hiện một quả cầu mới giống nó (nhưng khác trạng thái chuyển động) gọi là ’. Có thể nói quá trình biến đổi từ sang ’ là kết quả và đồng thời cũng là nguyên nhân của quá trình biến đổi từ sang ’ được không? Có thể lắm chứ! Và đó cũng là sự biểu hiện đặc tính tương đối của chuyển động trước một hệ quan sát: Cùng một chuyển động, trước những hệ quan sát khác nhau, có thể được thấy khác nhau. Vì thế, nếu nói quả cầu va chạm vào quả cầu thì cũng có thể nói quả cầu va chạm vào quả cầu , tùy theo nhận định chủ quan của hệ quan sát. Mà sự lũng đoạn của chủ quan đến nhận định của hệ quan sát là có tính bản chất, không thể khắc phục tuyệt đối được.Một trong những nguyên lý cơ bản của tự nhiên là nguyên lý tác động - phản ứng: có tác động thì phải có phản ứng, không có tác động thì không có phản ứng, trong đó, tác động là cái chủ động, cái có trước, cái nguyên nhân gây ra phản ứng. Không có ánh sáng chiếu vào (chủ động, nguyên nhân) tấm gương thì tấm gương không phát sáng (thụ động, kết quả) được. Dù ở bất cứ hệ quan sát nào thì con người chúng ta cũng khó lòng nói được tấm gương chủ động chuyển động với vận tốc c đến đập vào luồng ánh sáng để gây ra hiện tượng phản xạ của luồng ánh sáng, nghĩa là sự lũng đoạn của tính chủ quan trong nhận định của hệ quan sát cũng có mức độ giới hạn, và đó cũng chính là sự “may mắn” đối với nhận thức. Đối với thí nghiệm “vừa xảy ra”, chúng ta, những người cùng trong một hệ quan sát, thì phải nhất trí rằng chính quả cầu đã chủ động đến va chạm vào quả cầu , làm cho quả cầu phản ứng trở lại, dẫn đến kết quả cả và đều chấm dứt tồn tại, đồng thời xuất hiện hai quả cầu mới là ’ và ’. Quá trình đó khiến chúng ta nhận định” quả cầu chuyển động đến va chạm vào quả cầu là nguyên nhân của mọi nguyên nhân, là nguyên nhân đầu tiên, chủ động làm nên quá trình biến đổi. Có thể lý giải: gây ra va chạm dẫn đến kết quả chấm dứt tồn tại của và làm xuất hiện quá trình 
’; quá trình ’ (chứ không phải ) lại đóng vai trò là nguyên nhân gây ra kết quả chấm dứt tồn tại của và làm xuất hiện quá trình ’, và hậu quả là thay cho có ’, thay cho có ’.
đã chủ động đến va chạm vào quả cầu , làm cho quả cầu phản ứng trở lại, dẫn đến kết quả cả và đều chấm dứt tồn tại, đồng thời xuất hiện hai quả cầu mới là ’ và ’. Quá trình đó khiến chúng ta nhận định” quả cầu chuyển động đến va chạm vào quả cầu là nguyên nhân của mọi nguyên nhân, là nguyên nhân đầu tiên, chủ động làm nên quá trình biến đổi. Có thể lý giải: gây ra va chạm dẫn đến kết quả chấm dứt tồn tại của và làm xuất hiện quá trình ’; quá trình ’ (chứ không phải ) lại đóng vai trò là nguyên nhân gây ra kết quả chấm dứt tồn tại của và làm xuất hiện quá trình ’, và hậu quả là thay cho có ’, thay cho có ’.Trong thực tế, hai quá trình ’ và ’ được thấy là xảy ra đồng thời nên lý giải như trên có phần không thỏa đáng. Hơn nữa, cùng quan sát thí nghiệm đó, có thể có hệ quan sát lại thấy rằng không phải quả cầu chuyển động mà nó đang đứng yên, và chính quả cầu mới chuyển động gây ra va chạm (hoặc cũng có thể cả hai quả cầu cùng chuyển động “đâm sầm” vào nhau). Nghĩa là đối với quan sát của hệ quan sát đó, phải khẳng định rằng chính chuyển động của quả cầu mới là nguyên nhân đầu tiên của hiện tượng biến đổi cơ học, và quá trình ’ cũng như ’ là hai quá trình xảy ra đồng thời. Vậy hợp lý hơn cả thì phải phát biểu rằng hai quá trình đó vừa là nguyên nhân, vừa là kết quả của nhau. Và phát biểu như vậy thì cũng phải thừa nhận nghịch lý “Mẹ tôi sinh ra tôi thì đồng thời mẹ tôi cũng được tôi sinh ra” là… có lý. Có thể phát biểu nghịch lý ấy một cách bạo lực hơn: “Mày đấm tao thì cũng coi như đấm mày!”.
’ và ’ được thấy là xảy ra đồng thời nên lý giải như trên có phần không thỏa đáng. Hơn nữa, cùng quan sát thí nghiệm đó, có thể có hệ quan sát lại thấy rằng không phải quả cầu chuyển động mà nó đang đứng yên, và chính quả cầu mới chuyển động gây ra va chạm (hoặc cũng có thể cả hai quả cầu cùng chuyển động “đâm sầm” vào nhau). Nghĩa là đối với quan sát của hệ quan sát đó, phải khẳng định rằng chính chuyển động của quả cầu mới là nguyên nhân đầu tiên của hiện tượng biến đổi cơ học, và quá trình ’ cũng như ’ là hai quá trình xảy ra đồng thời. Vậy hợp lý hơn cả thì phải phát biểu rằng hai quá trình đó vừa là nguyên nhân, vừa là kết quả của nhau. Và phát biểu như vậy thì cũng phải thừa nhận nghịch lý “Mẹ tôi sinh ra tôi thì đồng thời mẹ tôi cũng được tôi sinh ra” là… có lý. Có thể phát biểu nghịch lý ấy một cách bạo lực hơn: “Mày đấm tao thì cũng coi như đấm mày!”.Dù rằng có lý thì nghịch lý vẫn cứ… phi lý! Đối với trường hợp va chạm thí có thể rất khó thấy sự phi lý của nghịch lý nói trên, nhưng đối với trường hợp “ Mẹ tôi sinh ra tôi…” thì bất cứ hệ quan sát nào cũng phải thấy đúng một quá trình duy nhất: “Tôi từ lòng mẹ mà ra đời”, và đối với trường hợp “Mày đấm tao…” thì cũng chỉ thấy một quá trình duy nhất: “Thằng này vung tay ra đấm thằng kia” (và nếu “thằng kia” bị “nốc ao” (knock out) thì cũng chẳng có gì đáng ngạc nhiên cả!).
Đến đây thì sự bất ổn của quan sát dẫn đến sự bất định trong nhận thức đã làm cho chúng ta hoang mang tột độ. Khi mà sự hoang mang đã đạt đến tột độ rồi thì nó phải… bùng nổ để mở đột phá khẩu cho nhận thức tiếp tục tiến lên.
Như chúng ta đã quan niệm thì chỉ có điểm KG thông thường là đứng yên tuyệt đối, ngoài ra, tất cả những gì được gọi là thực thể trong Vũ Trụ đều phải “xê dịch”, di dời tuyệt đối, bởi vì đơn vị tuyệt đối làm nên thực thể - điểm KG kích thích (hay còn gọi là điểm năng lượng - điểm NL), luôn di dời với vận tốc cực đại C một cách phi tuyến tính. Một khi điểm KG thông thường đứng yên tuyệt đối thì mạng khối KG cũng đứng yên tuyệt đối, nghĩa là bất cứ khoảng KG nào “trước mặt” bất cứ hệ quan sát nào cũng đứng yên tuyệt đối. Thế nhưng không có bất cứ hệ quan sát nào có thể thấy được và xác nhận chắc chắn được điều đó, bởi lẽ hoặc đối với chúng, các khoảng không gian là hoàn toàn trống rỗng và không thể phân biệt được, hoặc bình thường thôi: chuyển động tuyệt đối và đứng yên tuyệt đối là hai hiện tượng tuy tương phản nhau hoàn toàn nhưng tương đương cũng hoàn toàn, nếu phân biệt được mà cũng không thể phân biệt được.
Đó cũng chính là nguyên nhân sâu xa làm cho mọi hệ quan sát không thể xác định chắc chắn được trạng thái chuyển động của bản thân nó và do đó mà cũng không thể xác định chắc chắn tuyệt đối được mọi chuyển động mà nó quan sát thấy. Tình hình đó dẫn đến đối với cùng một đối tượng (một biến cố, một quá trình vận động, chuyển hóa) quan sát, ở những hệ quan sát khác nhau có thể sẽ có những kết quả quan sát có thể tương đối khác nhau. Thậm chí về mặt tương tác cơ học, nếu đem so sánh những kết quả quan sát đó với nhau, còn có thể thấy mối quan hệ tác động - phản ứng bị đảo lộn, nghĩa là một sự vật được cho là đóng vai trò tác động ở hệ quan sát này thì có thể lại được cho đóng vai trò phản ứng ở một hệ quan sát khác. Như thế, phải chăng lời khẳng định rằng trình tự bất biến: nguyên nhân phải có trước kết quả trong mối quan hệ nhân - quả, là sai lầm?
Điều không thể phản bác được là một biến cố hay một quá trình xảy ra trong thực tại khách quan là duy nhất đối với chính nó. Cho nên trình tự làm xảy ra biến cố hay trình tự vận động của quá trình nói trên cũng phải là duy nhất. Chỉ có điều sự biểu hiện của nó ra trước những hệ quan sát khác nhau là có thể khác nhau mà thôi. Cho nên, cũng chính vì thế mà phải cho rằng, một cách khách quan tuyệt đối (không theo quan điển của bất cứ hệ quan sát nào hoặc trong trưởng tượng, chỉ theo quan điểm của hệ quan sát có trọng tâm gắn chặt với một điểm Không Gian thông thường nào đó), sẽ phải có cái đóng vai trò tác động đích thực và cái đóng vai trò phản ứng đích thực, nghĩa là nguyên nhân bao giờ cũng phải có trước kết quả và không thể có hiện tượng cái này vừa là kết quả lại cũng đồng thời là nguyên nhân của cái kia và ngược lại.
Có thể khẳng định, năng lực chủ quan của một hệ quan sát là nguyên nhân làm cho nó dễ nhìn nhận lầm lạc, và dù không lầm lại đi chăng nữa thì kết quả quan sát cũng vẫn có thể bị “đảo lộn” so với hệ quan sát khác như thường. Lạ lùng ghê luôn!
Tuy nhiên, cần phải thấy rõ rằng, sự lũng đoạn của chủ quan lên nhìn nhận của hệ quan sát, dù ở mức độ nào đi nữa thì cũng phải có giới hạn, nghĩa là dù có thể thấy tương đối bị đảo lộn về vai trò của hai đối tượng trong mối quan hệ tương tác thì kết quả quan sát vẫn là đúng đắn đối với bản thân hệ quan sát. Nói cách khác, đối với cùng một hiện tượng khách quan thì ở những hệ quan sát khác nhau sẽ có thể có những kết quả quan sát khác nhau và nếu những kết quả quan sát ấy không phạm sai lầm do kỹ thuật, kỹ năng, không có mâu thuẫn nội tại, thì chúng đều đúng đán, và mỗi kết quả quan sát ấy đều là sự biểu hiện trung thực về hiện thực khách quan của bản thân hệ quan sát đã tạo ra nó. Có thể nói thực tại khách quan chỉ có một, nhưng hiện thực khách quan về nó thì nhiều vô kể, nghĩa là một cách tuyệt đối, không thể có một hiện thực khách quan chung cho mọi hệ quan sát. Tuy nhiên, vì các hiện thực khách quan ấy đều là sự phản ánh về thực tại khách quan duy nhất cho nên những kết quả nghiên cứu khoa học rút ra một cách đúng đắn, có tính cơ bản, cốt lõi, phổ quát (những qui luật, định luật, nguyên lý…) từ những hiện thực khách quan ấy, sẽ phải tuyệt đối như nhau. Điều đó đồng nghĩa với việc là trong những điều kiện nhất định hoặc một cách hình thức, bằng những cách thức, những nguyên tắc, những qui ước… hợp lý, luôn luôn có thể biến đổi một hiện thực khách quan này thành một hiện thực khách quan khác. Vậy hiện thực khách quan là thực tại khách quan của chủ quan một hệ quan sát nào đấy. Cho nên một hiện thực khách quan vừa có tính chung, vừa có tính riêng. Tính riêng là biểu hiện sự khác biệt tương đối giữa hiện thực khách quan này với hiện thức khách quan khác, tính chung là biểu hiện sự đồng nhất giữa chúng.
Một trong những biểu hiện cơ bản nhất về sự đồng nhất giữa các hệ quan sát là bản thân chúng cũng phải hoạt động tuân thủ những nguyên lý tự nhiên và những hiện tượng, quá trình… mà chúng quan sát cũng phải tuân thủ những nguyên lý ấy. Một trong những nguyên lý ấy là nguyên lý nhân - quả (với trình tự không thể đảo ngược được giữa nguyên nân và kết quả trong mối quan hệ trước – sau về mặt thời gian của chúng). Nghĩa là đối với cùng một đối tượng quan sát (một hiện tượng, một quá trình), nếu trật tự các biến cố, trình tự diễn tiến của nó được thấy ở hệ quan sát này thì cũng phải được thấy ở các hệ quan sát khác, cho dù có thể có những biến dạng chẳng hạn, xảy ra hiện tượng con gà đẻ ra cái trứng. Ở những hệ quan sát khác nhau, có thể thấy con gà và cả cái trứng có những hình dạng, thậm chí là màu sắc tương đối khác nhau, thế nhưng ở tất cả hệ quan sát đó đều phải thấy như nhau về quá trình con gà đẻ ra cái trứng theo trình tự con gà có trước, cái trứng có sau, nghĩa là chiều của quá trình đó là không thể bị đảo lộn bởi quan sát.
Cuối cùng, sau một hồi lý giải kiểu “vòng vo Tam quốc” thì rồi chúng ta đi đến những kết luận (có thể là ) đúng nhất về hiện tượng va chạm của hai quả cầu và :
và :- Vì không thể xác định tuyệt đối được chuyển động cho nên ở những hệ quan sát khác nhau, có thể thấy tốc độ chuyển động của quả cầu và có những giá trị khác nhau (giả sử không có hệ quan sát nào ở vị trí và góc độ chỉ thấy quả cầu này mà không thấy quả cầu kia). Tình hình đó làm cho việc xác định tuyệt đối quả cầu nào là chủ động tác động và quả cầu nào là thụ động phản ứng, đối với mọi hệ quan sát là không thể. Chỉ có thể xác định được tương đối mối quan hệ tác động - phản ứng mà hiện thực khách quan của hệ quan sát “mách bảo” và đều xác đáng đối với hệ quan sát đó.
và có những giá trị khác nhau (giả sử không có hệ quan sát nào ở vị trí và góc độ chỉ thấy quả cầu này mà không thấy quả cầu kia). Tình hình đó làm cho việc xác định tuyệt đối quả cầu nào là chủ động tác động và quả cầu nào là thụ động phản ứng, đối với mọi hệ quan sát là không thể. Chỉ có thể xác định được tương đối mối quan hệ tác động - phản ứng mà hiện thực khách quan của hệ quan sát “mách bảo” và đều xác đáng đối với hệ quan sát đó.- Tuy nhiên việc xác định quả cầu nào đóng vai trò chủ động tác động lại không hề quan trọng trong việc nghiên cứu hiện tượng tương tác cơ bản học và cũng không hề vi phạm đến nguyên lý nhân quả (nghĩa là trình tự của một quá trình tương tác và biến đổi cơ học phải được thấy như nhau ở mọi hệ quan sát). Quan điểm cho rằng quả cầu chủ động tác động đóng vai trò là nguyên nhân đầu tiên làm xảy ra quá trình tương tác và biến đổi cơ học, là phiến diện, thậm chí là ngộ nhận. Do tính tương đối của chuyển động đối với quan sát mà trạng thái đứng yên và trạng thái chuyển động là hai trạng thái bình đẳng nhau về mặt động học (chúng là tiền đề tồn tại của nhau, có thể chuyển biến thành nhau trước quan sát). Không thể nói rằng chỉ quả cầu chuyển động đóng vai trò là nguyên nhân làm xảy ra va chạm, vì như thế là không đầy đủ. Quả cầu chuyển động chỉ là một yếu tố tạm gọi là tiền nguyên nhân (nguyên nhân tiềm năng), một bộ phận hợp thành nguyên nhân, chứ không phải là nguyên nhân đích thực. Nguyên nhân đích thực của va chạm phải là do cả hai quả cầu tạo ra. Chắc chắn rằng nếu không có quá trình chuyển động của một trong hai quả cầu thì không thể có va chạm giữa chúng. Nhưng nếu không có quá trình đứng yên “ở đó” của quả cầu kia thì cũng không thể xảy ra va chạm. Vậy phải khẳng định rằng sự va chạm của hai quả cầu là được quyết định bởi sự phối hợp quá trình chuyển động của cả hai quả cầu (trong đó có thể có một quá trình chuyển động gọi là sự đứng yên). Nói cách khác, quá trình chuyển động theo cách thức nào đó của cả hai quả cầu là nguyên nhân gây ra sự va chạm giữa chúng. Sự phân biệt giữa tác động và phản ứng chỉ là tương đối, nhằm phân biệt tương đối giữa sự chủ động gây ra tương tác với sự bị động “chờ” tương tác, thế thôi, chứ thực ra chúng xảy ra đồng thời và có bản chất như nhau.
- Quá trình chuyển động với cách thức xác định của hai quả cầu đó là kết quả của những nguyên nhân trước đó, xuất phát từ sự tương tác giữa chúng với môi trường trong quá khứ. Những tương tác giữa chúng với môi trường trong quá khứ. Những tương tác ấy là vừa có tính tất yếu, vừa có tính ngẫu nhiên, vừa có tính chủ động, vừa có tính thụ động. Một trong những biểu hiện về tính chủ động rõ rệt nhất là có những tương tác do con người cố ý gây ra một cách có tính toán, có chủ đích. Chính vì vậy mà sự va chạm của hai quả cầu cũng có thể là hiện tượng tất yếu hay ngẫu nhiên, xảy ra do cưỡng bức hay tự nhiên. Nhưng vì luôn là kết quả của một nguyên nhân. Nếu bằng hai cách cưỡng bức và tự nhiên tạo nên hai sự va chạm giống hệt nhau, thì hai cách đó phải tạo ra được hai nguyên nhân giống hệt nhau, nghĩa là phải tạo ra những yếu tố, điều kiện, quá trình như nhau, hoạt động tuân theo những quyên lý, qui luật chung.
- Va chạm giữa hai quả cầu có nguyên nhân từ quá trình chuyển động của hai quả cầu, là một hiện tượng được “nhìn thấy” ở mọi hệ quan sát và biến cố va chạm cũng là một hiển nhiên mà mọi hệ quan sát phải xác nhận. Và mọi hệ quan sát đều phải thấy điều quan trọng này: biến cố va chạm là kết quả có nguyên nhân từ sự chuyển động của hai quả cầu và đồng thời, đến lượt nó là nguyên nhân gây ra tương tác, làm phát sinh hai quá trình biến đổi đồng thời
’, và à ’. Hai quá trình đó là tiền đề tồn tại của nhau nhưng cũng độc lập tương đối với nhau, không có quá trình này thì tất yếu không có quá trình kia, mà xét cho cùng thì chúng được coi như hai quá trình bộ phận tương phản nhau của một quá trình thống nhất, của một hệ thống vận động cân bằng (nếu không chịu những tác động nào khác, phát sinh có yếu tố ngoại lai!).Có lẽ người đầu tiên đề cập đến mối quan hệ nhân - quả là Arixtốt. Ông từng viết trong tác phẩm “Vật lý học” (Quyển II):
“… Tri thức là đối tượng của sự thẩm tra, và người ta không cho rằng mình biết được một điều gì trước khi nắm bắt được cái “tại sao” của nó (có nghĩa là nắm bắt được nguyên nhân chủ yếu của nó). Do đó, thật rõ ràng là chúng ta phải làm điều này đối với cái sẽ hiện hữu cũng như đối với cái đang qua đi và mọi loại thay đổi tự nhiên, để một khi biết được những nguyên nhân của chúng, chúng ta có thể nhớ tới những nguyên nhân này để giải đáp các vấn đề của chúng ta.
Theo nghĩa thứ nhất, “nguyên nhân” được áp dụng cho một sự vật được hình thành và tồn tại, ví dụ, chất đồng của bức tượng, chất bạc của cái chén…
Theo nghĩa thứ hai, “nguyên nhân” là hình thái hay nguyên mẫu, tức là sự trình bày yếu tính và những loại của nó (ví dụ, tương quan 2:1 của bát âm, và thường là số, và những phần trong định nghĩa).
Theo nghĩa thứ ba, “nguyên nhân” là nguồn nguyên thủy của sự thay đổi hoặc của sự ngưng nghỉ. Ví dụ, người đưa ra ý kiến là nguyên nhân, người cha là nguyên nhân của người con, và thường là cái làm ra cái được làm, cài làm thay đổi cái bị thay đổi.
Theo nghĩa thứ tư, “nguyên nhân” là mục đích hay cái mà vì nó, một sự vật được thực hiện. Ví dụ, sức khỏe là nguyên nhân của việc đi lại (Tại sao anh ta đi bách bộ? Chúng ta bảo: “Để có sức khỏe”; Và khi nói thế, chúng ta nghĩ rằng mình đã gán cho nó một nguyên nhân). Điều đó cũng đúng cho mọi bước trung gian xảy ra trong hình động cũng như phương tiện để hướng tới chủ đích…
Có lẽ bàn về những cách thức mà thuật ngữ “nguyên nhân” được sử dụng như thế cũng khá đú”.
Trong số những loại nguyên nhân mà Arixtốt liệt kê ở trên, đáng chú ý nhất là loại nguyên nhân thứ tư. Loại nguyên ngân này thật kỳ lạ. Nó có tính “tiên quyết”, làm cho kết quả được hình thành nên như thế nào là theo “ý” nó, do nó định đoạt từ trước. Chẳng hạn, cây lúc mọc lên, phát triển rồi tạo ra những hạt lúa. Nhưng tại sao cây lúa chỉ có thể tạo ra những hạt lúa mà không phải là những hạt khác như hạt đậu chẳng hạn? Theo Arixtốt thì trong sự phát triển của cây lúa đã gồm chứa loại nguyên nhân hướng cây lúa phải trổ ra hạt lúa chứ không thể hạt khác. Hay lấy một ví dụ khác cho rõ hơn: Có một anh chàng đi đến nhà hát, một người hỏi: “Đến đó làm gì?”, anh ta trả lời: “Để xem kịch!”. Vậy thì (theo Arixtốt) nguyên nhân anh chàng kia đi đến nhà hát là “để xem kịch”. Đó chính là nguyên nhân thuộc loại thứ tư mà Arixtốt đã chỉ ra và được gọi với cái tên: “Nguyên nhân có tính mục đích”.
Quan niệm về nguyên nhân có tính mục đích của Arixtốt là huyền bí và do đó mà hoàn toàn phù hợp với thần học Thiên Chúa giáo, được viện dẫn để chứng minh cho sự tồn tại của Chúa Trời. Quan niệm đó được coi như sự thực hiển nhiên trong khoa học kinh viện châu Âu thời trung cổ. Đến khoảng cuối thế kỷ XIII một học giả theo trường phái Arixtốt, tên là Subtius còn nói: “Mọi sự vật riêng lẻ trong Vũ Trụ đều hướng tới một định phân có tính mục đích nào đó thuộc về Vũ Trụ, và công việc của nhà khoa học là phải tìm cho ra mục tiêu ấy là gì”.
Nếu đừng liên tưởng đến nguyên nhân có tính mục đích thì câu nói đó không phải là không có lý. Bởi vì cho đến tận ngày nay, trong vật lý học hiện đại, người ta vẫn thấy đầy rẫy những hành xử lạ lùng của vật chất, cứ như là được “ai đó” qui định sẵn, bắt buộc phải như thế, trong khi không cần phải như thế cũng “chẳng chết ai”. Chẳng hạn, trong một môi trường không đồng chất, tia sáng đi từ điểm này đến điểm kia bao giờ cũng trên một tuyến đường (dù là gấp khúc) “tốn” ít thời gian nhất (nguyên lý Fécma) Tại sao tia sáng lại phải đi như vậy, tại sao nó lại phải “tiết kiệm” thời gian, nó bị bắt buộc hay tự chọn cho mình con đường “độc đạo” đó? Trong triết học, một câu hỏi lớn vẫn còn treo lơ lửng trên người các nhà thông thái: Tại sao Vũ Trụ cứ phải như thế này chứ không thể như thế khác?
Nếu tin vào triết học duy tồn thì dựa trên quan niệm của nó, có thể trả lời câu hỏi “to tát” trên dễ dàng đến bất ngờ. Vì mục tiêu duy nhất của Tồn Tại là bảo toàn Tồn Tại một cách Tự Nhiên, cho nên Nó hoàn toàn tự do trong biểu hiện với yêu cầu duy nhất là không được trở thành không Tồn Tại (hay Hư Vô). Tuy nhiên, vì Tồn Tại là Tồn Tại, nghĩa là Tồn Tại là duy nhất chứ không thể là hai hay nhiều Tồn Tại, do đó, dù Nó có thể “tha hồ” biểu hiện thì cũng không thể lựa chọn mà phải theo một cách thức duy nhất, sao cho Tồn Tại là Tồn Tại chứ không thể là cái khác. Có thể thấy, biểu hiện của Tồn Tại đa dạng và phong phú đến tuyệt cùng khả năng trên phạm vi tổng thể, đồng thời lại đơn điệu, nghèo nàn ở phạm vi bộ phận, và chỉ có như vậy mới đảm bảo tuân thủ nghiêm ngặt nguyên lý tối hậu, nguyên lý duy nhất, cội nguồn của mọi nguyên lý – nguyên lý Tự Nhiên, cũng như ngược lại, chính nguyên lý Tự Nhiên “bắt buộc” Tồn Tại phải biểu hiện như vậy. Vì lẽ đó, sự xuất hiện, tiến triển của mọi quá trình xảy ra trong Vũ Trụ vừa mang tính tất yếu, vừa mang tính ngẫu nhiên, mà xét cho đến cùng, trong một điều kiện, hoàn cảnh nhất định, nó là sự lựa chọn duy nhất của môi trường chứa nó để rồi sự lựa chọn tiến triển của nó cho bản thân nó cũng là duy nhất. Một tia sáng trong những điều kiện hoàn cảnh khác nhau sẽ phải đi theo những con đường khác nhau, nhưng trong một điều kiện hoàn cảnh xác định thì con đường đó không thể là từ sự lựa chọn tùy tiện mà phải là duy nhất thỏa mãn nguyên lý Fécma. Nếu không như thế, tia sáng sẽ làm rối loạn trật tự chặt chẽ vốn có của Vũ Trụ, tác động phi Tự Nhiên một cách dây chuyền đến toàn bộ vạn vật - hiện tượng, phá vỡ mối quan hệ ràng buộc, phụ thuộc lẫn nhau một cách duy nhất giữa chúng, dẫn đến một Vũ Trụ mất cân bằng, một Không Gian phi bảo toàn, nghĩa là làm xuất hiện một Tồn Tại kiểu khác - một Tồn Tại chấp nhận Hư Vô. Đó là điều khủng khiếp và không thể tưởng tượng nổi đối với Đấng Tạo Hóa thiêng liêng. Do đó Ngài nhất quyết không cho điều đó xảy ra. Chắc chắn rằng Ngài làm được như thế vì Ngài là đấng toàn năng mà cũng không toàn năng!.
Vậy thì trước câu hỏi: tính mục đích trong hành xử của sự vật là gì, chúng ta sẽ trả lời là… như trên! Cũng có thể trả lời gãy gọn và cụ thể hơn: sự vật hành xử nhằm thỏa mãn yêu cầu của Tồn Tại, theo phương thức duy nhất mà nguyên lý Tự Nhiên đã lựa chọn cho nó, và nó phải hành xử theo “định mệnh” ấy chứ không thể khác để mà còn có khả năng tự duy trì sự tồn tại tương đối của mình trong khoảng thời gian có thể trong Vũ Trụ - một môi trường khắc nghiệt, đầy bất trắc và không thể lường trước, gây ra bởi cuộc “đấu tranh sinh tồn” vô tiền khoáng hậu, ác liệt nhất mà cũng vô tình nhất.
Khi nói sự vật hành xử theo một “định mệnh” thì các định mệnh ấy cũng chính là những nguyên lý hay qui luật mà sự vật buộc phải tuân theo. Cũng có nghĩa rằng, mọi quá trình tồn tại, vận động của toàn bộ vật chất trong Vũ Trụ, kể cả Vũ Trụ và không thể có ngoại lệ đều có qui luật và hoạt động tuân theo qui luật. Những qui luật ấy dù có thể có tính đặc thù, tính riêng biệt, nhưng đều có vai trò là những hệ quả của những nguyên lý này đều xuất phát từ cùng một cội nguồn là nguyên lý Tự Nhiên.
Trước đây, chúng ta thường nói, chẳng hạn như: “Đó là một trong những nguyên nhân dẫn đến…” và vẫn cho rằng nói như thế là đúng. Nhưng đến tận bây giờ thì chúng ta thấy hình như cách nói đó có vẻ bất ổn. Cũng vì sự hành xử của mọi sự vật là có tính tất định, mọi quá trình vận động đều phải theo qui luật, cho nên mối quan hệ nhân - quả là có tính trực tiếp và tất yếu. Nghĩa là giữa nguyên nhân và kết quả sẽ không có nguyên nhân hay kết quả nào khác nữa và “nguyên nhân nào thì kết quả nấy”. Như vậy, một nguyên nhân chỉ có một kết quả duy nhất và ngược lại một kết quả chỉ có một nguyên nhân duy nhất. Việc cho rằng có nhiều nguyên nhân làm nên một kết quả hay nhiều kết quả được tạo ra từ một nguyên nhân, là không thỏa đáng. Sau này, nếu do thói quen mà vẫn cứ nói như thế thì nên hiểu rằng những nguyên nhân đó là “tiền nguyên nhân” và những kết quả đó là “hậu kết quả”, nghĩa là mối quan hệ nhân - quả lúc này đã hàm chứa cả tính chủ quan, tương đối, không còn mang tính trực tiếp nữa và tính tất yếu của nó không được đảm bảo nữa. Có thể xếp mối quan hệ này vào loại quan hệ giữa khả năng và hiện thực.
Nếu chúng ta thừa nhận quan niệm về nguyên nhân có tính mục đích của Arixtốt, thì có lẽ phải nên hiểu theo cách đã trình bày ở trên, còn không thì phải phủ nhận nó.
Nguyên nhân của một kết quả là cái trực tiếp làm nên kết quả đó, tất yếu phải cho ra kết quả đó chứ không thể là kết quả nào khác. Nguyên nhân trực tiếp là sự hợp thành của nhiều cái gọi là nguyên nhân bộ phận, tiền nguyên nhân, hay nguyên nhân tiềm năng… Cũng chính là những yếu tố, những thực thể, những quá trình vận động vật chất mà xét trong mối quan hệ nhân - quả thì có liên quan đến nhâu, đã phối hợp với nhau tạo nên một tác động tổng hợp tại một thời điểm được cho là chín muồi, gọi là nguyên nhân trực tiếp làm xuất hiện một kết quả ngay sau đó. Bản thân những tiền nguyên nhân cũng chính là những kết quả của những nguyên nhân trước đó (trong quá khứ). Có thể nói nếu có những nguyên nhân trực tiếp thì đồng thời và tất yếu phải có những kết quả. Tùy theo cách nhìn nhận, qui ước, thỏa thuận trong việc khảo sát, nghiên cứu mà có thể gộp những nguyên nhân thành một nguyên nhân và muốn làm thế thì cũng phải gộp những kết quả thành một kết quả. Bởi vì chỉ có như thế mới đảm bảo được tính tất yếu và trực tiếp của mối quan hệ nhân - quả. Đối với một kết quả đã xuất hiện thì nguyên nhân trực tiếp còn có tính đầy đủ, vì nếu nguyên nhân này thiếu hay thừa bất cứ một yếu tố tiền nguyên nhân nào thì nó phải tất yếu làm xuất hiện một kết quả khác chứ không phải là kết quả đó nữa.
Phương thức nguyên thủy, nền tảng, cội rễ của mọi phương thức tương tác vật chất, chỉ có thể “thấy được” ở đáy cùng tận của thế giới vi mô, là kích thích - cảm ứng Không Gian. Có thể nói trên cơ sở của phương thức này mà ở những tầng nấc không gian vĩ mô, tương tác vật chất còn được thể hiện ra với những phương thức khác nhau, như: tương tác cảm ứng điện từ, tương tác hấp dẫn, tương tác cơ học… và có thể gọi chung là tác động - phản ứng (hay tác động tương hỗ). Tương tác vật chất là phương thức tuyệt đối và duy nhất của vận động, hay cũng có thể nói vận động là biểu hiện của tương tác vật chất. Tương tác vật chất (hay vận động) là nguyên nhân của mọi chuyển hóa, biến đổi vật chất, của mọi quá trình xuất hiện, tồn tại, tiêu tan của vạn vật - hiện tượng trong Vũ Trụ, vừa liên tục một cách tuyệt đối, vừa gián đoạn một cách tương đối.
Sự liên tục của biến hóa biểu hiện ra thành cái gọi là “quá trình” biến hóa, có trước có sau về mặt thời gian (quá khứ - hiện tại - tương lai) và về mặt không gian (phương chiều). Hiện tượng đó làm cho nguyên lý nhân - quả được xác lập. Vì nền tảng của quá trình từ nguyên nhân đến kết quả là quá trình biến hóa vật chất nên quá trình nhân - quả cũng mang tính vừa liên tục vừa gián đoạn.
Nguyên lý nhân - quả là thành quả khám phá và đồng thời cũng là sáng tạo tất yếu của con người trên bước đường đi khai sáng hiện thực khách quan hoang dại (thực tại khách quan của nó!). Quá trình biến hóa vật chất là không thể phân chia tuyệt đối được. Tuy nhiên, tùy thuộc vào những yếu tố khách quan (như qui mô, tốc độ tiến triển sự biến thiên… của quá trình biến hóa) cũng như những yếu tố chủ quan (như sự hạn chế của năng lực nhìn nhận, việc phải đề ra những định ước nhằm mục đích nghiên cứu, khảo sát) mà con người có thể phân định một cách tương đối và hình thức một quá trình biến hóa nào đó xảy ra trong tự nhiên – xã hội thành nhiều giai đoạn, nhiều sự vật - hiện tượng… khác nhau và phân biệt chúng bằng những cặp khái niệm như: ổn định - bất ổn, phát triển – suy tàn, biến đổi từ từ - đột biến… Qua đó, quá trình biến hóa có thể được thấy như gồm nhiều quá trình bộ phận đan xen nhau, kế tiếp nhau, hợp thành một xâu chuỗi những giai đoạn tiến triển nối tiếp nhau trong thời gian, lập nên mối quan hệ giữa khả năng và hiện thực trên cơ sở nền tảng là nguyên lý nhân - quả. Tùy vào mức độ, cách thức tiến triển cũng như qui ước chủ quan mà có thể phân biệt các giai đoạn là tiến trình hay biến cố. Thường thì biến cố là kết quả nổi trội, thấy được của giai đoạn phát triển trước đó đã đạt đến tình thế gọi là quá độ, chín muồi và đồng thời đóng vai trò là nguyên nhân làm xuất hiện giai đoạn tiến triển mới, kế tiếp, hoặc cũng có thể được coi là điểm nút, điểm bộc phát làm kết thúc quá trình biến hóa.
Vậy thì khi nói: “Hạt lúa nảy mầm ra cây lúa rồi cây lúa sau một quá trình phát triển, đến độ chín muồi sẽ tạo ra những hạt lúa mới”, thì đó chỉ là quá trình nằm trong mối quan hệ không tất yếu (tạm gọi là) “khả năng - hiện thực”. Do đó, sự từ hạt lúa xuất hiện cây lúa và từ cây lúa xuất hiện những hạt lúa mới cũng không mang tính tất yếu mà chỉ như một trong số các yếu tố tiền nguyên nhân hợp thành cái nguyên nhân tất yếu… Chỉ khi nào đặt quá trình nói trên trong mối quan hệ nhân - quả đích thực, nghĩa là chúng ta đã xác định được tất cả các yếu tố hợp thành những nguyên nhân trực tiếp và tất yếu của hiện tượng hạt lúa 
cây lúa những hạt lúa, thì nó mới được coi là quá trình tất yếu. Nếu không có các yếu tố hợp thành nguyên nhân trực tiếp như đất đai, độ ẩm, thời tiết… thì khả năng hạt lúa cây lúa những hạt lúa sẽ vĩnh viễn không bao giờ thành hiện thực được. Một hạt lúa đem đốt cháy tất yếu phải thành tro than chứ không thể thành hạt lúa khác được!
cây lúa những hạt lúa, thì nó mới được coi là quá trình tất yếu. Nếu không có các yếu tố hợp thành nguyên nhân trực tiếp như đất đai, độ ẩm, thời tiết… thì khả năng hạt lúa cây lúa những hạt lúa sẽ vĩnh viễn không bao giờ thành hiện thực được. Một hạt lúa đem đốt cháy tất yếu phải thành tro than chứ không thể thành hạt lúa khác được!Tương tự, đối với trường hợp anh chàng đi xem kịch cũng vậy. Cái ý muốn xem kịch của anh ta chỉ là một yếu tố có tính chủ động trong số nhiều yếu tố hợp thành khả năng làm cho sự có mặt của anh ta ở nhà hát vào thời điểm đã định trở thành hiện thực. Còn sự hoạt động có chủ đích định trước thì không chỉ ở giống loài sinh vật biết tư duy lý tính mới có, và nguồn gốc sâu xa của nó có thể được tìm thấy trong qui luật đấu tranh sinh tồn, cạnh tranh để tồn tại, vận động để đảm bảo và duy trì sự cân bằng nội tại, mà sâu xa nhất có thể được tìm thấy trong cái bản tính của Đấng Tạo Hóa thiêng liêng, cái bản tính được hun đúc nên từ nguyên lý Tự Nhiên. Có thể nói tổ tiên khởi thủy của loài người là Đấng Tạo Hóa cho nên dù là ở dạng đặc thù thì sự biểu hiện của loài người vẫn “phảng phất” hồn vía của Ngài mà trong đó nổi lên cái đặc tính năng động sáng tạo, hoạt động có chủ đích.
Để chấm dứt sự “vương vấn” đối với loại nguyên nhân thứ tư của Arixtốt, chúng ta hãy nghe theo lời dạy sau đây của Đềcác: “Với tôi, những nguyên nhân có tính mục đích của sự vật và sự kiện là một điều huyền bí mà có lẽ chỉ Thượng Đế mới biết được. Công việc của nhà khoa học là chỉ nghiên cứu những nguyên nhân nào có kết quả theo sau, chứ không bàn viễn vông về những quyền năng bí hiểm hay những mục đích tối hậu”.
Ngay từ thời xa xưa thượng cổ, con người đã nhận ra được hiện thực khách quan là không ngừng biến chuyển và biết bao nhiêu sự kiện “vật đổi, sao dời” với biết bao nhiêu quá trình xuôi ngược theo xu thế tất định khác nhau, mà nhiều khi cũng tương tự nhau, không lặp lại mà cũng nhiều khi lặp lại, và tất cả chúng đều ở trong vòng của cuộc xoay vần vĩ đại và huyền linh theo bất tận thời gian. Ở thuở ban đầu ấy, dù rằng vẫn còn trong cảnh mù mịt, hồng hoang về nhận thức, nhưng con người cũng đã bắt đầu thấy được những liên quan ở mức độ nào đó giữa những sự vật - hiện tượng này với những sự vật - hiện tượng khác, giữa những biến đổi thiên nhiên xảy ra trước với những biến đổi thiên nhiên xảy ra sau, để rồi qua kinh nghiệm, họ đã có thể phỏng đoán được ít nhiều điều có thể xuất hiện ở tương lai. Chẳng hạn, có thể tạm nêu vài câu ca dao, tục ngữ trong dân gian Việt Nam còn lưu truyền đến ngày nay làm ví dụ:
“Mây kéo xuống bể thì nắng chang chang
Mây kéo lên ngàn thì mưa như trút.”
“Mùa hè đương nắng, cỏ gà trắng thì mưa.”
“Cơn đàng đông vừa trông vừa chạy
Cơn đàng tây mưa dây bão dật
Cơn đàng nam vừa làm vừa chơi
Cơn đàng bắc rắc thóc ra phơi.”
“Chớp đông nhay nháy, gà gáy thì mưa.”
“Ráng vàng thì nắng,
Ráng nắng thì mưa.”
“Rồng đen lấy nước thì nắng
Rồng trắng lấy nước thì mưa.”
“Ráng mỡ gà, ai có nhà thì chống.”
“Trăng quầng thì hạn
Trăng tán thì mưa.”
“Chuồn chuồn bay thấp thì mưa
Bay cao thì nắng, bay vừa thì râm.”
Trên bước đường mưu sinh, chính thực tiễn cuộc sống đã là những người thầy đầu tiên dạy cho con người những kiến thức mở đầu về hiện thực khách quan. Không dừng lại ở đó, tính chủ động sáng tạo ở giống loài biết tư duy đã thúc đẩy con người tìm hiểu ngày một sâu rộng hơn nữa cái môi trường đầy biến động mà họ đang vật lộn với nó để tồn tại và tồn tại một cách ngày càng vui thú. Quá trình đó tất nhiên sẽ làm xuất hiện những nhà thông thái - lực lượng đi tiên phong của loài người trong công cuộc nhận thức, khám phá những bí ẩn của tự nhiên, lấy việc khảo sát nghiên cứu tự nhiên làm lẽ sống cuộc đời. Chính nhờ họ mà thế hệ nối tiếp thế hệ, hiện thực khách quan của loài người ngày càng sáng tỏ và rộng lớn, chân dung của vạn vật - hiện tượng dần được thấu hiểu, bản chất của những quá trình biến hóa xảy ra trong hiện thực khách quan, cũng như của những mối liên quan giữa các sự vật - hiện tượng trong những quá trình đó cũng dần được khám phá.
Một trong những nhận biết từ rất sớm của các nhà thông thái là mọi biến đổi trong tự nhiên đều phải có lý do và mọi biến đổi luôn kéo theo những biến đổi sau đó. Tình hình đó dẫn các nhà thông thái đến với khái niệm về những quá trình muôn vẻ xảy ra trong tự nhiên và hiểu rằng tất cả những quá trình đó, dù có thể xuất hiện theo kiểu cách gì đi nữa, dù có biểu hiện ra kỳ lạ như thế nào chăng nữa thì sự tiến triển của chúng cũng vẫn như một xâu chuỗi kế tiếp nhau của những biến đổi liên tiếp có tính trước – sau, theo những phương thức đặc thù nào đó có tính bất biến tương đối, được gọi là nguyên lý, qui luật… Ngay từ thời cổ đại, các nhà thông thái, qua con đường chiêm nghiệm và suy tư triết học, đã quan niệm được mối quan hệ nhân - quả và có lẽ đến thời trung đại thì đã coi mối quan hệ ấy như là một nguyên lý đầu tiên, phổ quát cho mọi quá trình đích thực là quá trình (nghĩa là như một chuỗi xích liên kết, ràng buộc chặt chẽ với nhau một cách tự nhiên trong thời gian, mà nếu thiếu bất cứ mắt xích nào thì quá trình không thể tồn tại) biến đổi và chuyển hóa vật chất.
Hiện thực khách quan của một hệ quan sát chính là thực tại khách quan đã mang ít nhiều đặc thù (không hoàn toàn khách quan nữa) của hệ quan sát đó. Cho dù có thế thì nếu hệ quan sát đó không phạm sai lầm, không tự gây ra những mâu thuẫn nội tại trong nghiên cứu khảo sát khoa học, nó vẫn có thể khám phá ra những nguyên lý, qui luật vốn có, những chân lý đích thực của Tự Nhiên (được trình bày theo ngôn ngữ riêng, theo cách “ghi chép” của nó).
Thể chất của Tự Nhiên Tồn Tại là Không Gian, thể hiện của Tự nhiên Tồn tại là Không Gian và Thời Gian, mà cụ thể là vật chất và vận động vật chất. (Từ đó mà cũng không thể khác: sự trình diễn của một hiện thực khách quan, trong “tầm” hệ quan sát của nó, chính là vạn vật - hiện tượng vận động trong những quá trình biến đổi, chuyển hóa muôn hình vạn trạng, theo những nguyên lý, qui luật mà Tự nhiên đã qui định cho chúng, và để có thể phân biệt được chúng, phải dựa vào hai chỉ tiêu cơ bản có nguồn gốc tự nhiên là “định tính” và “định lượng”. Hai chỉ tiêu này cũng có mối quan hệ mật thiết với nhau, phụ thuộc lẫn nhau và là tiền đề tồn tại của nhau.
Nhận thức hiện thực khách quan là nhận thức vật chất và vận động cũng như những quá trình biến đổi và chuyển hóa. Quá trình đó cũng chính là quá trình đi khám phá những nguyên lý, qui luật vốn có và “đang” chi phối hiện thực khách quan. Muốn thế, chỉ có cách là định tính và định lượng được chúng.
Khi nói “định tính” và “định lượng” có nguồn gốc tự nhiên thì cũng có nghĩa rằng những mệnh đề, định lý, những mối tương quan… toán học đã tiềm ẩn trong các nguyên lý, qui luật vốn có của Tự Nhiên. Do đó có thể thấy không phải ngẫu nhiên mà tiếp bước ngay sau triết học, toán học đã là lĩnh vực nghiên cứu mang tính khoa học đầu tiên trong công cuộc nhận thức hiện thực khách quan của loài người, và cũng đã từng là một “thực chứng” quan trọng cho nhận thức triết học. Vậy, nghiên cứu toán học là một lĩnh vực tất yếu của nhận thức, là quá trình đi khám phá những tiềm ẩn toán học trong tự nhiên, trên cơ sở đó mà loài người sáng tạo ra toán học theo cách riêng của nó. Để rồi toán học, đến lượt nó trở thành phương tiện mũi nhọn đắc lực, không thể thiếu được và thực ra là duy nhất trong công việc khám phá ra “một cách chính xác” về định tính cũng như định lượng có nguyên lý cũng như các qui luật vốn có trong Tự Nhiên.
Ngay từ khi toán học chỉ mới đóng vai trò là một số học thô sơ, phục vụ cho tính toán trực quan, nảy sinh trong đời sống thực tiễn thì nó đã phản ánh ra mối quan hệ nhân - quả rồi. Chẳng hạn nếu có:
2 + 3 = ?
thì kết quả chắc chắn phải là 5. Hay nếu có cái “nguyên nhân”:
2 – 3 = ?
thì tất yếu phải dẫn đến kết quả là -1 chứ không thể là số nào khác.
Tuy nhiên, khi trong toán học xuất hiện thêm số bình phương và dấu (
) thì mối quan hệ nhân - quả mà nó phản ánh với quan niệm một nguyên nhân 
một kết quả đã bị vi phạm. Chẳng hạn:
) thì mối quan hệ nhân - quả mà nó phản ánh với quan niệm một nguyên nhân một kết quả đã bị vi phạm. Chẳng hạn:
Nếu quan niệm “nguyên nhân” đó chỉ có một kết quả duy nhất thì kết quả chính là bằng 2. Thế nhưng toán học không chấp nhận như vậy mà cho rằng:
Nghĩa là cùng một nguyên nhân có thể có hai kết quả hoặc là bằng +2 hoặc là bằng -2.
Để bênh vực quan niệm của mình, chúng ta buộc phải cho rằng trong trường hợp này, toán học đã ngộ nhận, thậm chí là phạm sai lầm. Nhưng toán học đã qua hàng ngàn năm ứng dụng rồi thì với sự thử thách “khốc liệt” như thế, làm sao nó sai được? Vậy chỉ còn cách “ngụy biện” như thế nào đó để thỏa thuận với nó thôi!.
Té ra thì cũng đơn giản! Số 4 là biểu thị một lực lượng (Không Gian đặc thù nào đó) ban đầu. Khi phân chia nó ra thành hai phần bằng nhau, tất yếu dẫn đến một kết quả duy nhất là bằng 2. Tuy nhiên nếu đặt trong qui ước về tương phản âm – dương thì có thể chọn 4 là (+2)2 hoặc (-2)2 và kết quả sẽ là +2 hoặc -2. Chính qui ước chủ quan đã lũng đoạn làm ngộ nhận về kết quả, chứ thực ra quá trình phân chia ấy là có tính duy nhất, luôn thỏa mãn một nguyên nhân một kết quả. Vì trong một quá trình độc lập, lực lượng Không Gian phải được bảo toàn cho nên có thể thấy:
một kết quả. Vì trong một quá trình độc lập, lực lượng Không Gian phải được bảo toàn cho nên có thể thấy:
Viết được như trên là vì chúng ta là “chúa tể” nên bao giờ cũng thấy mình là thực và những gì trái với thực thì là ảo. Trong mối tương phản ảo - thực, khi chỉ có thể hoặc thế này, hoặc thế kia thì ảo của ảo không phải là ảo mà chính là thực, (nói thêm: ảo của thực rõ ràng là ảo, thực của ảo thì cũng là ảo, thực của thực thì phải là thực thôi!).
Trong hiện thực, muốn phân ra làm đôi từ một lực lượng là 4 thì phải có hành động “tách” chúng ra thành hai phần khác biệt và trong mối tương quan âm – dương, nếu phần này là +2 thì phần kia là -2 và kết quả là có thể chọn một trong hai số ấy mà xét về “tiêu chuẩn” bảo toàn Không Gian thì cũng không bị xâm phạm gì; vì:
Nhưng đã qui ước
nên bốn trường hợp trên chỉ coi như là nói về cùng một hiện tượng.Có thể dùng “luận điệu” trên để chứng minh
có kết quả duy nhất là bằng -2
Thực ra mối quan hệ nhân - quả được phản ánh trong toán học là một hiện tượng rất phổ biến, đến nỗi có thể nói nếu không có mối quan hệ nhân - quả thì cũng không có toán học và biểu diễn trên cơ sở mối quan hệ nhân – quả là biểu diễn cốt lõi, cơ bản nhất của toán học. Khi chúng ta đưa ra một bài toán thì có nghĩa rằng chúng ta đã đưa ra một cách hình thức mối quan hệ chuyển biến có bản chất qui luật để từ một nguyên nhân cho trước mà tìm ra kết quả, hoặc cũng có thể cho biết những dữ kiện có tính thống kê về nguyên nhân lẫn kết quả để từ đó mà phải tìm ra mối quan hệ chuyển biến như một qui luật giữa chúng… Chẳng hạn có bài toán:
Ở đây, kết quả đã được xác định là 5, nguyên nhân là 2+x, gồm những yếu tố tiền nguyên nhân là 2, +, x, trong đó x là yếu tố chưa biết gọi là ẩn cần tìm, qui luật biến đổi là phép tổng.
Để tìm ẩn, chúng ta biến đổi phương trình trên thành:
x=5-2
Lúc này, do hình thức bài toán đã biến đổi mà có thể cho rằng mối quan hệ nhân - quả cũng đã biến đổi: x là kết quả của cái nguyên nhân 5 – 2, và ẩn số x chính là bằng 3. 3 là kết quả tất yếu của 5 – 2 và đồng thời là yếu tố tiền nguyên nhân không thể khác nếu muốn có kết quả là 5.
Một nguyên nhân là do nhiều yếu tố tiền nguyên nhân hợp thành, do đó mà trong nhiều trường hợp cùng một lúc có hai hay nhiều yếu tố chưa biết (những ẩn số), và dù đã biết trước được kết quả, cũng như qui luật của mối quan hệ nhân - quả thì cũng không thể xác định một cách chắc chắn được. Chẳng hạn, có hai yếu tố tiền nguyên nhân là x và y trong mối quan hệ nhân - quả:
có kết quả đã biết (bằng -3) và qui luật biến đổi đã biết (phép toán).
Đến đây, một câu hỏi lớn được đặt ra là: vậy 
có đúng là đang diễn tả một mối quan hệ nhân - quả đã có kết quả cho trước là -3 hay không? Nếu cho rằng đúng thì chúng ta sẽ phải lâm vào một mâu thuẫn khó lòng mà “tiêu diệt” được. Vì có nhiều cặp số x và y cho ra kết quả -3 nên phải cho rằng có nhiều nguyên nhân tạo thành một kết quả và do đó phải từ bỏ quan niệm một nguyên nhân 
một kết quả.
có đúng là đang diễn tả một mối quan hệ nhân - quả đã có kết quả cho trước là -3 hay không? Nếu cho rằng đúng thì chúng ta sẽ phải lâm vào một mâu thuẫn khó lòng mà “tiêu diệt” được. Vì có nhiều cặp số x và y cho ra kết quả -3 nên phải cho rằng có nhiều nguyên nhân tạo thành một kết quả và do đó phải từ bỏ quan niệm một nguyên nhân một kết quả.Mà nếu phải thừa nhận như thế thì “tội tình” cho chúng ta quá! Vậy thì lại phải cố mà “ngụy biện” thôi! Nhưng bằng cách nào?
Bằng cách nào thì chưa biết, nhưng trước tiên phải phủ nhận là sự biểu diễn của một mối quan hệ nhân - quả đích thực.
là sự biểu diễn của một mối quan hệ nhân - quả đích thực.Một nguyên tắc phải được tuân thủ tuyệt đối trong mối quan hệ nhân - quả là kết quả phải có sau nguyên nhân. Nãy giờ có lẽ chúng ta đã phạm phải sai lầm chết người là đã giả sử kết quả có trước nguyên nhân, bắt nguyên nhân phải “phục tùng” kết quả trong một quá trình xảy ra trong thời gian. Khi một nguyên nhân chưa được xác định chắc chắn thì nó mới ở dạng khả năng. Có thể có nhiều khả năng nhưng chỉ có một khả năng duy nhất biến thành hiện thực. Khả năng đó được gọi là nguyên nhân đích thực và hiện tại đó được gọi là kết quả tất yếu. Có thể mô tả qui luật biến đổi của một quá trình biến đổi tương quan nhân - quả nào đó nhưng không thể là của quá trình x, y bị biến đổi do kết quả -3 gây ra, vì chúng không thể là kết quả của -3 mà là của những nguyên nhân trực tiếp tạo nên chúng trước đó trong thời gian, khi -3 chưa xuất hiện. Hơn nữa, nếu cho rằng mối quan hệ nhân - quả thực sự tồn tại thì việc suy từ -3 ra các cặp giá trị x và y nhằm thỏa mãn bài toán chỉ là hú họa và sai lầm. Vì chỉ có một cặp x, y duy nhất có thể là những yếu tố tiền nguyên nhân của cái nguyên nhân làm xuất hiện -3. Chúng ta còn cho rằng một cách hoàn toàn hình thức -3 không phải là kết quả duy nhất của một quá trình mà có thể là của nhiều quá trình khác hẳn nhau về bản chất, tương tự như một điểm trùng của nhiều tuyến đường. Dù như một điểm trùng của nhiều tuyến đường thì về thực chất vẫn phải coi sự trùng ấy là của những kết quả khác biệt có được từ những nguyên nhân khác biệt, khác biệt về mặt thời gian xuất hiện, về phương chiều từ đó chúng xuất hiện, và về sự biểu hiện tương tác giữa chúng (gây ra những biến cố)… mà toán học đã không thể phát hiện được do cách biểu diễn đặc thù và phiến diện của nó.
mô tả qui luật biến đổi của một quá trình biến đổi tương quan nhân - quả nào đó nhưng không thể là của quá trình x, y bị biến đổi do kết quả -3 gây ra, vì chúng không thể là kết quả của -3 mà là của những nguyên nhân trực tiếp tạo nên chúng trước đó trong thời gian, khi -3 chưa xuất hiện. Hơn nữa, nếu cho rằng mối quan hệ nhân - quả thực sự tồn tại thì việc suy từ -3 ra các cặp giá trị x và y nhằm thỏa mãn bài toán chỉ là hú họa và sai lầm. Vì chỉ có một cặp x, y duy nhất có thể là những yếu tố tiền nguyên nhân của cái nguyên nhân làm xuất hiện -3. Chúng ta còn cho rằng một cách hoàn toàn hình thức -3 không phải là kết quả duy nhất của một quá trình mà có thể là của nhiều quá trình khác hẳn nhau về bản chất, tương tự như một điểm trùng của nhiều tuyến đường. Dù như một điểm trùng của nhiều tuyến đường thì về thực chất vẫn phải coi sự trùng ấy là của những kết quả khác biệt có được từ những nguyên nhân khác biệt, khác biệt về mặt thời gian xuất hiện, về phương chiều từ đó chúng xuất hiện, và về sự biểu hiện tương tác giữa chúng (gây ra những biến cố)… mà toán học đã không thể phát hiện được do cách biểu diễn đặc thù và phiến diện của nó.***
Chắc mẩm vì những biện hộ “quá đẹp” vừa trình bày, chúng ta đi tìm cho 
những biểu diễn toán học mới, “đích thực” mô tả được mối quan hệ nhân - quả nào đó một cách đúng đắn. Dễ dàng biến đổi đi một chút, và chúng ta có được:
những biểu diễn toán học mới, “đích thực” mô tả được mối quan hệ nhân - quả nào đó một cách đúng đắn. Dễ dàng biến đổi đi một chút, và chúng ta có được:
Chúng ta cho rằng 
và 
là những biểu diễn về mối quan hệ có tính nhân - quả đích thực với vế trái là nguyên nhân duy nhất và vế phải là kết quả tất yếu, khi x (hoặc y) là yếu tố đã hoàn toàn được xác định.
và là những biểu diễn về mối quan hệ có tính nhân - quả đích thực với vế trái là nguyên nhân duy nhất và vế phải là kết quả tất yếu, khi x (hoặc y) là yếu tố đã hoàn toàn được xác định.Mặt khác, khi x (hoặc y) chưa xác định (là những ẩn số) và đóng vai trò như một lượng (còn gọi là đại lượng) nào đó, thì với mỗi giá trị gán cho nó, chúng ta sẽ có một kết quả (tất yếu và duy nhất) tương ứng với những giá trị ấy theo qui luật bất biến và chặt chẽ của phép toán thể hiện trong (hoặc ), nghĩa là một cách có qui luật. Hơn nữa, giả sử rằng x (hoặc y) là một đại lượng biến đổi một cách tự nhiên theo trình tự thời gian, nghĩa là tại mỗi thời điểm trong “chuỗi” thời gian liên tục luôn xác định được một giá trị (duy nhất và tất yếu) của x (hoặc y), thì lúc này có thể coi (hoặc ) chính là qui luật được biểu diễn bằng phương tiện toán học của một quá trình biến đổi (vật chất) liên tục nào đó đã (hoặc đang) xảy ra trong hiện thực khách quan.
(hoặc ), nghĩa là một cách có qui luật. Hơn nữa, giả sử rằng x (hoặc y) là một đại lượng biến đổi một cách tự nhiên theo trình tự thời gian, nghĩa là tại mỗi thời điểm trong “chuỗi” thời gian liên tục luôn xác định được một giá trị (duy nhất và tất yếu) của x (hoặc y), thì lúc này có thể coi (hoặc ) chính là qui luật được biểu diễn bằng phương tiện toán học của một quá trình biến đổi (vật chất) liên tục nào đó đã (hoặc đang) xảy ra trong hiện thực khách quan.Thông thường thì trong cách biểu diễn (hoặc ), ẩn số ở vế trái (yếu tố tiền nguyên nhân chưa xác định được) không phải chỉ có một mà có thể có nhiều hơn thế, nhưng bao giờ thì vế phải cũng vẫn chỉ là một đại lượng đóng vai trò ẩn số duy nhất (kết quả duy nhất và tất yếu). Muốn thế, nghĩa là muốn cho cách biểu diễn (hoặc ) trong trường hợp vế trái có hơn một ẩn số, vẫn thỏa mãn là sự biểu diễn một qui luật của một quá trình biến đổi liên tục nào đó, thì sự biến đổi của các ẩn số ở vế trái không thể tùy tiện mà cũng phải tuân theo những qui luật bất biến, qui định cho riêng chúng hoặc sự biến đổi của chúng phải nằm trong mối quan hệ khăng khít, ràng buộc chặt chẽ với nhau một cách duy nhất.
(hoặc ), ẩn số ở vế trái (yếu tố tiền nguyên nhân chưa xác định được) không phải chỉ có một mà có thể có nhiều hơn thế, nhưng bao giờ thì vế phải cũng vẫn chỉ là một đại lượng đóng vai trò ẩn số duy nhất (kết quả duy nhất và tất yếu). Muốn thế, nghĩa là muốn cho cách biểu diễn (hoặc ) trong trường hợp vế trái có hơn một ẩn số, vẫn thỏa mãn là sự biểu diễn một qui luật của một quá trình biến đổi liên tục nào đó, thì sự biến đổi của các ẩn số ở vế trái không thể tùy tiện mà cũng phải tuân theo những qui luật bất biến, qui định cho riêng chúng hoặc sự biến đổi của chúng phải nằm trong mối quan hệ khăng khít, ràng buộc chặt chẽ với nhau một cách duy nhất.Trong toán học, cách biểu diễn tương tự như (hoặc ) được gọi là cách biểu diễn hàm số. Các ẩn số của vế trái được gọi là các “biến (số)”, ẩn số ở vế phải, vì sự thay đổi của nó là tùy thuộc vào những thay đổi ở vế trái, nên để phân biệt, người ta gọi là “hàm (số)”. Theo đó thì ở , x chính là biến số của y và y là hàm số của y. Trong tập quán, x, y, z… vẫn được dùng ký hiệu cho những ẩn số, biến số, cho nên để khỏi lẫn lộn, người ta hay dùng các ký hiệu f, f, h… để chỉ hàm số. Chẳng hạn nếu viết: 
thì phải hiểu rằng 
là hàm của biến số
x. Như vậy, chúng ta có thể viết lại (hoặc ) được gọi là cách biểu diễn hàm số. Các ẩn số của vế trái được gọi là các “biến (số)”, ẩn số ở vế phải, vì sự thay đổi của nó là tùy thuộc vào những thay đổi ở vế trái, nên để phân biệt, người ta gọi là “hàm (số)”. Theo đó thì ở , x chính là biến số của y và y là hàm số của y. Trong tập quán, x, y, z… vẫn được dùng ký hiệu cho những ẩn số, biến số, cho nên để khỏi lẫn lộn, người ta hay dùng các ký hiệu f, f, h… để chỉ hàm số. Chẳng hạn nếu viết: thì phải hiểu rằng là hàm của biến số 
và 
:
và: 
Vì
được suy ra một cách thuần túy toán học từ và tương tự như “quá trình ngược” trong mối quan hệ thuận nghịch với “quá trình thuận” cho nên người ta cũng gọi là hàm ngược của .Chính Lepnit là người đầu tiên đưa ra thuật ngữ “hàm”. Đối với các nhà toán học thế kỷ XVIII thì khái niệm tương quan hàm được hiểu tương đối thống nhất ở mức độ nhất định với sự tồn tại một hệ thức toán học đơn giản biểu thị chính xác mối tương quan đó. Quan niệm như thế là quá hẹp so với những yêu cầu do vật lý – toán đề ra.
Có thể thấy một biến hay cụ thể là biến số, trong quá trình biến đổi của nó sẽ cho ra nhiều “định lượng” (hay số trị) cấu thành một dãy (hay tập hợp) có “trật tự” nào đó, và được gọi là “miền biến thiên” của biến đó. Miền biến thiên của biến số có thể là hữu hạn hay vô hạn, liên tục hay không liên tục… Biểu diễn hình học của một hàm trong hệ tọa độ được gọi là “đồ thị” của hàm đó. Chẳng hạn, đồ thị của hàm 
trong hệ tọa độ vuông góc hai chiều là một đường thẳng.
trong hệ tọa độ vuông góc hai chiều là một đường thẳng.Nội dung quan trọng bậc nhất của lý thuyết hàm là những nghiên cứu về những cặp khái niệm: liên tục – gián đoạn, vô hạn - hữu hạn và mối liên quan biện chứng giữa chúng với nhau, trong những quá trình biến đổi tự nhiên được biểu diễn dưới dạng đã “toán học hóa”. Những khái niệm đó cùng với toàn bộ lập luận toán học về chúng đã là những cơ sở kết thành nên nền tảng bền chặt của phương pháp tính toán vi – tích phân.
Một cách trực giác, thật khó lòng mà “thấy” được “cảnh tượng” của sự vô tận, nhưng rất dễ dàng cảm nhận được sự hữu hạn hay giới hạn cũng như sự liền lạc hay rời rạc, liên tục hay gián đoạn. Trong đời sống hàng ngày, khái niệm “liên tục” và “gián đoạn” đều được mọi người mặc nhiên thừa nhận như những điều hoàn toàn hiển nhiên, dễ dàng hiểu được, đến độ nếu ai hỏi: “Liên tục (hay gián đoạn) là gì?” Cho là cắc cớ, vô công rỗi nghề, bởi vì ai cũng có thể tự trả lời được: “Liên tục là không bị gián đoạn”, hay “Gián đoạn là rời lìa, là đứt đoạn, không còn liên tục nữa”.
Thế nhưng nếu hỏi rằng: “Liên tục và gián đoạn là như thế nào?”, thì suy nghĩa kỹ một chút, trả lời cho xác đáng thật không dễ chút nào. Không ai không đồng ý rằng một hồ đầy nước là một khối liền lạc, liên tục và chỉ gián đoạn ở mặt tiếp giáp của nó với xung quanh. Tuy nhiên có thể dễ dàng múc nước lên ở đó với xung quanh. Tuy nhiên có thể dễ dàng múc nước lên ở đó, nghĩa là khối nước đó được hợp thành từ nhiều lượng nước, từ nhiều phần tử nước, cho nên nó cũng có tính rời rạc, và xét trên góc độ này thì cũng có thể nói hồ nước là một khối gián đoạn. Tương tự, một dòng sông chảy từ đầu nguồn ra biển phải được cho là một dòng liên tục và chỉ bị gián đoạn ở đầu nguồn và cửa biển, hoặc bị gián đoạn ở đâu đó giữa dòng khi bị người ta xây đập ngăn. Thế nhưng nước chảy là hiện tượng cùng lúc, chuyển dời vị trí theo cùng một hướng của vô vàn phần tử nước trên suốt chiều dài dòng chảy, mà các phần tử nước “ở trước” vừa dời đi thì lập tức các phần tử nước “ở sau” tràn đến chiếm chỗ. Vậy thì trong một khoảng thời gian đủ nhỏ (thời điểm) sao cho các phần tử nước được thấy như đứng yên, dòng sông đó không thể được coi là một thực thể liên tục. Thêm ví dụ nữa, một bãi mênh mông toàn cát (ngoài cát ra không còn cái gì cả, sa mạc chẳng hạn) là có tính liên tục hay gián đoạn? Nếu quan sát từ xa (thì trên máy bay chẳng hạn(, khi mà mắt không thể phân biệt được các hạt cát với nhau, thì nếu chỉ dựa vào quan sát đó thôi. Không thể không thừa nhận đó là một miền cát liên tục. nhưng nếu đứng ngay trên bãi cát mênh mông mà quan sát thì thấy rõ ràng nó là một miền tập hợp những hạt cát rời rạc, và như vật, nếu chỉ dựa vào quan sát này thôi thì phải cho rằng bãi cát mênh mông là có tính gián đoạn. Có thể nói như thế này được không: bãi cát mênh mông, vì “toàn cát là cát” nên nó có tính liên tục, vì được tạo nên từ sự tập hợp những hạt cá nên nó cũng có tính gián đoạn, và tùy vào cự ly quan sát mà thấy nó liên tục hay gián đoạn và đều đúng với mỗi quan sát? Có thể lắm! Và chúng ta nói thêm rằng, chính cái bản chất nước đôi của Tự nhiên Tồn tại đã làm cho mọi sự vật - hiện tượng đêu đồng thời có tính liên tục và gián đoạn, tùy vào quan sát mà được thể hiện ra ở góc độ này là gián đoạn, ở góc độ kia là liên tục. Liên tục và gián đoạn là hai biểu hiện của một thực tại thống nhất. Chúng là hai mặt của một mối quan hệ tương phản và biện chứng, là tiền đề tồn tại của nhau, “giúp” nhau tồn tại cùng chuyển hóa lẫn nhau thông qua sự vận động vật chất và đồng thời cũng làm cho vận động vật chất có khả năng. Lịch sử tồn tại của loài người từ khởi thủy đến nay là một quá trình liên tục, được hợp thành từ vô vàn các quá trình gián đoạn đan xen chằng chịt, kế tục nhau, kết thúc và mở đầu bằng hàng loạt biến cố, xảy ra trong không gian và thời gian. Tùy thuộc vào nội dung và phạm vi nghiên cứu mà có thể nhấn mạnh hay quan tâm chủ yếu đến mặt gián đoạn hay liên tục của quá trình ấy. Tuy nhiên, phải cho rằng quá trình ấy luôn biểu hiện đồng thời cả hai thuộc tính gián đoạn và liên tục. Một cách tương đối thì có thể qui ước, đối với một sự vật - hiện tượng hay một quá trình vận động, khi hệ quan sát không phát hiện được hoặc “phớt lờ” sự rời rạc, sự khác biệt trong nội tại của nó, coi như nó đồng nhất, không “ngắt” được, không phân chia được thì phải cho rằng nó liền lạc, liên tục trong toàn miền hay khoảng tồn tại của nó, bằng không, ngược lại phải gọi là không liên tục, nghĩa là phải rời rạc, gián đoán. Còn một cách tuyệt đối thì phải quan niệm rằng, Không Gian phải liền lạc và liên tục đến tuyệt cùng để không thể xuất hiện Hư Vô, đồng thời phải rời rạc và gián đoạn đến “chân tơ kẽ tóc” để đảm bảo Tồn Tại.
Thế thì toán học quan niệm như thế nào về tính liên tục và gián đoạn trong nhận thức đặc thù của nó?
Có thể định nghĩa, hàm là qui luật của một quá trình vận động tự nhiên nào đó đã được toán học hóa: Thông qua hàm mà có thể biểu diễn hình học quá trình đó bằng đồ thị. Có thể thấy ở đồ thị biểu tượng trực quan về tính liên tục hay gián đoạn của một quá trình để từ đó toán học đi đến định nghĩa chặt chẽ về những tính chất ấy.
Chúng ta biết rằng đồ thị của hàm là một đường thẳng. Đường thẳng chính là một biểu tượng trực quan của tính liên tục, bởi vì không hề quan sát thấy nó “đứt đoạn” ở bất cứ đâu cả và nếu có gián đoạn thì may ra là ở vô tận vì ở đó quan sát không “với tới” được nên cũng không xác định được. Hơn nữa, không thể không quan niệm đường thẳng là tập hợp nối tiếp nhau của các điểm, nhưng theo Ơclit thì “điểm là cái không có bộ phận”, do đó không thể “lấy” bất cứ điểm nào ra khỏi đường thẳng đó được, nghĩa là đường thẳng phải liên tục và không thể tùy tiện làm cho gián đoạn một khi nó đã hiện hữu.
là một đường thẳng. Đường thẳng chính là một biểu tượng trực quan của tính liên tục, bởi vì không hề quan sát thấy nó “đứt đoạn” ở bất cứ đâu cả và nếu có gián đoạn thì may ra là ở vô tận vì ở đó quan sát không “với tới” được nên cũng không xác định được. Hơn nữa, không thể không quan niệm đường thẳng là tập hợp nối tiếp nhau của các điểm, nhưng theo Ơclit thì “điểm là cái không có bộ phận”, do đó không thể “lấy” bất cứ điểm nào ra khỏi đường thẳng đó được, nghĩa là đường thẳng phải liên tục và không thể tùy tiện làm cho gián đoạn một khi nó đã hiện hữu.Từ trực quan về tính liên tục của đường thẳng, có thể mô tả sự liên tục của một đường cong và từ đó mà cho rằng, một hàm số là liên tục nếu đồ thị của nó là một đường cong trơn tru không “đứt đoạn” ở đâu cả.
“Điểm là cái không có bộ phận” là một quan niệm không thể hình dung được. Đường thẳng hình thành nên từ tập hợp của những cái Hư Vô rõ ràng là điều phi lý. Nhưng nếu điểm có nội tại thì lại cũng thật là bất ổn vì đường thẳng lúc này sẽ chỉ được thấy như sự “tiếp giáp” nối tiếp nhau liên tục một cách thứ tự giữa điểm này với điểm kia của vô vàn điểm chứ không thể được thấy liên tục một cách “dứt khoát” được, nghĩa là nó cũng có tính gián đoạn. Để loại bỏ sự thể hiện “hai mang” của đường thẳng, chỉ chấp nhận mặt biểu hiện liên tục của nó và đồng thời vẫn thừa nhận điểm phải có nội tại, thì chúng ta chỉ còn một cách cho rằng, điểm là có thực nhưng không nhìn thấy được nên cũng không phân biệt được giữa chúng với nhau, do đó, đường là trơn tru, liên tục. Còn các nhà toán học, để gỡ bỏ thế bí, cũng phải đi đến quan niệm mới về điểm, hơi khác với chúng ta. họ cho rằng điểm là nhỏ vô cùng, có thể tùy ý cho nó nhỏ bao nhiêu cũng được, miễn là khác 0. Trên cơ sở quan niệm này, toán học đã xây dựng nên khái niệm về sự liên tục và giới hạn của hàm số.
Giả sử trên đồ thị của hàm cho trước một điểm A (xem hình 1/a). Hỏi rằng, tại điểm đó đồ thị của hàm có liên tục hay không? Hỏi như thế thì cũng đồng nghĩa với việc hỏi rằng tại “điểm” x1, hàm f(x) có liên tục hay không?
cho trước một điểm A (xem hình 1/a). Hỏi rằng, tại điểm đó đồ thị của hàm có liên tục hay không? Hỏi như thế thì cũng đồng nghĩa với việc hỏi rằng tại “điểm” x1, hàm f(x) có liên tục hay không?
Hình 1: Sự liên tục của hàm số
Toán học chỉ ra rằng, muốn biết hàm f(x) có liên tục tại điểm x1 hay không, chúng ta phải cho biến số x tiến dần liên tục đến giá trị x1 của nó, lần lượt từ hai phía “bên phải” lẫn “bên trái”. “Tiến dần liên tục đến X1” có nghĩa là như thế nào? Giá trị của x1 (hay X) được thấy trên hình 1/a chính là khoảng cách từ điểm x1 (hay x) đến gốc O. Do đó khoảng cách từ x đến x1 ở cả hai phía trái, phải đều có thể được xác định bằng 
. Khi x tiến tới x1 thì khoảng cách tiến tới O (ký hiệu 
). Vì điểm được quan niệm là nhỏ bao nhiêu cũng được miễn khác 0 nên để tiến tới x1, biến số x lần lượt và theo trình tự nhận mọi giá trị có thể có, tồn tại giữa x và x1. (Số lượng các giá trị ấy là bao nhiêu? Phải là vô hạn rồi! Nếu thế thì làm sao có thể đi được đến đích của cuộc khảo sát được?... Nhưng thôi, đó là vấn đề riêng của Zénon và của toán học. Hãy để cho “họ” tự giải quyết. Còn chúng ta bỏ qua kẻo… hết thời gian!). Tương ứng với các giá trị của biến số x khi nó tiến về x1 là các giá trị của hàm số f(x), nghĩa là cũng tồn tại quá trình 
tiến dần tới giới hạn từ hai phía. Khi x tiến tới x1 và đạt đến giá trị x = x1 từ hai phía và hai quá trình tiến tới giới hạn cũng đạt đến giới hạn mà giới hạn của chúng là đồng nhất (có cùng giá trị f(x) bằng f(x1)) thì chúng ta nói rằng hàm f(x) liên tục tại “điểm” x1. Nếu điều này xảy ra tại mọi điểm thuộc một khoảng nào đó thì hàm là liên tục trong khoảng cũng được thấy liên tục tại điểm A. Do tính thuần nhất của đường thẳng và điểm A có thể chọn bất kỳ nên đường thẳng là liên tục trên suốt chiều dài của nó.
. Khi x tiến tới x1 thì khoảng cách tiến tới O (ký hiệu ). Vì điểm được quan niệm là nhỏ bao nhiêu cũng được miễn khác 0 nên để tiến tới x1, biến số x lần lượt và theo trình tự nhận mọi giá trị có thể có, tồn tại giữa x và x1. (Số lượng các giá trị ấy là bao nhiêu? Phải là vô hạn rồi! Nếu thế thì làm sao có thể đi được đến đích của cuộc khảo sát được?... Nhưng thôi, đó là vấn đề riêng của Zénon và của toán học. Hãy để cho “họ” tự giải quyết. Còn chúng ta bỏ qua kẻo… hết thời gian!). Tương ứng với các giá trị của biến số x khi nó tiến về x1 là các giá trị của hàm số f(x), nghĩa là cũng tồn tại quá trình tiến dần tới giới hạn từ hai phía. Khi x tiến tới x1 và đạt đến giá trị x = x1 từ hai phía và hai quá trình tiến tới giới hạn cũng đạt đến giới hạn mà giới hạn của chúng là đồng nhất (có cùng giá trị f(x) bằng f(x1)) thì chúng ta nói rằng hàm f(x) liên tục tại “điểm” x1. Nếu điều này xảy ra tại mọi điểm thuộc một khoảng nào đó thì hàm là liên tục trong khoảng cũng được thấy liên tục tại điểm A. Do tính thuần nhất của đường thẳng và điểm A có thể chọn bất kỳ nên đường thẳng là liên tục trên suốt chiều dài của nó.Có một cách viết như thế này:
Đó có phải là biểu diễn một hàm số? Theo định nghĩa thì đúng là như thế. Tuy nhiên phải quan niệm rằng đó là một hàm không biến đổi hay hằng số vì dù cho biến số có biến đổi thế nào thì f(x) cũng luôn bằng 1 (xem hình 1/b). Hơn nữa, giữa biến số và hàm rõ ràng là không có mối quan hệ nhân - quả cho nên hàm đó cũng không phải là sự biểu diễn qui luật của một quá trình thực sự nào. Vậy, đó là một hàm có tính hình thức, giả tạo. Điều lạ lùng là khi x = 0 thì hàm f(x) bằng bao nhiêu và ở tại đó nó nó liên tục hay không khi nó được thấy liên tục ở mọi điểm khác (điểm B chẳng hạn)?
Muốn trả lời thỏa đáng câu hỏi đó thì phải nhờ đến quan niệm triết học. Vì 
là bất định. Nhưng bất định không có nghĩa là Hư Vô mà là phép chia của hai đại lượng tồn tại nhưng không xác định được (do chìm khuất, không thấy được chẳng hạn). Tuy nhiên trong trường hợp cụ thể này, vì nó xuất phát từ thể tổng quát
là bất định. Nhưng bất định không có nghĩa là Hư Vô mà là phép chia của hai đại lượng tồn tại nhưng không xác định được (do chìm khuất, không thấy được chẳng hạn). Tuy nhiên trong trường hợp cụ thể này, vì nó xuất phát từ thể tổng quát 
nên chắc chắn là hai đại lượng đó dù thế nào chăng nữa thì cũng phải bằng nhau. Suy ra, trong trường hợp cụ thể này, phải có:
và như vậy: f(0) = 1
Hoặc cũng có thể trả lời cách khác. Đường thẳng có chứa điểm B trên hình 1/b là một tồn tại khách quan có trước. Nó vốn dễ liên tục và được thấy như một hiện tượng bất biến. Tuy nhiên, không thể xác định và khảo sát nó được trong không gian nếu hệ quan sát không chọn cho mình một hệ tọa độ. Do cách chọn tọa độ như ở hình 1/b (đường thẳng chứa B song song với trục x và cắt trục f(x) tại 1) và với qui ước 
là không có nghĩa cho nên mới gây ra những rắc rối “không đáng có”. Để tránh những “phiền toái” phát sinh từ sự chủ quan đó, hoặc là phải “mở rộng” qui ước cho trường hợp đặc biệt này là 
, hoặc phải lựa chọn hệ tọa độ mới để không xuất hiện 
.
là không có nghĩa cho nên mới gây ra những rắc rối “không đáng có”. Để tránh những “phiền toái” phát sinh từ sự chủ quan đó, hoặc là phải “mở rộng” qui ước cho trường hợp đặc biệt này là , hoặc phải lựa chọn hệ tọa độ mới để không xuất hiện .Khi bàn luận về sự liên tục của một hàm số, chúng ta có sử dụng thuật ngữ “giới hạn” và “tiến tới dần giới hạn”. Có thể hiểu được ý nghĩa của những thuật ngữ ấy một cách trực quan. Tuy nhiên tiêu chí của lập luận toán học là phải tỏ tường, chính xác cho nên các nhà toán học đã không bằng lòng với cách hiểu như vậy, và đã bỏ công sức để xây dựng một cách hoàn chỉnh và chặt chẽ khái niệm toán học về “giới hạn” cũng như “tiến dần tới giáo hạn”.
Trong thực tế, biên giới chính là giới hạn về lãnh thổ (và lãnh hải) của một quốc gia. Giới hạn đó là do nhân tạo và có tính qui ước thuần túy. Cũng có những giới hạn do thiên tạo, được thừa nhận một cách tự nhiên, chẳng hạn như bờ biển là giới hạn của biển và đồng thời cũng là giới hạn của lục địa. Khi chúng ta hói hàm số f(x) tiến dần tới f(x1) khi cho x tiến dần tới x1 (và không được vượt qua x1), thì f(x1) chính là giới hạn qui ước của hàm f(x). Tuy nhiên trong nghiên cứu toán học, người ta còn thấy rất nhiều hiện tượng xuất hiện giới hạn một cách hoàn toàn tự nhiên, do từ thân sự tiến triển của một “sự vật”, một quá trình, biểu hiện ra chứ không phải do bất kỳ một sự “cố ý” qui ước nào cả. Toán học chủ yếu bàn về giới hạn loại này. Có thể nói lý thuyết giới hạn mà toán học đã xây dựng được đúng là một cuộc cách mạng trong nhận thức của con người về mối quan hệ giữa hữu hạn và vô hạn, giữa gián đoạn và liên tục biểu hiện ra trong các quá trình biến hóa của Tự Nhiên. Tuy nhiên, theo ý kiến riêng của chúng ta, thì vì vẫn dựa trên quan điểm có nền tảng trực quan trong thế giới vĩ mô để nhìn nhận thế giới vi mô, nền toán học vẫn còn những nhận định bất cập, những kết luận chưa thỏa đáng, thậm chí là gây mâu thuẫn nội tại về vấn đề giới hạn và ứng dụng nó.
Dãy số là gì thì chúng ta biết rồi! Dãy số là tập hợp các số nào đó hay qui luật nào đó . Chẳng hạn, tập hợp các số tự nhiên theo thứ tự từ nhỏ đến lớn, số sau lớn hơn số trước một đơn vị, là một dãy số. Hay chẳng hạn có số vô tỷ: 3,1415926… Nếu bỏ dấu phẩy đi (hay thêm dấu phẩy?), tách nó ra thành những số đơn, thì chúng ta cũng có được một dãy số là:
3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6…
với nguyên tắc là nếu bỏ các dấu phẩy sau số 1 đi thì dãy số đó chính là số 
Dãy số hợp thành số đã chi ra rằng, dù chúng ta có tùy tiện viết ra bất cứ một tập hợp số đơn tự nhiên “đứng” kế tiếp nhau nào, thì đó vẫn là dãy số, vì bất cứ số vô tỷ nào cũng phải có một công thức tính ra nó (dù chúng ta có thể chưa khám phá ra được!), hoặc cũng có thể nói là theo nguyên tắc: tùy thích.
đã chi ra rằng, dù chúng ta có tùy tiện viết ra bất cứ một tập hợp số đơn tự nhiên “đứng” kế tiếp nhau nào, thì đó vẫn là dãy số, vì bất cứ số vô tỷ nào cũng phải có một công thức tính ra nó (dù chúng ta có thể chưa khám phá ra được!), hoặc cũng có thể nói là theo nguyên tắc: tùy thích.Nếu chúng ta qui ước “n” là cách viết tổng quát của số thì chúng ta cũng viết được một tỷ số tổng quát là 
. Tập hợp các tỷ số đó lại theo một cách thức nào đó thì ta sẽ có được một dãy số và có thể biểu diễn:
. Tập hợp các tỷ số đó lại theo một cách thức nào đó thì ta sẽ có được một dãy số và có thể biểu diễn:
với m là số thứ tự, n là số thực.
Khi n là biểu diễn một số thực thì chúng ta sẽ gặp phải khó khăn cực kỳ to lớn trong nhận thức, thậm chí là không thể nhận thức được quan niệm của toán học về tính liên tục và hiện tượng giới hạn, do xuất hiện các số thập phân vô tận. Không biết toán học có thấy được sự “nguy hiểm” đó không, nhưng chắc rằng để tránh những rườm rà, phức tạp không cần thiết, toán học vẫn thường qui ước n là biểu diễn tổng quát của số tự nhiên.
Khi n là số tự nhiên và dãy số
được sắp xếp theo thứ tự số n từ nhỏ tới lớn, thì chúng ta có:
Rõ ràng là 
được sắp xếp một cách có nguyên tắc là sau kế tiếp số hạng 
phải là số 
chứ không phải bất cứ số nào khác. Hay có thể nói là dãy kết quả của một quá trình mà trong đó n phát triển một cách liên tục (không gián đoạn) từ nhỏ tới lớn. Không thể không cho rằng quá trình đó có tính tất yếu, nghĩa là có qui luật, và qui luật đó được xác định trong sự biểu diễn tổng quát của dãy số, mà ở đây là:
được sắp xếp một cách có nguyên tắc là sau kế tiếp số hạng phải là số chứ không phải bất cứ số nào khác. Hay có thể nói là dãy kết quả của một quá trình mà trong đó n phát triển một cách liên tục (không gián đoạn) từ nhỏ tới lớn. Không thể không cho rằng quá trình đó có tính tất yếu, nghĩa là có qui luật, và qui luật đó được xác định trong sự biểu diễn tổng quát của dãy số, mà ở đây là:
Như vậy, khi một dãy số biểu diễn được dưới dạng tổng quát nào đó mà dạng tổng quát này đồng thời cũng thể hiện qui luật phát triển của bản thân dãy số, thì đó cũng chính là một hàm số.
Khi cho n tăng liên tục và mãi tớn vô hạn (
) thì 
, một cách tất yếu và phải giảm liên tục và dần tới 0 (
). Toán học nói: dãy số
n có giới hạn 0 khi n tăng vô hạn. Biết rằng nhận xét như vậy vẫn còn mang cảm tính trực quan, nghĩa là chưa đủ chặt chẽ. Vì hiển nhiên là ) thì , một cách tất yếu và phải giảm liên tục và dần tới 0 (). Toán học nói: dãy số 
không thể lớn hơn 0 được nhưng chắc gì 0 là giới hạn “thực sự” của dãy , cho nên toán học đã phải tìm cách lập luận sao cho “không thể chối cãi” được. Trước hết, toán học cho rằng nếu đã có số n thì luôn có số n+1, và như thế mà n có thể tăng vô hạn, lớn đến bao nhiêu cũng được, dẫn đến tương ứng phải có một số nhỏ bao nhiêu cũng được (nhưng không thể bằng 0!). Tiếp theo, toán học giả sử rằng nếu ở “gần” (hay lân cận) số 0 có một số cho trước tùy ý nào đó, “nhỏ bao nhiêu cũng được”, gọi là 
(épxilon) và:
thì bao giờ cũng chọn được một số 
để cho 
. Đến đây, toán học kết luận rằng nếu luôn luôn thực hiện được 
thì 0 chính là giới hạn của dãy số . Hay có thể phát biểu một cách tổng quát: khi số a là giới hạn của dãy số 
nào đó thì với bất kỳ số dương 
“nhỏ bao nhiêu cũng được” nào làm tồn tại số N, bao giờ cũng có: đối với mọi số tự nhiên 
, đều cho 
. Sự kiện 
có giới hạn a được biểu diễn như sau:
để cho . Đến đây, toán học kết luận rằng nếu luôn luôn thực hiện được thì 0 chính là giới hạn của dãy số . Hay có thể phát biểu một cách tổng quát: khi số a là giới hạn của dãy số nào đó thì với bất kỳ số dương “nhỏ bao nhiêu cũng được” nào làm tồn tại số N, bao giờ cũng có: đối với mọi số tự nhiên , đều cho . Sự kiện có giới hạn a được biểu diễn như sau:
hoặc: 
Toán học qui ước thêm: một dãy số có giới hạn hữu hạn được gọi là dãy hội tụ; một dãy số không hội tụ được gọi là dãy số phân kỳ. Với quan niệm số 0 là hữu hạn thì dãy là một dãy hội tụ. Mặt khác, có thể hiểu dãy phân kỳ là dãy không có giới hạn hoặc có giới hạn vô hạn. Một trong những dãy số tiến dần đến vô hạn đơn giản nhất là dãy số:
là một dãy hội tụ. Mặt khác, có thể hiểu dãy phân kỳ là dãy không có giới hạn hoặc có giới hạn vô hạn. Một trong những dãy số tiến dần đến vô hạn đơn giản nhất là dãy số:
với n là số tự nhiên
Dễ dàng thấy rằng, với bất kỳ một số N khác 0 và “lớn đến bao nhiêu cũng được” nào, bao giờ cũng tồn tại: với mọi số 
, luôn có 
(mà trong trường hợp này, 
). Nghĩa là:
, luôn có (mà trong trường hợp này, ). Nghĩa là:
hay: 
Cách viết thứ hai ít được sử dụng vì toán học cho rằng nó có tính hình thức đơn thuần và dễ gây ngộ nhận. Theo quan niệm của toán học thì
không phải là một số mà chỉ là một ký hiệu diễn tả tình trạng hay mức vô hạn độ có thể đạt tới của một quá trình tăng trưởng nào đó. Một sự tăng trưởng có khả năng đạt đến mức vô hạn độ thì cũng có nghĩa khả năng của sự tăng trưởng đó là không có giới hạn. Giới hạn của một cái gì đó, được hình dung như một giới tuyến, một mức độ… đã được hạn định một cách tự nhiên hoặc theo qui ước mà cái đó không thể vượt qua (và thậm chí bản thân giới tuyến, mức độ… hoạch định không thuộc phạm vi của cái đó thì cái đó cũng không thể đạt tới). Sự “không thể vượt qua” phải được hiểu theo hai nghĩa là: cái đó, tự thân nó không thể vượt qua được giới hạn dù có cho phép (xóa bỏ qui ước), và ngược lại, nó hoàn toàn có khả năng vượt qua được nhưng không thể vượt qua khi bị sự qui ước ràng buộc, không cho phép. Hình dung như thế dẫn chúng ta đến nhận định rằng, “có giới hạn” và “không có giới hạn” là hai khái niệm lập nên một mối quan hệ tương phản giữa chúng với nhau; có thể chuyển hóa nhau, là tiền đề tồn tại của nhau, nghĩa là nếu không có khái niệm này thì cũng không thể có khái niệm kia và ngược lại. Cặp khái niệm có giới hạn – không có giới hạn là có nghĩa tương đương với cặp khái niệm hữu hạn – vô hạn. Đặc trưng của hữu hạn là tính xác định được của nó và đặc trưng của vô hạn là tính không xác định được của nó. Do vậy dù chúng nằm trong một mối quan hệ thống nhất biện chứng, dù có thể trong hữu hạn, thì chúng cũng không bao giờ đồng nhất với nhau được nếu còn muốn mối quan hệ đó tồn tại. Khi toán học đưa ra khái niệm “giới hạn vô hạn” thì coi như toán học đã đồng nhất sự hữu hạn và vô hạn với nhau: hữu hạn đã mở rộng thành vô hạn và vô hạn bị giới hạn thành hữu hạn. Thật khó mà nhận thức được một quan niệm như thế, nhưng toán học “buộc phải” đạt đến quan niệm như thế bởi vì Tự Nhiên là như thế. Thực ra những cặp khái niệm đại loại như: cao - thấp, gần – xa, ở đây - ở kia, trong – ngoài, hữu hạn – vô hạn… chỉ nảy sinh trong nhận thức của một hệ quan sát trước hiện thực khách quan “của nó”, chứ trong hiện thực khách quan tuyệt đối (thực tại khách quan chưa thông qua hệ quan sát), chúng không hề tồn tại. Đấng Tạo Hóa thiêng liêng không bao giờ quan tâm tới Vũ Trụ này là hữu hạn hay vô hạn, bởi vì nó hoàn toàn không cần thiết và hơn nữa, quang cảnh bày ra trước mắt Ngài chẳng biểu hiện gì về mối quan hệ hữu hạn – vô hạn. Nếu chúng ta có hỏi Ngài về điều đó thì chắc rằng Ngài sẽ uể oải ngáp và nói: “Lũ oắt con! Chúng mày muốn nói thế nào tùy thích, nói Vũ Trụ là hữu hạn cũng được mà vô hạn cũng xong, đồng thời là cả hai cũng đúng mà không phải cả hai cũng chả sao… Thôi! Biến đi chỗ khác để cho Ông còn ngủ!”.Đến Đấng Tạo Hóa mà còn phải ỡm ờ, nước đôi như thế về sự vô hạn thì toán học không thể diễn tả chính xác được mọi quá trình tiến tới giới hạn chỉ bằng một qui ước duy nhất mà không thêm những thỏa thuận kèm theo (qui ước phụ) và thậm chí trong nhiều trường hợp, phải bổ sung bằng biện luận thuần túy triết học. Toán học mà không có triết học thì sẽ trở nên “khô cứng chết chóc” và đầy sai trái, ngược lại, triết học mà không có toán học (như một phương tiện “giãi bày” của khoa học) thì sẽ trở nên “hư ảo ma quái” kiểu “liêu trai chí dị” và như thế thì cũng đầy sai trái nốt.
Rốt cuộc, chúng ta cho rằng biểu diễn một dãy số tiến tới giới hạn theo cách qui ước nào cũng được. Theo sở thích hoàn toàn riêng tư, chúng ta chọn cách biểu diễn tổng quát đối với một dãy số (và cả hàm số) tiến tới và đạt giới hạn như sau:
Với: - y có thể là hữu hạn hay vô hạn, xác định hay không xác định
- x là số thực dương, có thể bằng k hoặc không thể bằng k
- k có thể là hữu hạn hay vô hạn, xác định hay không xác định
Khi
(dãy số); 
(số tự nhiên); 
(vô hạn); 
, thì chúng ta sẽ có lại:
và hiểu theo nghĩa: khi cho n tiến tới vô hạn thì giới hạn của dãy bn sẽ tiến tới không có giới hạn; nhưng vì không bao giờ vượt qua sự vô hạn được (dù có tiến “gần” đến đó bao nhiêu cũng được!) nên đồng thời bn cũng phải nhận vô hạn làm giới hạn, hay có thể viết:
Viết như thế được thì dĩ nhiên cũng viết được:
Thế là dù có vô hạn thì cũng phải hữu hạn!!! Thật là một sự phi lý “kinh khủng”!
Nhưng nếu không chấp nhận sự phi lý đến độ như thế thì rất có thể phải chấp nhận sự phi lý hơn nữa: Giả sử rằng chúng ta tạo ra được một quá trình làm cho n tiến tới vô hạn bắt đầu từ 1 (hữu hạn), thì để cho “công bằng”, chúng ta cũng phải giả sử rằng có một hệ quan sát đó tương tự như chúng ta nên nó không thể thừa nhận đang ở vô hạn và quá trình được nó thấy sẽ có chiều ngược lại: n tiến về 1 (hữu hạn) bắt đầu từ vô hạn. Nghĩa là vô cùng xa thì cũng như vô cùng gần, vô hạn thì cũng là hữu hạn.
Đến đây, lại nảy sinh một vấn đề nữa cần nói thêm cho rõ. Khi nói “cho n tiến đến 
…” thì chúng ta liên tưởng ngay về một quá trình hành trình đến vô cùng xa mà số n đóng vai trò như số đếm các “bước chân” đã thực hiện được. Nếu là như thế thật thì dù đang ở bất cứ đâu đó hay ở tận vô cùng xa, chúng ta cũng chẳng thấy bất cứ sự biến đổi nào, đối với “cái gì đó” được gọi là bn, bởi vì tất cả đều là do tưởng tượng mà có, do suy lý mà ra.
…” thì chúng ta liên tưởng ngay về một quá trình hành trình đến vô cùng xa mà số n đóng vai trò như số đếm các “bước chân” đã thực hiện được. Nếu là như thế thật thì dù đang ở bất cứ đâu đó hay ở tận vô cùng xa, chúng ta cũng chẳng thấy bất cứ sự biến đổi nào, đối với “cái gì đó” được gọi là bn, bởi vì tất cả đều là do tưởng tượng mà có, do suy lý mà ra.Sự bình đẳng về vị trí trong Vũ Trụ thậm chí cũng không cho phép chúng ta biết được một cách chắc chắn số n có phải thực sự là chính nó không nữa. Bởi vì nếu xác định được số n một cách tuyệt đối thì ngay lập tức sự vô hạn của Vũ Trụ cũng “không còn” nữa - Vũ Trụ là hữu hạn.
Có lẽ để tránh đi sự liên tưởng có phần “hẹp hòi” đó, cần phải cho rằng sự tiến tới của số n là một quá trình tăng trưởng thực sự về mặt lực lượng. Dù vẫn rất khiên cưỡng thì hình dung sự tăng trưởng từ 1 đến vô cùng lớn (VCL) của n như một quá trình “giãn nở Vũ Trụ” vẫn có vẻ hợp lý hơn là cuộc “hành binh” đến vô cùng xa. Theo thuyết “Big Bang” (Vụ nổ lớn) của vật lý học ngày nay thi Vũ Trụ “ra đời” từ một điểm kỳ dị. Điểm đó bùng nổ để hình thành nên Vũ Trụ. Vũ Trụ này liên tục mở rộng và trở nên vô cùng lớn. Các quan trắc thiên văn ngày nay đã khẳng định Vũ Trụ vẫn đang giãn nở.
của số n là một quá trình tăng trưởng thực sự về mặt lực lượng. Dù vẫn rất khiên cưỡng thì hình dung sự tăng trưởng từ 1 đến vô cùng lớn (VCL) của n như một quá trình “giãn nở Vũ Trụ” vẫn có vẻ hợp lý hơn là cuộc “hành binh” đến vô cùng xa. Theo thuyết “Big Bang” (Vụ nổ lớn) của vật lý học ngày nay thi Vũ Trụ “ra đời” từ một điểm kỳ dị. Điểm đó bùng nổ để hình thành nên Vũ Trụ. Vũ Trụ này liên tục mở rộng và trở nên vô cùng lớn. Các quan trắc thiên văn ngày nay đã khẳng định Vũ Trụ vẫn đang giãn nở.Nếu chúng ta coi n là chỉ số thể tích của Vũ Trụ và bn là biểu diễn lực lượng của thể tích ấy thì quá trình 
kéo theo
kéo theo 
chính là biểu diễn sự sinh thành và phát triển của Vũ Trụ từ điểm kỳ dị đến nay theo thuyết Big Bang.Hiển hình là tăng trưởng đến VCL bắt đầu từ 1 rồi, nhưng mối quan hệ về số lượng giữa 1 và VCL là như thế nào? Vật lý học cho rằng điểm kỳ dị là điểm nhỏ nhất, nhỏ tuyệt đối, không thể có điểm nào nhỏ hơn nó được (nhỏ đến độ nội tại của nó không có “sự trôi” của thời gian!). Điều đó cho thấy 
phải mang ý nghĩa là sự nhỏ nhất tuyệt đối của tập hợp số tự nhiên.
phải mang ý nghĩa là sự nhỏ nhất tuyệt đối của tập hợp số tự nhiên.Nếu thế, trong trường hợp đang xét, 
cũng phải được coi là lượng thể tích nhỏ nhất có thể có trong Vũ Trụ. Nghĩa là để thỏa mãn thuyết Big Bang, về mặt vật lý, phải quan niệm rằng về phía (tạm gọi là) vô cùng nhỏ (VCN), Vũ Trụ chắc chắn phải có giới hạn. Có thể biện luận rằng 
chỉ là kết quả có được do tùy tiện qui ước thứ nguyên tính thể tích chứ thực ra b1 phải nằm đâu đó trong khoảng lớn hơn 0 và nhỏ hơn 1. Cho dù như thế đi chăng nữa thì về mặt vật lý, vẫn cứ phải có giới hạn hữu hạn VCN và trị số giới hạn đó phải khác 0.
cũng phải được coi là lượng thể tích nhỏ nhất có thể có trong Vũ Trụ. Nghĩa là để thỏa mãn thuyết Big Bang, về mặt vật lý, phải quan niệm rằng về phía (tạm gọi là) vô cùng nhỏ (VCN), Vũ Trụ chắc chắn phải có giới hạn. Có thể biện luận rằng chỉ là kết quả có được do tùy tiện qui ước thứ nguyên tính thể tích chứ thực ra b1 phải nằm đâu đó trong khoảng lớn hơn 0 và nhỏ hơn 1. Cho dù như thế đi chăng nữa thì về mặt vật lý, vẫn cứ phải có giới hạn hữu hạn VCN và trị số giới hạn đó phải khác 0.Điều đó trái với quan niệm “nhỏ bao nhiêu cũng được” của toán học theo toán học thì Vũ Trụ phải vô hạn về phía VCL và đồng thời cũng vô tận về phía VCN. Nếu toán học ký hiệu sự vô hạn của VCL là 
thì mặc nhiên cũng phải thừa nhận 0 là ký hiệu về sự vô tận của VCN. Từ đó mà thấy, nếu
thì mặc nhiên cũng phải thừa nhận 0 là ký hiệu về sự vô tận của VCN. Từ đó mà thấy, nếu là bất định thì 0 cũng là bất định, nếu 0 được cho là một số hữu hạn thì cũng phải được cho là một số hữu hạn. Vậy thì trong quá trình mở rộng qui ước để thỏa mãn tính liên tục hiển nhiên của hàm số:
nếu cho phép:
thì cũng phải cho phép:
Nghĩa là trong 0 hay
cũng hàm chứa tính xác định của sự hữu hạn.Toán học, trong quá trình đi “khai phá” cái Vũ Trụ ảo đặc thù của nó (có nền tảng là hiện thực khách quan), trước hiện tượng “nhỏ bao nhiêu cũng được nhưng không thể bằng 0” đã phải đi đến nhận thức rằng (số) 0 là biểu hiện tính vô tận của sự nhỏ và như thế mà nó cũng không thể xác định chắc chắn được. Đồng thời ở hướng khác, toán học cũng lại đi đến nhận thức rằng số 0 phải hoàn toàn được xác định một cách hữu hạn, biểu diễn cái tận cùng của sự nhỏ là “không có (hay không còn) cái gì hết”, bởi vì nếu số 0 là không xác định được thì mọi con số, mọi phép toán có sự xuất hiện của số 0 sẽ trở nên không thể quyết định được, và toán học phải tự đọc bản cáo chung đối với bản thân nó ngay từ thời xa xưa rồi. Thật đúng là:
Trên đời chân lý có hai
Cho nên chẳng biết đúng sai thế nào?...
Nhưng thôi, đừng nên “thở dài sườn sượt mà làm gì! Toán học buộc phải chấp nhận sự biểu hiện đầy “ngang ngược” của số 0 bởi vì Tạo Hóa muốn thế. Có lần, chúng ta nghe Ngài bảo: “Tự Nhiên Tồn Tại là kỳ ảo và biến hóa khôn lường. Cho nên, muốn “thuần phục” được Nó thì nhận thức phải “ngộ” được sự kỳ ảo biến hóa khôn lường ấy và bản thân nó cũng phải biến hóa kỳ ảo khôn lường. Muốn diện kiến Ta thì phải đi đến tận cùng của cái vô tận và đồng thời cũng phải đi đến vô tận của cái tận cùng! Nhưng đừng thấy thế mà “vò đầu bứt tóc” hay “hoảng hồn hoảng vía”, để rồi chỉ rước sầu muộn vào thân chứ chẳng được tích sự gì! Cứ hãy bình tâm mà đi, nếu chẳng may “đụng” phải giới hạn ở đâu đó thì chuyển sang hướng khác mà… tiếp tục đi. Vì đi đâu thì đi, miễn là đi thì ắt sẽ có đến. Và dù đi theo cách nào hay trên bất cứ con đường nào thì cũng cứ đi một cách hồn nhiên, đứng nghi ngại là nhanh hay chậm, gần hay xa, thẳng tuột hay quanh co. Đi như thế, các con sẽ đến được nơi không ai muốn đến nhưng lại là nơi duy nhất xác nhận rằng các con đã chứng ngộ được chân lý khách quan, đó là… pháp đình La Mã!”.
Nghe mà toát mồ hôi hột! Câu chuyện Brunô và Galilê còn sờ sờ ra đó. Nhớ lại vẫn còn thấy phát khiếp! Hay là đừng đi nữa? Nhưng không đi thì làm sao mà tìm thấy được “một cái gì đó”, cái mà chúng ta đã từng ao ước tột cùng? Bất giác, chúng ta buột miệng:
“Nếu không đi thì làm sao mà đến
Nhưng đến đó rồi thì đi nữa về đâu?”
Chúng ta có cảm giác rằng Tạo Hóa bật cười hô hố: “Muốn đến thì đừng vượt qua giới hạn! Vượt qua giới hạn có nghĩa là trở về và không bao giờ đến được nữa. Nên nhớ rằng chỉ những người dũng cảm, bền gan và tỉnh táo mới tìm thấy chiến công, mới thấu đạt thắng lợi cuối cùng. Hơn nữa pháp đình La Mã này không phải là pháp đình La Mã thời châu Âu trung cổ. La Mã ở đây không có nghĩa là Rôma, mà có nghĩa là điều bí ẩn (Mã) được nói oang oang (La) ra, nghĩa là tha hồ tự do bộc lộ tư tưởng mà không bị phạt vạ gì. Đi đi mà đến đó lũ nhóc! Bao công bên Tàu đã được Ta sai làm thiên sứ, đang đóng vai trò là chánh tòa ở đó. Đừng sợ! Ha, ha… ha…!”
Thế là hết hoảng loạn, chúng ta lại… đi, không, xin lỗi, lại… quay về với toán – lý trong hiện thực đồng thời vẫn đang tiến đến đỉnh Tu Di trong ảo mộng.
Tuy nhiên, Vũ Trụ không thể được xây dựng nên từ những cái “không có gì hết”; vì dù là có vô vàn cái “không có gì hết” thì cũng chỉ là Hư Vô (hư vô tuyệt đối). Một Vũ Trụ “không có gì hết” thì làm sao lại có mặt chúng ta để tư duy về Nó và dù năng lực quan sát của chúng ta là vô cùng hạn chế, chỉ có thể thấy được một khoảng “chút xíu” của Nó thôi thì cũng đã thấy sao mà “nhiều thứ quá”? Vậy thì Vũ Trụ phải được xây dựng nên từ những cái tận cùng của sự nhỏ nhưng không phải là “0” mà là những cái hoàn toàn xác định và hữu hạn thực sự. Nghĩa là quá trình tiến tới 0 phải dừng lại ở đâu đó lân cận “0” chứ không thể “nhỏ bao nhiêu cũng được” một cách vĩnh hằng. Nếu thế, sự dừng lại đó phải “kề sát” 0 và nếu vượt qua nó sẽ lập tức bằng 0, vì nếu tình hình ngược lại (nghĩa là còn cách 0 một “quãng” nào đó) sẽ không thể quan niệm được (nghịch lý). Phải chăng đó chính là điểm kỳ dị mà thuyết Big Bang đã mường tượng ra trên cơ sở suy diễn vật lý bằng phương tiện toán học?
Tạm cho rằng ở VCN có giới hạn thực sự và có thể đạt đến giới hạn đó. Còn số 0 không phải là giới hạn trực tiếp mà chỉ đóng vai trò như cái gì đó “chặn dưới” quá trình tiến đến VCN của Vũ Trụ. Vậy thì có thể cho rằng ở VCN cũng có giới hạn thực sự và cũng có thể đạt đến giới hạn đó, còn
không phải là giới hạn trực tiếp mà chỉ đóng vai trò như cái gì đó “chặn trên” quá trình tiến đến VCL của Vũ Trụ? Chúng ta không bao giờ biết được đích xác điều đó như thế nào và chắc rằng toán học ngày nay vẫn chưa “đủ sức” khẳng định hay bác bỏ điều đó. Câu trả lời có lẽ phải nhường cho triết học nhưng phải là thứ triết học không duy vật mà cũng không duy tâm, hoặc là cả hai, và không làm “bất mãn” nền toán – lý hiện đại. Trước mắt, chúng ta hãy tạm tin vào triết học duy tồn, không phải vì nó có lối lập luận “chắc như bắp” về mặt lôgic, mà trái lại, chính vì cách suy lý hoàn toàn linh động, thản nhiên chấp nhận sự có lý của những vấn đề mà người đời cho là phi lý, nghịch lý, đến độ “không giống ai” của nó.Theo triết học duy tồn quan niệm thì:
- Vì Vũ Trụ là Không Gian, mà Không Gian phải được bảo toàn nên Vũ Trụ phải thể hiện sự hữu hạn ở cả hai phía VCL và VCN.
- Vì có thể đặt Vũ Trụ hiện thực trong sự phân định tương phản ảo - thực (một cách qui ước), nghĩa là khi đặt VCN là tương phản hoàn toàn của VCL, và nếu VCN hữu hạn, thì VCL cũng phải hữu hạn sao cho:
VCL x VCN = 1 (tương phản nghịch đảo)
Hay VCL + VCN = 0 (tương phản âm – dương)
(hiểu 1 và 0 là thực thể Vũ Trụ đã “mất dấu” tương phản to - nhỏ)
- Vì phải thỏa mãn nguyên lý “đầy đủ” cho nên Vũ Trụ đồng thời cũng phải thể hiện được sự vô hạn ở cả hai phía VCL và VCN mà ký hiệu cho sự vô hạn đó lần lượt là 
và 0.
và 0.- Vì không thể có Hư Vô nên
và 0 cũng phải là những lực lượng của Tồn Tại và nếu đặt chúng trong mối tương phản ảo - thực thì:
(tương phản nghịch đảo)và 
(với 0 ở vế trái là biểu diễn lần lượt của 
và 
; với 1 và 0 ở vế phải là biểu diễn một Vũ Trụ đã mất dấu tương phản to - nhỏ)
và ; với 1 và 0 ở vế phải là biểu diễn một Vũ Trụ đã mất dấu tương phản to - nhỏ)- Vũ Trụ là duy nhất nhưng do nguyên lý nước đôi mà nó biểu hiện ra như là hai Vũ Trụ hữu hạn và vô hạn. Hai Vũ Trụ này, nếu “bên kia” giới hạn hữu hạn là “không có gì hết” (hoặc cũng có thể qui ước như vậy) thì:
Đến đây có lẽ cũng đã đủ “đồ chơi” để mà rút ra được những kết luận… gây sốc kinh hoàng:
- Dãy An là biểu diễn quá trình đều đặn, liên tục, giảm dần một cách đơn điệu (biến đổi mà như không biến đổi, gây nhàm chán, tẻ nhạt, buồn thiu!) từ vô cùng lớn đến vô cùng nhỏ.
- Dãy Bn là biểu diễn quá trình đều đặn, liên tục, tăng dần một cách đơn điệu từ vô cùng nhỏ đến vô cùng lớn.
- Hai quá trình đó là hoàn toàn trái ngược nhau. Nếu gọi một quá trình là “thuận” thì quá trình kia được gọi là “nghịch”.
- Trong một Vũ Trụ vô hạn và đầy đủ, nếu đã có quá trình thuận thì phải có quá trình nghịch, tương tự, đã có quá trình thực thì cũng phải có quá trình ảo tương ứng. Gọi quá trình An là thực thì quá trình ảo tương ứng của nó, ký hiệu: A’n, nếu đặt trong mối tương phản âm – dương phải là:
để cho: 
,
,và nếu đặt trong mối tương phản nghịch đảo, phải là:
để cho: 
Có thể tưởng tượng rằng quá trình An, khi vượt qua giới hạn hữu hạn (vượt qua 12) thì đối với hệ quan sát ở Vũ Trụ thực, sẽ được thấy như nó đột biến thành quá trình A”n (quá trình nghịch với quá trình A’n), nghĩa là:
(với n: 
)
)Có thể coi đây là quá trình “trở về” của An trong miền Vũ Trụ ảo, nhưng được thấy từ Vũ Trụ thực. Nếu có một hệ quan sát được đặt ngay trong Vũ Trụ ảo thì từ hệ quan sát này, có thể thấy quá trình vô cùng lớn đến vô cùng nhỏ, không khác gì quá trình nghịch của quá trình thực Bn được quan sát từ ngay trong Vũ Trụ thực (hay chính là quá trình An)
- Như vậy, mọi quá trình tiến từ nhỏ (hoặc lớn) đến lớn (hoặc nhỏ) trong Vũ Trụ thực đêu phải được thấy theo chiều ngược lại ở Vũ Trụ ảo. Chính vì vậy mà đối với hai hệ quan sát ảo và thực, vấn đề về mối quan hệ giữa 0 và là không thể thỏa thuận được. Quan trọng hơn, đối với một hệ quan sát, khi cho rằng 1 (hay I) là nhỏ nhất tuyệt đối (hay lớn nhất tuyệt đối) và Vũ Trụ là một hệ kín không có Hư Vô, thì vì giới hạn hữu hạn là “nơi” phân cách hai miền ảo - thực của Vũ Trụ thống nhất và duy nhất, cho nên bất cứ một quá trình nào vượt qua một trong hai giới hạn hữu hạn (nếu có thể được!) thì tức thời xuất hiện một quá trình tạo “nơi” giới hạn hữu hạn còn lại, tiến triển đúng theo chiều của quá trình “đã khuất” để sinh ra quá trình ấy.
là không thể thỏa thuận được. Quan trọng hơn, đối với một hệ quan sát, khi cho rằng 1 (hay I) là nhỏ nhất tuyệt đối (hay lớn nhất tuyệt đối) và Vũ Trụ là một hệ kín không có Hư Vô, thì vì giới hạn hữu hạn là “nơi” phân cách hai miền ảo - thực của Vũ Trụ thống nhất và duy nhất, cho nên bất cứ một quá trình nào vượt qua một trong hai giới hạn hữu hạn (nếu có thể được!) thì tức thời xuất hiện một quá trình tạo “nơi” giới hạn hữu hạn còn lại, tiến triển đúng theo chiều của quá trình “đã khuất” để sinh ra quá trình ấy.Đó là những kết luận mà chúng ta cho là làm choáng váng ngay cả đối với những kẻ điên loạn nhất. Nhưng biết làm sao được khi Tự Nhiên cho chúng ta được tự do, thỏa sức suy nghĩ và đồng thời cũng “thúc ép” chúng ta phải tìm đến những ý nghĩ “nổi loạn” ấy.
Chưa hết! Vì đến ngay cả trong hoang tưởng cũng không thể hình dung được một quá trình nào, một biến cố nào lại không bộ lộ ra tính thời gian (hay nói khác đi: vì thời gian là biểu hiện, của vận động, là sự xác nhận, minh chứng cho một vận động “có thực”), cho nên “biến cố” vượt qua giới hạn hữu hạn không phải là biểu hiện về sự vận động “kiên cường” biến đổi “không mệt mỏi” của nó. Thời gian của tồn tại có thể bằng 0 (nghĩa là không tồn tại!), nhưng thời gian xuất hiện hay biến mất của một tồn tại thì không thể là “tức thời”. Vậy, có thể cho rằng Tự Nhiên Tồn Tại là một Vũ Trụ duy nhất, thống nhất đồng thời cũng phân định ảo - thực một cách tuyệt đối. Tính tuyệt đối trong sự phân định tương phản ảo - thực của Vũ Trụ thể hiện ở chỗ mọi hiện thực khách quan của mọi hệ quan sát, dù cho chúng ở miền ảo hay thực của Vũ Trụ, đều có chung một bản chất, nghĩa là chỉ có một thực tại khàch quan duy nhất cho mọi hệ quan sát, và thực tại khách quan đó chính là Vũ Trụ thực có giới hạn hữu hạn ở cả tận cùng lớn và tận cùng nhỏ. Do đó, mọi quá trình xảy ra và tiến triển trong Vũ Trụ thực không bao giờ vượt qua được “lằn ranh” giữa hữu hạn và vô hạn. Có thể nói Vũ Trụ là vĩnh hằng, song, tính vô hạn của một quá trình nào đó trong thực tại khách quan chỉ có thể là “giả tạo” đại loại như hiện tượng lặp đi lặp lại, mà chủ yếu là do sự lũng đoạn của tư duy. Mặt khác, mọi biểu hiện tương phản ảo - thực (âm – dương nghịch đảo) trong Vũ Trụ thực đều chỉ là tương đối và nhiều trường hợp xuất hiện là do bắt nguồn từ sự qui ước của nhận thức.
Để phù hợp với một Vũ Trụ hữu hạn, cách viết hai dãy số 
và 
cùng giới hạn của chúng phải được điều chỉnh lại như sau:
và cùng giới hạn của chúng phải được điều chỉnh lại như sau:
Giới hạn của nó:
Và:
Giới hạn của nó:
Dễ dàng thừa nhận đó là biểu diễn hai quá trình thuận nghịch nhau trong Vũ Trụ (hữu hạn). Có thể gán cho chúng cái ý nghĩa là tượng trưng của hai quá trình nền tảng và sự phối hợp của chúng là cơ sở của mọi quá trình có thể có của tự nhiên.
Vũ Trụ là một hệ thống cân bằng động tuyệt đối và vĩ đại, cho nên “trong đó” có bao nhiêu quá trình gọi là thuận thì cũng có bấy nhiêu quá trình gọi là nghịch một cách tương ứng. Có thể tưởng tượng được rằng, một cách toán học, nếu phân định hai loại quá trình thuận và nghịch thành tương phản âm – dương thì khi tổng hợp tất cả các quá trình tồn tại trong Vũ Trụ tại một thời điểm nào đó, sẽ có kết quả là vận động của toàn Vũ Trụ bị triệt tiêu dẫn tới thời gian (sự biểu hiện tính liên tục của vận động) cũng bị “xóa sổ”, chỉ còn lại suy nhất lực lượng Không Gian, thứ mà nếu không vận động thực sự thì không thể “sống” được.
Trong thực tại khách quan, tuân theo nguyên lý nhân - quả, không có quá trình thực sự nào lại không có bắt đầu và kết thúc, tuân theo nguyên lý tác động - phản ứng và sự phụ thuộc lẫn nhau, không có quá trình nào là không có giới hạn mà tự nhiên đã “an bài” cho nó, và đương nhiên là nó không bao giờ có thể vượt qua giới hạn đó. Khi một quá trình thực sự đạt đến giới hạn (hoặc bị chặn lại), nó sẽ phải chuyển biến không nhiều thì ít, không đột ngột thì cũng từ từ để “thích nghi” với hoàn cảnh mới, và như thế nó đã trở thành một quá trình mới. một trong những quá trình mới xuất hiện có thể có từ sự “tiêu vong” của quá trình cũ là quá trình có mối quan hệ thuận - nghịch với quá trình cũ. Nếu quá trình mới ấy, sau một thời gian tiến triển lại tiêu vong để xuất hiện một quá trình mới giống hệt quá trình cũ trước đó thì đó được gọi là một chi trình. Nếu hai quá trình thuận nghịch nối tiếp nhau về mặt thời gian theo cách kết thúc của quá trình này là bắt đầu của quá trình kia và ngược lại thì chúng ta gọi quá trình hợp thành từ hai quá trình thuận - nghịch ấy là chu trình kín.
Giả sử An và Bn hợp thành một chu trình kín thuận nghịch, ký hiệu là CN, thì chúng ta có thể biểu diễn chu trình đó bằng phương diện toán học như sau:
Tuy nhiên, biểu diễn như thế không những là quá sơ sài mà còn sai lầm nữa. Một đặc trưng quan trọng của chu trình kín là trạng thái cuối của quá trình này trùng với trạng thái đầu của quá trình kia và ngược lại. Cho nên nếu An và Bn khi đứng độc lập có I số hạng khi 
(mà ở đây chúng ta gọi là số các trạng thái của quá trình), thì khi chúng “hội nhập” thành một chu trình kín thuận nghịch, chúng ta phải tăng cường thêm qui ước và có lẽ phải viết thế này:
(mà ở đây chúng ta gọi là số các trạng thái của quá trình), thì khi chúng “hội nhập” thành một chu trình kín thuận nghịch, chúng ta phải tăng cường thêm qui ước và có lẽ phải viết thế này:- Cho
và 
là hai quá trình thuận nghịch của nhau. Khi đứng độc lập thì: 
- Khi An và Bn hợp thành một chu trình kín thuận nghịch thì lúc này coi như:
- Gọi CN là chu trình ấy thì có thể viết:
- N chính là tổng số trạng thái của chu trình “tích lũy” theo thời gian. Nếu N hữu hạn thì tổng trạng thái của chu trình hữu hạn, nghĩa là chu trình phải “dừng lại” đâu đó trong thời gian. Nếu chu trình tồn tại vĩnh viễn thì vì thời gian là vô tận nên N cũng vô hạn, nghĩa là không thể đếm được số lượng trạng thái của chu trình. Tự Nhiên Tồn Tại là vốn dĩ, không có sinh mà cũng không có diệt. Thể chất của Nó là Không Gian. Khô Gian phải vận động, muốn biểu diễn tính Tự Nhiên thì Nó phải tự bảo toàn, vận động không ngừng trong thế cân bằng động tuyệt đối (đồng nghĩa với sự không có cân bằng tĩnh tại tuyệt đối). Có thể tưởng tượng, nhìn một cách tổng thể thì Không Gian vận động theo một chu trình kín thuận nghịch vĩ đại gồm hai quá trình thuận nghịch khổng lồ hợp thành mà mỗi quá trình lại gồm I – 1 trạng thái cân bằng động (nghĩa là mất cân bằng tĩnh tại) nối tiếp liên tục nhau. Vì Tồn Tại là vốn dĩ nên vận động cũng vốn dĩ. Vì vận động là vốn dĩ nên nên tính “quá trình” theo nguyên lý nhân - quả là đặc trưng cơ bản của nó. Đặc trưng đó tác động lên hệ quan sát làm cho tư duy nhận thức đi đến một quan niệm cực kỳ quan trọng, đó là “thời gian”, thứ mà từ ngàn xưa tới nay ai cũng tin vào sự “có thực” của nó nhưng lại vẫn không thể biết đích xác nó là thứ gì, cứ như một “dòng trôi” đầy mơ hồ. Vì vận động Không Gian là không thể bị tiêu diệt nên thời gian là có tính vô tận, vĩnh cửu. Chu trình vận động Không Gian vì lẽ đó mà được thấy là lặp đi lặp lại, vĩnh hằng theo thời gian.
- Vì 2(I – 1) là tổng số trạng thái không lặp lại của một chu trình và N là tổng số trạng thái tích lũy được theo Thời Gian của chu trình đó, cho nên số lần lặp lại của chu trình (ký hiệu: s) sẽ là:
N được gọi là tập hợp mở rộng của số tự nhiên trong Vũ Trụ hữu hạn. N vô hạn thì s là bất định, N hữu hạn thì s là xác định.
¯¯¯
Như chúng ta đã quan niệm thì Vũ Trụ (thực) có cấu trúc mạng khối không gian gồm vô vàn hạt KG đóng vai trò là điểm nút câu kết chặt chẽ và “dày đặc”. Xét về mặt số (lượng) thì hạt KG được coi là đơn vị nhỏ nhất tuyệt đối của Vũ Trụ, và chúng ta cũng đã ký hiệu là 
. Vì Vũ Trụ (thực) là hữu hạn nên số lượng lớn nhất tuyệt đối là tổng số các số vốn có và chúng ta có thể ký hiệu là I. Nếu chúng ta chỉ quan tâm tới số lượng Không Gian thôi thì có thể hình dung Vũ Trụ là tập hợp toàn bộ số tự nhiên (không có số 0) hay còn gọi là số nguyên dương. Vì có thể đếm đi đếm lại nên có thể hình dung số lượng của một số tự nhiên cụ thể nào đó là vô hạn, và do đó, Vũ Trụ số tự nhiên cũng mở rộng đến vô hạn.
. Vì Vũ Trụ (thực) là hữu hạn nên số lượng lớn nhất tuyệt đối là tổng số các số vốn có và chúng ta có thể ký hiệu là I. Nếu chúng ta chỉ quan tâm tới số lượng Không Gian thôi thì có thể hình dung Vũ Trụ là tập hợp toàn bộ số tự nhiên (không có số 0) hay còn gọi là số nguyên dương. Vì có thể đếm đi đếm lại nên có thể hình dung số lượng của một số tự nhiên cụ thể nào đó là vô hạn, và do đó, Vũ Trụ số tự nhiên cũng mở rộng đến vô hạn.Phép tính đầu tiên trong các phép tính tiềm ẩn trong hiện thực khách quan mà loài người nhận thức được là phép cộng. Phép cộng cũng chính là phép tính cội nguồn của mọi phép tính có thể có, mà phép nhân là kết quả trực tiếp của nó. Phép cộng và phép nhân trở thành nền tảng để từ đó xây dựng nên các phép tính toán khác. Nếu gọi các phép tính cộng, nhân, lũy thừa là các phép tính thuận thì các phép tính trừ, chia, khai căn là các phép tính nghịch.
Trong Vũ Trụ số tự nhiên, các phép tính thuận bao giờ cũng cho kết quả là số tự nhiên. Nếu các phép tính nghịch được dẫn xuất từ các phép tính đó thì kết quả của chúng cũng là số tự nhiên. Chẳng hạn có phép nhân:
thì phép chia được dẫn xuất từ nó là:
Nếu có phép khai căn:
thì chắc chắn đó là phép tính được dẫn xuất trực tiếp từ:
Chính nhận thức chủ quan của con người cùng với đòi hỏi phát sinh từ thực tiễn cuộc sống của nó đã “lũng đoạn” một cách “tùy tiện” Vũ Trụ số tự nhiên, làm cho Vũ Trụ này “biến tướng”, “phát phì” thành Vũ Trụ mới “hư hư thực thực” gồm đủ các loại số vừa tự nhiên vừa phi tự nhiên vừa tương đối vừa tuyệt đối.
Sau khi đã nhận thức được phép cộng thì rồi dần dần, con người cũng nhận thức được các phép tính khác. Sự “can thiệp thô bạo” (không phải vì thích thú mà tất yếu, buộc phải làm thế) của con người vào Vũ Trụ số đã làm cho nguồn gốc xuất phát của các phép tính nghịch bị xóa nhòa, bị lu mờ đi và trở thành độc lập. Đây chính là nguyên nhân sâu xa làm cho số tự nhiên không còn độc tôn trong Vũ Trụ số lượng nữa và Vũ Trụ số bỗng trở nên “rối rắm” và hết sức kỳ ảo. Chẳng hạn, trong Vũ Trụ số tự nhiên, có thể có phân số (một cách biểu diễn của phép chia) nhưng không phải phân số nào cũng được giải quyết để cho ra một con số duy nhất. Nếu có:
thì cũng có phân số 
. Tuy nhiên, nếu cho phân số 
thì trong Vũ Trụ số nguyên sẽ không thể giải quyết rốt ráo được vì phân số này không phải là kết quả được dẫn xuất từ bất cứ phép nhân số nguyên nào, mà chỉ có thể giải quyết được nửa chừng:
. Tuy nhiên, nếu cho phân số thì trong Vũ Trụ số nguyên sẽ không thể giải quyết rốt ráo được vì phân số này không phải là kết quả được dẫn xuất từ bất cứ phép nhân số nguyên nào, mà chỉ có thể giải quyết được nửa chừng:
Nếu cố tình giải quyết phân số trên “đến cùng”, thì phải chấp nhận một loại số mới tạm gọi là “phi nghĩa” vì chẳng biết “xài” nó vào việc gì cho “hợp đạo lý”. Số đó là:
Trong thực tế, chúng ta có thể chia một con bò ra thành những phần “nguyên dương” con bò không? Không, không bao giờ! Bởi vì
không được suy ra từ bất cứ phép nhân của hai số tự nhiên nào, nghĩa là không có bất cứ số tự nhiên nào nhân với một số tự nhiên lớn hơn 1 (số phần phải chia) lại cho ra 1 (con bò) cả. Tuy nhiên, nếu cố tình chia một con bò thành chẳng hạn 2 phần bằng nhau; Tạo Hóa vẫn cho phép chúng ta làm được điều đó. Nhưng muốn thế, chúng ta phải hủy diệt một con bò để có được hai phần con bò đã “nghẻo” không còn “toàn thây”, chứ không phải hai phần con bò nguyên dương! Dù có thế thì trước mắt chúng ta, hai phần con bò đã chia ấy vẫn là những lực lượng có thực, vẫn là những hiện hữu chắc chắn, có thể thấy được, rờ mó được và nếu ăn vào thì có cảm giác no rõ ràng, chứ không phải là những thứ ảo huyền, phi hiện thực. Vì sao chúng ta làm được điều đó khi quan niệm rằng 1 là đơn vị nhỏ nhất và không còn có thể phân chia được nữa?Vì rằng 1 (con bò) ở đây chỉ mang ý nghĩa là nhỏ nhất tương đối, nghĩa là nó chỉ đóng vai trò là đơn vị số lượng nhỏ nhất của một lực lượng con bò “nguyên dương”. Để có thể vẫn thuộc về lực lượng ấy thì bất cứ một con bò nào cũng đều bị cấm “chặt đôi” ra. Vì dù có ghép hai phần con bò chết lại thì vẫn có thể cho là một con bò nhưng không phải là con bò nguyên dương nữa (linh hồn nó đã về chầu Chúa rồi còn đâu!). Không là nguyên dương nhưng những phần đã phân chia ấy vẫn là những lực lượng có thực mang “chất” bò và được gọi là thịt bò. Xét về mặt thịt bò thì lực lượng con bò nguyên dương cũng phải thuộc về thịt bò. Nghĩa là để “hợp pháp” hóa việc chia một con bò ra thành những phần nhỏ hơn, chúng ta đã phải mở rộng lực lượng bò từ nguyên dương ra thành hữu tỉ, và khi thực hiện việc này, chúng ta phải chọn hai đơn vị và thứ nguyên cho lực lượng mới thành lập (chẳng hạn là 1 kg khối lượng).
Trong Vũ Trụ (thực), tồn tại nhỏ nhất tuyệt đối là điểm KG mà xét cho số lượng đơn thuần là 
. là không thể phân chia vì khi đó sẽ làm xuất hiện Hư Vô, phạm vào nguyên lý bảo toàn Không Gian. Rõ ràng, trong Vũ Trụ ấy, 1 con bò, một cách trực quan, phải thấy lớn hơn 1 hạt cát, và một cách tuyệt đối, phải là sự hợp thành của một số lượng điểm KG nào đó gọi là n (hiển nhiên n phải là nguyên dương), nghĩa là có thể biểu diễn được:
. là không thể phân chia vì khi đó sẽ làm xuất hiện Hư Vô, phạm vào nguyên lý bảo toàn Không Gian. Rõ ràng, trong Vũ Trụ ấy, 1 con bò, một cách trực quan, phải thấy lớn hơn 1 hạt cát, và một cách tuyệt đối, phải là sự hợp thành của một số lượng điểm KG nào đó gọi là n (hiển nhiên n phải là nguyên dương), nghĩa là có thể biểu diễn được:
Muốn chia được con bò ra m phần bằng nhau (tuyệt đối) thì điều kiện đầu tiên phải là:
m < n , với m nguyên dương
Khi đó sẽ có:
Muốn phân số này cho ra kết quả là một số nguyên dương gọi là k, thì n phải chia hết cho m, nghĩa là:
Nếu không sẽ xuất hiện hiện tượng:
Vì 
cho kết quả nhỏ hơn cà 
nên tuyệt đối cấm và nếu tư duy cứ “ngoan cố” thực hiện thì sẽ đi đến kết quả là một số hữu tỉ tuyệt đối, chỉ có thể tồn tại trong Vũ Trụ ảo nhưng được “thấy” bởi quan sát từ Vũ Trụ thực.
cho kết quả nhỏ hơn cà nên tuyệt đối cấm và nếu tư duy cứ “ngoan cố” thực hiện thì sẽ đi đến kết quả là một số hữu tỉ tuyệt đối, chỉ có thể tồn tại trong Vũ Trụ ảo nhưng được “thấy” bởi quan sát từ Vũ Trụ thực.Có thể thấy biểu diễn tổng quát của số hữu tỉ là:
với m, n là nguyên và m < nVì có thể chọn bất cứ số nguyên nào (thường là số nhỏ hơn) làm đơn vị (tương đối), nên có thể “rút gọn” cách viết tổng quát số hữu tỉ thành dạng:
Nghĩa là nếu đặt m = 1 thì:
Chẳng hạn:
Trong quá trình hình thành và phát triển lý thuyết giới hạn cũng như giải thích toán học, xuất hiện không hiếm những biến cố, những hiện tượng kỳ lạ do sự tồn tại của số hữu tỉ gây ra. Chúng ta tin rằng với quan niệm về sự hình thành số hữu tỉ (cũng như số không phải là nguyên dương) đã trình bày ở trên và cả trước đây nữa, có thể hiểu sâu sắc hơn những biểu hiện kỳ lạ đó.
Nếu chúng ta có dãy số:
và liên kết giữa các số hạng của nó bằng dấu “+” hay dấu “x” thì chúng ta có được cái gọi là chuỗi số cộng hay chuỗi số nhân. Với ký hiệu
là “tổng”, 
là “tích” (không phải số pi), có thể biểu diễn một chuỗi số như sau:
hay: 
Nếu N là hữu hạn thì chuỗi số hữu hạn, nếu N vô hạn thì chuỗi số vô hạn. Nói như vậy đúng không? Không chắc chắn lắm!!!
Tư duy con người là một thì cực kỳ “ngông cuồng”. Nó “bay bổng” khắp nơi cho phép mình “tự tung tự tác” đến độ dường như Đấng tạo Hóa cũng phải lắc đầu ngao ngán. Chẳng hạn tư duy gọi n là số nguyên dương và điều hiển nhiên nó biết được là:
n = n
Hiện thực khách quan gợi ý rằng nếu đã có n thì phải có tương phản âm – dương qua gốc O của nó là –n, thế là tư duy hồn nhiên viết tiếp:
n – n = 0
Tư duy toán học tưởng rằng đó cũng là một hiển nhiên, nhưng nó đâu biết rằng từ sự mách bảo của hiện thực khách quan, nó đã đi đến một quan niệm nếu không có lý giải kèm theo thì hoàn toàn chưa thỏa đáng và dễ gây ngộ nhận. Một cách trực quan, giả sử hiện hữu n trong một phạm vi nào đó, nếu đem n ra khỏi phạm vi đó thì trong phạm vi đó không còn n nữa (và sợ “không còn n nữa” được gọi là 0). Khi đưa n ra khỏi phạm vi đang xét, tuy nó vẫn là nó nhưng cùng đồng thời không phải là tình trạng mới cúa nó, tư duy ký hiệu là –n (n đã hóa âm). từ đó mà một cách hình thức, có thể viết như trên.
Tuy nhiên tư duy toán học đã không lường được rằng nếu viết như thế thì cũng có nghĩa cùng lúc đó có hai lực lượng n, một dạng ở trong phạm vi và một ở ngoài phạm vi, nghĩa là có thể viết:
(Vì tương phản với âm phải là dương chứ không thể là vô tính (hay lưỡng tính) được)
Đó là tổng hợp lực lượng có thực nên kết quả không thể là 0 được. Vậy thì là bao nhiêu?
Hóa học là một ngành sinh sau đẻ muộn nhưng chính nó đã trả lời câu hỏi đó. Chúng ta đã biết phương trình của phản ứng tạo nước trừ hydrô và Oxy là:
Từ phương trình ấy, nếu ở vế trái chỉ chú ý đến lực lượng tương phản âm – dương thôi thì có thể viết:
Vế phải là một số không âm không dương!
Nếu thay 2 bằng n thì sẽ có cách viết tổng quát:
Nghĩa là tổng của hai lực lượng bằng nhau nhưng tương phản âm – dương sẽ là một lực lượng không âm không dương (mất dấu tương phản).
Có thể nói quan niệm của toán học và hóa học nêu trên, mỗi cái đều có phần đúng nhưng chưa đầy đủ và dù sao thì quan niệm của hóa học vẫn thỏa đáng hơn. Thực ra, cần phải thấy rằng dù là cùng một biểu diễn ở vế trái nhưng toán học và hóa học lại nói về hai hiện tượng hoàn toàn khác nhau. Một đàng là do n bị “lấy đi” nên không còn thấy gì hết (bằng 0), một đàng là tổng hai lực lượng có thực bằng nhau thì dù có thế nào chăng nữa cũng có một lực lượng bằng hai lần mỗi lực lượng ấy (nguyên lý bảo toàn Không Gian).
Đừng hiểu lầm tư duy toán học là ngù ngờ. Nó “khét tiếng” là tài giỏi cho nên cũng nhận thức ra vấn đề từ lâu và đưa ra dấu qui ước “tuyệt đối” để phân biệt và từ đó mà có hai cách viết dẫn đến hai kết quả như sau:
Nhờ có dấu tuyệt đối mà cũng có thể viết được:
Sự tự do “quá trớn” của tư duy đã dẫn nó đến việc tùy tiện loại bỏ dấu tuyệt đối ở đây đi, nghĩa là xác nhận tính toàn quyền độc lập của phép trừ đối với phép cộng, để cho ra một biểu diễn kỳ dị:
Dù là kỳ dị thì chúng ta cho rằng vì Tự nhiên Tồn tại là đầy đủ và được nguyên lý nước đôi cho phép nên có thể viết được như thế. Viết được như thế thì chắc chắn nó phải mang một ý nghĩa nào đó trong hiện thực. Ví dụ, một anh lính báo cáo với chỉ huy: “Thưa sếp! Số quân của địch bằng số quân của ta”. Vị chỉ huy nghe xong liền ghi tắt vào sổ tay theo qui ước trùng với cách biểu diễn “
”. Hơn nữa, ông này còn ghi thêm cho chắc ăn: “
”, nghĩa là: “Tổng số quân của ta và địch là 2n người”. Tệ hơn nữa, sau trận chiến đấu, có một người nhặt được cuốn sổ đó ở bãi chiến trường và thấy hàng cuối cùng có ghi nguệch ngoạc: “
”, nghĩa là:”Cà hai bên chết không còn một mống”
”. Hơn nữa, ông này còn ghi thêm cho chắc ăn: “”, nghĩa là: “Tổng số quân của ta và địch là 2n người”. Tệ hơn nữa, sau trận chiến đấu, có một người nhặt được cuốn sổ đó ở bãi chiến trường và thấy hàng cuối cùng có ghi nguệch ngoạc: “”, nghĩa là:”Cà hai bên chết không còn một mống”Trương tự như vậy, tư duy cũng có thể nghĩ:
Nhưng viết như thế thì nói lên được điều gì? Điều này: trong Vũ Trụ số , vì 1 là đơn vị tương đối nên “sự thực” là nó bằng n2, do đó:
; (với 2 là bất cứ số nào!)hoặc cũng vì tính tuyệt đối của 1 mà:
Tuy nhiên, nếu viết:
, với n luôn lớn hơn hay bằng 
, thì chỉ có một sự lựa chọn duy nhất là n =
Với viết được như thế thì với 
, số cực đại tuyệt đối của Vũ Trụ số, cũng viết được:
viết được như thế thì với , số cực đại tuyệt đối của Vũ Trụ số, cũng viết được:
Muốn cho cách viết đó “hợp đạo lý” thì điều kiện tiên quyết là luôn luôn phải thỏa mãn 
.
.Vũ Trụ là duy nhất, cho nên có thể cho rằng cũng có tính chất đặc trưng của số đơn vị (số 1) là, nó chưa cho nó bằng chính nó. Cho nên, khi n <, luôn có:
cũng có tính chất đặc trưng của số đơn vị (số 1) là, nó chưa cho nó bằng chính nó. Cho nên, khi n <, luôn có:
và khi n = I thì rõ ràng 
Vậy thì, trong Vũ Trụ số hữu hạn, không thể tồn tại thực sự một số tuyệt đối (số nguyên dương) nào có thể nhỏ hơn hoặc lớn hơn I. Nếu thấy xuất hiện những số như vậy thì chỉ là sự “giả mạo”, vì thực ra chúng chỉ là những hình ảnh của các số nguyên dương tồn tại thực trong Vũ Trụ ảo vô hạn, được nhìn thấy từ Vũ Trụ thực hữu hạn.
hoặc lớn hơn I. Nếu thấy xuất hiện những số như vậy thì chỉ là sự “giả mạo”, vì thực ra chúng chỉ là những hình ảnh của các số nguyên dương tồn tại thực trong Vũ Trụ ảo vô hạn, được nhìn thấy từ Vũ Trụ thực hữu hạn.Khi chúng ta viết, chẳng hạn:
,25 hay 
,333…,thì đó chính là tổng của một số nguyên dương thực sự và số dương ảo nào đó lớn hơn 1, được thấy từ miền thực (số nghịch đảo của nó).
Nếu “xóa nhòa” ranh giới ảo - thực đi, nghĩa là coi miền ảo cũng là miền thực, thuộc về miền thực, thì vì:
Chúng ta gọi những số kiểu ,25 và ,33… là những số hữu tỷ tuyệt đối.
,25 và ,33… là những số hữu tỷ tuyệt đối.Còn khi chúng ta viết: 1,25 hay 1,33… thì đó là những số hữu tỉ tương đối, vì chúng là sự biểu diễn của những số lượng có thực. Việc phải biểu diễn dưới dạng ảo thành các thành phần 0,25 hay 0,33… là do sự chọn lựa (hay qui ước) đơn vị tương đối (số 1) gây ra.
Còn nhiều điều kỳ dị nữa hàm chứa trong biểu diễn:
Chúng ta thử liệt kê ra đây cho vui:
- Vì n có thể là bất cứ số nào nên có thể chọn bất cứ số nào làm đơn vị tương đối. Khi n = 
thì 
1, khi n = I thì I
thì 1, khi n = I thì I 1 (lúc này, có thể gọi Vũ Trụ thực là “giả ảo”!).- Suy ra từ sự biểu diễn thì: 
, nghĩa là:
, nghĩa là:1 – 1 = 0
Hiển nhiên là thế, nhưng mặt khác, như đã nói thì cũng có:
Vậy có thể viết:
2 = 0
Biểu diễn này có nghĩa là hai mặt tương phản đã hợp nhất, sự tương phản đã “lặn” vào trong không biểu hiện ra ngoài nữa. Khi lằn ranh ảo - thực không còn nữa thì dấu “bằng” cũng biến mất, nên biểu hiện lúc này còn lại là:
2o
Để không nhầm lẫn với số lũy thừa, chúng ta chuyển vị trí ký hiệu tương phản âm – dương ra đằng trước trên số 2 và viết lại:
o
2(Thú vị là khi giải phương trình
theo toán học truyền thống, chúng ta có hai nghiệm là 
. Nếu cho rằng:
thì:
Nghĩa là dù có hai nghiệm đi nữa thì cũng cho ra một kết quả duy nhất. Dù là hai hiện thực thì cũng chỉ là phản ánh của một thực tại khách quan duy nhất!
Cũng từ sự biểu diễn mà suy ra:
Như vậy, cũng phải có:
Vì đã qui ước dương cũng là thực (biểu diễn theo dấu tương phản là 
), do đó:
), do đó:
Nếu thế 
Đến đây thì khó lòng mà bác bỏ được
phải vừa bằng 0, vừa bằng 
. Để thể hiện điều đó, chúng ta viết:
Để sáng tỏ hơn nữa, chúng ta viết lại:
Có thể biện luận rằng ở vế phải vì
nên chỉ còn lại 
, do đó: 
Một trung tính (mất dấu tương phản) có nghĩa là sự biểu hiện tương phản của nó đã “dung hòa” nhau, “chìm khuất” vào nội tại. Do đó, về mặt tương phản phải cho rằng 
được coi là bằng 0, nếu không thì phải phân tích thành 
. Thành thử khi chuyển về cách viết thông thường thì hoặc:
được coi là bằng 0, nếu không thì phải phân tích thành . Thành thử khi chuyển về cách viết thông thường thì hoặc:
Mặt khác, khi trong cùng một vế chỉ xuất hiện một loại dấu tương phản hoặc dương hoặc âm thôi thì coi như trong vế đó không có sự tương phản, nghĩa là có thể thay dấu đó bằng ký hiệu “0” rồi loại bỏ cả ký hiệu “0” đi. Trường hợp cụ thể ở đây là:
Viết rõ lại thì:
Từ đó cũng suy ra được 
Sự nhất quán của kết quả
là minh chứng cho sự “chí lý” của suy luận.Chúng ta nói: với yếu tố 
, sự kiện 
dẫn đến kết quả duy nhất là 
. Kết quả đó đồng thời có hai biểu hiện, một là về mặt lực lượng (số lượng), một là về tính tương phản của nó (bằng 0, trung tính). Dù là sự biểu hiện đồng thời thì hệ quan sát khó lòng “nắm bắt” được cùng một lúc cả hai biểu hiện ấy. Tùy góc độ và chủ đích của quan sát mà có thể thấy kết quả là bằng 0 hoặc bằng 
. Tuy nhiên, dù kết quả có thể nào đi nữa, miễn là nó đúng (không phạm phải mâu thuẫn nội tại!) thì từ đó vẫn có thể truy nguyên được về cùng một gốc xuất phát. Nghĩa là dù kết quả là 0 hay , đều có thể dẫn về cùng một gốc xuất phát
, sự kiện dẫn đến kết quả duy nhất là . Kết quả đó đồng thời có hai biểu hiện, một là về mặt lực lượng (số lượng), một là về tính tương phản của nó (bằng 0, trung tính). Dù là sự biểu hiện đồng thời thì hệ quan sát khó lòng “nắm bắt” được cùng một lúc cả hai biểu hiện ấy. Tùy góc độ và chủ đích của quan sát mà có thể thấy kết quả là bằng 0 hoặc bằng . Tuy nhiên, dù kết quả có thể nào đi nữa, miễn là nó đúng (không phạm phải mâu thuẫn nội tại!) thì từ đó vẫn có thể truy nguyên được về cùng một gốc xuất phát. Nghĩa là dù kết quả là 0 hay , đều có thể dẫn về cùng một gốc xuất phát 
qui luật của quá trình từ nguyên nhân đến kết quả được khám phá. Điều này đồng thời cũng góp phần vào khẳng định: dù nghiên cứu khoa học trong một hiện thực đặc thù như thế nào đi nữa thì nếu quá trình nghiên cứ ấuy (rút cuộc) không phạm sai lầm, cũng tất yếu khám phá được những nguyên lý, qui luật chung nhất, cơ bản nhất của Tự Nhiên, vì Thực Tại khách quan chỉ có một và chỉ một mà thôi.Toán học sẽ không bao giờ tin nổi hiện tượng:
vì khi đó sẽ xuất hiện: -1 = +1
Còn chúng ta thì hoàn toàn tin vào sự “có lý” của nó. Dù là rất kỳ dị thì về mặt triết học, đó cũng là một biểu diễn cơ bản về bản chất bảo toàn Không Gian của Thực Tại khách quan.
Hơn nữa, từ -1 = +1 có thể suy ra được:
và nếu không trên cơ sở biểu diễn này thì hóa học đã không thể giải thích căn cơ được cá hiện tượng biến hóa vật chất bằng các phương trình của nó.
- Chưa hết, tư duy “bạt mạng” của con người còn đưa ra một ý tưởng không kém phần “quái đản” nữa. Với biểu diễn:
thì phải hiểu rằng n vừa bằng nghịch đảo của nó vừa bằng chính nó. giả sử cho n=2 thì:
Điều này chỉ có thể giải thích được với quan niệm rằng 1 là đơn vị tương đối gồm 4 đơn vị nhỏ hơn bốn lần nó, tương tự như:
1 giờ = 60 phút
Lúc này, sau khi thay 4 vào vị trí của 1, ta có:
Chúng ta nên thì dụ trên để chỉ ra rằng chỉ khi coi 1 đóng vai trò đơn vị tuyệt đối thì mới có thể viết được:
Còn khi 1 đã được bộc lộ ra sự tương đối của nó thì đó là một suy diễn bị cấm kỵ, vì như thí dụ trên:
Cũng vì cách hiểu “n bằng nghịch đảo của nó đồng thời bằng chính nó” mà từ biểu diễn:
dẫn đến cách biểu diễn:
Trong toán học, người ta gọi cách viết ở vế phải là “Liên phân số” (Tương tự, khi có 
, cũng sẽ viết được:
, cũng sẽ viết được:
và gọi là “Liên căn thức”).
Trước tiên, dễ dàng thấy ngay rằng sự biểu diễn đó sẽ “hợp đạo lý” khi 
. Sau đó còn thấy nếu số lượng số 1 là lẻ thì n bằng nghịch đảo của nó, nếu số lượng đó là chẵn thì n bằng chính nó. Tuy nhiên, khi n là bất kỳ số nào khác
. Sau đó còn thấy nếu số lượng số 1 là lẻ thì n bằng nghịch đảo của nó, nếu số lượng đó là chẵn thì n bằng chính nó. Tuy nhiên, khi n là bất kỳ số nào khác 
thì đồng thời cũng có 
nên có thể viết:
và dù số lượng
có chẵn hay lẻ mặc lòng, bao giờ cũng phải có: n = n
Nghĩa là:
Mặc bao bão táp phong ba
Thì ta vẫn cứ là ta mới tài
Rõ là dù một mà hai,
Tuy hai mà một, có đầy như không
Vừa là vô thủy vô chung
Vừa là chung thủy một lòng đó đây
Bất tận thì cũng chốn này
Nghĩ đi nghĩ lại, đúng sai tại mình.
(Tương tự, đối với liên căn thức nói trên, nếu qui ước thêm 
, thì biểu diễn sẽ “hợp đạo lý” đối với bất cứ bậc khai căn nào khi 
, và khi n là bất cứ số nào khác 
thì bậc khai căn chỉ có thể là 1. Tuy nhiên sẽ không cần bất cứ những qui ước “lặt vặt” như thế nếu đã có qui ước “tối thượng” 
với m, n là bất cứ số nào!)
, thì biểu diễn sẽ “hợp đạo lý” đối với bất cứ bậc khai căn nào khi , và khi n là bất cứ số nào khác thì bậc khai căn chỉ có thể là 1. Tuy nhiên sẽ không cần bất cứ những qui ước “lặt vặt” như thế nếu đã có qui ước “tối thượng” với m, n là bất cứ số nào!)Thật là quái đản đúng không… chúng ta? Và tư duy con người cũng thật là dị thường đúng không… chúng ta? Có thể là như thế. Có thể là quái đản, có thể là dị thường nhưng nghĩ cho kỹ lại thì thực tại khách quan còn dị thường hơn nhiều. Bộ não con người, kể cả những bộ não điên loạn nhất, dù có thể nghĩ ra được nhiều điều vô cùng “rùng rợn” đến bản thân con người cũng phát chết khiếp, thì cũng không thể nghĩ ra được cái mà Tự nhiên Tồn tại không cho phép. Chẳng hay, không thể có bất cứ một tư duy siêu việt nào mường tượng ra được Hư Vô bởi vì Tồn Tại luôn “chiếm chỗ” trong tất tuyệt, biết rằng sáng tạo ra nhiều thứ kỳ diệu, nhưng không bao giờ có thể sửa đổi, thêm bớt những nguyên lý, qui luật vô cùngn biến hóa của Vũ Trụ. Chỉ số thông minh của loài người làm sao mà bằng được chỉ số thông minh của Đấng Tạo Hóa thiêng liêng, vì thế mà làm sao sự sáng tạo của nó vượt qua sự sáng tạo của Ngài được!?
(còn tiếp)
Mời xem:
0 comments:
Hãy viết bằng tiếng Việt có dấu trực tuyến:
Easy VN - Chương trình tự động thêm dấu tiếng Việt
VIETUNI - Tại Viet1Net (Nên chọn Kiểu Loạn)
- Chèn link bằng thẻ: <a href="URL liên kết" rel="nofollow">Tên link</a>
- Tạo chữ <b>đậm</b> và <i>Ngiêng</i>